206講彈性力學(xué)精彩試題及問題詳解

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔2012年度彈性力學(xué)與有限元分析復(fù)習(xí)題及其答案一、填空題1、彈性力學(xué)研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、 形變和位移。2、在彈性力學(xué)中規(guī)定，線應(yīng)變以伸長時(shí)為正，縮短時(shí)為負(fù)，與正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相 適應(yīng)。3、在彈性力學(xué)中規(guī)定，切應(yīng)變以直角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)，與切應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī) 定相適應(yīng)。4、物體受外力以后，其內(nèi)部將發(fā)生內(nèi)力的集度稱為應(yīng)力。與物體的形變和材料強(qiáng)度直接有關(guān)的，是應(yīng)力在其作用截面的法線方向和切線方向的分量，也就是正應(yīng) 和切應(yīng)力。應(yīng)力及其分量的量綱是 L-1MT-2。5、彈性力學(xué)的基本假定為連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性。6、平面問題分為平

2、面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。10、在彈性力學(xué)里分析問題，要考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三 套方程。11、表示應(yīng)力分量與體力分量之間關(guān)系的方程為平衡微分方程。12、邊界條件表示邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。分為位移邊界條件、 應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。13、按應(yīng)力求解平面問題時(shí)常采用逆解法和半逆解法。2、平面問題分為和。平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題6、 在彈性力學(xué)中規(guī)定，切應(yīng)變以 時(shí)為正，時(shí)為負(fù)，與的正負(fù)號(hào)規(guī)定相適應(yīng)。直角變小 變大切應(yīng)力7、 小孔口應(yīng)力集中現(xiàn)象中有兩個(gè)特點(diǎn)：一是 ，即孔附近的應(yīng)力遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)處的應(yīng)力，或遠(yuǎn)大于無孔時(shí)的應(yīng)力。二是 ，由于孔口存在而引起的應(yīng)力

3、擾動(dòng)范圍主要集中在距孔邊 1.5倍孔口尺寸的范圍內(nèi)?？赘浇膽?yīng)力高度集中， 應(yīng)力集中的局部性四、分析計(jì)算題1、試寫出無體力情況下平面問題的應(yīng)力分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的 應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在。（1）匚 xx By，匚廠Cx Dy，幼二 Ex Fy ；(2) 二 x=A(x2 y2)，二廠B(x2 y2)， xy Cxy ；實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔其中，A, B, C, D, E, F為常數(shù)。解：應(yīng)力分量存在的必要條件是必須滿足下列條件:(1)在區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程壬亠0：X”；(2)在區(qū)域內(nèi)的相容方程0:y-2芍；(3)在邊界上的應(yīng)力(krx Tyx ) =f x(S)邊界條件y

4、s -；(4)對于多連體的位移單值條件。(mj 卅 xy S=f y(s)(1) 此組應(yīng)力分量滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須A=-F, D=-E。此 外還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。(2) 為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足A+B=O;為了滿足平衡微分方程，其系 數(shù)必須滿足A=B=-C/2。上兩式是矛盾的，因此，此組應(yīng)力分量不可能存在。2、已知應(yīng)力分量 6Qxy2 Gx3，二嚴(yán)-Czxy2 , “二七鳥丫3-CsX2y，體力不計(jì)，Q為 常數(shù)。試?yán)闷胶馕⒎址匠糖笙禂?shù) Ci, C2, C30解：將所給應(yīng)力分量代入平衡微分方程( 2 2 2 2-Qy 十3Gx 3C2y -C3x =0 -( xy

5、) h=0, fyGy)h =0 ； y=2下邊,y今，IR , Qy)y乜，dy)h=0 ； y =22 2實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔左邊,X-2，u，m=0 ,fx -(匚x)I - -2b ,o右邊,IX ,1 =1 , m =0 ,fx =( x) I =2b , fy=( xy) I =0XX -2 2可見，上下兩邊沒有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力2b。因此,應(yīng)力函數(shù)二by2能解決矩形板在x方向受均布拉力（b0）和均布?jí)毫Γ╞axy能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解 決什么問題（體力不計(jì)，a=0 ）。解：將應(yīng)力函數(shù) =axy代入相容方程;4；4+2+=02 -

