《線性代數(shù)》知識點(diǎn)歸納整理

1、學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考線性代數(shù)知識點(diǎn) 歸納整理 誠毅學(xué)生 編01、余子式與代數(shù)余子式 - 2 -02、主對角線 - 2 -03、轉(zhuǎn)置行列式 - 2 -04、行列式的性質(zhì) - 3 -05、計(jì)算行列式 - 3 -06、矩陣中未寫出的元素 - 4 -07、幾類特殊的方陣 - 4 -08、矩陣的運(yùn)算規(guī)則 - 4 -09、矩陣多項(xiàng)式 - 6 -10、對稱矩陣 - 6 -11、矩陣的分塊 - 6 -12、矩陣的初等變換 - 6 -13、矩陣等價(jià) - 6 -14、初等矩陣 - 7 -15、行階梯形矩陣 與 行最簡形矩陣 - 7 -16、逆矩陣 - 7 -17、充分性與必要性的證明題 - 8 -18、伴

2、隨矩陣 - 8 -19、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形： - 9 -20、矩陣的秩： - 9 -21、矩陣的秩的一些定理、推論 - 10 -22、線性方程組概念 - 10 -23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組（不含向量） - 10 -24、行向量、列向量、零向量、負(fù)向量的概念 - 11 -25、線性方程組的向量形式 - 12 -26、線性相關(guān) 與 線性無關(guān) 的概念 - 12 -27、向量個數(shù)大于向量維數(shù)的向量組 必然線性相關(guān) - 12 -28、線性相關(guān)、線性無關(guān)；齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關(guān)系及其例題 - 12 -29、線性表示 與 線性組合 的概念 - 12 -30、線性表示；非齊次線性方程組的

3、解；矩陣的秩 這三者的關(guān)系其例題 - 12 -31、線性相關(guān)（無關(guān)）與線性表示的 3個定理 - 12 -32、最大線性無關(guān)組與向量組的秩 - 12 -33、線性方程組解的結(jié)構(gòu) - 13 -學(xué)習(xí)資料01、余子式與代數(shù)余子式3ii312313(1)設(shè)三階行列式D =321322323，則331332333元素ail , ai2, ai3的余子式分別為:Mii =322932323933M 12=a2i331323333Mi3=32133i3223320M31 =03+1，A31 = (-1)322323對Mii的解釋：劃掉第1行、第1列，剩下的就是一個二階行列式 33 ,這個332333行列式即元

4、素3ii的余子式Mii。其他元素的余子式以此類推 兀素311 , 3i2 , 3i3的代數(shù)余子式分別為:Aii = ( 1) Mii , Ai2= ( 1) Mi2 ,Ai3 = ( 13Mi3 .對Aij的解釋(i表示第i行，j表示第j列)：Aij = ( 一 1) e M j . (N階行列式以此類推)P1第1題:(2) 填空題求余子式和代數(shù)余子式時，最好寫原式。比如說，作業(yè)(3)例題：課本P8、課本P21-27、作業(yè)P1第1題、作業(yè)P1第3題02、主對角線一個n階方陣的主對角線，是所有第k行第k列元素的全體，k=1,2, 3n，即從左上到右下 的一條斜線。與之相對應(yīng)的稱為副對角線或次對角

5、線，即從右上到左下的一條斜線。03、轉(zhuǎn)置行列式療1”*11 / =%ainO1 =5-5%口亦行列式少稱為行列戎n的轉(zhuǎn)疋行列式+即元素3u與元素3ii的位置對調(diào)(i表示第i行，j表示第j 列)，比如說，312與321的位置對 調(diào)、335與353的位置對調(diào)。04、行列式的性質(zhì)詳見課本P5-8 （性質(zhì)1.1.1 1.1.7其中，性質(zhì)1.1.7可以歸納為這個：aii Aki + ai2Ak2 + ain Akn =k,（i表示第i行，k表示第k列）熟練掌握行列式的性質(zhì)，可以迅速的簡化行列式，方便計(jì)算。例題：作業(yè)P1第2題05、計(jì)算行列式(1)計(jì)算二階行列式anai2a2ia 22方法（首選）：ana

