概率論知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)

1、概率論總結(jié)前五章總結(jié)第一章隨機(jī)事件和概率1第二章隨機(jī)變量及其分布 .5第三章多維隨機(jī)變量及其分布 10第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征 13第五章極限定理.18學(xué)習(xí)概率論這門課的心得體會(huì) 20一、前五章總結(jié)第一章隨機(jī)事件和概率第一節(jié)：1.、將一切具有下面三個(gè)特點(diǎn)：（1）可重復(fù)性（2）多結(jié) 果性（3）不確定性的試驗(yàn)或觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱為試驗(yàn)，常用 E表示。在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情（結(jié)果）稱為 隨機(jī)事件，簡稱為事件。不可能事件：在試驗(yàn)中不可能出現(xiàn)的事情，記為。必然事件：在試驗(yàn)中必然出現(xiàn)的事情，記為 S或Q。2、我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，記作e或3 .全體樣本點(diǎn)的集合稱為樣

2、本空間.樣本空間用S或Q表示.一個(gè)隨機(jī)事件就是樣本空間的一個(gè)子集?；臼录粏吸c(diǎn)集，復(fù)合事件一多點(diǎn)集一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)該事件所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)。事件間的關(guān)系及運(yùn)算，就是集合間的關(guān)系和運(yùn)算。3、定義：事件的包含與相等若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱B包含A,記為B A或 A B。若A B且A B則稱事件A與事件B相等，記為A= B定義：和事件“事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生”是一事件，稱此事件為事件 A與事件B的和事件。記為 AU B。用集合表示為：A U B=e|e A, 或 e B。定義：積事件稱事件“事件A與事件B都發(fā)生”為A與B的積事件，記為AA B或AB,用集合表示為 A

3、B=e|e A且e B。定義：差事件稱“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生,這一事件為事件A與事件B的差事 件,記為A- B,用集合表示為A-B=e|e A, e B。定義：互不相容事件或互斥事件如果A, B兩事件不能同時(shí)發(fā)生，即 AB=O，則稱事件A與事件 B是互不相容事件或互斥事件。定義6:逆事件/對(duì)立事件稱事件“ A不發(fā)生”為事件A的逆事件，記為a。A與d滿足：A U a = S,且.A a 二。運(yùn)算律：設(shè)A, B, C為事件，則有(1) 交換律：AU B=BU A, AB=BA(2) 結(jié)合律：AU (B U C)=(A U B) U C=AJ BU CA(BC)=(AB)C二ABC(3) 分配律

4、:AU (B n C) = (A U B) n (A U C)A(B(4)德摩根律:A B A Bu C)= (A n B) u (A n C)= ab u ac小結(jié):事件的關(guān)系、運(yùn)算和運(yùn)算法則可概括為四種關(guān)系：包含、相等、對(duì)立、互不相容;四種運(yùn)算：和、積、差、逆;四個(gè)運(yùn)算法則：交換律、結(jié)合律、分配律、對(duì)偶律。第二節(jié):1、設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，其樣本空間S由n個(gè)樣本點(diǎn)組成，事 件A由k個(gè)樣本點(diǎn)組成.則定義事件A的概率為：P(A) = k/n =A包含的樣本點(diǎn)數(shù)/S中的樣本點(diǎn)數(shù)。2、幾何概率：設(shè)事件A是S的某個(gè)區(qū)域，它的面積為 卩(A)，則 向區(qū)域S上隨機(jī)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在區(qū)域 A的概率為：P (

5、A)=卩(A) /卩(S)假如樣本空間S過把可用一線段，或空間中某個(gè)區(qū)域表示，并且向 S上隨機(jī)投擲一 點(diǎn)的含義如前述，則事件 A的概率仍可用(*)式確定，只不 理解為長度或體積即可.概率的性質(zhì):(1)P()=0,(2)1,2,nPm 1j,兩兩互不相容,Ak(3)(4)P ( A )1若A B,P( A),則 P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) P(A).第四節(jié)：條件概率：在事件 B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率稱 為A對(duì)B的條件概率，記作P(A|B).P ABP(A|B)P B而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加“ B發(fā)生”這個(gè)條 件時(shí)A發(fā)生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率

6、.乘法公式： 若 P(B)0,則 P(AB)=P(B)P(A|B)P(A)0,則 P(AB)=P(A)P(B|A)全概率公式：設(shè)A,A2,An是試驗(yàn)E的樣本空間Q的一個(gè)劃分，且P(Ai)0 , i =1,2,n, B 是任一事件，貝SnP(B) P(Ai)P (B | Ai)貝葉斯公式：設(shè)Ai,A2,An是試驗(yàn)E的樣本空間Q的一個(gè)劃分，且P(Ai)0 , i =1,2,n, B 是任一事件且 P(B)0,貝SP (Ai |B ) P (Ai)P(B | A i)/ P(Aj)P(B | Aj)第五節(jié)：若兩事件A、B滿足j 1P(AB)= P(A) P(B)則稱A、B獨(dú)立，或稱 A、B相互獨(dú)立.

