圓錐曲線的范圍最值問(wèn)題

1、圓 錐 曲 線 的 最 值范 圍 問(wèn) 題與圓錐曲線有關(guān)的范圍、最值問(wèn)題，各種題型都有，既有對(duì)圓錐曲線的性質(zhì)、曲線與方程關(guān)系的 研究,又對(duì)最值范圍問(wèn)題有所青睞，它能綜合應(yīng)用函數(shù)、三角、不等式等有關(guān)知識(shí)，緊緊抓住圓 錐曲線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，充分展現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng) 用,本文從下面幾個(gè)方面闡述該類(lèi)題型的求解方法，以引起讀者注意.一、利用圓錐曲線定義求最值借助圓錐曲線定義將最值問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為易求、易解、易推理證明的問(wèn)題來(lái)處理.2 2【例1】已知A(4,0), B(2, 2)是橢圓気 弋 1內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn),M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求MA | MB的 最大值和最小值.【分析】很容易

2、想到聯(lián)系三角形邊的關(guān)系,無(wú)論A、M、B三點(diǎn)是否共線,總有MA |MB |AB , 故取不到等號(hào)，利用橢圓定義合理轉(zhuǎn)化可以起到柳暗花明又一村的作用.【薛析】由已去疇44Q是橢圓的右隼點(diǎn)展左焦點(diǎn)為H-4,0)根據(jù)橢圓宦義彳L4+|A/3| =2a-則| + | = 10+ |田卜|顧1，動(dòng)|卩燈卜PQI壬|刊| = ?血，所以阿卜p/F|e 一厶/叵 訴,故0|+|血號(hào)|的最小值和最大俏分別九10- 2廊和10+2価.【點(diǎn)評(píng)】涉及到橢圓焦點(diǎn)的題目，應(yīng)想到橢圓定義轉(zhuǎn)化條件，使得復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.【小試牛刀】【2017屆四川雙流中學(xué)高三上學(xué)期必得分訓(xùn)練】已知 P為拋物線 屮4x上一個(gè) 動(dòng)點(diǎn)，Q為圓x2

3、(y 4)2 1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和最小時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為()A.89c.8178D. 17【分析】根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離 ，所以點(diǎn)P 到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到準(zhǔn)線距離之和的最小值就是點(diǎn) P到點(diǎn)Q的距離與到拋物線焦點(diǎn)距離之 和的最小值，因此當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，距離之和取最小值.【解析】設(shè)P到拋物線準(zhǔn)線的距離為d,拋物線的焦點(diǎn)為F ,圓心為C,則PQ d min PQ PF min CF Al 1,故選 A二、單變量最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值建立目標(biāo)函數(shù)求解圓錐曲線的范圍、最值問(wèn)題，是常規(guī)方法，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)淖兞繛樽宰兞?2

4、 2【例2】已知橢圓C:篤爲(wèi)1 a b 0的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三a b角形，直線x y 1 0與以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心，以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切(1) 求橢圓的方程.(2) 設(shè)P為橢圓上一點(diǎn),若過(guò)點(diǎn)M (2,0)的直線I與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)S和T ,且滿(mǎn)足OS OT top (O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【分析】(1)由題意可得圓的方程為(x c)2y2 a2,圓心到直線x y 1 0的距離根據(jù)橢圓C2 X2a2占1(a b 0)的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形,b=c, a .2b.2c代入*式得bc 1,即可得到所求橢圓方程；(U)由

5、題意知直線 L的斜率存在,設(shè)直線L方程為y k(x2),設(shè)p X0,y0 ,將直線方程代入橢圓方程得:2 2 2 21 2k x 8k x 8k 20,根據(jù) 64k441 2k2 8k2216k2 8 0得到k2寸SSTX應(yīng)用韋達(dá)定理 x1 x28k 28k 2RM k-討論當(dāng)k=0t 0的情況,確定t的不等式-【解析】(1)由題意：以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心，以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓的方程為2 2 2(x c) y a ,圓心到直線x y 10的距離-dv2a*2 2.2橢圓C寺1(a b 0)的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形,b=c, a .2b .2c 代入 * 式得 b

