(2021年整理)初二數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題歸類復(fù)習(xí)(含例題、練習(xí)及答案)

1、初二數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題歸類復(fù)習(xí)(含例題、練習(xí)及答案)初二數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題歸類復(fù)習(xí)(含例題、練習(xí)及答案) 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對(duì)文中內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對(duì)，但是難免會(huì)有疏漏的地方，但是任然希望（初二數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題歸類復(fù)習(xí)(含例題、練習(xí)及答案)）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來便利。同時(shí)也真誠的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進(jìn)步的源泉，前進(jìn)的動(dòng)力。本文可編輯可修改，如果覺得對(duì)您有幫助請(qǐng)收藏以便隨時(shí)查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績進(jìn)步，以下為初二數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題歸類復(fù)習(xí)(含例題、練習(xí)及答案)的全部內(nèi)容。19初二數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題歸類復(fù)習(xí)（

2、含例題、練習(xí)及答案）所謂“動(dòng)點(diǎn)型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題。關(guān)鍵:動(dòng)中求靜.數(shù)學(xué)思想：分類思想 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想本文將初一至二學(xué)習(xí)過的有關(guān)知識(shí)，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)問題進(jìn)行歸類復(fù)習(xí),希望對(duì)同學(xué)們能有所幫助。一、等腰三角形類:因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的等腰三角形問題例1：（2013年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題）如圖1，在rtabc中，a90，ab6，ac8，點(diǎn)d為邊bc的中點(diǎn)，debc交邊ac于點(diǎn)e，點(diǎn)p為射線ab上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)q為邊ac上的一動(dòng)點(diǎn),且pdq90（1）求ed、ec的長;（2)若bp

3、2，求cq的長；(3）記線段pq與線段de的交點(diǎn)為f，若pdf為等腰三角形，求bp的長圖1 備用圖思路點(diǎn)撥1第（2）題bp2分兩種情況2解第（2）題時(shí)，畫準(zhǔn)確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和差關(guān)系3第（3）題探求等腰三角形pdf時(shí)，根據(jù)相似三角形的傳遞性，轉(zhuǎn)化為探求等腰三角形cdq解答：(1）在rtabc中， ab6，ac8，所以bc10在rtcde中，cd5，所以，（2)如圖2，過點(diǎn)d作dmab，dnac，垂足分別為m、n,那么dm、dn是abc的兩條中位線,dm4,dn3由pdq90,mdn90，可得pdmqdn因此pdmqdn所以所以，圖2 圖3 圖4如圖3，當(dāng)bp2，p在bm上

4、時(shí)，pm1此時(shí)所以如圖4，當(dāng)bp2，p在mb的延長線上時(shí)，pm5此時(shí)所以（3）如圖5，如圖2，在rtpdq中,在rtabc中，所以qpdc由pdq90，cde90,可得pdfcdq因此pdfcdq當(dāng)pdf是等腰三角形時(shí)，cdq也是等腰三角形如圖5，當(dāng)cqcd5時(shí)，qncqcn541（如圖3所示）此時(shí)所以如圖6，當(dāng)qcqd時(shí),由，可得所以qncncq（如圖2所示）此時(shí)所以不存在dpdf的情況這是因?yàn)閐fpdqpdpq(如圖5，圖6所示）圖5 圖6考點(diǎn)伸展：如圖6，當(dāng)cdq是等腰三角形時(shí)，根據(jù)等角的余角相等,可以得到bdp也是等腰三角形，pbpd在bdp中可以直接求解二、直角三角形：因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的直

5、角三角形問題例2:(2008年河南省中考第23題）如圖1,直線和x軸、y軸的交點(diǎn)分別為b、c，點(diǎn)a的坐標(biāo)是（2，0）（1）試說明abc是等腰三角形；(2）動(dòng)點(diǎn)m從a出發(fā)沿x軸向點(diǎn)b運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)n從點(diǎn)b出發(fā)沿線段bc向點(diǎn)c運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位長度當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),他們都停止運(yùn)動(dòng)設(shè)m運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，mon的面積為s 求s與t的函數(shù)關(guān)系式; 設(shè)點(diǎn)m在線段ob上運(yùn)動(dòng)時(shí),是否存在s4的情形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t值；若不存在請(qǐng)說明理由;在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)mon為直角三角形時(shí)，求t的值圖1思路點(diǎn)撥：1第（1）題說明abc是等腰三角形，暗示了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)m、n同時(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)2不論m在ao上