6、i2=ana22 a12a21 （即，左上角x右下角一右上角x左下角）方法:a11a12a2ia 22a2ia22=an A,1+ aA = a11 a22 a12a21例題：課本P14(2)ana12a13a21a22a23a31a32a33ana12a13a21a 22a 23a31a32a 33計(jì)算三階行列式=an A11+ a12 A12+ awA13 = an ( 1)1 M11 + a ( 1)1 m12 +( 1)1 ?M13N階行列式的計(jì)算以此類推。通常先利用行列式的性質(zhì)對行列式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，0元素較多時方便計(jì)算.（r是row，即行。c是 column，即列）例題：課本P5、課本P

7、9、課本P14、作業(yè)P1第4題、作業(yè)P2第3小題（3）n階上三角行列式（0元素全在左下角）與n階下三角行列式（0元素全在右上角）：D = a11a22ann （主對角線上兀素的乘積）例題：課本P10、作業(yè)P3第4小題有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對應(yīng)加到第一行”轉(zhuǎn)化成上三角行列式例題：課本P11(4)范德蒙行列式：詳見課本P12-13(5)有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對應(yīng)加到第一行”提取出“公因式”，得到元素全為1的一行，方便化簡行列式。例題：作業(yè)P2第1小題、作業(yè)P2第2小題06、矩陣中未寫出的兀素課本P48下面有注明，矩陣中未寫出的元素都為007、幾類特殊的方陣詳見課

8、本P30-32(1) 上 (下)三角矩陣：類似上(下)三角行列式(2) 對角矩陣：除了主對角線上的元素外，其他元素都為0(3) 數(shù)量矩陣：主對角線上的元素都相同(4) 零矩陣：所有元素都為0,記作O(5) 單位矩陣：主對角線上的元素都為1,其他元素全為0,記作E或En (其行列式的值為1)08、矩陣的運(yùn)算規(guī)則A的行數(shù)與矩陣B的行數(shù)相同;(1) 矩陣的加法(同型的矩陣才能相加減，同型，即矩陣 矩陣A的列數(shù)與矩陣B的列數(shù)也相同)： 課本 P32 “A+ B”、“A B” 加法交換律：A+ B= B+ A 加法結(jié)合律：A+( B+ C) = ( A+ B) + C(2) 矩陣的乘法(基本規(guī)則詳見課本

9、 P34陰影): 數(shù)與矩陣的乘法：I. 課本 P33 “kA”II. |kA = kn A (因?yàn)閗A只等于用數(shù)k乘以矩陣A的一行或一列后得到的矩陣的行列式) 同階矩陣相乘(高中理科數(shù)學(xué)選修矩陣基礎(chǔ))：a21a12Xbnb12(an bn+ a12b21anb12 + a12b22a22vb21b22丿乜21匕1+ a22b21a21b12 + a 22 b22 丿描述：令左邊的矩陣為，令右邊的矩陣為，令計(jì)算得到的矩陣為(:訪則A的值為：中第i行的每個元素分別乘以中第i列的每個元素，并將它們相加。即 a= aii x bii + ai2 x b2iB的值為：中第i行的每個元素分別乘以中第 2列

10、的每個元素，并將它們相加。即 B= aii x bi2 + ai2 x b22C的值為：中第2行的每個元素分別乘以中第1列的每個元素，并將它們相加即 C= a2i x bii + a22 x b2iD的值為：中第2行的每個元素分別乘以中第2列的每個元素，并將它們相加即 D= a2i x bi2 + a22 x b22.iaiiai2 屛ibiibi2 肘，aiibii + ai2b2i+ai3b3iaiibi2 + ai2b22 + ai3b32aiibi3+ai2b23+ai3b33a2i a22 a23xb2i b22 b23a2ibii +a22b2i +a23b3ia2ibi2 +a2

