高數(shù)—12暑—02—不等式的性質(zhì)及一元二次不等式—韋嬌龍-教師版

1、專業(yè) 引領(lǐng) 共成長高三數(shù)學(xué)暑假班（教師版）教師日期學(xué)生課程編號課型課題不等式性質(zhì)及一元二次不等式教學(xué)目標1理解不等式的性質(zhì)和判斷不等式關(guān)系，并能加以證明；2掌握比較法、綜合法和分析法證明不等式的基本思路和表示；3理解一元二次不等式、一元二次方程和二次函數(shù)之間的關(guān)聯(lián)。教學(xué)重點1. 理解并掌握不等式的基本性質(zhì)，能夠靈活運用不等式的基本性質(zhì)判斷命題的真假或證明命題；2. 對含參數(shù)不等式恒成立問題形成初步的思路，為后期的綜合運用打好基礎(chǔ)；3. 掌握解含參數(shù)的一元二次不等式，會進行分類。教學(xué)安排版塊時長1例題解析502鞏固訓(xùn)練403師生總結(jié)104課后練習(xí)20高三數(shù)學(xué)暑假課程不等式性質(zhì)及一元二次不等式 （

2、 教師版）1 / 39專業(yè) 引領(lǐng) 共成長知識梳理、不等式的基本性質(zhì)1、不等式的基本性質(zhì)（ 1）不等式的基本性質(zhì) 1 如果 a b,b c，那么 a c ，此性質(zhì)稱為不等式的 傳遞性（ 2）不等式的基本性質(zhì) 2如果 a b，那么 a c b c ，此性質(zhì)稱為不等式的 加法性質(zhì)（ 3）不等式的基本性質(zhì) 3乘法性質(zhì)如果 a b,c 0，那么 ac bc ，如果 a b,c 0，那么 ac bc .此性質(zhì)稱為不等式的2、其他性質(zhì)4）ab，cdac b d （同向相加性） ；5）ab0，cd0 ac bd （同向相乘性，特別注意符號限制，需滿足正號）6）ab0，n* N*an bn （可乘方性，特別注意

3、符號限制，需滿足正號）7）ab0，n* N*na nb （可開方性，特別注意符號限制，需滿足正號）8）ab0011（可倒性，特別注意符號性質(zhì)，需滿足正號）ab3、不等式的證明方法：1. 比較法其步驟是：（1）求差比較法 要證 a b，只需證 a b 0 ；要證 a b ，只需證 a b 0 作差 變形 判斷（與零比較） 高三數(shù)學(xué)暑假課程不等式性質(zhì)及一元二次不等式 （ 教師版）2/ 39高三數(shù)學(xué)暑假課程不等式性質(zhì)及一元二次不等式 （ 教師版）3/ 39專業(yè) 引領(lǐng) 共成長aa（ 2）求商比較法 要證 a b，而b 0，只需證1；要證 a b，而 b 0，只需證1其bb 步驟是：作商（除式分母大于零

4、） 變形 判斷（與 1 比較）2. 綜合法 利用某些已經(jīng)證明過的不等式作為基礎(chǔ)，再運用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要求證的不等式，這種 由因?qū)Ч淖C明方法叫做綜合法3. 分析法 肯定待證的不等式成立，逆推到與已知條件或基本不等式相符合，這一系列的不等式中后者總 是前者的充分條件這種由果索因的證明方法叫做分析法，又稱逆證法元二次不等式1. 什么是一元二次不等式？ 含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的整式不等式，其一般形式是：ax2 bx c 0或 ax2 bx c 02. 怎樣解一元二次不等式？2在研究一元二次不等式的情況時， 我們只要研究 ax2 bx c （0 a 0） 的解的情況。 教材

