2-1靜電場中的導(dǎo)體

1、一、金屬導(dǎo)體的靜電平衡 (electrostatic equilibrium) 通常的金屬導(dǎo)體都是以金屬鍵結(jié) 合的晶體，處于晶格結(jié)點(diǎn)上的原子很 容易失去外層的價(jià)電子，而成為正離 子。脫離原子核束縛的價(jià)電子可以在 整個(gè)金屬中自由運(yùn)動(dòng)，稱自由電子。 當(dāng)把導(dǎo)體放入靜電場E0中，導(dǎo)體中的自由電子 在外電場E0的作用下定向運(yùn)動(dòng)，并在導(dǎo)體一側(cè)集 結(jié)出現(xiàn)負(fù)電荷，而另一側(cè)出現(xiàn)正電荷，稱靜電感 應(yīng)現(xiàn)象。集結(jié)的電荷稱為感應(yīng)電荷。 2-1 靜電平衡 靜電感應(yīng)過程 E0 0 感外 EE 導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡 靜電平衡：導(dǎo)體內(nèi)部及表面均無電荷定向運(yùn)動(dòng)， 導(dǎo)體上電荷及空間電場分布達(dá)到穩(wěn)定。 條件： 0 0 0 表面 表面 內(nèi)

2、 EEE EEE 或 導(dǎo)體是等勢體 導(dǎo)體表面是等勢面。 2.2.導(dǎo)體的靜電平衡 導(dǎo)體上感應(yīng)電荷將對(duì)原來的外加電場施加影響，改 變其分布。 當(dāng)導(dǎo)體內(nèi)部和表面都無電荷定向 移動(dòng)的狀態(tài)稱為靜電平衡狀態(tài)。 1. 整個(gè)導(dǎo)體是等勢體，導(dǎo)體的表面是等勢面。 在導(dǎo)體內(nèi)部任取兩點(diǎn)P 和Q，它們之間的電勢差 可以表示為 0 0.EE E 外電場與自由電荷移動(dòng)后的附加場 之和 為總場強(qiáng) E 2.由于電場線與等勢面垂直，因此導(dǎo)體表面附近 的電場強(qiáng)度處處與表面垂直。 0E 0 E 0 E E d .0 Q pQ P VVElE 導(dǎo)體內(nèi) 。 3. 導(dǎo)體內(nèi)部不存在凈電荷，所有過剩電荷都分布在導(dǎo) 體表面上。 因?yàn)閷?dǎo)體內(nèi)部的電

3、場強(qiáng)度為零，上式積分為零， 所以導(dǎo)體內(nèi)部必定不存在凈電荷。 i i s qSE 0 1 d 在導(dǎo)體內(nèi)部任取一閉合曲面S，運(yùn)用高斯定理， 應(yīng)有 二、導(dǎo)體表面的電荷和電場 導(dǎo)體表面電荷的分布與導(dǎo)體本身的形狀以及附近 帶電體的狀況等多種因素有關(guān)。大致的規(guī)律為：在 導(dǎo)體表面凸起部尤其是尖端處，面電荷密度較大； 表面平坦處，面電荷密度較??；表面凹陷處，面電 荷密度很小，甚至為零。 在帶電導(dǎo)體表面任取一面元 S，可認(rèn)為其電荷面密度 為均勻分布。包圍 S作一圓柱狀閉合面，使其上、下 底面與導(dǎo)體表面平行。通過整個(gè)圓柱狀閉合面的電通量 等于通過圓柱上底面的電通量。 上式表示，帶電導(dǎo)體表面附近的電場強(qiáng)度大小與 該