11、2b22 +a23b32a2ibi3+ a?2b23十 a23b33q31 a32 S33；0課本P34例題兩個不等于零的矩陣的乘積可以是零矩陣 課本P34例題數(shù)乘的消去律、交換律不成立 一般來講，(AB) kM A k B k，因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律 課本P40習(xí)題第2題：(A+ B) 2不一定等于A2 + 2AB+ B2，(A+ B) 2不一定等于A2 + 2AB+ B2，(A+ B) (A-B)不一定等于A2 B2 .當(dāng)AB= BA時，以上三個等式均成立(3) 矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算規(guī)律： (AT )T = A b32 b33；13lbl1 +a32b2i +a33b3ia3lbl2 +a32

12、b22 +a33b32a3lbl3+ a32b23+ a33b33 /廣A B C、描述：令左邊的矩陣為，令右邊的矩陣為，令計(jì)算得到的矩陣為D E F ，則2 H丨A的值為：中第i行的每個元素分別乘以中第i列的每個元素，并將它們相加即A= aii x bii + ai2 x b2i + ai3 x b3iB、C、D E、F、G H I的值的求法與 A類似。數(shù)乘結(jié)合律：k (1A ) = ( kl) A，( kA) B = A (kB)= k (AB)數(shù)乘分配律：(k+ l) A= kA+ lA，k (A+ B)= kA+ kB乘法結(jié)合律：(AB) C = A (BC) 乘法分配律： 需注意的：

13、A (B+ C)= AB + AC，(A+ B) C = AC+ BC （A土 B）T= AT B T （kA）T = kAT （AB）t = B TAT （ABC）t = CtB tat （ABCD）t = DtCtB tat（4） 同階方陣相乘所得的方陣的行列式等于兩個方陣的行列式的乘積：（詳見課本P46）AB = A |B（5）例題：課本P35、課本P36-37、課本P40第4大題、課本 P40第5大題、課本P51第1 大題、課本P51第4大題、課本P60第4大題、作業(yè)P5全部、作業(yè)P5第3大題、作業(yè)P5第4大題09、矩陣多項(xiàng)式詳見課本P 3610、對稱矩陣（1） 對稱矩陣、實(shí)對稱矩陣、

14、反對稱矩陣的概念（詳見課本P37）（2）同階對稱（反對稱）矩陣的和、差仍是對稱（反對稱）矩陣 數(shù) 與 對稱（反對稱）矩陣的乘積仍是對稱（反對稱）矩陣 對稱（反對稱）矩陣的乘積不一定是對稱（反對稱）矩陣11、矩陣的分塊線代老師說這部分的內(nèi)容做了解即可。詳見課本P38-4012、矩陣的初等變換三種行變換與三種列變換：詳見課本P 42例題：作業(yè)P6全部13、矩陣等價(jià)若矩陣A經(jīng)過若干次初等變換后變成矩陣 B,則稱矩陣A與矩陣B等價(jià)，記為A二B14、初等矩陣(1) 是由單位矩陣經(jīng)由一次初等變換而得到的矩陣。詳見課本P48-49(2) 設(shè)A為mx n矩陣，則對A施行一次初等行變換相當(dāng)于在 A的左邊乘上一個