5、中是從2因式分解的角度求 ax2 bx c （0a 0） 的解集，還可以用配方法以及考察2ax2 bx c 0（a 0） 函數(shù)圖形的方法來解不等式000二次函數(shù)y ax 2 bx cy ax2 bx cy ax2 bx cy ax2 bx c ( a 0 )的圖 象一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根有兩 相 異實 根 x1 , x2 ( x1 x2)有兩相等實根 bx1 x21 2 2a無實根ax2 bx c 0 (a 0)的解集xx x1或 x x2bxx2aRax2 bx c 0 (a 0)的解集xx1 x x2專業(yè)引領(lǐng)共成長1、不等式的性質(zhì)【例 1】判斷下列各題是否正確？正

6、確的打“” ，錯誤的打“”（1）不等式兩邊同時乘以一個整數(shù)，不等號方向不變.（ ）（2）如果 ab，那么 32a32b.（ ）（3）如果 a是有理數(shù)，那么 8a 5a（ ）22（4）如果 ab，那么 a2 a.（ ）22（6）如果 ab，那么 a c2b c2.（ ）（7）如果 x8，那么 x8.（ ）（8）若 ab，則 acb c（ ）【難度】【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）當(dāng) c0時， ac2 bc2 ；（7） 由不等式的基本性質(zhì) 3應(yīng)有 x0,又 bc ad 0,得 ac 0a c ac若以（ 1） （3）為條件，（2）為結(jié)論，則由 ac 0 ，在不等式 b d 兩邊同乘 a

7、c，得到 bcad， ac所以該命題成立（3）若以（ 2）（3）為條件，（1）為結(jié)論，則在不等式兩邊同乘1 ，即得 b d ，所以該命題是真命ac a c題。高三數(shù)學(xué)暑假課程不等式性質(zhì)及一元二次不等式 （教師版）4/ 39專業(yè) 引領(lǐng) 共成長1例 3】已知 a b ， aab 1同時成立，則 ab 應(yīng)滿足的條件是 b難度】答案】 ab0或ab-111解析】解： (a ) (b )ab(a b)(ab 1)ab由ab知 (ab 1)ab0，從而 ab(ab 1) 0， ab 0 或ab1。11【例 4】設(shè) a和 b都是非零實數(shù)，求不等式 a b 和 同時成立的充要條件ab【難度】1 11 1【答案

8、】解：先求 a b ，同時成立的必要條件，即當(dāng) a b ， 同時成立時， a 與 b 應(yīng)a ba b具備什么條件a b,a b 0,由 1 1 ，得 b a0.a b ab由 a bba0 可知 b a 0 ，再由 0 知 ab0 ，即 a 與 b 異號，因此 a0 b 是不等ab式ab 與 11同時成立的必要條件ab再求 ab，11同時成立的充分條件ab事實上，當(dāng)a110 b 時，必有 a b，且 1 0, 10 ，因而 11成立從而a 0 b 是不abab等式a b ，11同時成立的充分條件ab因此，兩個不等式a b ，11同時成立的充要條件是 a 0 bab例 5】若1ab2，則3ab

9、的取值范圍是難度】答案】( 5,4)例 6】已知 1 x y 1,1 x y 3 ，求 3x y 的取值范圍。 難度】答案】 1,7高三數(shù)學(xué)暑假課程 不等式性質(zhì)及一元二次不等式 ( 教師版)5/ 39專業(yè) 引領(lǐng) 共成長解析】解： 3x y 1*( x y) 2*( x y)根據(jù)已知條件： 1 1*2 3x y 1 2*3,1 3x y 7所以 3x y 的取值范圍是 1,7例 7】已知 a b c ，且 a0，求 c 的取值范圍。 a答案】(-2，-2解析】解：由已知條件，顯然0,cQ b c,a 2c a b0,Q a0, caQ a b,2a c a b0,c2a,Q0,綜上所述c 的取值