7、將兩事件獨(dú)立的定義推廣到三個(gè)事件：對(duì)于三個(gè)事件A B、C,若P(AC)= P(A)P(C) P(AB)= P(A)P(B)P(ABC)= P(A)P(B)P(C) P(BC)= P(B)P(C)四個(gè)等式同時(shí) 成立,則稱事件 A、B、C相互獨(dú)立.第六節(jié)：定理 對(duì)于n重貝努利試驗(yàn)，事件 A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)k 次的概率為k k n kPn (k ) C n p qk 0,1 , n , q 1 p總結(jié)：1. 條件概率是概率論中的重要概念，其與獨(dú)立性有密切的關(guān)系， 在不具有獨(dú)立性的場合，它將扮演主要的角色。2. 乘法公式、全概公式、貝葉斯公式在概率論的計(jì)算中經(jīng)常使用， 請(qǐng)牢固掌握。3. 獨(dú)立性是概率論

8、中的最重要概念之一，亦是概率論特有的概念， 應(yīng)正確理解并應(yīng)用于概率的計(jì)算。4. 貝努利概型是概率論中的最重要的概型之一，在應(yīng)用上相當(dāng)廣 泛。第二章：隨機(jī)變量及其分布1、隨機(jī)變量：分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。分布函數(shù)：設(shè)X是一個(gè)r.v，x為一個(gè)任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù)F(X)=P (X x)為X的分布函數(shù)。X的分布函數(shù)是F(x)記作 X F(x) 或 Fx(x).如果將X看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間(x X)。F阿非降，即若則F(xJ F(xJ ;(2)F(-x)= lmi F何刊 + 詢二 lim F(x) - 1JI*20y)F(x)右連續(xù)，HP Hm f

9、 (x)二 F(兀)3、離散型隨機(jī)變量及其分布定義1 :設(shè)Xk(k=1,2,)是離散型隨機(jī)變量X所取的一 切可能值，稱等式P(X=x0;藝Pk=1分布律與分布函數(shù)的關(guān)系：(1) 已知隨機(jī)變量X的分布律，可求出X的分布函數(shù)：設(shè)一離散型隨機(jī)變量X的分布律為PX=xk=pk (k=1 , 2,)由概率的可列可加性可得X的分布函數(shù)為F ( x ) P X x P X x k x k x即 F ( x)PkX k X已知隨機(jī)變量X的分布律，亦可求任意隨機(jī)事件的概率。(2) 已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，可求出X的分布律：PX Xk F(Xk) F(Xk 0) k 1,2,3,三種常用離散型隨機(jī)變量的分布.1

10、(0- 1)分布:設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值，它的分布律為 k1kPX=k=p (1-p) - , k=0，1. (0p1)則稱X服從(0-1)分布，記為X (0- 1)分布。(01)分布的分布律用表格表示為：P 1-p p易求得其分布函數(shù)為F (X)2. 二項(xiàng)分布(bi no mial distributi on) :定義：若離散型隨機(jī)變量X的分布律為k k 1 kP X k CnPqk 0,1,其中0p0是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為 入“的泊松分布, 記作XP(入).、 連續(xù)型隨機(jī)變量1概率密度f(x)的性質(zhì)(1) f(x) 0(2)f (t)dt 1.X落在區(qū)間(X1 , X2)的概率

11、P x X XF (X2) F (X1)f ( x)dxX 1幾何意義：X落在區(qū)間(X1, X2)的概率PX1Xo, t0,有則稱隨機(jī)變量X具有無記憶性。3.正態(tài)分布若r.v X的概率密度為f (x)(X )22 22其中和都是常數(shù)，任意，卩0 ,則稱X服從參數(shù)為卩和的正態(tài)分布.記作2X N ()f (x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線0,1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通 過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.設(shè) x n(卩申,則 丫 =)(T隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，具有概率密度fx(x)，求丫二g(X) (g連 續(xù))的概率密度。1.一般