4、處面電荷密度成正比。 S 根據(jù)高斯定理，有 SESEd= = 0 S SE 0 E 金屬針上的電荷形成的“電風(fēng)” 會(huì)將蠟燭的火焰吹向一邊，這就 是尖端放電現(xiàn)象。 三、空腔導(dǎo)體 1.內(nèi)表面上不存在凈電荷，所有凈 電荷都只分布在外表面。 2.空腔內(nèi)部電場強(qiáng)度為零，即它們是等電勢。 可能有兩種情形，第一種情形是等 量異號(hào)電荷宏觀上相分離，并處于內(nèi) 表面的不同位置上，與靜電平衡條件 相矛盾。因此只能是第二種情形，即 內(nèi)表面上處處電量為零。 腔內(nèi)若存在電場，則電場線只能在腔內(nèi)空間閉合，而靜 電場的環(huán)路定理已經(jīng)表明其電場線不可能是閉合線，所以 整個(gè)腔內(nèi)不可能存在電場，電勢梯度為零。即電勢處處相 等并等于導(dǎo)

5、體的電勢。 若金屬空腔導(dǎo)體內(nèi)部有帶電體, 由高斯定理可得: q q S 說明空腔內(nèi)表面所帶總電量與空腔內(nèi)帶電體的電量 相等、符號(hào)相反。導(dǎo)體空腔是等勢體，腔內(nèi)場強(qiáng)不 為零，不是等電勢區(qū)間。 0d 0 i s q SE 在導(dǎo)體內(nèi)： 0 d i s q SE 在空腔內(nèi)： 利用導(dǎo)體靜電平衡的性質(zhì)，使導(dǎo)體空腔內(nèi)部空 間不受腔外電荷和電場的影響，或者將導(dǎo)體空腔 接地，使腔外空間免受腔內(nèi)電荷和電場影響，這 類操作都稱為靜電屏蔽。無線電技術(shù)中有廣泛應(yīng) 用，例如，常把測量儀器或整個(gè)實(shí)驗(yàn)室用金屬殼 或金屬網(wǎng)罩起來，使測量免受外部電場的影響。 四、導(dǎo)體靜電平衡性質(zhì)的應(yīng)用 q q -q q -q 1.靜電屏蔽 (el

6、ectrostatic shielding) 靜電屏蔽的應(yīng)用 精密電磁儀器金屬外罩使儀器免受外電場干擾。 高壓設(shè)備金屬外罩避免其 電場對(duì)外界產(chǎn)生影響。 電磁信號(hào)傳輸線外罩金屬 絲編制屏蔽層免受外界影 響。 高壓帶電作業(yè)中工人師傅 穿的金屬絲編制的屏蔽服 使其能夠安全地實(shí)施等電 勢高壓操作。 法拉第對(duì)800 800千伏火 花放電的屏蔽實(shí)驗(yàn) 右圖是場致發(fā)射顯微鏡的原理圖。 在真空玻璃泡內(nèi)充以少量氦氣并在 中心放置被測試金屬針，泡的內(nèi)壁 涂敷熒光導(dǎo)電膜。若在金屬針與熒 光導(dǎo)電膜之間有很大的電勢差，泡 內(nèi)上部空間會(huì)產(chǎn)生輻射狀的電場。 氦分子在尖端處被電離成氦離子并 沿輻射狀電場線射向熒光導(dǎo)電膜。 于是

7、就在膜上產(chǎn)生一個(gè)熒光點(diǎn)，它 就是該氦離子與金屬尖端相碰的那 個(gè)金屬原子的“像”。利用熒光膜 上的光點(diǎn)將描繪出金屬針尖端表面 的原子分布圖像。 2. 場致發(fā)射顯微鏡 這種起電機(jī)是利用導(dǎo)體空腔所 帶電荷總是分布在外表面的原 理做成的。右圖是范德格拉夫 靜電高壓起電機(jī)的示意圖，起 電機(jī)工作時(shí)A的電勢可達(dá)2 106 V。這種裝置是靜電加速器的 關(guān)鍵部件，主要用于加速帶電 粒子以進(jìn)行核反應(yīng)實(shí)驗(yàn)，也用 于離子注入技術(shù)以制備半導(dǎo)體 器件。 3. 范德格拉夫靜電高壓起電機(jī) 4. 庫侖平方反比律的精確證明 由于庫侖定律是電磁理論的基本規(guī)律之一，另 外，庫侖定律是否為嚴(yán)格的平方反比律，即在下 式中 是否嚴(yán)格等于零