10、范圍是 a2，例 8】已知函數(shù) f (x)2axbx(a0)滿足1f ( 1)2，f (1)5，求 f ( 3)的取值范圍。難度】 答案】12,27解析】解：由習(xí)已知得：ab2,2 a設(shè)：f ( 3) 9a 3bm(a b)n(a b)n9n3f ( 3) 6* f ( 1)3*f(1),12f ( 3)27所以 f ( 3) 的取值范圍是12,27例 9】設(shè)x 3 ,5 y8 ，求 x的取值范圍 .高三數(shù)學(xué)暑假課程不等式性質(zhì)及一元二次不等式(教師版)6/ 39例 10】設(shè) ab 0 c d， nN* ，比較nnc 與 d 的大小 ab專業(yè) 引領(lǐng) 共成長【答案】 5y88y 5 ，由不等式的可

11、加性得：7 x y 25 y 81111x，由不等式的可乘性得：3.8y58y5難度】11答案】因為 已知 a, b是互不相等的正數(shù)，求證：a2b2 1 0 ba1d1 0， d c，所以 d abn當(dāng) n 為偶數(shù)時， dbnn c ；當(dāng) n 為奇數(shù)時， d ab11】（ 1）設(shè)R，比較x3 8x與 5x24的大?。?）1； b3）已知 a b 0，求證： aabb abba 難度】答案】（ 1）提示：作差比較； （ 2）作差比較； （ 3）作商比較例 12】已知 a、b、c 是ABC的三邊，S 是其面積，試比較 c2 a2b2 4ab 與 4 3S 的大小難度】答案】略例 13】已知 xy,

12、 xy 1 ，試比較x2 y2 與 xy的大小難度】答案】（作差法）(x2y2) (x y)(x y)(x y1） ，因為 x yxy0， x y 1高三數(shù)學(xué)暑假課程不等式性質(zhì)及一元二次不等式 （ 教師版）7/ 39專業(yè) 引領(lǐng) 共成長所以 （x2y2)(x y)0 ，即 x22y x y.作商法）2y2 x xyy 1 ，又y x y 0，所以x2 y2 x y例 14】已知 a 0,b0 ，且 a b1，求證： 2a 1 2b 1 2 2 難度】 答案】分析法或綜合法例 15】已知 0 a 2， 0 b 2，c 2 ，求證： a 2b ,bc ,c 2 a 不可能都大于 1.難度】 答案】反

13、證法鞏固訓(xùn)練】1若 a 0，則下列不等關(guān)系錯誤的是（A a 57aC.5 a 57難度】答案】 D2實數(shù) a、 b滿足 b a1ab 其中正確的個數(shù)為（ A. 3 個 B. 2a2 1 abC. 1abD. 0a b 則下列命題成立的是1a2bab 2 C1ab24對于實數(shù) a,b,c 中，給出下列命題：高三數(shù)學(xué)暑假課程不等式性質(zhì)及一元二次不等式（教師版）8/ 39答案】（3）（4）（5）對于命題（ 1）， c0 時錯誤；對于命題（ 2）， a4,b 3 時錯誤；對于命題（ 6），當(dāng) a 1,b2 時， b 無意義 .6若 11 ，則下面各式中恒成立的是（）專業(yè) 引領(lǐng) 共成長若ab,則ac 2

14、 bc 2； 若 ac2bc2,則ab；若ab220,則 a2 ab b2 ；若ab 0, 則 11ab若ab0,則b a ； ab 若 ab 0,則 ab；若cab 0, 則 a b ； 若 ab,1 1 ，則 a 0,b 0c a c b a b其中正確的命題是 難度】答案】5下列命題中正確的有 _（填序號）（1） ac bc a b；（2）2 ab2 a b ；（3）a2 b2 ab；11（4） a b 0 ；（5）ab a b（6）a b abab【難度】（ A） 20（ B） 2（ C） 10（ D） 1難度】答案】 A7 已知 , ，則 的取值范圍是 ， 2 的取值范圍 22是【難