6、c 1 二 a , 2b2故所求橢圓方程為X- y21(U)由題意知直線L的斜率存在,設(shè)直線L方程為yk(x 2),設(shè) p xo, yo將直線方程代入橢圓方程得:2k2 x8k2x 8k264k441 2k2 8k216k2 k212設(shè) S Xi,yi , T X2, y2 則 XiX28k21 2k2 ,X1X28k221 2k2當(dāng)k=0時(shí),直線I的方程為y=0,此時(shí) t=0, OSOT tOP成立,故,t=0符合題意.tX 0XiX2得 ty 0yiy2k ( x1 x24)Xo8k26t ? 1 2k2將上式代入橢圓方程得:32k4t2(1 2k2)216k2t2(1 2k2)22整理得

7、：t2號(hào)2 1 2由k 知0 t 4 2所以t ( 2,)【點(diǎn)評(píng)】確定橢圓方程需要兩個(gè)獨(dú)立條件，從題中挖掘關(guān)于a b、c的等量關(guān)系；直線和橢圓的 位置關(guān)系問(wèn)題，往往要善于利用韋達(dá)定理設(shè)而不求，利用點(diǎn)P在橢圓上和向量式得t f(k),進(jìn)而求函數(shù)值域.【小試牛刀】【2017河南西平縣高級(jí)中學(xué)12月考】已知中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，離心率 為一3的橢圓過(guò)點(diǎn)(2, 一 ).2 2(1) 求橢圓的方程；(2) 設(shè)不過(guò)原點(diǎn)0的直線I與該橢圓交于P, Q兩點(diǎn),滿(mǎn)足直線OP , PQ , OQ的斜率依次成等 比數(shù)列,求OPQ面積的取值范圍.2【答案】(1)寸1 ; (2) (0,1).42 2【解析】(1)

8、由題意可設(shè)橢圓方程務(wù)每1(a b 0),a bc3則a2 ,a 2x2解得a 2,所以方程為-y21 .21b 1,4a2b21,(2)由題意可知，直線I的斜率存在且不為0 ,故可設(shè)直線I的方程為y kx m ( mm,得(1 4k2)x21,28kmx 4( m 1)0,y kxPg %), Q(X2, y2),由 x22才y則64k2b2 16(1 4k2b2)(b21)16(4 k2m21) 0,x1x28km4( m21 4k2, g1)1 4k2故 y1 y2 (kx1 m)(kx2 m) k2x1x2 km(x1X2)m2因直線OP , PQ, OQ的斜率依次成等比數(shù)列，所以仏上x(chóng)

9、 x2k2xlx2 km(x1 x2) m2k2,x1x22 28k m 2211即 亍m 0 ,又m 0,所以k ,即k1 4k4由于直線OP,OQ的斜率存在,且 0,得0 m2 2且m2 1.1 ,設(shè) d 為點(diǎn) O到直線 I 的距離,則 S OPQ - d |PQ | x1 x2|m|m2(2 m2),所以S opq的取值范圍為(0,1).三、二元變量最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值利用點(diǎn)在二次曲線上，將二元函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理.2 2【例2】若點(diǎn)QF分別為橢圓- 出43uuv uuv1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任一點(diǎn),則OP PF的最大值為uuv uuiv【分析】設(shè)

10、點(diǎn)(X, y),利用平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示,將OP PF用變量x, y表示,借助橢圓方 程消元,轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問(wèn)題處理.【點(diǎn)評(píng)】注意利用“點(diǎn)在橢圓上”這個(gè)條件列方程.【小試牛刀】拋物線y2 8x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)(x, y)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又已知點(diǎn)A( 2,0),則需的取值范圍是.【答案】1r 2【解析】由拋物線的定義可得|PF| x 2,又|PA| . (x 2)2 y2. (x 2)2 8x,I PA| |PF|.(X 2)2 8xx 28x2 x4x 4當(dāng)x 0時(shí)，幣1 ;當(dāng)x|PA|PF |8x1 x2 4x 4-即x 2時(shí)取等號(hào),于是x1， 1 8（1, 2】，x 4x 4xI

