第七章分析參數(shù)估計(jì)

1、第七章分析參數(shù)估計(jì) 第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) 第一節(jié) 點(diǎn)估計(jì) 第二節(jié) 估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn) 第三節(jié) 區(qū)間估計(jì) 第四節(jié) 正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì) 第五節(jié) 單側(cè)置信區(qū)間 第七章分析參數(shù)估計(jì) 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的許多問題中，總體的分布類型往在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的許多問題中，總體的分布類型往 往假定是已知的，例如，大批燈泡的壽命服從正態(tài)往假定是已知的，例如，大批燈泡的壽命服從正態(tài) 分布，紡織廠細(xì)紗機(jī)上的斷頭次數(shù)服從普阿松分布，分布，紡織廠細(xì)紗機(jī)上的斷頭次數(shù)服從普阿松分布， 抽檢若干件產(chǎn)品中所含的次品數(shù)服從二項(xiàng)分布，等抽檢若干件產(chǎn)品中所含的次品數(shù)服從二項(xiàng)分布，等 等。但僅僅知道分布的類型是不夠的，還需確定分等。但僅

2、僅知道分布的類型是不夠的，還需確定分 布函數(shù)中的未知參數(shù)，才能求得所要求的概率。這布函數(shù)中的未知參數(shù)，才能求得所要求的概率。這 就提出了參數(shù)估計(jì)的問題。就提出了參數(shù)估計(jì)的問題。 參數(shù)估計(jì)分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩種。參數(shù)估計(jì)分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩種。 第七章分析參數(shù)估計(jì) 1 1 點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)（Point Estimation） 第七章分析參數(shù)估計(jì) .),( 21 的的估估計(jì)計(jì)量量稱稱為為 n XXX .),( 21 的的估估計(jì)計(jì)值值稱稱為為 n xxx. , 簡簡記記為為 通通稱稱估估計(jì)計(jì) 點(diǎn)估計(jì)常用方法：矩估計(jì)和最大似然估計(jì)法點(diǎn)估計(jì)常用方法：矩估計(jì)和最大似然估計(jì)法. 第七章分析參數(shù)估計(jì) 二、矩法

3、二、矩法( (The Method of Moments) ) 其基本思想是其基本思想是用樣本矩估計(jì)總體矩用樣本矩估計(jì)總體矩 . 它是基于一種簡單的它是基于一種簡單的“替換替換”思思 想建立起來的一種估計(jì)方法想建立起來的一種估計(jì)方法 . 是英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家是英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家K K. .皮爾遜皮爾遜最早提出的最早提出的 . 矩法估計(jì)的理論基礎(chǔ)是矩法估計(jì)的理論基礎(chǔ)是: 辛欽大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律. .1| 1 | lim 1 n i i n X n P 第七章分析參數(shù)估計(jì) 記總體記總體 k 階矩為階矩為)( k k XE 樣本樣本 k 階矩為階矩為 n i k ik X n A 1 1 用相應(yīng)的樣本矩去估計(jì)

4、總體矩的估計(jì)方法就用相應(yīng)的樣本矩去估計(jì)總體矩的估計(jì)方法就 稱為稱為矩估計(jì)法矩估計(jì)法. . 記總體記總體 k 階中心矩為階中心矩為 k k XEXE)( 樣本樣本 k 階中心矩為階中心矩為 n i k ik XX n B 1 )( 1 第七章分析參數(shù)估計(jì) 矩估計(jì)法的具體做法矩估計(jì)法的具體做法: ., 2, 1,klAl l 令令 , 21 的的方方程程組組個(gè)個(gè)未未知知參參數(shù)數(shù)這這是是一一個(gè)個(gè)包包含含 k k ., 21k 解解出出其其中中 ., , , , 2121 量量這這個(gè)個(gè)估估計(jì)計(jì)量量稱稱為為矩矩估估計(jì)計(jì)估估計(jì)計(jì)量量 的的分分別別作作為為用用方方程程組組的的解解 kk 矩估計(jì)量的觀察值稱為

5、矩估計(jì)值矩估計(jì)量的觀察值稱為矩估計(jì)值. xxfxXE k ll l d),;()( 21 (X為連續(xù)型為連續(xù)型) ),;()( 21k Rx ll l xpxXE X 或或(X為離散型為離散型) n i l il X n A 1 1 有有關(guān)關(guān)個(gè)個(gè)未未知知參參數(shù)數(shù)與與 k k , 21 第七章分析參數(shù)估計(jì) 1 1. . 用用樣樣本本均均值值X作作為為總總體體均均值值)(XE的的估估計(jì)計(jì)量量： n i i X n XXE 1 1 )( 2 2. . 用用二二階階中中心心矩矩 2 B作作為為總總體體方方差差)(XD的的估估計(jì)計(jì)量量： n i i XX n BXD 1 2 2 )( 1 )( 第七章分

6、析參數(shù)估計(jì) 設(shè)設(shè)總總體體X服服從從均均勻勻分分布布), 0( U，),( 1n XX 是是取取自自X的的樣樣本本，求求未未知知參參數(shù)數(shù) 的的矩矩法法估估計(jì)計(jì)量量。 例例1 1 解解 ，2/ EX，EX2 .2 X 所所以以 的的矩矩法法估估計(jì)計(jì)量量為為 設(shè)設(shè)總總體體X服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布),( 2 N，),( 1n XX 是是 取取自自X的的樣樣本本，則則 2 , 的的矩矩法法估估計(jì)計(jì)量量分分別別為為 例例2 2 , X .)( 1 1 2 2 2 n i i XX n B 第七章分析參數(shù)估計(jì) 試求試求的矩估計(jì)量。的矩估計(jì)量。 e k kXP k ! X 2 B 解解 由于由于 E(X)=