15、度】3【答案】 , , 3 ,02 2 2高三數(shù)學(xué)暑假課程不等式性質(zhì)及一元二次不等式 （ 教師版）9/ 39專業(yè) 引領(lǐng) 共成長8 已知 4a c 1, 1 4a c 5 ，求 9a c 的取值范圍 .答案】設(shè) 9axc x(a c) y(4a c) ，則有4y，解得：8353所以易得： 19a c 20.9若二次函數(shù)f (x) 圖像關(guān)于y 軸對稱，且 1f (1)2，f (2)4 ，求f (3) 的范圍。難度】14 答案】 143f (3) 9解析】解：設(shè)f(x) ax2c(a0)。f(1)f(2)acf (2) f (1)4a c34f (1) f (2)f (3)9ac 3f (2)3f

16、(1)4f (1)3f (2)8f(2)5f (1)31f (1)2，3 f(2) 4，55f(1) 10， 248f (2)32， 148f (2)5f (1) 27，1438f(2) 5f (1)149，即 134 f(3)9。10若 0 2a 1， A 12a，2B 1 a2 ，C11a11 ，則 A、B、C、D 之間的大小 1a關(guān)系是【難度】答案】 D A B C11已知R ， a 2 sincos ， b22 sin cos，則 a與 b的大小關(guān)系答案】 a b高三數(shù)學(xué)暑假課程不等式性質(zhì)及一元二次不等式 ( 教師版)10 / 39專業(yè) 引領(lǐng) 共成長12 a a 1與 a 2 a 3

17、的大小關(guān)系是【難度】【答案】 a a 1 a 2 a 32、一元二次不等式例 16】不等式 6 x 2x2 0 的解集是 （Ax| 3 x 22Cx|x3或x22難度】答案】D例 17】設(shè)集合 M = x0 x 2 ， N=Ax0 x 1B x0 x 2難度】答案】B2 x10例 18】不等式組的解集是（2x3x 0Ax 1x 1Cx0x13B x| 2 x 323Dx|x 2或x 22x x2 2x 30 ，則有 M N()C x 0 x 1D x 0 x 2)Bx 0 x Dx1x 0所以方程 x2 5x 0 的兩個實數(shù)根為： x1 0，x2 5函數(shù) y x2 5x 的簡圖為：因而不等式

18、x2 5x0的解集是 . x 0 x5方法二：高三數(shù)學(xué)暑假課程不等式性質(zhì)及一元二次不等式（教師版）13 / 39專業(yè) 引領(lǐng) 共成長因為 x2 5x0 x(x 5)0 或 x0x 50x0x0解得 或，即 0x5 或 x.x5因而不等式 x2 5x0 的解集是 x 0x0 .因為 0，方程 x2 -4 x+5=0無實數(shù)解，高三數(shù)學(xué)暑假課程 不等式性質(zhì)及一元二次不等式 （ 教師版）14 / 39專業(yè) 引領(lǐng) 共成長函數(shù) y x2-4x+5的簡圖為：所以不等式 -x2+4x-50 的解集是所以原不等式的解集是 .方法二： -x2+4x-5=-(x-2)-1 -10；(2)3x26x20(3)4x2 4

19、x1 0 ；(4)2 x2x30 .難度】答案：見解析】解析】解： （1）方法一：因為2( 3)2 4 2( 2)2250 2x2 3x 2=021方程 2x2 3x 2=0 的兩個實數(shù)根為： x1，x2 22函數(shù) y 2x2 3x 2 的簡圖為：高三數(shù)學(xué)暑假課程不等式性質(zhì)及一元二次不等式 （ 教師版）15 / 39專業(yè) 引領(lǐng) 共成長1x x 2233，x2因而不等式 2x2 3x 20 的解集是：方法二：原不等式等價于 （2x 1）（x 2）01 原不等式的解集是： x x 222）整理，原式可化為 3x2 6x 20,2方程 3x2 6x 2=0 的解 x1 1 函數(shù) y 3x2 6x 2