11、x綜上所述|PA1的取值范圍是1, . 2.|PF|四、雙參數(shù)最值問(wèn)題該類(lèi)問(wèn)題往往有三種類(lèi)型：建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系和不等式關(guān)系，通過(guò)整體消元得到參數(shù)的取值范圍；建立兩個(gè)參數(shù)的等量關(guān)系，通過(guò)分離參數(shù)，借助 一邊變量的范圍，確定另一個(gè)參數(shù)的取值范圍；建立兩個(gè)參數(shù)的等量關(guān)系，通過(guò) 選取一個(gè)參數(shù)為自變量，令一個(gè)變量為參數(shù)（主元思想），從而確定參數(shù)的取值范 圍.【例3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C : g 論 b1）的離心率e ,且橢圓C a b2上一點(diǎn)N到點(diǎn)Q0,3）的距離最大值為4,過(guò)點(diǎn)M （3,0）的直線交橢圓C于點(diǎn)A、B.（I）求橢圓C的方程；（U）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足OA O

12、B tOP1 （ O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)AB v . 3時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值 范圍【分析】第一問(wèn)，先利用離心率列出表達(dá)式找到a與b的關(guān)系，又因?yàn)闄E圓上的N點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離最大值為4,利用兩點(diǎn)間距離公式列出表達(dá)式，因?yàn)镹在橢圓上，所以x2 4b2 4y2，代入表 達(dá)式,利用配方法求最大值，從而求出b2 1,所以a2 4,所以得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問(wèn)，先 設(shè)代P,B點(diǎn)坐標(biāo)，由題意設(shè)出直線AB方程，因?yàn)橹本€與橢圓相交，列出方程組，消參韋達(dá)定得uuu uur uuu到兩根之和、兩根之積，用坐標(biāo)表示OA OB tOP得出x,y,由于點(diǎn)P在橢圓上，得到一個(gè)表達(dá) 式,再由|AB| 3,得到一個(gè)表達(dá)式,2個(gè)表達(dá)式聯(lián)

13、立,得到t的取值范圍.2 2 , 2 Q【解析】（I）： e2三旦廠 一，.a2 4b2,a a 4則橢圓方程為和 設(shè) N(x, y),則當(dāng)y 1時(shí)，NQ有最大值為12 4,2解得b2川4,橢圓方程是xr y2 1(U)設(shè) A(x!,y!),B(x2,y2),P(x,y),AB 方程為 yk(x3),y k(x 3),由x22 整得(17 y 1,2 2 2 24k )x 24k x 36k40.由24k2k4 16(9k21)(1 4k2)0,得 k2 -5uuu UJU二 OA OB (Xi X2,yiX2)24k2t(1 4k2)2 2 2由點(diǎn)p在橢圓上，得罟4k字t2（r；k2）24,

14、化簡(jiǎn)得 36k2 t2(1 4k2)又由AB h k2Nx2V . 3,即(1k2)(x1x2)24x-|x23,將 x-ix2,x1x2代入得(1k2)242k4(1 4k2)24(36k 24) 0,1 4k則8k21 0,k2 丄,8由,得t2陳91 4k2 ,聯(lián)立,解得3v t2v4,二2 t.3 或、3 t 2.【點(diǎn)評(píng)】第一問(wèn)中轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最大值后，要注意變量取值范圍；第二問(wèn)利用點(diǎn) P在橢圓 上,和已知向量等式得變量k,t的等量關(guān)系，和變量k,t的不等關(guān)系聯(lián)立求參數(shù)t的取值范圍2【小試牛刀】已知圓M : x , 2y2r2 (r0),若橢圓C :篤ab21(a b 0)的右頂點(diǎn)為