7、, 根據(jù)矩估計(jì)法：根據(jù)矩估計(jì)法： (k=0,1,2；0+) 又由于又由于 D(X)=故可得故可得的另一個(gè)矩估計(jì)量為的另一個(gè)矩估計(jì)量為 由此可見一個(gè)參數(shù)的矩估計(jì)量是不唯一的由此可見一個(gè)參數(shù)的矩估計(jì)量是不唯一的。 例例3 3設(shè)總體設(shè)總體X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的泊松分布，即的泊松分布，即 第七章分析參數(shù)估計(jì) 1 1、0-10-1分布分布 ,)(pXE ),(pnBX2 2、二項(xiàng)分布、二項(xiàng)分布 npXE )( )( PX3 3、泊松分布、泊松分布 )(XE 4、幾何分布、幾何分布 p XE 1 )( 5 5、指數(shù)分布、指數(shù)分布 . )( EX 1 )( XE )(XE 6 6、正態(tài)分布、正態(tài)分布 ),

8、( 2 NX 2 )( XD， ,Xp n X p ,X X p 1 X 1 = , X .)( 1 1 2 2 2 n i i XX n B 第七章分析參數(shù)估計(jì) 最大似然估計(jì)作為一種點(diǎn)估計(jì)方法最初是由最大似然估計(jì)作為一種點(diǎn)估計(jì)方法最初是由 德國數(shù)學(xué)家高斯德國數(shù)學(xué)家高斯(Gauss)于于1821年提出，英國統(tǒng)計(jì)年提出，英國統(tǒng)計(jì) 學(xué)家費(fèi)歇爾學(xué)家費(fèi)歇爾(R.A.Fisher)在在1922年作了進(jìn)一步發(fā)展年作了進(jìn)一步發(fā)展 使之成為數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最重要應(yīng)用最廣泛的方法之一使之成為數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最重要應(yīng)用最廣泛的方法之一. GaussFisher ( (The Method of Maximum Likelih

9、ood) 二、最大似然估計(jì)法二、最大似然估計(jì)法 第七章分析參數(shù)估計(jì) 極大似然法的基本思想極大似然法的基本思想 先看一個(gè)簡單例子：先看一個(gè)簡單例子： 一只野兔從前方竄過一只野兔從前方竄過 . 是誰打中的呢？是誰打中的呢？ 某位同學(xué)與一位獵人一起外某位同學(xué)與一位獵人一起外 出打獵出打獵 . 如果要你推測，如果要你推測， 你會(huì)如何想呢你會(huì)如何想呢? 只聽一聲槍響，野兔應(yīng)聲倒下只聽一聲槍響，野兔應(yīng)聲倒下 . 第七章分析參數(shù)估計(jì) 下面我們?cè)倏匆粋€(gè)例子下面我們?cè)倏匆粋€(gè)例子,進(jìn)一步體會(huì)極大似進(jìn)一步體會(huì)極大似 然法的基本思想然法的基本思想 . 你就會(huì)想，只發(fā)一槍便打中你就會(huì)想，只發(fā)一槍便打中,獵人命中的概率獵

10、人命中的概率 一般大于這位同學(xué)命中的概率一般大于這位同學(xué)命中的概率. 看來這一槍是獵人看來這一槍是獵人 射中的射中的 . 這個(gè)例子所作的推斷已經(jīng)體現(xiàn)了極大似然法這個(gè)例子所作的推斷已經(jīng)體現(xiàn)了極大似然法 的基本思想的基本思想 . 第七章分析參數(shù)估計(jì) 設(shè)有外形完全相同的兩個(gè)箱子設(shè)有外形完全相同的兩個(gè)箱子, ,甲箱有甲箱有9999個(gè)白個(gè)白 球球1 1個(gè)黑球個(gè)黑球, ,乙箱有乙箱有1 1個(gè)白球個(gè)白球9999個(gè)黑球個(gè)黑球. .今隨機(jī)地抽今隨機(jī)地抽 取一箱取一箱, ,然后再從這箱中任取一球然后再從這箱中任取一球, ,結(jié)果發(fā)現(xiàn)是白結(jié)果發(fā)現(xiàn)是白 球球. .問這球是從哪一個(gè)箱子中取出的問這球是從哪一個(gè)箱子中取出的

11、? ? 分析分析 導(dǎo)致結(jié)果是白球的原因有兩個(gè)導(dǎo)致結(jié)果是白球的原因有兩個(gè), ,一個(gè)是這球一個(gè)是這球 從甲箱取的從甲箱取的, ,另一個(gè)就是這球從乙箱取的另一個(gè)就是這球從乙箱取的. .如果是如果是 從甲箱取的從甲箱取的, ,則取得白球的概率為則取得白球的概率為99%;99%;如果是從乙如果是從乙 箱取的箱取的, ,則取得白球的概率為則取得白球的概率為1%,1%,由此看到由此看到, ,這球是這球是 從甲箱中取出的概率比從乙箱中取出的概率要大從甲箱中取出的概率比從乙箱中取出的概率要大 得多得多, ,因此很自然的因此很自然的, ,我們認(rèn)為結(jié)論我們認(rèn)為結(jié)論“這球是從甲這球是從甲 箱中取出的箱中取出的”比結(jié)論

12、比結(jié)論“這球是從乙箱中取出的這球是從乙箱中取出的” 要合理得多要合理得多. .最后我們作出推斷最后我們作出推斷, ,這球是從甲箱取這球是從甲箱取 出的出的. . 第七章分析參數(shù)估計(jì) 最大似然原理的直觀想法：在試驗(yàn)中概率最大似然原理的直觀想法：在試驗(yàn)中概率 最大的事件最有可能出現(xiàn)最大的事件最有可能出現(xiàn) .一個(gè)試驗(yàn)如有若干個(gè)一個(gè)試驗(yàn)如有若干個(gè) 可能結(jié)果可能結(jié)果 ,若在一次試驗(yàn)中，結(jié)果若在一次試驗(yàn)中，結(jié)果 出現(xiàn)出現(xiàn), AB， ， A 則認(rèn)為則認(rèn)為 出現(xiàn)的概率最大出現(xiàn)的概率最大. A 第七章分析參數(shù)估計(jì) 1122 ,., nn P XxXxXx 11 nn ii ii P Xxp xL； 既然在一次試