20、 的簡圖為：所以不等式的解集是 （13 ，1 3）.333）方法一：高三數(shù)學(xué)暑假課程不等式性質(zhì)及一元二次不等式 （ 教師版）16 / 3921 方程 4x2 4x 1 0 有兩個相等的實根： x1 x2，2 由函數(shù) y 4x2 4x 1的圖象為：原不等式的的解集是 .2方法二： 原不等式等價于： （2x 1）2 0,原不等式的的解集是4）方法一：因為 0，方程 x2 2x 3 0 無實數(shù)解，2由函數(shù) y x2 2x 3 的簡圖為：原不等式的解集是方法高三數(shù)學(xué)暑假課程不等式性質(zhì)及一元二次不等式 （ 教師版）17 / 39專業(yè) 引領(lǐng) 共成長x2 2x 3 (x 1)2 2 20， 原不等式解集為

21、.例 21】解不等式： 6 x2 x 6 6難度】 答案：見解析】 解析】解：原不等式可化為不等式組x 120 ，即 (x 4)(x 3)0x 0 x(x 1) 022x2 x 66 ，即 x26 x2 x 6x2原不等式的解集為x 3x 0或1 x4例 22】不等式 ax2 bx 2 0 的解集為x 1 x 2 ，求a與b的值難度】 答案：見解析】解析】解法一：設(shè) ax2 bx 2bx1 x2a 由題意：2x1 x2aa 1 ， b1，此時滿足 a解法二：構(gòu)造解集為0 的兩根為 x1 ， x2 ，由韋達定理得：b12a212a20 ，b2 4a ( 2) 0x 1 x 2 的一元二次不等式：

22、2(x 1)(x 2) 0 ，即 x2 x 20 ，此不等式與原不等式2ax2 bx 2 0 應(yīng)為同解不等式，故需滿足： a b 2a 1， b 11121例 23】已知一個一元二次不等式的解集為 x|- 1 x3.221) 若關(guān)于 x的一元二次不等式為 ax2 bx 3 0，求 a、 b 的值。2) 若 關(guān) 于 x 的 一 元 二 次 不 等 式 為 ax2 bx c 0 ， 求 關(guān) 于 x 的 一 元 二 次 不 等 式2cx2 bx a 0 的解集。難度】 答案：見解析】 解析】解：高三數(shù)學(xué)暑假課程不等式性質(zhì)及一元二次不等式 ( 教師版)18 / 39專業(yè) 引領(lǐng) 共成長(1) 因 為 一

23、 元 二 次 不 等 式 為 ax2 bx 3 0 的 解 集 是x|- 1x 3，2所以a 0, 且 方 程2ax2 bx 3=0 的兩個實根是- 2和3，所以 3a1+321.32(2)因為一元二次不等式2axbx c 0的解集是 x|- 1 x25a232a ,所以，不等式2cx2 bx a 0 可轉(zhuǎn)換為因為a0,所以 32x+5 x-1 0，2使得不等式cx2bx例 24】已知不等式 ax2 bx c0 的解集是cx 2 bxa 0 的解集3，所以121.32,且 a0 恒成立的條件是 （ ）2A m2B m2C m2 D 0m2【難度】【答案】 D3已知關(guān)于 x 的不等式 ax2 b

24、xc 0的解集為x-1則不等式2-32cx bx a0 為 ( )A.2x3B -3x-2C - x-1D11 x2-332【難度】【答案】 A4若 ax2 bx 10 的解集為 x1 x02）2x2 2x 305 x24x難度】10 1 答案】（1） （2，130 1，12）；2) ( 5， 1)高三數(shù)學(xué)暑假課程不等式性質(zhì)及一元二次不等式 （ 教師版）21 / 39專業(yè) 引領(lǐng) 共成長7解下列不等式或不等式組。2(1) x2 4x 4 02(3) x2 8 4x22x2 3x 1 0(5) 212x2 17x 6 01 2 1(2) x2x 1 0322(4)1 x2 5x 7 35x2 6

