與空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算

1、與空間向量及其加減與數(shù)乘 運(yùn)算 與空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算 復(fù)習(xí)回顧：平面向量 1、定義： 既有大小又有方向的量。 幾何表示法:用有向線段表示 字母表示法： 用小寫字母表示，或者用表示向量的 有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示。 相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量 A B C D 與空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算 2、平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算 向量加法的三角形法則 a b 向量加法的平行四邊形法則 b a 向量減法的三角形法則 a b a b a b a (k0)k a (k0)k a (k0)k 空間向量的數(shù)乘 空間向量的加減法 與空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算 a b OA B b a 結(jié)論：空

2、間任意兩個(gè)向量都是共面向量，所以它們可用結(jié)論：空間任意兩個(gè)向量都是共面向量，所以它們可用 同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示。同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示。 因此凡是涉及空間任意兩個(gè)向量的問(wèn)題，平面向量中有因此凡是涉及空間任意兩個(gè)向量的問(wèn)題，平面向量中有 關(guān)結(jié)論仍適用于它們。關(guān)結(jié)論仍適用于它們。 與空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算 平面向量 概念 加法 減法 數(shù)乘 運(yùn)算 運(yùn) 算 律 定義 表示法 相等向量 減法:三角形法則 加法:三角形法則或 平行四邊形法則 空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算 空間向量 具有大小和方向的量 數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零 bkakbak )( )()(cbacba abba加法交

3、換律 加法結(jié)合律 數(shù)乘分配律 abba加法交換律 bkakbak )( 數(shù)乘分配律 加法:三角形法則或 平行四邊形法則 減法:三角形法則 數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零 加法結(jié)合律 成立嗎？ 與空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算 加法結(jié)合律： )()(cbacba a b c ab+ c + ( ) O A B C ab+ a b c ab+ c + ( ) O A B C bc+ 與空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算 推廣: （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量； nnn AAAAAAAAAA 11433221 （2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖 形，則它們的和

4、為零向量。 0 1433221 AAAAAAAA n 與空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算 例1：已知平行六面體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，化簡(jiǎn)下列向量 表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量。(如圖) AB CD A1B1 C1D1 1 1 1 2 1 )4( )( 3 1 )3( )2( )1 ( CCADAB AAADAB AAADAB BCAB 與空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算 AB CD AB CD A1B1 C1D1 AB C D a 平行六面體：平行四邊形ABCDABCD平移向量 到A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的軌跡所形成的幾何體. a 記做

5、ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 與空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算 例1：已知平行六面體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，化簡(jiǎn)下列向量 表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量。(如圖) AB CD A1B1 C1D1 G 1 1 1 2 1 )4( )( 3 1 )3( )2( )1 ( CCADAB AAADAB AAADAB BCAB ;)1 (ACBCAB解： 1111 )2(ACCCACAAACAAADAB M 始點(diǎn)相同的三個(gè)不共面向量之和，等于以這三個(gè)向量 為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所示向量 與空間向量及其加減與數(shù)

6、乘運(yùn)算 F1 F2 F1=10N F2=15N F3=15N F3 與空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算 例2：已知平行六面體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1， 求滿足下列各式的x的值。 AB CD A1B1 C1D1 111 111 )3( 2 )2( ACxADABAC ACxBDAD ACxCCDAAB 1111 ) 1 ( 與空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算 例2：已知平行六面體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1， 求滿足下列各式的x的值。 AB CD A1B1 C1D1 CCDAAB 1111 ) 1 (解 . 1 1111 x A

7、C CCCBAB 111 111 )3( 2 )2( ACxADABAC ACxBDAD ACxCCDAAB 1111 ) 1 ( 與空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算 例2：已知平行六面體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1， 求滿足下列各式的x的值。 AB CD A1B1 C1D1 11 2 )2(BDAD 111 BDADAD )( 111 BDBCAD 111 CDAD 1 AC 111 2 )2(ACxBDAD . 1x 111 )3(ACxADABAC 與空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算 例2：已知平行六面體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D

8、D1 1， 求滿足下列各式的x的值。 AB CD A1B1 C1D1 11 ) 3 (ADABAC )()()( 11 ADAAABAAABAD )( 2 1 AAABAD 1 2AC 111 )3(ACxADABAC . 2x 與空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算 A B M C G D )( 2 1 )2( )( 2 1 ) 1 ( ACABAG BDBCAB 練習(xí)1在空間四邊形在空間四邊形ABCDABCD中中, ,點(diǎn)點(diǎn)M M、G G分別是分別是BCBC、CDCD邊的中點(diǎn)邊的中點(diǎn), ,化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) 與空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算 A B M C G D )( 2 1 )2( )( 2 1 ) 1 ( A

9、CABAG BDBCAB AGMGBMAB原式) 1 ( )( 2 1 ACABMGBMAB (2)原式 )( 2 1 ACABMGBM MG MBMGBM 練習(xí)1在空間四邊形在空間四邊形ABCDABCD中中, ,點(diǎn)點(diǎn)M M、G G分別是分別是BCBC、CDCD邊的中點(diǎn)邊的中點(diǎn), ,化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) 與空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算 A B C D D CB A ) ( ) 1 ( CCBCABxAC ADyABxAAAE ) 2 ( 練習(xí)2在立方體在立方體ACAC1 1中中, ,點(diǎn)點(diǎn)E E是面是面ACAC 的中心的中心, ,求下列各式中的求下列各式中的x,y.x,y. E 與空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算

10、A B C D D CB A ) ( ) 1 ( CCBCABxAC ADyABxAAAE ) 2 ( 練習(xí)2 E 在立方體在立方體ACAC1 1中中, ,點(diǎn)點(diǎn)E E是面是面ACAC 的中心的中心, ,求下列各式中的求下列各式中的x,y.x,y. 與空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算 A B C D D CB A ADyABxAAAE ) 2 ( 練習(xí)2 E 在立方體在立方體ACAC1 1中中, ,點(diǎn)點(diǎn)E E是面是面ACAC 的中心的中心, ,求下列各式中的求下列各式中的x,y.x,y. 與空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算 平面向量 概念 加法 減法 數(shù)乘 運(yùn)算 運(yùn) 算 律 定義 表示法 相等向量 減法:三角形法則 加法:三角形法則或 平行四邊形法則 空間向量 具有大小和方向的量 數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負(fù)數(shù),零 bkakbak )( )()(cbacba abba加法交換律 加法結(jié)合律 數(shù)乘分配律