13、驗(yàn)中得到的樣本值既然在一次試驗(yàn)中得到的樣本值 ， 12 ,., n xxx 那么樣本取該樣本值的概率應(yīng)較大，所以選取使那么樣本取該樣本值的概率應(yīng)較大，所以選取使 這似然函數(shù)這似然函數(shù) 達(dá)到最大的參數(shù)值作為估計(jì)值達(dá)到最大的參數(shù)值作為估計(jì)值 ， L 稱為最大似然估計(jì)法稱為最大似然估計(jì)法. 是樣本的一個(gè)觀測值是樣本的一個(gè)觀測值, 設(shè)總體設(shè)總體X的分布律為的分布律為.; xpxXP n x , 21 xx 12 ,., n xxx取取值值 的概率為的概率為 12n XXX， ，則樣本則樣本 第七章分析參數(shù)估計(jì) )(max) ( LL 由定義可知，求參數(shù)的極大似然估計(jì)問題，就是由定義可知，求參數(shù)的極大似

14、然估計(jì)問題，就是 求似然函數(shù)的最大值點(diǎn)問題求似然函數(shù)的最大值點(diǎn)問題。 以以多多大大可可能能的的函函數(shù)數(shù)，它它可可作作為為看看作作參參數(shù)數(shù) )(L 的一種度量的一種度量產(chǎn)生樣本值產(chǎn)生樣本值 n xxx, 21 達(dá)達(dá)到到最最大大值值的的最最大大似似然然估估計(jì)計(jì)法法：用用使使)L( 去估計(jì)去估計(jì) 相相應(yīng)應(yīng)的的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量的的最最大大似似然然估估計(jì)計(jì)值值，而而為為稱稱 ),( 21n XXX . 的的最最大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量參參數(shù)數(shù) 第七章分析參數(shù)估計(jì) 由于由于 1 lnln n i i Lp x ； lnL 與與 有相同的最大值點(diǎn)有相同的最大值點(diǎn) .因此，因此， 為為 L 最大似然估計(jì)的必要條件

15、為最大似然估計(jì)的必要條件為 ln 0 i L 1 2im， ， ， 稱它為似然方程稱它為似然方程, 其中其中 12 ,.,. m 用上述求導(dǎo)方法求參數(shù)的用上述求導(dǎo)方法求參數(shù)的MLE有時(shí)行不通，這有時(shí)行不通，這 時(shí)要用最大似然原則來求時(shí)要用最大似然原則來求 . 第七章分析參數(shù)估計(jì) 求最大似然估計(jì)量的一般步驟為：求最大似然估計(jì)量的一般步驟為： （1）求似然函數(shù)）求似然函數(shù) （2）一般地，求出）一般地，求出 Lln及似然方程及似然方程 0 ln i L mi,.,2 , 1 （3）解似然方程得到最大似然估計(jì)值）解似然方程得到最大似然估計(jì)值 nii xxx,., 21 mi,.,2 , 1 （4）最后

16、得到最大似然估計(jì)量）最后得到最大似然估計(jì)量 mi,.,2 , 1 n i i xpL 1 ; nii X,.,X,X 21 第七章分析參數(shù)估計(jì) 1 離散型離散型X; xpxXP 分分布布律律： 此時(shí)，此時(shí)， )( L n i i xXP 1 n i i xp 1 );( , 2211nn xXxXxXP 2 連續(xù)型連續(xù)型X; xp密度函數(shù)：密度函數(shù)： 此時(shí)，此時(shí)， )( L n i i xp 1 );( 有有關(guān)關(guān)，與與樣樣本本值值),()( 21n xxxL ),( 21n xxx ),( 21n XXX , 的的最最大大似似然然估估計(jì)計(jì)值值參參數(shù)數(shù) . 的的最最大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量參參數(shù)

17、數(shù) 第七章分析參數(shù)估計(jì) 例例4 4 解解 設(shè)總體設(shè)總體X服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為 ， 0 , 0 0 , e )( x x xf x ),( 1n XX 是是取取自自X的的樣樣本本，求求未未知知參參數(shù)數(shù) 的的矩矩法法估估 計(jì)計(jì)量量及及極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量。 (1) (1) ， 1 EX 所所以以 的的矩矩法法估估計(jì)計(jì)量量為為 ， EX 1 . 1 X (2) (2) n i xi L 1 )e( ,e 1 n i i x n 第七章分析參數(shù)估計(jì) 所所以以 的的矩矩法法估估計(jì)計(jì)量量為為 . 1 X (2) (2) n i xi L 1 )e( ,e 1 n i

18、 i x n ， n i i xnL 1 lnln n i i x nL 1 d lnd ， 令令 0 得得 n i i X n 1 ， X 1 即為即為 的極大似然估計(jì)量。的極大似然估計(jì)量。 第七章分析參數(shù)估計(jì) 設(shè)設(shè)總總體體),( 2 NX，樣樣本本),( 1n XX ，其其中中 和和 2 未未知知，試試求求 和和 2 的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量。 例例4 4 解解 n xi L 1i 2 )( 2 2 e 2 1 ， n i i x n 1 2 2 2 )( e) 2 1 ( ， n i i x nn L 1 2 2 2 )( 2 1 ln 2 )2ln( 2 ln 令令 0)( )

19、(2 1 2 ln 0)( 1ln 1 2 2222 1 2 n i i n i i x nL x L 第七章分析參數(shù)估計(jì) 令令 0)( )(2 1 2 ln 0)( 1ln 2 2222 2 i i x nL x L 解得解得，XX n n i i 1 1 .)( 1 2 1 22 BXX n n i i 即即為為 和和 2 的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量。 它們與相應(yīng)的矩估計(jì)量相同。它們與相應(yīng)的矩估計(jì)量相同。 第七章分析參數(shù)估計(jì) ),( 1n XX 是是取取自自 X 的的樣樣本本，1 是是未未知知參參數(shù)數(shù), , 試試分分別別用用矩矩法法和和極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)法法給給出出 的的估估計(jì)

