有質(zhì)量的彈簧

1、有質(zhì)量的彈簧放寒假回家，爸爸說要抱我，看看我長重了沒有，我故意使勁想讓他抱不動，我繃緊肌肉 爸爸費了好大力量也沒抱起我。“不要使勁，”爸爸說，“使勁我怎么抱得動！ ”我不想繼續(xù)難為他，便放松了肌肉，他果然輕松的舉起了我，“還要多鍛煉呀！太輕了！ ”爸爸對我說。突然，腦中忽然閃過那個詞， 使勁？我使得可是內(nèi)力呀！為什么內(nèi)力讓自己顯得更重了?于是便有了以下這些思考：1. 有質(zhì)量的彈簧為了解決以上的問題，由于人體有彈性，不妨將人體看成一個有質(zhì)量的彈簧，肌肉的 收縮改變彈簧的倔系數(shù)。下面我們的討論對象就是這個有長度有質(zhì)量的彈簧。當(dāng)我研究 它時，發(fā)現(xiàn)這個由人體抽象而來的模型有很多很復(fù)雜的性質(zhì)。2. 質(zhì)心

2、的位置ImL ,質(zhì)量為M， 的函數(shù)，下面計算質(zhì)心離頂端的高度 考慮微元dm,它上面的彈簧共重設(shè)彈簧的原長為倔強系數(shù)為k，立于地面上，高為doh，線密度為p是xmg則有 dx=mg/(k*M/dm)=mg/KM*dma兩邊積分 dx0mmgdm,其中a為彈簧在重力作用下收縮的長度。kM得到，a=M注：這里的計算不能對整個彈簧使用胡克定律,aK=Mg從而得到a=JMg，因為此時的k彈簧各個部位的壓縮狀況是不同的了!x又 g pdx =0XM pdx卄,K L dx),即 g pdx =KL-MK/p pdx M0兩邊對x 求導(dǎo)：gp =MKKdp p2dx，解此微分方程得到:p=p際MK,其中 p

3、0=M/L.2gp0 x1 1 ad= xpdxM 0 n3(mK3/23g pQtMMkJmK 2g(L a) p02 g(L a)p02JmK 2g(L a)p02)，其中 a= Mg ， pO=M/L.2k容易看到當(dāng)k趨向無窮大時，d=L/2，此時彈簧可看作剛體，質(zhì)心當(dāng)然是在重點！求導(dǎo) 后容易發(fā)現(xiàn)d/l (l=L-a)，隨著K的增大減小，其實從 P的表達(dá)式可以直接觀察到這一點， 因為當(dāng)K小時，P隨x的增加變化快，相反當(dāng) k很大時，P隨x的增加增加的較慢，故質(zhì)心 將更接近中點！3. 舉起有質(zhì)量的彈簧f如圖，設(shè)用恒力f向上提彈簧的頂端，當(dāng)?shù)锥藙偤秒x開地面時彈簧的動能為零。彈簧舉起前后的高度分

4、別是 h1和h2，故f*h=Mg(h2-h1)+E2-E1,其中E2, E1分別是(2)，( 1)中彈簧的彈性勢能，若用小于Mg的力f,去拉彈簧，則它將先做向上的加速度不斷減小的加速運動，只到加速度變?yōu)橄蛳拢?繼續(xù)向上做減速運動，當(dāng)?shù)锥嗣撾x的瞬間速度為零，此時加速度仍向下，故(2)中彈簧的 拉伸長度a=，其中g(shù) g,故E2 E1。2k所以 f Mg(h2-h1)/h, 由 2 中的討論知 h1L1/2,h2wovcv ocyyj圖（1）是不考慮彈簧質(zhì)量的情況。圖（ 2）中我們假設(shè)物體和彈簧的質(zhì)量都是 M,彈簧原長 L倔強系數(shù) K我們將其看成兩段長為 L/2的輕質(zhì)彈簧之間連著- 個質(zhì)量為M的小球

5、，不妨設(shè)物體的質(zhì)量也為 M。對小球和物體列運動方程：設(shè)小球，物體偏離平衡位置的長度分別為,x1,x2，彈簧本來壓縮2AM x1 2Kx1, M x2 2K(x1x2);解得 x2=2Acoswt,x1=Acoswt,其中w=蘭。物體與小球之間的距離Y Mx=Acoswt;當(dāng)wt= /2時，物體與彈簧分離,而此時小球有速度 Aw,故具有動能E=-M(Aw)2，21物體此時的動能為 E0=M（2Aw）2，故僅有五分之四能量傳遞給了物體！小球隨后做角2頻率為J 的簡諧振動。容易發(fā)現(xiàn)采用（2）的假設(shè)，物體從開始運動到分離將經(jīng)過更長V M的時間！但是（2）的假設(shè)是很不精確的，真正準(zhǔn)確的假設(shè)是應(yīng)該將彈簧是

6、為N個質(zhì)量為M/N的小球，之間連有倔強系數(shù)為 N*K的輕質(zhì)彈簧，然后考慮N趨向無窮的極限情況。原則上通過 微分方程組的求解可以求到具體的運動情況，但這種運動無疑將是十分復(fù)雜的由于數(shù)學(xué)知識有限本人在此無法給出一個解答。（2） 簡振模以上的第二種假設(shè)實際上引出了一個更復(fù)雜更深刻的問題，那便是多自由度的振動！ 以下是作者的一些猜測與疑惑：(在圖（1）, （2）中N個質(zhì)量為m的小球被彈簧（倔強系數(shù)k）連接起來，分別掛在兩面墻之間，和約束在一個球體上。由振動知識，當(dāng)初始條件合適時，它們有N個簡振頻率，可以做N總不同模式的振動， 當(dāng)N趨向無窮時，它們的角頻率頻譜是連續(xù)的從0到2w0的，其是否意味著彈簧再一定初中w0=叵,若將有質(zhì)量的彈簧抽象成無窮多個小球串上輕彈簧, k始條件下可以以某種模式振動，若可以考慮到m=M/N k=K*N, w0將趨向無窮，那么它的角頻率將是可以趨向無窮的，這可能嗎？5. 總結(jié)彈簧是一個質(zhì)量連續(xù)分布的固體，討論它的運動狀態(tài)和內(nèi)部應(yīng)力需要更多的物理和 數(shù)學(xué)知識，由于水平所限以上的很多推理不免有謬誤。但有一點是很清楚的，那就是當(dāng) 考慮彈簧的質(zhì)