6、2x :y:x4可知，所給應(yīng)力函數(shù) =axy能滿足相容方程。由于不計(jì)體力，對應(yīng)的應(yīng)力分量為-X 廠 0，二y 廠 0矽ex82申，xyaoxcy對于圖示的矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四 個(gè)邊上的面力分別為：上邊,m1 , fx=Gxy) _hy =2=a, fy=(by) _h=0 ；y2下邊,hy 石,I =0 , mm ,fx=(xy)yr_a，左邊,Ix , 1-1 , m=0, fx 一仟 x)_I=0 , fy-( xy) x - 21 =a ； x= 2右邊,IX , I =1 , m=0 ,fxx) I =0 , fy=( xy) I axX ：2

7、 2實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔可見，在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力a,而在上下兩邊分別受有向右和向左的均布面力a。因此，應(yīng)力函數(shù) axy能解決矩形板受均布剪力的問題。7、如圖所示的矩形截面的長堅(jiān)柱，密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力，試求應(yīng)力分量。即設(shè)二x=。由此可知解：根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓,將上式對y積分兩次，可得如下應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式x,y =fi(x)y f2(x)將上式代入應(yīng)力函數(shù)所應(yīng)滿足的相容方程則可得44d fi(x) d f2(x)y 440dx4dx4這是y的線性方程，但相容方程要求它有無數(shù)多的解(全柱內(nèi)的y值都應(yīng)該滿足它)，可見它的系數(shù)和自由項(xiàng)都應(yīng)該等于零，即

8、44d fi(x) d f2(x) dxdx這兩個(gè)方程要求32f2(x)=Dx Ex Jx K32fj(x) =Ax Bx Cx I ，代入應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式，并略去對應(yīng)力分量無影響的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)后，便得二y(Ax3 Bx2 Cx) Dx3 Ex2對應(yīng)應(yīng)力分量為=0廠y(6Ax 2B) 6Dx 2Egy .x2 -xy3 Ax 2 Bx -C以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定。左邊，x=0，l=T， m=0，沿y方向無面力，所以有-(xy)x=C=0實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔右邊，X，1=1 , m=0，沿y方向的面力為q,所以有Cxy)xf-3Ab2-2Bb=q上邊，y=0,1=0, m=-1，沒有水平面力，這就

9、要求，xy在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即b0( xy)ydX=0將-xy的表達(dá)式代入，并考慮到C=0,則有f(3Ax22Bx)dx=Ax3_Bx2 0=Ab3_Bb2=0b而0 ( xy)y衛(wèi)0dX =0自然滿足。又由于在這部分邊界上沒有垂直面力，這就要求二y在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即bb0 (；- y ) y 衛(wèi) dx =0，0 (；- y ) y 衛(wèi) X d x0將二y的表達(dá)式代入，則有(6Dx+2E)dx=3Dx2+2Ex0=3Db2+2Eb=0f(6 Dx +2 E)xdx=2 Dx3 + Ex2 0 =2Db3 +Eb2 =0由此可得A = -q2， B

10、， C =0，D _0， E =0b2 b應(yīng)力分量為j=0, by=2q1-3f-Pgy,2 jbi b丿bl b丿雖然上述結(jié)果并不嚴(yán)格滿足上端面處(y=0)的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍遠(yuǎn) 離y=0處這一結(jié)果應(yīng)是適用的。9、如圖所示三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為，試用純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)求解。解：純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)為二ax3 bx2 y cxy2 dy3相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式為62申刊g2（p；x-xfx =2cx 6dy, - y 2-yfy ax 2by-：gy , 列 _ 2bx-2cy:y:x：x_：y這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的?，F(xiàn)在來考察，如果適當(dāng)選擇各個(gè)系數(shù),

11、是否能滿足應(yīng)力邊界條件。上邊，y=0 ,|=o，m1，沒有水平面力，所以有-（xy） y=2bx=0對上端面的任意x值都應(yīng)成立，可見bP同時(shí)，該邊界上沒有豎直面力，所以有-（二y）y=0=6ax=0對上端面的任意x值都應(yīng)成立，可見a=0因此，應(yīng)力分量可以簡化為-x =2cx 6dy，二 y -gy， xy 2cy5丫I斜面，y=xtaw， l=cos|-丄代 L-sin。， m=cos（Y（ cop，沒有面力，所以有 :gxtan ： cos： =2cxtan： sin:-gxsin ： =0對斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求2ctan：-g=0 （ 1 分）由此解得仁1 r2cPgcota