20、計(jì)量量。 例例5 5 解解 else, 0 10,) 1( )( xx xf 設(shè)總體設(shè)總體X的概率密度為的概率密度為 總體總體X的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為 xxxfXEd)()( ， EX EX 1 12 1 0 1 d)1(xx ， 2 1 得得 的矩估計(jì)量為的矩估計(jì)量為 . 1 12 X X 第七章分析參數(shù)估計(jì) else, 0 10,) 1( )( xx xf 似然函數(shù)為似然函數(shù)為 else, 0 ), 1( 10,)() 1( )( 1 nixx L i n i i n ,ln)1ln(ln 1 n i i xnL n i i x nL 1 ln 1d lnd ， 令令 0 第七章分析參數(shù)

21、估計(jì) n i i x nL 1 ln 1d lnd ， 令令 0 . ln 1 1 n i i X n 解得解得 的極大似然估計(jì)量為的極大似然估計(jì)量為 比較：比較：的矩估計(jì)量為的矩估計(jì)量為 . 1 12 X X 第七章分析參數(shù)估計(jì) 設(shè)設(shè)總總體體X服服從從均均勻勻分分布布), 0( U, ,),( 1n XX 是是 取取自自X的的樣樣本本，求求未未知知參參數(shù)數(shù) 的的最最大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量。 例例6 6 解解 ， 其它其它 , 0 0 , 1 );( x xf 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 ), 0( U 似然函數(shù)為似然函數(shù)為 n i n n i xx xfL 1 1 , 0 ,0 , 1 );

22、()( 其其它它 第七章分析參數(shù)估計(jì) 其它其它 , 0 ,max , 1 1n n xx n i n n i xx xfL 1 1 , 0 ,0 , 1 );()( 其其它它 顯顯然然當(dāng)當(dāng) i ni X 1 max 時(shí)時(shí), ,L最最大大， 故故 的的極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量為為 i ni X 1 max . . 比較：比較： .2 X 的的矩矩法法估估計(jì)計(jì)量量為為 第七章分析參數(shù)估計(jì) 由上例由上例, , 我們看到對(duì)于同一個(gè)未知參數(shù)我們看到對(duì)于同一個(gè)未知參數(shù), ,由不同的由不同的 方法可以得到不同的估計(jì)量方法可以得到不同的估計(jì)量. . 在本例中在本例中, ,如果如果X表示乘客的候車時(shí)間表示乘

23、客的候車時(shí)間, ,隨機(jī)抽樣得隨機(jī)抽樣得 到的到的5位乘客的候車時(shí)間為位乘客的候車時(shí)間為 0.5, 1, 2, 3.5, 8,則其矩估計(jì)則其矩估計(jì) 值為值為6, ,而其極大似然估計(jì)值為而其極大似然估計(jì)值為8. . 第七章分析參數(shù)估計(jì) 設(shè)設(shè)總總體體),(pNBX, ,樣樣本本),( 1n XX , ,求求p的的極極 大大似似然然估估計(jì)計(jì)量量。 例例7 7 解解 下面再舉一個(gè)離散型總體的例子。下面再舉一個(gè)離散型總體的例子。 概率函數(shù)為概率函數(shù)為 ， iii xNxx Ni ppCxXP )1(ni, 2 , 1 似然函數(shù)為似然函數(shù)為 ， n i xNxx N n i i iii ppCxXPL 11

24、 )1()( ， n i i n i i n i x N xNpxpCL i 111 )()1ln(lnlnln 第七章分析參數(shù)估計(jì) )( 1 11 d lnd 11 n i i n i i xnN p x pp L ， 令令 0 解得解得p的極大似然估計(jì)量為的極大似然估計(jì)量為 nN X p n i i 1 . N X 比較：比較：,NpEX , N EX p 所以所以p的矩法估計(jì)量為的矩法估計(jì)量為 , N X p 兩者相同。兩者相同。 ， n i i n i i n i x N xNpxpCL i 111 )()1ln(lnlnln 第七章分析參數(shù)估計(jì) 解：解： 1 1 1 1 )( n n

25、 n i i xxxL , , i xnLln)1(lnln , , 0ln d lnd 令令 i x nL , , 的最大似然估計(jì)為的最大似然估計(jì)為 i x n ln 。 總總體體X的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為 其其它它0 10 )( 1 xx xf )0( ， n XXX, 21 為為樣樣本本，求求參參數(shù)數(shù) 的的最最大大似似然然估估計(jì)計(jì)。 1.1. 矩估計(jì)：矩估計(jì)： X X 1 第七章分析參數(shù)估計(jì) 設(shè)總體設(shè)總體X X的分布率為的分布率為 X 21 3 1，2，2，2，3，為一組樣本觀察值，求，為一組樣本觀察值，求 的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)的矩估計(jì)和最大似然估計(jì). 解解 43(1 3 )34EX

26、1 (12223)2 5 X 由 3420.25EXX 矩估計(jì)矩估計(jì) 第七章分析參數(shù)估計(jì) 最大似然估計(jì)最大似然估計(jì) 似然函數(shù)似然函數(shù) 4 ( )1 2 2 2 3 8(1 3 ) LP XP XP XP XP X ln( )ln84lnln(1 3 )L ln ( )434 0 1 315 dL d 兩種估計(jì)方法所得結(jié)果不一樣兩種估計(jì)方法所得結(jié)果不一樣. 第七章分析參數(shù)估計(jì) 解：解： n i x i i xL 1 1 e i x nnn xxe)( 1 1 , , ii xxnnLln)1(lnlnln , , 0 d lnd 令令 i x nL , , n i i x n 1 的的最最大大似

27、似然然估估計(jì)計(jì)為為 設(shè)設(shè)總總體體X的的密密度度函函數(shù)數(shù) 0 0 0 e )( 1 x xx xf x ， ， ， 其其中中0 為為已已知知，0 為為未未知知參參數(shù)數(shù)，),( 1n XX 是是X的的 樣樣本本，求求 的的最最大大似似然然估估計(jì)計(jì)。 2.2. 第七章分析參數(shù)估計(jì) 第二節(jié)第二節(jié) 估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn) 1.無偏性無偏性 2.有效性有效性 3.相合性相合性 第七章分析參數(shù)估計(jì) 對(duì)于同一個(gè)參數(shù)對(duì)于同一個(gè)參數(shù), ,用不同的方法可以得到不同的用不同的方法可以得到不同的 估計(jì)量估計(jì)量. . 現(xiàn)在的問題是現(xiàn)在的問題是, ,當(dāng)同一參數(shù)出現(xiàn)多個(gè)估計(jì)當(dāng)同一參數(shù)出現(xiàn)多個(gè)估計(jì) 量時(shí)量時(shí), ,究竟