6、還是在ob上,用含有t的式子表示om邊上的高都是相同的，用含有t的式子表示om要分類討論3將s4代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，解關(guān)于t的方程4分類討論mon為直角三角形，不存在onm90的可能解答：（1）直線與x軸的交點(diǎn)為b（3，0）、與y軸的交點(diǎn)c（0，4）rtboc中，ob3，oc4,所以bc5點(diǎn)a的坐標(biāo)是（2,0),所以ba5因此bcba，所以abc是等腰三角形（2）如圖2，圖3，過點(diǎn)n作nhab，垂足為h在rtbnh中，bnt，,所以如圖2，當(dāng)m在ao上時(shí)，om2t，此時(shí)定義域?yàn)?t2如圖3，當(dāng)m在ob上時(shí)，omt2，此時(shí)定義域?yàn)?t5 圖2 圖3把s4代入，得解得，（舍去負(fù)值）因此，當(dāng)點(diǎn)m在

7、線段ob上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在s4的情形，此時(shí)如圖4,當(dāng)omn90時(shí),在rtbnm中，bnt，bm ，所以解得如圖5,當(dāng)omn90時(shí)，n與c重合，不存在onm90的可能所以,當(dāng)或者時(shí),mon為直角三角形 圖4 圖5考點(diǎn)伸展：在本題情景下，如果mon的邊與ac平行，求t的值如圖6，當(dāng)on/ac時(shí)，t3；如圖7，當(dāng)mn/ac時(shí)，t2。5 圖6 圖7三、平行四邊形問題：因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題例3：(2010年山西省中考第26題）在直角梯形oabc中，cb/oa，coa90，cb3，oa6,ba分別以oa、oc邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系（1）求點(diǎn)b的坐標(biāo)；（2）已知d、e分別為線

8、段oc、ob上的點(diǎn)，od5，oe2eb，直線de交x軸于點(diǎn)f求直線de的解析式；（3）點(diǎn)m是（2）中直線de上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一點(diǎn)n，使以o、d、m、n為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)n的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 圖1 圖2思路點(diǎn)撥:1第（1）題和第(2）題蘊(yùn)含了ob與df垂直的結(jié)論,為第（3)題討論菱形提供了計(jì)算基礎(chǔ)2討論菱形要進(jìn)行兩次（兩級(jí)）分類,先按照do為邊和對(duì)角線分類,再進(jìn)行二級(jí)分類，do與dm、do與dn為鄰邊解答：(1)如圖2，作bhx軸,垂足為h，那么四邊形bcoh為矩形，ohcb3在rtabh中，ah3，ba，所以bh6因此點(diǎn)b的坐標(biāo)為(3，6

9、）(2） 因?yàn)閛e2eb,所以，e（2,4)設(shè)直線de的解析式為ykxb,代入d（0，5)，e(2，4)，得 解得，所以直線de的解析式為(3） 由，知直線de與x軸交于點(diǎn)f(10，0），of10，df如圖3，當(dāng)do為菱形的對(duì)角線時(shí)，mn與do互相垂直平分，點(diǎn)m是df的中點(diǎn)此時(shí)點(diǎn)m的坐標(biāo)為(5,),點(diǎn)n的坐標(biāo)為(5,)如圖4,當(dāng)do、dn為菱形的鄰邊時(shí),點(diǎn)n與點(diǎn)o關(guān)于點(diǎn)e對(duì)稱，此時(shí)點(diǎn)n的坐標(biāo)為(4,8)如圖5,當(dāng)do、dm為菱形的鄰邊時(shí)，no5，延長mn交x軸于p由npodof，得,即解得，此時(shí)點(diǎn)n的坐標(biāo)為 圖3 圖4 考點(diǎn)伸展如果第(3）題沒有限定點(diǎn)n在x軸上方的平面內(nèi),那么菱形還有如圖6的