12、（ 1 分），d=Pgcot a23從而應(yīng)力分量為二x = ：gxcot： 一2gycot2 ：,二y=_gy, xy=_gycot：設(shè)三角形懸臂梁的長為I，高為h,則tan:。根據(jù)力的平衡，固定端對梁的約束11反力沿x方向的分量為0,沿y方向的分量為Sglh。因此，所求匚x在這部分邊界上2合成的主矢應(yīng)為零,xy應(yīng)當(dāng)合成為反力-丄?glh。2h222dy -glcot： -2 igycot 二 dy -glhcot： - ph cot =0h h 1 2 10 xy xdy= 0 -gycot： d- ；?gh co-?glh可見，所求應(yīng)力分量滿足梁固定端的邊界條件。10、設(shè)有楔形體如圖所示，

13、左面鉛直，右面與鉛直面成角:，下端作為無限長，承受重力及液體壓力，楔形體的密度為，液體的密度為：-2，試求應(yīng)力分量。力引起，應(yīng)當(dāng)與Cg成正比（g是重力加速度）；另一部分由液體壓力引起，應(yīng)當(dāng)與g成正比。此外，每x解：采用半逆解法。首先應(yīng)用量綱分析方法來假設(shè)應(yīng)力 分量的函數(shù)形式。取坐標(biāo)軸如圖所示。在楔形體的任意 一點(diǎn)，每一個(gè)應(yīng)力分量都將由兩部分組成： 一部分由重部分還與，x，y有關(guān)。由于應(yīng)力的量綱是L-1MT-2,Jg和2g的量綱是l-2mt-2，是量綱一的量，而x和y的量綱是L,因此，如果應(yīng)力分量具有多項(xiàng)式的解答，那么它們的表達(dá)式 只可能是A 1 gx , B 1 gy , C 2gx , D：

14、 2gy四項(xiàng)的組合，而其中的A, B, C, D是量綱 一的量，只與：有關(guān)。這就是說，各應(yīng)力分量的表達(dá)式只可能是x和y的純一次式。其次，由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系式可知，應(yīng)力函數(shù)比應(yīng)力分量的長度量綱高二 次，應(yīng)該是x和y純?nèi)问?，因此，假設(shè)二ax3 bx2 y cxy2 dy3C xfx=2cx+6dy, J相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式為-yfy=6ax 2by-dgy, xy2bx-2cy-x:xy這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。 現(xiàn)在來考察，如果適當(dāng)選擇各個(gè)系數(shù), 是否能滿足應(yīng)力邊界條件。左面，x=0, l=-1, m=0，作用有水平面力?2gy，所以有m =-6dy “gy對左面的任

15、意y值都應(yīng)成立，可見6同時(shí)，該邊界上沒有豎直面力，所以有-（xy ）x=2cy =0對左面的任意y值都應(yīng)成立，可見c =0因此，應(yīng)力分量可以簡化為匚x=-，2gy，斜面，x=ytan：，I 二cos：，m=cosLf沒有面力，所以有；y=6ax 2by_：igy， xy=_2bxI；x m.yxG m yx xmtaJ0my 圖示半無限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為d的集中力作用，單位寬度上集中力的值為P，設(shè)間距d很小。試求其應(yīng)力分量，并討論所求解的適用范圍。（提示：取應(yīng)力函數(shù)（13 分） xy xan 廣0由第一個(gè)方程，得-2gycosj -2bytansin： -0對斜面的任意y值都

16、應(yīng)成立，這就要求-：2gcos% 2btansin ： =0由第二個(gè)方程，得-6aytan= Wby-lgy sin： -2bytan： cos： - -6atan sin：-4bsinr gsin： y=0 對斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求-6atan： -4b 6g =0由此解得32aecot 2gcot ：- ， b 2gcot :632從而應(yīng)力分量為；x-2gy, ；y = 5gcot： 22gcot3 ： x :%gcot :g y , xy 一 - gxcot2：題三(1)圖解:d很小，.M = Pd，可近似視為半平面體邊界受一集中力偶m的情形。將應(yīng)力函數(shù)(r,n)代入，可求得應(yīng)力分量:r ；:r r2 T2電 Asin 2v r邊界條件:(1、；v -0= 0,r代入應(yīng)力分量式，有(2Acos2