8、，是與一系列重大物理問 題相聯(lián)系的 在證明高斯定理時(shí)我們已經(jīng)看到，高斯定理的成立是由 于庫侖定律滿足平方反比律，即 = 0；而處于靜電平衡的 金屬導(dǎo)體內(nèi)部不存在凈電荷的結(jié)論，是高斯定理的直接結(jié) 果。試設(shè)想，庫侖平方反比律不嚴(yán)格成立，高斯定理就不 存在，處于靜電平衡的金屬導(dǎo)體內(nèi)部就可能存在凈電荷。 所以，用實(shí)驗(yàn)方法測量導(dǎo)體內(nèi)部不存在凈電荷，可以精確 地驗(yàn)證庫侖平方反比律。 F r 1 2 有導(dǎo)體存在時(shí)靜電場場量的計(jì)算 原則: 1.靜電平衡的條件 2.基本性質(zhì)方程 3.電荷守恒定律 0 內(nèi) Ecor 0 i i S q sE d L lE0 d i i Q.const 例題1 1 兩個(gè)半徑分別為R

9、和r 的球形導(dǎo)體（Rr），用一 根很長的細(xì)導(dǎo)線連接起來（如圖），使這個(gè)導(dǎo)體 組帶電，電勢為V，求兩球表面電荷面密度與曲率的 關(guān)系。 Q 解：兩個(gè)導(dǎo)體所組成的整體可看成是一個(gè)孤立導(dǎo)體系， 在靜電平衡時(shí)有一定的電勢值。設(shè)這兩個(gè)球相距很遠(yuǎn)， 使每個(gè)球面上的電荷分布在另一球所激發(fā)的電場可忽略 不計(jì)。細(xì)線的作用是使兩球保持等電勢。因此，每個(gè)球 又可近似的看作為孤立導(dǎo)體， r q R Q V 00 4 1 4 1 r R q Q 可見大球所帶電荷量Q比小球所帶電量q多。 兩球的電荷密度分別為 2 4 , 2 4r q R Q rR 對(duì)孤立導(dǎo)體可見電荷面密度和半 徑成反比，即曲率半徑愈?。ɑ?曲率愈大），電

10、荷面密度愈大。 在兩球表面上的電荷分布各自都是均勻的。設(shè)大球所 帶電荷量為Q，小球所帶電荷量為q，則兩球的電勢為 尖端放電現(xiàn)象 在導(dǎo)體的尖端附近, ,由于場強(qiáng)很大, ,當(dāng)達(dá)到一定量值時(shí), , 空氣中原留有的離子在這個(gè)電場作用下將發(fā)生激烈的 運(yùn)動(dòng), ,并獲得足夠大的動(dòng)能與空氣分子碰撞而產(chǎn)生大量 的離子, ,其中和導(dǎo)體上電荷異號(hào)的離子, ,被吸收到尖端 上, ,與導(dǎo)體上的電荷相中和, ,而和導(dǎo)體上電荷同性的離 子, ,則被排斥而離開尖端, ,作加速運(yùn)動(dòng)，這使得空氣被 “擊穿”而產(chǎn)生的放電現(xiàn)象稱為尖端放電現(xiàn)象。 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

11、+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 由于尖端放 電產(chǎn)生的“ 電風(fēng)” + + + + + + 尖端放電原理的應(yīng)用 在高壓設(shè)備中，為了防止因尖端放電而引起的危險(xiǎn) 和漏電造成的損失, 具有高電壓的零部件的表面必須 做得十分光滑并盡可能做成球面。 避雷針：利用尖端放電使建 筑物避免“雷擊”的。 電暈現(xiàn)象 靜電噴漆 例題2.2.（1 1）如果人體感應(yīng)出1 1C C的電荷，試以最簡單的 模型估計(jì)人體的電勢可達(dá)多少？ （2 2）在干燥的天氣里，空氣的擊穿電場強(qiáng)度為3 3MV/m， 當(dāng)人手指接近門上的金屬門把手時(shí)可能產(chǎn)生的電火花有多 長？ 解： 把人體看