28、哪一個(gè)更好呢究竟哪一個(gè)更好呢? ? 這就涉及到用什么標(biāo)準(zhǔn)這就涉及到用什么標(biāo)準(zhǔn) 來評(píng)價(jià)估計(jì)量的問題來評(píng)價(jià)估計(jì)量的問題. . 確定估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn)必須是確定估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn)必須是整體性整體性的的, ,說得說得 明確一點(diǎn)就是明確一點(diǎn)就是, ,必須在大量觀察的基礎(chǔ)上從統(tǒng)計(jì)的必須在大量觀察的基礎(chǔ)上從統(tǒng)計(jì)的 意義上來評(píng)價(jià)估計(jì)量的好壞意義上來評(píng)價(jià)估計(jì)量的好壞. .也就是說也就是說, ,估計(jì)的好估計(jì)的好 壞取決于估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)壞取決于估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì). .一般認(rèn)為一般認(rèn)為, ,一個(gè)一個(gè)“好好” 的估計(jì)量應(yīng)該具有如下的條件的估計(jì)量應(yīng)該具有如下的條件: : 第七章分析參數(shù)估計(jì) 設(shè)設(shè)),( 1n XX 是是總總體

29、體X的的 一一個(gè)個(gè)樣樣本本, ,),( 1n XX 是是未未知知參參數(shù)數(shù) 的的估估計(jì)計(jì)量量, ,如如果果有有 估計(jì)量是隨機(jī)變量估計(jì)量是隨機(jī)變量, 對(duì)于不同的樣本值就會(huì)得到對(duì)于不同的樣本值就會(huì)得到 不同的估計(jì)值不同的估計(jì)值, 希望估計(jì)值在未知參數(shù)真值左右徘徊希望估計(jì)值在未知參數(shù)真值左右徘徊, 最好它的數(shù)學(xué)期望等于未知參數(shù)的真值最好它的數(shù)學(xué)期望等于未知參數(shù)的真值, 這就導(dǎo)致了這就導(dǎo)致了 無偏性這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。無偏性這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。 定義定義 ， ) (E 則則稱稱 為為 的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)量量。 一、無偏性一、無偏性 (Unbiasedness) 第七章分析參數(shù)估計(jì) 設(shè)設(shè)),( 1n XX 為為取取自自總總

30、體體X的的樣樣本本， ，)()(XEXE 說說明明X是是總總體體均均值值)(XE的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)； 樣本方差樣本方差 ， n i i XX n S 1 22 )( 1 1 ，)()( 2 XDSE 說說明明 2 S是是總總體體方方差差)(XD的的無無偏偏估估計(jì)計(jì). . ，二階中心矩二階中心矩 n i i XX n B 1 2 2 )( 1 ，)( 1 )( 2 XD n n BE 說說明明 2 B是是)(XD的的有有偏偏估估計(jì)計(jì). . 第七章分析參數(shù)估計(jì) 設(shè)設(shè)0)( XD, , )(XE, ,試試問問 2 X是是否否為為 2 的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)？ 設(shè)設(shè)總總體體X服服從從均均勻勻分分布布)

31、, 0( U，試試證證 的的矩矩法法估估計(jì)計(jì)量量X2 是是 的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)量量。 例例1 1 證證 )2() (XEE )(2XE )(2XE . 2 2 例例2 2 )( 2 XE 2 )( 1 XD n , 2 證證 故故 2 X不不是是 2 的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)。 2 )()(XEXD 第七章分析參數(shù)估計(jì) 二、有效性二、有效性 (Efficiency) 一般來說一般來說,一個(gè)參數(shù)往往有多個(gè)無偏估計(jì)量一個(gè)參數(shù)往往有多個(gè)無偏估計(jì)量. 若若 有兩個(gè)無偏估計(jì)量有兩個(gè)無偏估計(jì)量: 21 , , 則則 21 ba 當(dāng)當(dāng)a+b=1時(shí)也是時(shí)也是 的無偏估計(jì)量。的無偏估計(jì)量。 估計(jì)量的無偏性只保證了

32、估計(jì)量的取值在參數(shù)真估計(jì)量的無偏性只保證了估計(jì)量的取值在參數(shù)真 值周圍波動(dòng)值周圍波動(dòng),但是波動(dòng)的幅度有多大呢但是波動(dòng)的幅度有多大呢?自然的自然的, 我我 們希望估計(jì)量波動(dòng)的幅度越小越好們希望估計(jì)量波動(dòng)的幅度越小越好,幅度越小幅度越小,則估則估 計(jì)量取值與參數(shù)真值有較大偏差的可能性越小計(jì)量取值與參數(shù)真值有較大偏差的可能性越小,而而 衡量隨機(jī)變量波動(dòng)幅度的量就是方差衡量隨機(jī)變量波動(dòng)幅度的量就是方差.這樣就有了這樣就有了 我們下面要介紹的有效性的概念我們下面要介紹的有效性的概念. 第七章分析參數(shù)估計(jì) 設(shè)設(shè)),( 321 XXX為為取取自自總總體體X的的樣樣本本, , 試試證證明明下下列列 三三個(gè)個(gè)統(tǒng)

33、統(tǒng)計(jì)計(jì)量量均均為為EX的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)量量，并并比比較較有有效效性性. . 設(shè)設(shè)總總體體有有一一未未知知參參數(shù)數(shù) , ,樣樣本本),( 1n XX ， 21 , 均均為為 的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)，如如果果 定義定義 ) () ( 21 DD 則則稱稱 1 比比 2 有有效效。 例例3 3 , 2 1 10 3 5 1 3211 XXX , 6 1 2 1 3 2 3212 XXX . 3 1 3 1 3 1 3213 XXX 第七章分析參數(shù)估計(jì) , 2 1 10 3 5 1 3211 XXX , 6 1 2 1 3 2 3212 XXX . 3 1 3 1 3 1 3213 XXX 證證 )