10、情形 圖5 圖6四、相似三角形:因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題例4:（2013年蘇州中考28題）如圖，點(diǎn)o為矩形abcd的對(duì)稱中心，ab=10cm,bc=12cm，點(diǎn)e、f、g分別從a、b、c三點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿矩形的邊按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)e的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，點(diǎn)f的運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s，點(diǎn)g的運(yùn)動(dòng)速度為1.5cm/s，當(dāng)點(diǎn)f到達(dá)點(diǎn)c（即點(diǎn)f與點(diǎn)c重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)過程中,ebf關(guān)于直線ef的對(duì)稱圖形是ebf設(shè)點(diǎn)e、f、g運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位:s）（1）當(dāng)t= s時(shí)，四邊形ebfb為正方形;（2)若以點(diǎn)e、b、f為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)f，c，g為頂點(diǎn)的三角形相似,求t的值;（3）

11、是否存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)b與點(diǎn)o重合？若存在,求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 思路點(diǎn)撥：（1)利用正方形的性質(zhì)，得到be=bf，列一元一次方程求解即可；（2）ebf與fcg相似,分兩種情況,需要分類討論，逐一分析計(jì)算;（3）本問為存在型問題假設(shè)存在，則可以分別求出在不同條件下的t值,它們互相矛盾，所以不存在解答：(1)若四邊形ebfb為正方形，則be=bf，即：10t=3t，解得t=2。5；（2)分兩種情況，討論如下：若ebffcg，則有，即,解得：t=2。8；若ebfgcf，則有,即，解得:t=142(不合題意,舍去）或t=14+2當(dāng)t=2。8s或t=（14+2）s時(shí)，以點(diǎn)e、b、f為頂點(diǎn)的

12、三角形與以點(diǎn)f，c，g為頂點(diǎn)的三角形相似（3)假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)b與點(diǎn)o重合如圖，過點(diǎn)o作ombc于點(diǎn)m,則在rtofm中,of=bf=3t，fm=bcbf=63t，om=5，由勾股定理得：om2+fm2=of2，即：52+（63t）2=（3t）2解得：t=；過點(diǎn)o作onab于點(diǎn)n,則在rtoen中，oe=be=10t，en=bebn=10t5=5t,on=6，由勾股定理得:on2+en2=oe2，即：62+（5t）2=（10t）2解得：t=3.93。9，不存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)b與點(diǎn)o重合考點(diǎn)伸展：本題為運(yùn)動(dòng)型綜合題，考查了矩形性質(zhì)、軸對(duì)稱、相似三角形的判定性質(zhì)、勾股定理、解方程等知識(shí)點(diǎn)題目

13、并不復(fù)雜，但需要仔細(xì)分析題意，認(rèn)真作答第（2）問中，需要分類討論，避免漏解；第（3）問是存在型問題，可以先假設(shè)存在，然后通過推導(dǎo)出互相矛盾的結(jié)論,從而判定不存在拓展練習(xí):1、如圖1，梯形abcd中，ad bc,b=90，ab=14cm,ad=18cm,bc=21cm，點(diǎn)p從a開始沿ad邊以1cm/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)q從c開始沿cb向點(diǎn)b以2 cm/秒的速度移動(dòng),如果p，q分別從a，c同時(shí)出發(fā)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒。當(dāng)t= 時(shí)，四邊形是平行四邊形； 當(dāng)t= 時(shí)，四邊形是等腰梯形。 (1題圖） 備用圖2、如圖2，正方形abcd的邊長為4,點(diǎn)m在邊dc上，且dm=1,n為對(duì)角線ac上任意一點(diǎn)，則dn+mn

14、的最小值為 。 （2題圖） （3題圖）3、如圖，在中，,點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線從與重合的位置開始,繞點(diǎn)作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),交邊于點(diǎn)過點(diǎn)作交直線于點(diǎn),設(shè)直線的旋轉(zhuǎn)角為（1)當(dāng) 度時(shí)，四邊形是等腰梯形,此時(shí)的長為 ；當(dāng) 度時(shí)，四邊形是直角梯形，此時(shí)的長為 ；(2)當(dāng)時(shí)，判斷四邊形是否為菱形，并說明理由acbednm圖3abcdemn圖24、在abc中，acb=90，ac=bc，直線mn經(jīng)過點(diǎn)c，且admn于d，bemn于e.cbaed圖1nm(1）當(dāng)直線mn繞點(diǎn)c旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：adcceb；de=adbe；(2）當(dāng)直線mn繞點(diǎn)c旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí),求證：de=ad-be；(3）當(dāng)直線mn繞點(diǎn)