12、方法一一分布函數(shù)法可先求出丫的分布函數(shù)Fr(y):因?yàn)?F(y)=PY y=Pg(X) y，設(shè) l y=x|g(x) y貝SFy y P X lf x (x ) dxyf X (x)dxg( x ) y再由FY(y)進(jìn)一步求出丫的概率密度fY y尸丫山)2.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為x(x), y=f(x) 連續(xù)，求 丫二f(X)的密度函數(shù)的方法有三種:(1)分布函數(shù)法；若y=f(x)嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則 可用公式法；若y=g(x)在不相重疊的區(qū)間I i,i 2,上逐段嚴(yán)格單 調(diào)，其反函數(shù)分別為hi(y), h 2(y),且h i(y), h 2(y), ,均為連續(xù)函數(shù)，則丫

13、二g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量，x h2 y其密度函數(shù)為my 止曰 步疋對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，在求 Y二g(X)的分布時(shí)，關(guān)鍵的 把事件 g(X) y 轉(zhuǎn)化為X在一定范圍內(nèi)取值的形式， 從而可以利用X的分布來求P g(X) 0, P|X E(X)|P| X E (X ) |1參數(shù)為7? I rJ(M分布B(nTp)P(a)pU-p) np(l-p) z26常見隨機(jī)變量的方差(E159)分概率分信 rjj差?(y = i)=PP(X = Q) = -pP(X = k) = Cpk(l-p)P(X=R)=薯0,1,2,分布概率密喪方差區(qū)間(碣對(duì)上1 ,。-沙的均勻分布JD a” 0,其它12E0,其它X

14、*11(耳-卅嚴(yán)Ar(ZA T2)2?第三節(jié)、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)量 E XE(X)YE (Y )稱為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差.記為 Cov( X , Y ),即C ov( X , Y) EX E ( X ) Y E (Y ) .若注: 量。xy 0, px稱x, yC不相關(guān)。Vd (x TTdJy)(1) X和丫的相關(guān)系數(shù)又成為標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差，它是一個(gè)無量綱的 為隨機(jī)變量 X與丫的相關(guān)系數(shù) 2、若隨機(jī)變量X和丫相互獨(dú)立Cov( X ,Y)E XE ( X ) 丫E (丫)EXE (X ) EY E(Y)0.D (X Y) D (X ) D(Y)2E X E ( X ) Y E (Y )D (X ) D

15、 (Y ) 2Cov (X ,Y )D(X )D(Y).協(xié)方差的計(jì)算公式1、Cov(X, Y)二E(X Y)-E(X)E( Y)2、D(X+_Y)=D(X)+D( Y)+2Cov(X，丫)協(xié)方差的性質(zhì)：(1) Cov( X，丫) Cov( Y , X );(2) Cov( aX , bY ) ab Cov( X ,Y ) , a, b 為常數(shù)(3) Cov( X 1 X2,Y) Cov( X_Y) Cov( X 2 ,Y ).相關(guān)系數(shù)：1、二維正態(tài)分布密度函數(shù)中，參數(shù) p代表了與Y的相關(guān)系數(shù)。2、二維正態(tài)隨機(jī)變量X和Y相關(guān)系數(shù)為零等價(jià)于X和Y相互獨(dú)立即XY相互獨(dú)立等價(jià)于XY不相關(guān)不相關(guān)的充要條

16、件o1X , Y不相關(guān)PXY0；o2X，丫不相關(guān)Cov(X ,Y) 0;o3X，丫不相關(guān)E ( XY)E ( X ) E (Y ).相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：(1)PXY1 .(2)pXY1的充要條件是:存在常數(shù)a, b使PY a bX 1 .第五章：極限定理大數(shù)定理：設(shè)Xn為一隨機(jī)變量序列，E(Xn)存在，記n 1,2,1 nYlim PX iE X innin i 1in i i若 lim PnYn1X i E X i1,則稱X n服從(弱)大數(shù)定律。切比雪夫大數(shù)定律：設(shè)Xi,X2,是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即D(Xi) 01 n 1 nlim P| - X i - E (Xi) |1nn i 1n i 1馬爾科夫條件：在切比雪夫大數(shù)定理的證明過程中可以看出只要 lim 亠 0 D (X i ) (0切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況:),則大數(shù)定理就能成立。X,X2,是獨(dú)立隨機(jī)變量序列，且E(X)= 卩，D(X)二 0,2,