12、作半徑1 1m的球體，于是人的電勢為 3 0 109 4 R q V V 火花放電長度為 3 E V d m 例3： 兩塊導(dǎo)體平板平行并相對(duì)放置，所帶電量分 別為Q和Q ，如果兩塊導(dǎo)體板的面積都是S，且視 為無限大平板，試求這四個(gè)面上的面電荷密度。 解：設(shè)四個(gè)面的面電荷密度分別為 1、 2、 3和 4，空間任一點(diǎn)的場強(qiáng)都是由 四個(gè)面的電荷共同提供的。由高斯定理， 各面上的電荷所提供的場強(qiáng)都是 i / 2 0。 另外，由于導(dǎo)體內(nèi)部的合成場強(qiáng)為零。 若取向右為正方向，則處于導(dǎo)體內(nèi)部的 點(diǎn)A和點(diǎn)B的場強(qiáng)可以表示為 1 4 3 2 QQ A E B E E A 1 2 0 0 1234 () EB 1

13、 2 0 0 1234 () 根據(jù)已知條件 S ( 1 2 ) = Q S ( 3 4 ) = Q . 可解得 上式表明兩塊無限大的導(dǎo)體平板，相對(duì)的內(nèi)側(cè)表面上面 電荷密度大小相等、符號(hào)相反，相反的外側(cè)表面上面電 荷密度大小相等、符號(hào)相同。如果 Q = Q ，可以求出： S 1 4 3 2 E Q Q 14 2 ()QQ S 23 2 ()QQ S 1423 0 , Q S 例4面電荷密度為 0的無限大均勻帶電平 板旁有一無限大的原不帶電的導(dǎo)體平板， 求導(dǎo)體板兩表面的面電荷密度。 E0 E2 E1 0 1 2 解：設(shè)導(dǎo)體兩表面的面電荷密度分別為 1、 2 (在未求出結(jié)果之前， 1、 2 均看作正

14、) 0 2 0 + 1 2 0 - 2 2 0 = 0 0 2 1 = - - 0 2 2 = 由電荷守恒有 1 + 2 = 0 (1) 由導(dǎo)體內(nèi)場強(qiáng)為零有 E0 +E1 - E2 = 0 1 - 2 = - 0 (2) 可得 0 - 0 0 0 - 0/2 0 0 0 0/2 思考：如果導(dǎo)體板接地，下面結(jié)果正確嗎？ 接地：意味著“導(dǎo)體電勢為零”， 不意味 著“電荷一定全跑光”。 正確結(jié)果 2211 dEdE 2 0 2 1 0 1 dd qS )( 21 25 2 100 . 1 3 2 mC S q 26 1 22 1 100 . 5 mC d d CqB 7 100 . 1 CqC 7

15、100 . 2 VUA 3 103 . 2 例. .金屬板A A、B B、C C面積200cm200cm2 2，A A板帶正電3.03.0 1010-7 -7庫侖，略去邊緣效應(yīng)，問B B和C C上電荷各是多少？ 地電位為零，A A電位是多少？ 解： 例5 有一外半徑R1，內(nèi)半徑為R2的金屬球殼。在球殼 中放一半徑為R3的金屬球，球殼和球均帶有10-8C的正 電荷。問：（1）兩球電荷分布；（2）球心的電勢； （3）球殼電勢。 0 3 E （r R3 ） 2 0 2 4r q E （R3 r R2 ） （1）電荷+q分布在內(nèi)球表面。 球殼內(nèi)表面帶電荷 -q。 球殼外表面帶電荷 2q。 0 1 E（

16、R2 r R1 ） R3 R2 R1 （2） 32 3 1 21 00 d RR R R RR O lEV 1 2 31 2 3 2 0 2 0 02 4 d2 4 d dd R R RR R R O r rq r rq rErEV 123010230 211 44 211 4RRR q R q RR q （3） 1 1 2 001 22 44 R qq Vr rR d 1 1 2 001 22 44 R qq Vr rR d 例6導(dǎo)體球A(帶電q)與導(dǎo)體球殼B(帶電量 Q)同心。求 (1)各表面電荷分布； (2)A的電勢UA； (3)將B接地，各表面電荷分布； (4)將B的地線拆掉后，再將A