15、c旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問de、ad、be具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明。5、數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題:如圖1，四邊形abcd是正方形,點(diǎn)e是邊bc的中點(diǎn)，且ef交正方形外角的平行線cf于點(diǎn)f，求證：ae=ef經(jīng)過思考,小明展示了一種正確的解題思路：取ab的中點(diǎn)m，連接me，則am=ec，易證,所以在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出:如圖2，如果把“點(diǎn)e是邊bc的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)e是邊bc上（除b，c外)的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“ae=ef”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確,寫出證明過程；如果不正確,請(qǐng)說明理由; (2)小華提出：如圖3

16、,點(diǎn)e是bc的延長線上（除c點(diǎn)外）的任意一點(diǎn),其他條件不變，結(jié)論“ae=ef”仍然成立你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由 6、如圖, 射線mb上，mb=9，a是射線mb外一點(diǎn),ab=5且a到射線mb的距離為3,動(dòng)點(diǎn)p從m沿射線mb方向以1個(gè)單位/秒的速度移動(dòng)，設(shè)p的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t。 求（1） pab為等腰三角形的t值;(2） pab為直角三角形的t值;（3） 若ab=5且abm=45 ，其他條件不變，直接寫出 pab為直角三角形的t值。7、如圖1，在等腰梯形中,是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，.求:（1）求點(diǎn)到的距離；（2）點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，過作交折線

17、于點(diǎn)，連結(jié)，設(shè)。當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（如圖2)，的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出的周長；若改變,請(qǐng)說明理由；當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（如圖3）,是否存在點(diǎn),使為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的的值；若不存在，請(qǐng)說明理由adebfc圖4（備用）adebfc圖5（備用）adebfc圖1圖2adebfcpnm圖3adebfcpnm（第25題）8、如圖，已知中,厘米，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)（1）如果點(diǎn)p在線段bc上以3cm/s的速度由b點(diǎn)向c點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)q在線段ca上由c點(diǎn)向a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)若點(diǎn)q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等，請(qǐng)說明理由；若點(diǎn)q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)q的運(yùn)動(dòng)速度

18、為多少時(shí)，能夠使與全等？（2)若點(diǎn)q以中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)c出發(fā)，點(diǎn)p以原來的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)b同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過多長時(shí)間點(diǎn)p與點(diǎn)q第一次在的哪條邊上相遇？ （8題圖） （9題圖）9、如圖所示，在菱形abcd中，ab=4，bad=120，aef為正三角形，點(diǎn)e、f分別在菱形的邊bccd上滑動(dòng)，且e、f不與bcd重合（1）證明不論e、f在bccd上如何滑動(dòng)，總有be=cf；（2)當(dāng)點(diǎn)e、f在bccd上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形aecf和cef的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化,求出最大（或最?。┲?0、如圖，在aob中，aob=90，oa=ob=6，c為ob上一點(diǎn)，射線c

19、dob交ab于點(diǎn)d，oc=2點(diǎn)p從點(diǎn)a出發(fā)以每秒個(gè)單位長度的速度沿ab方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)q從點(diǎn)c出發(fā)以每秒2個(gè)單位長度的速度沿cd方向運(yùn)動(dòng)，p、q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)p到達(dá)到點(diǎn)b時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)q也隨之停止過點(diǎn)p作peoa于點(diǎn)e，pfob于點(diǎn)f,得到矩形peof以點(diǎn)q為直角頂點(diǎn)向下作等腰直角三角形qmn，斜邊mnob，且mn=qc設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位：秒)（1)求t=1時(shí)fc的長度（2）求mn=pf時(shí)t的值(3）當(dāng)qmn和矩形peof有重疊部分時(shí)，求重疊（陰影）部分圖形面積s與t的函數(shù)關(guān)系式（4）直接寫出qmn的邊與矩形peof的邊有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)t的值參考答案：1、解:（1)要使四邊形pqcd為平行四邊