15、相應(yīng)的m階初等矩陣；A施行一次初等列變換相當(dāng)于在 A的右邊乘上一個相應(yīng)的n階初等矩陣. 詳見課本P50-51(3) 課本P51第3大題15、行階梯形矩陣與行最簡形矩陣(1) 對任意一個非零矩陣，都可以通過若干次初等行變換(或?qū)Q列)化為行階梯型矩陣(2) 行階梯形矩陣與行最簡形矩陣：若在矩陣中可畫出一條階梯線，線的下方全為0,每個臺階只有一行(臺階數(shù)即是非零行的行數(shù))，階梯線的豎線(每段豎線的長度為一行)后面的第一個元素為非零元素，也就 是非零行的第一個非零元素，則稱該矩陣為行階梯矩陣。在此基礎(chǔ)上，若非零行的第一個 非零元素為都為1，且這些非零元素所在的列的其他元素都為0，則稱該矩陣為行最簡形

16、矩陣。例題：課本P45、作業(yè)P6全部、課本P51第2大題16、逆矩陣(1) 設(shè)A為n階方陣，如果存在n階方陣B,使得AB= BA= E,則稱方陣A是可逆的,并稱B為A的逆矩陣.(由逆矩陣的定義可知，非方陣的矩陣不存在逆矩陣)(2) 如果方陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的，并將 A的逆矩陣記作A： AA_ 1= Eat A*A = -pp(3) n階方陣A可逆的充要條件為A豐0,并且，當(dāng)A可逆時，宀(證明詳見課本P54)例題：課本P59第1大題(4) 可逆矩陣也稱為非奇異方陣(否則稱為奇異方陣)(5) 性質(zhì)：設(shè)A, B都是n階的可逆方陣，常數(shù)kM0,那么 (A_丄AAT也可逆，并且(AT )-1

17、= (A-1)t(kA)-1 =丄 A-1 kA也可逆，并且kAB也可逆，并且(AB) -1 = B-1A-1A+ B不一定可逆，而且即使 A+ B可逆，一般(A+ B)-1工A-1 + B-1 AA-1= E = AA-1=E = 1AA-1例題：課本P58例2.3.7、作業(yè)P7第1題(6) 分塊對角矩陣的可逆性： 課本P57(7) 由方陣等式求逆矩陣：課本P58例2.3.6(8) 單位矩陣、所有初等矩陣都是可逆的(初等矩陣是由單位矩陣經(jīng)由一次初等變換而得到的，即初等矩陣可以通過初等變換再變回單位矩陣，而單位矩陣的行列式=1工0可逆，所以初等矩陣可逆)(9) 初等矩陣的逆矩陣也是初等矩陣(1

18、0) 任一可逆方陣都可以通過若干次初等行變換化成單位矩陣(11) 方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個初等矩陣的乘積(證明：課本P67)(12) 利用初等行變換求逆矩陣:A|E!初等行變換 I E |A-1 1 (例題：課本P68、課本P71)(13) 形如AX= B的矩陣方程，當(dāng)方陣A可逆時，有A-1 AX= A-1B，即X = A-1B.此時有：A |B 初等行變換 IE | X 1矩陣方程的例題：課本P35、課本P69、課本P41第6大題、課本P56、課本P58、課本P59第3大題、課本P60第5大題、課本P60第7大題、課本P71第3大題 矩陣方程計(jì)算中易犯的錯誤： 課本P56

19、“注意不能寫成”17、充分性與必要性的證明題(1) 必要性：由結(jié)論推出條件(2) 充分性：由條件推出結(jié)論例題：課本P41第8大題、作業(yè)P5第5大題18、伴隨矩陣(1) 定義：課本P52定義2.3.2(2) 設(shè)A為n階方陣(n2)，則AA* = A*A= |A En (證明詳見課本P53-54)(3) 性質(zhì)：(注意伴隨矩陣是方陣)學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考* 1A = AA_1(kA)* 二kA - (kA)-1=k nA - 1a-1-1 = k n-1A* (0)_ 1AI = I |AA_ | =A0, 1 A_1| = |An-右(因?yàn)榇嬖贏_1，所以 A 工 0 ) = A n-1*