15、圓M的圓心,離心率為-2.2(1)求橢圓C的方程；(2)若存在直線l : y kx,使得直線I與橢圓C分別交于A,B兩點(diǎn),與圓M分別交于G, H 兩點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AB上,且AG BH ,求圓M的半徑r的取值范圍.【解析】(1)設(shè)橢圓的焦距為2c,因?yàn)閍 .2,-c 1,b1a 22所以橢圓的方程為C: y21.2顯然，若點(diǎn)H也在線段AB上，則由對(duì)稱(chēng)性可知,直線y kx就是y軸,與已知矛盾,所以要使AG |BH|,只要AB GH ,所以 當(dāng) k 0時(shí)，r .2 .當(dāng)k 0時(shí)，r22(11丄)2(1!)1k43 2 k222又顯然r22(1113)2,所以2k4k22綜上，圓M的半徑r的取值范圍是

16、、23). 圓錐曲線中的最值、范圍問(wèn)題類(lèi)型較多3,r .3.,解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何方法，即通過(guò)利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)方法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式 表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式),然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求 解.【遷移運(yùn)用】1. 【2017屆湖南師大附中高三上學(xué)期月考三】已知兩定點(diǎn)A 1,0和B 1,0 ,動(dòng)點(diǎn)P x,y在 直線l:y x 3上移動(dòng),橢圓C以代B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,則橢圓C的離心率的最大值為()A蘭B.遼D.竺5555【答案】A尋故選A.【解析】A 1,0關(guān)于直線l：y X

17、3的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A 3,2 ,連接AB交直線I于點(diǎn)P,則橢圓C 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為 AB 25所以橢圓C的離心率的最大值為-a22. 【2016-2017學(xué)年河北定州市高二上學(xué)期期中】過(guò)雙曲線x2 1的右支上一點(diǎn)P,分別15向圓G : (x+4)2+y2 4和圓C2 : (x 4)2 y2 1作切線，切點(diǎn)分別為M,N,則| PM |2 | PN |2的最小值為()A. 10B. 13C. 16D. 19【答案】B【解析】由題可知,|PM|2|PN|2(|PC1 |24)(|PC2|21),因此2 2 2 2| PM | |PN | | PC1 | PC2 | 3 (| PC1 | | PC2 |)

18、 2(| PC1 | |PC2|) 3 2|GC2 3 13.故選B.3. 【2017屆湖南長(zhǎng)沙一中高三月考五】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且左、右焦點(diǎn)分別為F1, F2.這兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為 P, PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形.若|Ph| 10,記橢圓與雙曲線的離心率分別為 、e2,則04的取值范圍是()11A. (1, ) B. (1,)951C. ( ,) D. (0,)3【答案】C4. 【2016屆河南省鄭州市一中高三上學(xué)期聯(lián)考】已知拋物線y 8x,點(diǎn)Q是圓C : x2 y2 2x 8y 13 0上任意一點(diǎn),記拋物線上任意一點(diǎn)到直線x 2的距離為d，則

19、PQ d的最小值為（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】如圖所示，由題意知,拋物線y2 8x的焦點(diǎn)為F（2，）,連接PF ,則d PF .將圓C化 為（X “ （y 4）4,圓心為C（1,4）,半徑為r 2,則PQ d PQ PF,于是由PQ PF FQ （當(dāng)且僅當(dāng)F ,P,Q三點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào)）.而FQ為圓C上的動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)F 的距離,顯然當(dāng)FQC三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，且為CFI rJ（ 1 2）2（4 0）2 2 3,故應(yīng)選 C .2 25. 【2016屆重慶市巴蜀中學(xué)高三10月月考】已知F1,F2為橢圓C: 匕1的左、右焦點(diǎn)，1298uur uulu點(diǎn)E是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，

20、EF1 EF2的最大值、最小值分別為（）A. 9,7B. 8,7C. 9,8D. 17,8【答案】B26 .【2016屆重慶市南開(kāi)中學(xué)高三12月月考】設(shè)點(diǎn)A X1，B X2,y2是橢圓-y2 1上兩點(diǎn)，4x1 x2若過(guò)點(diǎn)A,B且斜率分別為4y1，4y2的兩直線交于點(diǎn)P ,且直線OA與直線OB的斜率之積為1, E 6,0 ,則PE的最小值為.【答案】2、2 C622【解析】由橢圓y2 1,設(shè)A（2cos , sin ） , B（2cos , sin ）,對(duì)y2 1兩邊對(duì)x取導(dǎo)數(shù),44x可得x 2yy 0即有切線的斜率為4y ,2由題意可得AP,BP均為橢圓的切線，A,B為切點(diǎn)，則直線AP的方程為