17、接地，此時(shí)各表面電荷 分布。 Q Q+ q 高斯面 B q -q R1 R 2 R3 A 解：(1)各表面電荷分布 利用高斯定理,在B上選高斯面如 圖，導(dǎo)體內(nèi)E=0, 等式右端等于0, 所以 B內(nèi)表面電荷為 q. B內(nèi)外表面電荷之和為Q， 由電 荷守恒， B外表面電荷為Q +q. A Q+q-q q UA= q 4 0R1 + -q 4 0R2 Q+q 4 0R3 + UA= A E dl 在B上選高斯面如圖，知 B內(nèi)表面電荷為 -q B內(nèi)外表面電荷之和為Q， 由電荷守恒， B外表面電荷為Q +q 方法二：由電勢疊加法 導(dǎo)體組可看成三層均勻帶電球面 由均勻帶電球面的電勢結(jié)果可得， (2)A的電

18、勢UA方法一：由場強(qiáng)積分法 （自己算） B A q -q B -q+q Aq -q (3)將B接地，各表面電荷分布 (4)將B的地線拆掉后，再將A接地，此時(shí) 各表面電荷分布 A接地后，電荷不再為q，設(shè)為 q (待求) , A球電勢等于0, 同樣 由高斯定理, B內(nèi)表面為- q , 所以: B內(nèi)表面電荷為 q, 外表面電 荷為零. 1 2 010 00 44 R Q qQ q rQ q Rr d 只有： 由電荷守恒, B內(nèi)表面為- q ，則外表面為 -q +q 由電勢疊加有 UA= q 4 0R1 + -q 4 0R2 -q+q 4 0R3 = 0+ 應(yīng)可得 q ( q) (略) 補(bǔ)例題6 6

19、在內(nèi)外半徑分別為R1 1和R2 2的導(dǎo)體球殼內(nèi)， 有一個(gè)半徑為r的導(dǎo)體小球，小球與球殼同心，讓小球 與球殼分別帶上電荷量q和Q。試求： （1 1）小球的電勢Vr，球殼內(nèi)、外表面的電勢； （2 2）小球與球殼的電勢差； （3 3）若球殼接地，再求小球與球殼的電勢差。 1 R 2 R r 解：（1）由對(duì)稱性可以肯定，小球表面上和球殼 內(nèi)外表面上的電荷分布是均勻的。小球上的電荷q 將在球殼的內(nèi)外表面上感應(yīng)出q和q的電荷，而 Q只能分布在球殼的外表面上，故球殼外表面上的 總電荷量為q+Q。 小球和球殼內(nèi)外表面的電勢分別為 210 4 1 R Qq R q r q Vr 202110 44 1 1 R

20、Qq R Qq R q R q VR 202220 44 1 2 R Qq R Qq R q R q VR 10 11 4Rr q VV Rr 球殼內(nèi)外表面的電勢相等。 （3）若外球殼接地，則球殼外表面上的電荷消失。 兩球的電勢分別為 （2）兩球的電勢差為 10 11 4Rr q Vr 0 21 RR VV 10 11 4Rr q VV Rr 兩球的電勢差仍為 由結(jié)果可以看出，不管外球殼接地與否，兩 球的電勢差恒保持不變。當(dāng)q為正值時(shí)，小球的電 勢高于球殼；當(dāng)q為負(fù)值時(shí)，小球的電勢低于球殼, 與小球在殼內(nèi)的位置無關(guān)，如果兩球用導(dǎo)線相連 或小球與球殼相接觸，則不論q是正是負(fù)，也不管 球殼是否帶電