34、 2 1 10 3 5 1 () ( 3211 XXXEE ,) 6 1 2 1 3 2 () ( 2 EXEXE ,) 3 1 3 1 3 1 () ( 3 EXEXE ,) 2 1 10 3 5 1 (EXEX 所所 以以 321 , , 均均為為EX的的無無偏偏 估估計(jì)計(jì)量量。 第七章分析參數(shù)估計(jì) , 2 1 10 3 5 1 3211 XXX 證證 所所以以 3 最最 為為有有效效。 ) 2 1 10 3 5 1 () ( 3211 XXXDD ,72. 0) 36 1 4 1 9 4 () ( 2 DXDXD .33 . 0 ) 9 1 9 1 9 1 () ( 3 DXDXD ,3

35、8. 0) 4 1 100 9 25 1 (DXDX , 6 1 2 1 3 2 3212 XXX . 3 1 3 1 3 1 3213 XXX 第七章分析參數(shù)估計(jì) 可以證明，若可以證明，若,1 21 n ccc 則當(dāng)則當(dāng) n ccc n 1 21 時(shí)，時(shí)， 22 2 2 1n ccc 達(dá)到最小。達(dá)到最小。 第七章分析參數(shù)估計(jì) 從從正正態(tài)態(tài)總總體體),( 2 NX中中分分別別抽抽取取容容量量 為為 1 n和和 2 n的的兩兩個(gè)個(gè)相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的樣樣本本， 其其樣樣本本方方差差分分別別為為 2 1 S和和 2 2 S，它它們們都都是是 2 的的無無偏偏估估計(jì)計(jì)。當(dāng)當(dāng) 21 nn 時(shí)時(shí)， 有有

36、 )()( 2 2 2 1 SDSD 。 定理定理 此定理說明此定理說明, ,增加樣本容量增加樣本容量可提高估計(jì)量的有效性?？商岣吖烙?jì)量的有效性。 第七章分析參數(shù)估計(jì) 三、一致性或相合性三、一致性或相合性 (Consistency) 定義定義 如如果果對(duì)對(duì)0 , ,有有 ，0| |lim n n P 則稱則稱 n 是是 的的一致估計(jì)量一致估計(jì)量或或相合估計(jì)量相合估計(jì)量。 時(shí)時(shí),),( 21n XXX n. 即當(dāng)即當(dāng) 依概率收斂于依概率收斂于 直觀上看直觀上看,當(dāng)當(dāng)n增大時(shí)增大時(shí),樣本信息增多樣本信息增多,當(dāng)然希望當(dāng)然希望 估計(jì)量越來越靠近真值的概率也越來越大估計(jì)量越來越靠近真值的概率也越來越大

37、, 這種想這種想 法就引出了上面的一致性概念法就引出了上面的一致性概念. 一致估計(jì)量一般地一致估計(jì)量一般地 是當(dāng)樣本容量很大時(shí)是當(dāng)樣本容量很大時(shí),才能顯示其優(yōu)點(diǎn)才能顯示其優(yōu)點(diǎn). 第七章分析參數(shù)估計(jì) 由由切切比比雪雪夫夫大大數(shù)數(shù)定定律律, ,對(duì)對(duì)0 , ,有有 ，0) 1 (lim 1 EXX n P n i i n 可可知知X是是EX的的一一個(gè)個(gè)一一致致估估計(jì)計(jì)量量。 由辛欽大數(shù)定理可以證明，由辛欽大數(shù)定理可以證明， n i i XX n S 1 22 )( 1 1 是是DX的一致估計(jì)量。的一致估計(jì)量。 第七章分析參數(shù)估計(jì) 第三節(jié)第三節(jié) 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì) 置信區(qū)間定義置信區(qū)間定義 置信區(qū)間的求

38、法置信區(qū)間的求法 第七章分析參數(shù)估計(jì) 假如假如 是未知參數(shù)是未知參數(shù) 的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)的一個(gè)點(diǎn)估計(jì), ,那那 么一旦獲得樣本值么一旦獲得樣本值 , ,估計(jì)值估計(jì)值 就給出了一個(gè)確定的數(shù)就給出了一個(gè)確定的數(shù), ,這個(gè)數(shù)給我們一個(gè)關(guān)于該參數(shù)這個(gè)數(shù)給我們一個(gè)關(guān)于該參數(shù) 的明確的數(shù)量概念的明確的數(shù)量概念. .但是但是, ,我們必須注意到我們必須注意到, ,點(diǎn)估計(jì)值只點(diǎn)估計(jì)值只 是是 的一個(gè)的一個(gè)近似值近似值, ,它本身并沒有反映這種近似值的它本身并沒有反映這種近似值的精精 度度, ,也就是說它并沒有給出近似值的也就是說它并沒有給出近似值的誤差范圍誤差范圍. . ),( 21n XXX n xxx, 21

39、),( 21n xxx 更進(jìn)一步的更進(jìn)一步的, ,在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中僅僅知道誤差范圍在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中僅僅知道誤差范圍 也是不夠的也是不夠的, ,由于樣本的隨機(jī)性由于樣本的隨機(jī)性, ,這個(gè)誤差這個(gè)誤差 范圍是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間范圍是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間, ,于是就連它是否包含于是就連它是否包含 的真值都的真值都 成了疑問成了疑問. .因此因此, ,我們還必須建立一種統(tǒng)計(jì)推斷的方法我們還必須建立一種統(tǒng)計(jì)推斷的方法, , 希望通過它能確定這個(gè)區(qū)間包含希望通過它能確定這個(gè)區(qū)間包含 真值的概率真值的概率. . ) , ( 第七章分析參數(shù)估計(jì) 為了彌補(bǔ)點(diǎn)估計(jì)的不足為了彌補(bǔ)點(diǎn)估計(jì)的不足, ,本節(jié)討論區(qū)間估計(jì)的概本節(jié)討論區(qū)間估計(jì)