21、xx1 XCOS.-yyi 1,ysin1,42同理可得直線BP的方程為COS-2ysin1,求得交點(diǎn)P的坐標(biāo)為2 sin sinx sincos cos ?sin2 2(sin sin ) (cos cos ):2sin2 2cos:2sin22,X-2y28的兩條,P是雙F1,由雙2 PF1設(shè) P(2,2cos， 2sin),cos1 時(shí)，PE|min 2/2 晶.7. 【2017屆四川雙流中學(xué)高三上學(xué)期必得分訓(xùn)練】已知 AC, BD為圓O : x2 y2相互垂直的弦，垂足為M (1, . 2),則四邊形ABCD的面積的最大值為.【答案】13【解析】設(shè)圓心O到AC, BD的距離分別為d1,

22、d2,則d12 d22 OM 2 3,則AC 2 J8 d? , |BD| 28 d；,所以四邊形的面積S-|AC|BD28d；8d；16d；d；13,故填28. 【2017學(xué)年河北冀州中學(xué)上學(xué)期月考四】已知雙曲線 C : x2 y 1的右焦點(diǎn)為F3曲線C的左支上一點(diǎn)，M (0,2),則厶PFM周長(zhǎng)最小值為.【答案】2 4、2【解析】F 2,0,M 0,2, |FM| 2/2, PFM周長(zhǎng)最小，即PM PF最小，設(shè)左焦點(diǎn)為曲線的定義可得PM PF PM 2 PF1 ,而PM PF1的最小值為MF1 2、2, PM 的最小值為2 4 .2,故填2 4 2.29. 【2017屆江西吉安一中高三周考

23、】已知雙曲線C:x2芻1的右焦點(diǎn)為F,P是雙曲線C的左支上一點(diǎn),M 0,2 ,則PFM周長(zhǎng)最小值為【答案】4,2【解析】1,b3,c 2,右焦點(diǎn)為F 2,0 ,設(shè)左焦點(diǎn)為Fi 2,0 ,三角形的周長(zhǎng)為PF PMMP 2a PF1 PM MP當(dāng)P,F“M三點(diǎn)共線時(shí)，周長(zhǎng)取得最小值為2 4.2 .210.【2017屆河北武邑中學(xué)高三上學(xué)期調(diào)研四】 已知橢圓C:篤at 1, 3 b 0的離心率,且過(guò)點(diǎn)(I)求橢圓C的方程;(n )設(shè)與圓O：x2 y2 3相切的直線1交橢圓C與A,B兩點(diǎn),求OAB面積的最大值及取得最大值時(shí)直線I的方程.2【答案】(1)-3最大值為此時(shí)直線方程y _?x 1.1 212

24、 2【解析】(1)由題意可得:a 3bc 6a(2)當(dāng)k不存在時(shí),x -,2當(dāng)k不存在時(shí)，設(shè)直線為y kxm,A 人，力,B X2,y2 ,2x 2.y 1223, 1 3k2 x2y kx m26km 3m當(dāng)且僅當(dāng)A 9k2,即kk1S oab AB r2OAB面積的最大值為時(shí)等號(hào)成立32 2 ,二，此時(shí)直線方程y x 1.232 211. 【2017屆湖南長(zhǎng)沙一中高三月考五】 如圖,橢圓冷 爲(wèi)1(a b 0)的左焦點(diǎn)為F ,過(guò)點(diǎn)F a b的直線交橢圓于A, B兩點(diǎn),|AF|的最大值是M , |BF|的最小值是m,且滿(mǎn)足M gm -a2.4(1) 求橢圓的離心率；覽的取值范圍.(2) 設(shè)線段