20、 * _ 1 *(A) = (AA_)=_ 1_ 1I AA (AA )1、_ 1=An | A_11_1 _ 1I a(a )n 1- 丄 A = An-2A (因?yàn)?AA A A* * *(AB) = BAE,所以A1的逆矩陣是A,即(A_ 1)_1 )(A*) =(A-1)* =缶(4)例題：課本P53、課本P55、課本P58、課本P60第6大題、作業(yè)P7第2題、作業(yè)P8全部19、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形：(1) 定義：課本P61-62(2) 任何一個非零矩陣都可以通過若干次初等變換化成標(biāo)準(zhǔn)形20、矩陣的秩：(1) 定義：課本P63(2) 性質(zhì)：設(shè)A是mx n的矩陣，B是px q的矩陣，貝U 若k是

21、非零數(shù)，則R (kA)= R (A) R (A) = R (AT ) 等價(jià)矩陣有相同的秩，即若 A二B，則R (A) = R (B) 0W R (Amxn) min、m, n R (AB)min 8(A) , R(B) ? 設(shè)A與B都是mx n矩陣，則R (A+ B) w R (A)+ R (B)(3) n階方陣A可逆的充要條件是：A的秩等于其階數(shù)，即R (A) = n(4) 方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個初等矩陣的乘積。(證明：P67)(5) 設(shè)A是mx n矩陣.P、Q分別是 m階與n階可逆方陣，則R (A)= R (PA)= R (AQ)= R (PAQ) 學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集

22、于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考(6)例題：課本P64、課本P66、課本P71、作業(yè)P7第3題、作業(yè)P9全部21、矩陣的秩的一些定理、推論線代老師說這部分的內(nèi)容做了解即可。詳見課本P7022、線性方程組概念線性方程組是各個方程關(guān)于未知量均為一次的方程組。線性方程組經(jīng)過初等變換后不改變方程組的解。23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組(不含向量)(1) 定義：課本P81(2) 方程組的解集、方程組的通解、同解方程組：課本P81(3) 系數(shù)矩陣A、增廣矩陣A、矩陣式方程：課本P82(4) 矛盾方程組(方程組無解)：課本P85例題(5) 增廣矩陣的最簡階梯形：課本P87(6) 系數(shù)矩陣的最簡階梯形： 課本P87(7

23、) 課本P87下面有注明：交換列只是交換兩個未知量的位置，不改變方程組的解。為了方 便敘述，在解方程組時不用交換列。(8) 克萊姆法則： 初步認(rèn)知：a11a12a13D =a2ia22a23a31a32a33aiixi+ ai2x2+ ai3X3= b1已知三元線性方程組 a2ixi+ a22X2+ a23X3= b?，其系數(shù)行列式a3ixi+ a 32X2+ a33X3= b3D1D2D3X1 X2 ，X3 DDD當(dāng)D工0時，其解為:b1a12a13a11b1a13a11a12b1（其中D1 b2a22a23,D2 a21b2a23,D3 a21a22b2b3a32a33a31b3a33a3

24、1a32b3(Dn以此類推) 定義：課本P15 使用的兩個前提條件: 課本P18 例題：課本P3、課本P16-仃、課本P18、作業(yè)P3第7題學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考(9) 解非齊次線性方程組(方程組施行初等變換實(shí)際上就是對增廣矩陣施行初等行變換)例題:課本P26、課本P42、課本P82、課本P84、課本P85、課本P86第1大題、課本 P88、課本P91、作業(yè)P10第1題(10) 解齊次線性方程組例題： 課本P17、課本P18、課本P85、課本P86、課本P90、課本P91、作業(yè)P1第5題、作業(yè)P10第2題(11) n元非齊次線性方程組 AX= b的解的情況：(R (A)不可能R