40、的概 念念. . 區(qū)間估計(jì)是一種重要的統(tǒng)計(jì)推斷方法區(qū)間估計(jì)是一種重要的統(tǒng)計(jì)推斷方法, , 它是由奈它是由奈 曼曼( (J.Neyman) )在在19341934年開始的一系列工作中引入的年開始的一系列工作中引入的, , 這種思想從確立之日起就引起了眾多統(tǒng)計(jì)學(xué)家的重視這種思想從確立之日起就引起了眾多統(tǒng)計(jì)學(xué)家的重視. . 點(diǎn)估計(jì)是用一個(gè)點(diǎn)點(diǎn)估計(jì)是用一個(gè)點(diǎn)( (即一個(gè)數(shù)即一個(gè)數(shù)) )去估計(jì)未知參數(shù)，去估計(jì)未知參數(shù)， 而區(qū)間估計(jì)，就是用一個(gè)區(qū)間去估計(jì)未知參數(shù)而區(qū)間估計(jì)，就是用一個(gè)區(qū)間去估計(jì)未知參數(shù). . 第七章分析參數(shù)估計(jì) ，），（ n xxx 2111 ，），（ n xxx 2122 ,1) ( 2

41、1 P使使 . , 21 和和置置信信上上限限分分別別稱稱為為置置信信下下限限 置信區(qū)間的含義置信區(qū)間的含義:固定樣本容量固定樣本容量n,然后進(jìn)行多次抽然后進(jìn)行多次抽 樣樣,每次抽樣得到一個(gè)區(qū)間每次抽樣得到一個(gè)區(qū)間, 由大數(shù)定律由大數(shù)定律,當(dāng)抽樣的次數(shù)當(dāng)抽樣的次數(shù) 足夠多時(shí)足夠多時(shí),包含包含 的真值的區(qū)間大約占的真值的區(qū)間大約占 . 即即 我們能以概率我們能以概率 的可信程度保證的可信程度保證,由樣本值代入由樣本值代入 中所得的區(qū)間包含中所得的區(qū)間包含 的真值的真值. )%1(100 )1( ) , ( 21 區(qū)間區(qū)間. 則稱區(qū)間則稱區(qū)間 為為 的的 , 21 1 置信水平為置信水平為的的置信

42、置信 1 1定義定義 ，給給定定是是總總體體的的一一個(gè)個(gè)未未知知參參數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)10 , 確定兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量確定兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 第七章分析參數(shù)估計(jì) 1. 要求要求 以很大的可能被包含在區(qū)間以很大的可能被包含在區(qū)間 內(nèi)，就是說，概率內(nèi)，就是說，概率 要盡可能大要盡可能大 . 即要求估計(jì)盡量可靠即要求估計(jì)盡量可靠. ( ,) P 2. 估計(jì)的精度要盡可能的高估計(jì)的精度要盡可能的高. 如要求區(qū)間長度如要求區(qū)間長度 盡可能短，盡可能短， 可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是在保證可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是在保證 可靠度的條件下盡可能提高精度可靠度的條件下盡可能提高精度. 第七章分析參數(shù)估計(jì) 尋找未知參數(shù)尋找未知參數(shù)

43、 的置信區(qū)間的基本步驟：的置信區(qū)間的基本步驟： (1)(1)選取一個(gè)樣本的函數(shù)選取一個(gè)樣本的函數(shù) ，);,( 21 n XXXZZ (2)(2)對(duì)于給定的置信度對(duì)于給定的置信度 , 定出常數(shù)定出常數(shù) , 使得使得 1ba, ， 1);,( 1 bXXZaP n 一般利用一般利用);,( 21 n ZXXZZ 所服從分布的分位點(diǎn)所服從分布的分位點(diǎn) 它只含待估參數(shù)它只含待估參數(shù) , ,而不含其它未知參數(shù)而不含其它未知參數(shù), ,它的分布已知它的分布已知 且不依賴于任何未知參數(shù)且不依賴于任何未知參數(shù)( (當(dāng)然也不包含參數(shù)當(dāng)然也不包含參數(shù) 本身本身) )； 來確定；來確定； (3)(3)利用不等式變形利

44、用不等式變形, 求得未知參數(shù)求得未知參數(shù) 的置信區(qū)間的置信區(qū)間, 若若 bXXZa n );,( 1 ),( ),( 1211nn XXXX 則區(qū)間則區(qū)間) ( 21 ，即為所求置信區(qū)間即為所求置信區(qū)間. 第七章分析參數(shù)估計(jì) 1. ) 1( ) 1( 2 2 2 n Sn 2. )( )( 2 1 2 2 2 n X n i i )1 ,0( N n X U )1( / nt nS X 1)()( 2 2 22 2 1 nnP 1)(| 2 nttP a 1| 2 uUP 1 x 2 Z 2 Z 0 2 2 (x) 附：常用統(tǒng)計(jì)量及分位點(diǎn)的確定方法 若若 XN（，2）: X1，X2，Xn )

45、1, 1( 212 2 2 1 2 2 nnF S S F Y X 第七章分析參數(shù)估計(jì) 4 4 正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì) 本節(jié)中只對(duì)本節(jié)中只對(duì)正態(tài)總體正態(tài)總體中的均值或方差進(jìn)行區(qū)間估計(jì)中的均值或方差進(jìn)行區(qū)間估計(jì). . 一、單個(gè)正態(tài)總體一、單個(gè)正態(tài)總體 的情形的情形 ),( 2 N 1. 1. 已知時(shí)已知時(shí) 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì) 2 此時(shí)選取樣本的函數(shù)為此時(shí)選取樣本的函數(shù)為 n X U / ，)1 , 0( N 為什么為什么 這樣取？這樣取？ ,1 對(duì)給定的置信水平對(duì)給定的置信水平 按標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上按標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位點(diǎn)的定義分位點(diǎn)的定義, , 查正態(tài)分布表

