2019-2020學(xué)年高中人教A版數(shù)學(xué)選修2-2學(xué)案：1.7　定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用 含解析

1、祝學(xué)子學(xué)業(yè)有成，取得好成績(jī)1.7定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用q大家都可以想象到天女散花的情景-左手提著一籃嬌艷美麗的鮮花,右手把一朵鮮花散落，一片片花瓣飄蕩在空中,隨后落在人間，讓人產(chǎn)生無盡的遐想一片花瓣的圖形可以看成兩條美麗的曲線相交而成由前面學(xué)習(xí)的定積分的知識(shí),我們可以計(jì)算出該圖形的面積,即一片花瓣平鋪的面積x1求平面圖形的面積(1）求由一條曲線yf(x）和直線xa、xb（a0，因此面積sf（x)dx;圖中,f(x)0，f(x)dx0,因此面積s|f(x）dxf（x)dxf（x)dx.（2）求由兩條曲線f(x）和g（x)，直線xa、xb(a0)在曲線yx2上，若陰影部分面積與oap面積相等，則x0。（

2、2)(2019安陽(yáng)高二檢測(cè))如圖是函數(shù)ycos（2x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，則陰影部分的面積是（b)abcd解析(1)s陰x2dxx03x，soapx0x0，由題意知xx0，因?yàn)閤00，所以x0.（2)由已知函數(shù)ycos(2x)的周期為t，知圖中陰影的最右的端點(diǎn)坐標(biāo)為（，0)，故陰影部分的面積scos（2x）dxcos（2x)dxsin(2x)sin（2x)sin()sin（）sinsin（）1.命題方向2分割型平面圖形面積的求解典例2求由曲線y、y2x、yx所圍成圖形的面積思路分析畫出三條曲（直）線，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，將平面圖形按交點(diǎn)分割成可求積分的幾部分再求解解析解法1：畫出草圖，如圖所示解方程

3、組、及得交點(diǎn)分別為(1,1），(0,0)，（3，1)所以s（x)dx（2x）（x)dx（x)dx(2x)dx(xx2）|(2xx2)(2332）（2)。解法2：若選積分變量為y,則三個(gè)函數(shù)分別為xy2,x2y,x3y.因?yàn)樗鼈兊慕稽c(diǎn)分別為（1，1)，（0,0），(3,1）所以s1(2y）(3y)dy(2y)y2dy1（22y)dy（2yy2）dy（2yy2）(2yy2y3)|（21)2.規(guī)律總結(jié)由兩條或兩條以上的曲線圍成的較為復(fù)雜的圖形，在不同的區(qū)段內(nèi)位于上方和下方的函數(shù)有所變化,通過解方程組求出曲線的各交點(diǎn)坐標(biāo)，可以將積分區(qū)間細(xì)化區(qū)段，然后根據(jù)圖象對(duì)各個(gè)區(qū)段分別求面積進(jìn)而求和，在每個(gè)區(qū)段上被

4、積函數(shù)均是由上減下；若積分變量選取x運(yùn)算較為復(fù)雜，可以選y為積分變量，同時(shí)更改積分的上下限為y的對(duì)應(yīng)值被積函數(shù)也相應(yīng)的改變。跟蹤練習(xí)2求由拋物線y2，y2x1所圍成圖形的面積解析在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系上畫出兩個(gè)拋物線的大致圖形，如圖所示方法一：以x為積分變量由得兩個(gè)拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為a(，),b（，）設(shè)點(diǎn)p(1，0),則所求面積s2（dxdx）2x（x1) 。方法二:以y為積分變量由得兩個(gè)拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為a（，)，b(，)設(shè)點(diǎn)p（1,0)，則所求面積s2 （y215y2）dy2(yy3) .命題方向3變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、位移問題典例3有一動(dòng)點(diǎn)p從原點(diǎn)出發(fā)沿x軸運(yùn)動(dòng),在時(shí)刻為t

5、時(shí)的速度為v（t）8t2t2(速度的正方向與x軸正方向一致）求：（1)t6時(shí)，點(diǎn)p離開原點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)的路程和點(diǎn)p的位移；（2）經(jīng)過時(shí)間t后又返回原點(diǎn)時(shí)的t值思路分析（1）(2)解析(1)由v（t）8t2t20得0t4,即當(dāng)0t4時(shí)，p點(diǎn)沿x軸正方向運(yùn)動(dòng),當(dāng)t4時(shí),p點(diǎn)向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)故t6時(shí)，點(diǎn)p離開原點(diǎn)后運(yùn)動(dòng)的路程s1（8t2t2)dt(8t2t2）dt(4t2t3）(4t2t3）.當(dāng)t6時(shí),點(diǎn)p的位移為(8t2t2)dt(4t2t3)|0。（2）依題意（8t2t2)dt0，即4t2t30，解得t0或t6,t0對(duì)應(yīng)于p點(diǎn)剛開始從原點(diǎn)出發(fā)的情況,t6是所求的值規(guī)律總結(jié)1。沿直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，路程是位移的

6、絕對(duì)值之和，從時(shí)刻ta到時(shí)刻tb所經(jīng)過的路程s和位移s情況如下:(1)若v（t）0，則sv（t）dt；sv（t)dt.（2)若v(t）0，則sv(t)dt;sv（t）dt。（3)若在區(qū)間a，c上v（t）0，在區(qū)間c，b上v（t)0)與直線xy60及y0所圍成圖形的面積為(）a16b16c d錯(cuò)解選d由y28x(y0)得y，由xy60得y6x，,由得或(舍去）所求面積s（6x)dx6xx2(8x) ，故選d辨析錯(cuò)解沒有畫圖分析曲線之間的位置關(guān)系，沒有弄清平面圖形的形狀，以致弄錯(cuò)被積函數(shù)和積分區(qū)間致誤正解c由題意，所圍成平面圖形如圖所示,由得所以拋物線y28x（y0)與直線xy60的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2

7、，4），方法一:(選y為積分變量)s(6yy2)dy(6yy2y3)|24864。方法二:（選x為積分變量）s(）dx（6x)dxx|（6xx2）|(6662）（6222）。點(diǎn)評(píng)用定積分求較復(fù)雜的平面圖形的面積時(shí),一要根據(jù)圖形確定x還是y作為積分變量,同時(shí)，由曲線交點(diǎn)確定好積分上、下限；二要依據(jù)積分變量確定好被積函數(shù)，積分變量為x時(shí)，圍成平面圖形的上方曲線減去下方曲線為被積函數(shù)，積分變量為y時(shí)，圍成平面圖形的右方曲線減去左方曲線為被積函數(shù)；三要找準(zhǔn)原函數(shù)k1由直線x，x2，曲線y及x軸所圍圖形的面積為（d)abcln2 d2ln2解析結(jié)合圖形，易知x2,x分別為定積分的上、下限，則圖形的面積s2ln2。故選d2由曲線yx21，直線x0，x2和x軸圍成的封閉圖形(如圖所示)的面積可表示為(b）a（x21）dxb|x21dxc（x21)dxd(x21）dx(x21）dx解析曲線yx21，直線x0,x2和x軸圍成的封閉圖形的面積，應(yīng)該根據(jù)圖形的對(duì)稱性表示為x21dx。故選b3做直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在任意位置x處，所受的力f(x）1ex，則質(zhì)點(diǎn)沿著與f（x)相同的方向，從點(diǎn)x10處運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)x21處，力f（x)所做的功是（b）a1e bec1e de1解析wf(x）dx（1ex)dx(xex)(1e)1e。4一物體在變力f（x)(n)的作用下沿坐標(biāo)平面內(nèi)x軸的正方