25、(A )rR (A) V R (A )無解*V n有無窮多個解lR (A) = R (A ) 有解 V 尸n =有唯一解特別地，當(dāng)A是A工0 U有唯一解n階方陣時，可f R (A) V R (A )=無解由行列式來判斷 Ir (A)二R (A ) 有解當(dāng)A二0有無窮多個解 例題：課本P86第2大題、課本P88、課本P92、作業(yè)P11第三題(12) n元齊次線性方程組AX= O的解的情況：(只有零解和非零解兩種情況，有唯一解的充要條件是只有零解，有無窮多個解的充要條件是有非零解)R (A) = n只有零解(有唯一解，為 0)R (A) V n 有非零解(有無窮多個解)特別地，當(dāng)A是n階方陣| |

26、A工0 一 只有零解(有唯一解，為0)時，可由行列式來判斷A二0 = 有非零解(有無窮多個解)例題：課本P24、課本P90-91、作業(yè)P11全部24、行向量、列向量、零向量、負(fù)向量的概念詳見課本P92-93將列向量組的分量排成矩陣計(jì)算時，計(jì)算過程中只做行變換，不做列變換。學(xué)習(xí)資料線性方程組、向量涉及行變換；列變換只在矩學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考初等行變換與初等行列變換的使用情況：矩陣、陣中用。（行列式的性質(zhì)包括行與列的變換）手寫零向量時不必加箭頭25、線性方程組的向量形式詳見課本P9326、線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念詳見課本P93-94例題：課本P101第6大題、作業(yè)P14第五大題27、向量個

27、數(shù)大于向量維數(shù)的向量組 必然線性相關(guān)線代老師課上提到的結(jié)論。28、線性相關(guān)、線性無關(guān)；齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關(guān)系及其例題詳見課本P94定理3.3.1、定理3.3.2例題：課本 P94-95例3.3.2、課本P101第3大題、課 22本P101第5大題、作業(yè)P12第3小題、作業(yè)P12第二大題、作業(yè)P13第三大題、作業(yè)P13第四大題29、線性表示與線性組合的概念詳見課本P9530、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩這三者的關(guān)系其例題詳見課本P95-96定理3.3.3例題：課本P95-96例3.3.431、線性相關(guān)（無關(guān)）與線性表示的3個定理詳見課本P96定理3.3.4、課本P9

28、7定理3.3.5、課本P98定理3.3.632、最大線性無關(guān)組與向量組的秩學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考詳見課本P98-100定義3.3.5、定義3.3.6、定3.3.7單位列向量，即“只有一個元素為1,且其余元素都為0”的一列向量（求最大線性無關(guān)組 用）例題：課本P100例3.3.5、課本P101第4大題、作業(yè)P14第六大題33、線性方程組解的結(jié)構(gòu)看此內(nèi)容之前，最好先復(fù)習(xí)下“ n元非齊次線性方程組AX= b的解的情況”與“ n元齊次線性 方程組AX= O的解的情況”。（1） n元齊次線性方程組AX = O解的結(jié)構(gòu) 定理3.4.1:詳見課本P101-102 定義3.4.1 （并理解“基礎(chǔ)

29、解系、通解、結(jié)構(gòu)式通解、向量式通解”）：詳見課本P102 定理3.4.2:詳見課本P102 解題步驟（“注”為補(bǔ)充說明）（以課本P104例3.4.1為例）:1027-4(I) A =01-1-310 00000 0000注：往“行最簡形矩陣”方向轉(zhuǎn)化（因?yàn)樵诮夥匠探M時不用列變換，所以一般沒法真正轉(zhuǎn)化成行最簡形矩陣，所以說“往方向轉(zhuǎn)化”)0X1 = - 2x3 7x4 卜4x5（II ）得到同解方程組lX2 = X3 + 3X4 - X5* + 2x3-7x4 - 4X5 = 0注：由X2 _ X3 -3X4+ X5 = 0得到同解方程組(-2 、(-7、(4、13_ 1（|）二 此方程組的一組解向量為：匕1 =1，-2 =0，-3 =0010 0丿 0丿 :- 23，則顯然:-1 = OX I 2 + 0X3 ,00