20、形，則pd=cq，ad=18cm，即18t=2t，解得：t=6;（2)設(shè)經(jīng)過ts，四邊形pqcd是等腰梯形過q點(diǎn)作qead,過d點(diǎn)作dfbc，四邊形pqcd是等腰梯形，pq=dc又adbc，b=90，ab=eq=dfeqpfdcfc=ep=bc-ad=21-18=3又ae=bq=21-2t，ep=t-ae，ep=ap-ae=t（21-2t)=3得：t=8經(jīng)過8s,四邊形pqcd是等腰梯形2、5；3、解:（1)30,1；60,1.5；(2）當(dāng)=900時(shí)，四邊形edbc是菱形。=acb=900,bc/ed。 ce/ab, 四邊形edbc是平行四邊形在rtabc中,acb=900,b=600,bc=

21、2， a=300.ab=4,ac=2. ao= .在rtaod中,a=300，ad=2.bd=2。 bd=bc. 又四邊形edbc是平行四邊形,四邊形edbc是菱形 4、解:（1） acd=acb=90 cad+acd=90 bce+acd=90 cad=bce ac=bc adcceb adcceb ce=ad，cd=be de=ce+cd=ad+be (2) adc=ceb=acb=90 acd=cbe 又ac=bc acdcbe ce=ad，cd=be de=ce-cd=ad-be（3) 當(dāng)mn旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí),de=be-ad（或ad=be-de,be=ad+de等） adc=ceb

22、=acb=90 acd=cbe， 又ac=bc, acdcbe， ad=ce,cd=be, de=cd-ce=be-ad. 5、解：（1）正確證明：在上取一點(diǎn)，使，連接，是外角平分線，, , (asa） （2)正確 證明：在的延長線上取一點(diǎn)使,連接 四邊形是正方形, (asa) 6、解：解：（1）作aebm于e.則ae=3，ab=5，be=（ab-ae)=4 mp=t, bp=9-t若ap=ab，9t=24t=1若pa=pb，bp/（1/2ab）=ab/bp（9-t)=1/2*55t=95/2（9+5/2舍去）若ba=bp,|9t|=5t=4 、14綜上，t=1、4、95/2、14(2）若ap

23、b=909-t=4t=5若pab=90bp/ba=ba/be(9-t）/5=5/4t=11/4綜上，t=5、11/4。7、解：（1）如圖1,過點(diǎn)作于點(diǎn) 為的中點(diǎn)， 在中， 即點(diǎn)到的距離為 圖1adebfcg（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí),的形狀不發(fā)生改變 , 同理 如圖2,過點(diǎn)作于，圖2adebfcpnmgh 則在中,的周長= 當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí),的形狀發(fā)生改變，但恒為等邊三角形當(dāng)時(shí),如圖3，作于，則類似， 是等邊三角形，此時(shí)， 當(dāng)時(shí),如圖4，這時(shí) 此時(shí),當(dāng)時(shí)，如圖5， 則又 因此點(diǎn)與重合，為直角三角形 此時(shí)，綜上所述,當(dāng)或4或時(shí),為等腰三角形 8、解：aqcdbp解：(1）秒， 厘米，厘米，點(diǎn)為的

24、中點(diǎn), 厘米又厘米， 厘米， 又, ， ， ， 又，,則,點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間秒， 厘米/秒。（2)設(shè)經(jīng)過秒后點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇， 由題意,得，解得秒點(diǎn)共運(yùn)動(dòng)了厘米 ,點(diǎn)、點(diǎn)在邊上相遇，經(jīng)過秒點(diǎn)與點(diǎn)第一次在邊上相遇9、解：（1）證明：如圖,連接ac，四邊形abcd為菱形，bad=120，bae+eac=60，fac+eac=60,bae=fac。bad=120，abf=60。abc和acd為等邊三角形.acf=60，ac=ab.abe=afc。在abe和acf中，bae=fac，ab=ac，abe=afc，abeacf（asa）。be=cf。 （2）四邊形aecf的面積不變，cef的面積發(fā)生變化。理由如下：由(1）得abeacf,則sabe=sacf。s四邊形aecf=saec+sacf=saec+sabe=sabc,是定值。作ahbc于h點(diǎn)，則bh=2，.由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形aef的邊ae與bc垂直時(shí)，邊ae最短故aef的面積會(huì)隨著