21、，電荷q總是全部遷移到球殼的外邊 面上，直到VrVR=0為止。 例7 接地導(dǎo)體球附近有一點(diǎn)電荷q,如圖所示。 求:導(dǎo)體上感應(yīng)電荷的電量 解:接地 即 設(shè):感應(yīng)電量為Q 由導(dǎo)體是個(gè)等勢體 知 o點(diǎn)的電勢為0 由電勢疊 加原理有關(guān)系式： 0 44 00 l q R Q q l R Q 0 q R o l 例題8 8 靜電除塵器由半徑為ra a的金屬圓筒( (陽極) )和半 徑為rb b 的同軸圓細(xì)線( (陰極) )。如果空氣在一般情況下 的擊穿電場強(qiáng)度為3.0MV/m, ,試提出一個(gè)靜電除塵器圓 筒和中心線粗細(xì)的設(shè)計(jì)方案。 灰塵出口 解: : 中心軸線帶電后, ,距中心 軸r處的電場強(qiáng)度 r E

22、0 2 a b d r r rEU 這里 是中心軸線上的電荷線 密度。中心軸線與金屬圓筒間 的電勢差為 a b d 2 0 r r r r b a 0 ln 2r r 上面兩式相除消去 , ,有 b a ln r r r U E 上式說明中心軸線與金屬圓筒間加上電勢差U后, ,在 圓筒內(nèi)的電場隨r迅速減小。中心軸線處電場最強(qiáng), ,靠 近外圓筒處最弱. .在所加電壓和某點(diǎn)場強(qiáng)( (如: :筒內(nèi)表 面附近為3.03.0MV/m) )已知情況下, ,利用上面場強(qiáng)公式 原則上可以算出所需筒與線的尺寸。但這是一超越 方程, ,一般用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值求解。 求:1)點(diǎn)電荷一側(cè)的場的分布 2)導(dǎo)體表面的感應(yīng)電

23、荷面密度 域內(nèi)解惟一 導(dǎo)體板上感應(yīng)電荷的總量 例9* 無限大接地導(dǎo)體平板附近有一點(diǎn)電荷q 鏡像 電荷 q qQ a 鏡象電荷與原電荷產(chǎn)生的 合場滿足同樣的邊界條件 q a 解： 原電荷 q a 0U 222222 0 11 4 ()() q U xyz axyz a qq UUU 1)求場量 1 r P 2 r y z q q a a o z0 2010 44r q r q z U E z 3 2 3 10 4r az r azq 2)平板上電荷面密度： z E 0 2 3 222 2ayx qa 3 2 3 10 11 4rr qy y U E y x U E x 3 2 3 10 11 4

24、rr qx 0z + + + + + + 一 靜電感應(yīng) 靜電平衡條件 感應(yīng)電荷 + + + + 0 E 0 0 EEE 0 E + + + + + + + + E 0 E 0E 導(dǎo)體內(nèi)電場強(qiáng)度外電場強(qiáng)度感應(yīng)電荷電場強(qiáng)度 + + + + + + 導(dǎo)體是等勢體 n e e 靜電平衡條件 （1 1）導(dǎo)體內(nèi)部任何一點(diǎn)處的電場強(qiáng)度為零； （2 2）導(dǎo)體表面處的電場強(qiáng)度的方向, ,都與導(dǎo)體表面垂直. . E l d 導(dǎo)體表面是等勢面 0d lEU 導(dǎo)體內(nèi)部電勢相等 0d AB AB lEU lE d A B 二 靜電平衡時(shí)導(dǎo)體上電荷的分布 + + + + + + + + + + 結(jié)論 導(dǎo)體內(nèi)部無電荷 0 0d q SE S 00d i S qSE， 0E 1實(shí)心導(dǎo)體 2 2有空腔導(dǎo)體 0 q S 空腔內(nèi)無電荷 S 電荷分布在表面上 內(nèi)表面上有電荷嗎？ 0d lEU AB AB 若內(nèi)表面帶電 所以內(nèi)表面不帶電 S + +- - AB 結(jié)論 電荷分布在外表面上（內(nèi)表面無電荷） + + + + + + + + + 矛盾 0d i S qSE