25、4x(6) 2x2 2x 8 0難度】答案】（1）-2（4） （1,2） U （3,4）（2）3 57 3 ( , U457 ,4)（3）5）1 2 3 (1,2U3,1)2 3 4（6）x2,428若不等式 2x2 ax b 0 的解集為 （,1) (3,） ，求 a,b 值難度】答案】由題意可知： 不等式 2x2 axb 0 可變?yōu)?2(x 1)(x 3)0 ，展開后，即得： a8,b 6.9若 ax2 bx c 0 的解集是x|x2或x1，求關(guān)于 x 的不等式 ax2 bx c 0 的解集 .2【難度】【答案】由題意可知： a 0 ，b2(125， c 1a2a所以 b525a0a,c

26、a ，代入所求不等式中：axax22即 2x215x 2 0 ，故 x2.2高三數(shù)學(xué)暑假課程不等式性質(zhì)及一元二次不等式 （ 教師版）22 / 39專業(yè) 引領(lǐng) 共成長3、含參數(shù)的一元二次不等式(1) 對含參一元二次不等式常用的分類方法有三種：當(dāng) a 0 時，不等式為 2x 110, 解集為 x|x 12當(dāng) a 0 時 , 解集為x|a 2 a2 42aa 2 a2 42a按 x2 項的系數(shù) a 的符號分類，即 a 0,a 0,a 0;【例 25】解不等式：2ax a2 x 10【難度】【答案：見解析】【解析】解：2a24a a 240解得方程 ax2a2 x 10 兩根 xa2a2 4 a 2

27、a2 41, x22a2 2a當(dāng) a 0時, 解集為x|xa2a24或xa 2 a2 42a2a例 26】解不等式ax2 5ax6a 0 a 0難度】答案：見解析】解析】解 因為a 0 ，0Q a(x2 5x 6)a x 2x 3 0當(dāng)a 0時，解集為 x|x 2或x 3 ；當(dāng) a 0時，解集為 x |2 x 3例 27】若不等式 a2 1 x2 a 1 x 1 0對于一切實數(shù) x 都成立，求實數(shù) a 的取值范圍。 難度】答案：見解析】2解析】解：因為 (a2 1) 的符號不確定，所以分以下三個情況討論：高三數(shù)學(xué)暑假課程不等式性質(zhì)及一元二次不等式 ( 教師版)23 / 39專業(yè) 引領(lǐng) 共成長2

28、(1)當(dāng)a2 1 0(即 a 1)時，得 a 1；2(2) 當(dāng)a2 10(即 a1)時，不成立；(3)當(dāng) a2 10 (即 -1 a1)時， =(a 1)2 4(a2 1)( 1)0 ，對應(yīng)方程 x 2a (x 3a)0 的兩根為2a ；當(dāng)a 0時，即 2a3a ，x1 2a,x2 3a ，當(dāng)a0時，即2a0時2(x )(x 2) 0 a當(dāng) a=1時， (x 2)2 0， x|x R且x 2當(dāng) a 1時：若 a 1 ，2若 0 a1，則2，a則 2 2，ax|x2x|x或x 2a22或x a當(dāng) a0 時，x|2 x2 a當(dāng) a=0時， x|x 2【例 34】已知關(guān)于 x 的不等式 (kx k2 4)(x 4) 0 ，其中 k R.(1)當(dāng) k 變化時，試求不等式的解集 A；(2)對于不等式的解集 A，若滿足 AI Z B(其中 Z為整數(shù)集) . 試探究集合 B能否為有 限集？若能，求出使得集合 B 中元素個數(shù)最少的 k 的所有取值，并用列舉法表示集合 B ；若不能， 請說明理由 .【難度】 【答案：見解析】【解析】解： (1)當(dāng) k 0時， A ( ,4) ；4 當(dāng) k 0且