25、AB的中點(diǎn)為G ,線段AB的垂直平分線與x軸、y軸分別交于D, E兩點(diǎn)，0是坐 標(biāo)原點(diǎn)，記 GFD的面積為S1, OED的面積為S2,求S1【答案】1(1) - ；( 2)2【解析】(1)令 F( c,0)(c0),則 M a c, ma c.由M gm4a2,得(a c)(ac)3a2,即 a2c2討即a2 4c2, e2 4 即e 1所以橢圓的離心率為丄2(2)由線段AB的垂直平分線分別與軸y軸交與點(diǎn)D、E,知AB的斜率存在且不為0.令A(yù)B的方程為x ty c.x聯(lián)立 x24c2ty cy2,得(3t213c224) y 6cty9 c20.y1y26ct3t3 4x-ix2t(y1 y2

26、)2c_8c3t24, G(/3ct )3t24).由DG3ct3t2 44c3t2 4AB,得一Xd 21g； 1,解之得Xdc3t2 4由RtDGF s Rt DOE,得 S5GD2OD24c c ,23t2 4 3t2 4)(宀2(3t2 4)(車(chē))2*4 9t2 9 0.令SS2p ,則p 9 ,于是22SS22 2s； s；21P P2S1S20,1c 182 工日 20S2）遞增,p 7 9 9 IT于是口2982 416輕（0,2）,S12S24120S2,22的取值范圍是9(，詁,已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)12. 【2017屆貴州遵義南白中學(xué)高三上學(xué)期聯(lián)考四】如圖 在x軸上

27、,它的一個(gè)頂點(diǎn)為A(02),且離心率等于斗過(guò)點(diǎn)M (0,2)的直線2,整理得（-2 3）y2 y 1kk與橢圓相交于不同兩點(diǎn)P, Q，點(diǎn)N在線段PQ上.(1) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；ujuuuuur(2) 設(shè)uuu ,若直線I與y軸不重合,試求 的取值范圍.|NQ|PN|【答案】(1)2 27 1 ；（ 2）2 .【解析】(1)2設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是篤a2& 1（a b 0）,由于橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是A(0, J2),故b22,根據(jù)離心率是呂得ax2解得a28,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 一2 2 2x 3y a （a 0）813. 【2017屆福建連城縣二中高三上學(xué)期期中】 設(shè)直線I : y k(x 1)與

28、橢圓相交于A, B兩個(gè)不同的點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C ,記O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)證明：a2葺;uuurmu(2)若AC 2CB, OAB的面積取得最大值時(shí)橢圓方程.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) x2 3y2 5.【解析】(1)依題意,直線I顯然不平行于坐標(biāo)軸,故yk(x 1)可化為x1Ky 1,將 X * 1 代入 X2 3y2 a2a20,a2)0,由直線I與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),得 (-)2 4(1 3)(1k k化簡(jiǎn)整理即得a2 蟲(chóng)匚.(*)1 3k2將k仝，y 及k33A耳這兩組值分別代入,均可解出a25,經(jīng)驗(yàn)證，a25 , k 彳滿(mǎn)足(*)式.所以，OAB的面積取得最大值時(shí)橢圓方程為

29、x2 3y25.14.【2016屆黑龍江省哈爾濱師大附中高三12月考】已知橢圓0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F( 1,0),左右頂點(diǎn)分別為A, B .經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線I與橢圓M交于C, D兩點(diǎn).(I)求橢圓方程;(U)記 ABD與ABC的面積分別為S1和S2,求S2I的最大值.2 2工1廠【答案】(1) 43;(2) ,3 .【解析】(I )因?yàn)镕( 1,0)為橢圓的焦點(diǎn),所以c 1,又b2 3,2 22 X_ 工 1所以a 4,所以橢圓方程為43(U)當(dāng)直線丨無(wú)斜率時(shí)，直線方程為x 1 ,3 3此時(shí) D( 1,2),C( 1, 2), ABD, ABC面積相等，|S 斜 0當(dāng)直線l斜率存在(顯然k 0 )時(shí),設(shè)直線方程為y k(x 1)(k 0),設(shè) C(X1,yJ,D(X2,y2)顯然0,方程有根,且x1x28kX24k 1234k23 4k2此時(shí)| SS2I |2|卜2丨