46、得查正態(tài)分布表得, 2 z 第七章分析參數(shù)估計(jì) 2/2/2/ / z n Xz n Xz n X ， 1| 2 z n X P 1. 1. 已知時(shí)已知時(shí) 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2 n X U / ，)1 , 0( N ，, 22 z n Xz n X 于是所求于是所求 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 簡記為簡記為 . )( 2/ z n X x O )(x 2/ z 2/ 1 2/ 2/ z 第七章分析參數(shù)估計(jì) 某某廠廠生生產(chǎn)產(chǎn)滾滾珠珠，直直徑徑X服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布),( 2 N。 為為了了估估計(jì)計(jì) ，抽抽檢檢 6 6 個(gè)個(gè)滾滾珠珠，測測得得直直徑徑為為)(mm：1 14 4. .7 70 0

47、， 1 15 5. .2 21 1，1 14 4. .9 90 0，1 14 4. .9 91 1，1 15 5. .3 32 2，1 15 5. .3 32 2， 例例1 1 解解 ( (1 1) ) 估估計(jì)計(jì)這這批批滾滾珠珠的的直直徑徑均均值值 ； ( (2 2) ) 若若已已知知方方差差05. 0 2 , ,求求 的的置置信信區(qū)區(qū)間間。 )05. 0( ( (1 1) ) 06.15 x， 即即為為 的的點(diǎn)點(diǎn)估估計(jì)計(jì)值值。 ( (2 2) ) 的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為 , ) , ( 2/2/ n zX n zX ,05. 0 ,96. 1 2/ z 所以所以 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為

48、) 6 05. 0 96. 106.15( . )24.15 , 88.14( 第七章分析參數(shù)估計(jì) ，, 22 z n Xz n X x O )(x 2/ z 2/ 1 2/ 2/ z 注注區(qū)間長度區(qū)間長度( (即精度即精度) )為為 n z 2/ 2, ,希望它小一點(diǎn)希望它小一點(diǎn), ,有有 兩條途徑兩條途徑: :一是減小一是減小 2/ z, ,但這勢必增大但這勢必增大 , ,從而降低從而降低 區(qū)間估計(jì)的可靠性區(qū)間估計(jì)的可靠性, ,因此一般用提高容量因此一般用提高容量n的方法的方法, ,在在 不降低可靠性的前提下不降低可靠性的前提下, ,提高精度提高精度( (縮小區(qū)間縮小區(qū)間).). 第七章分

49、析參數(shù)估計(jì) :解05. 0, 3 . 7,49n查表得查表得 8 .26 49 3 . 7 96. 18 .28 2 n ux 96. 1 025. 0 u 8 .30 49 3 . 7 96. 18 .28 2 n ux )8 .30, 8 .26(95. 0置置信信區(qū)區(qū)間間為為的的置置信信水水平平為為因因此此 現(xiàn)現(xiàn)取取一一服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布假假設(shè)設(shè)某某地地區(qū)區(qū)放放射射性性),3 . 7 ,( 2 N 其其樣樣本本均均值值的的樣樣本本大大小小為為,49，8 .28 x的置信水平的置信水平求求 的的置置信信區(qū)區(qū)間間和和為為)01. 0(99. 0)05. 0(95. 0 57. 2 00

50、5. 0 u 12.26 49 3 . 7 57. 28 .28 2 n ux 48.31 49 3 . 7 57. 28 .28 2 n ux )48.31, 2 .26(99. 0置置信信區(qū)區(qū)間間為為的的置置信信水水平平為為因因此此 第七章分析參數(shù)估計(jì) 2. 2. 未知時(shí)未知時(shí) 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2 設(shè)設(shè)總總體體),( 2 NX， 在通常情況下在通常情況下, , 2 都是未知的都是未知的, , 利利用用樣樣本本方方差差 2 S代代替替 2 ， 上一章已證得上一章已證得 , )1( / nt nS X T 由由給給定定的的 , ,查查表表得得分分位位數(shù)數(shù))1( 2/ nt , ,使使 .

51、1)1( / 2/ nt nS X P 第七章分析參數(shù)估計(jì) .1)1( / 2/ nt nS X P x O )1( 2/ nt 2/ 1 2/ )1( 2/ nt 即即得得 的的置置信信概概率率為為 1的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為 )1( , )1( 2/2/ n S ntX n S ntX 注注 如如果果n較較大大, ,則則用用 2/ z代代替替)1( 2/ nt 。 簡記為簡記為 .)1( 2/ nt n S X 第七章分析參數(shù)估計(jì) 為為估估計(jì)計(jì)一一物物體體的的重重量量 ，用用天天平平秤秤了了五五次次，得得結(jié)結(jié) 果果)(g: : 5 5. .5 52 2，5 5. .4 48 8，5 5.

52、.6 64 4，5 5. .5 51 1，5 5. .4 43 3。假假定定測測量量值值是是 正正態(tài)態(tài)的的，求求 的的9 95 5% %的的置置信信區(qū)區(qū)間間。 例例3 3 解解,516. 5 X,07765. 0 S ,05. 0 .7764. 2)4( 2/ t 所所以以 的的 9 95 5% %的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為 ) )1( 2/ n S ntX ) 5 07765. 0 7764. 2516. 5( . )612. 5 , 420. 5( 第七章分析參數(shù)估計(jì) 4例例 求得求得的正態(tài)總體的一個(gè)樣本的正態(tài)總體的一個(gè)樣本已知來自容量為已知來自容量為,25 n 樣本平均數(shù)為樣本平均數(shù)為,

53、5 .38x試試對(duì)對(duì)總總樣樣本本標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差為為, 3 . 2 s )05. 0( 體的均值作區(qū)間估計(jì)體的均值作區(qū)間估計(jì) 解解：查查表表得得由由,05. 025, 3 . 2 ns, 5 .38 x已知已知 064. 2)24()1( 025. 0 2 tnt 于是于是55.37 2 n s tx 45.39 2 n s tx )45.39,55.37(計(jì)計(jì)為為所所求求總總體體均均值值的的區(qū)區(qū)間間估估 第七章分析參數(shù)估計(jì) 3. 3. 未知時(shí)未知時(shí) 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2 考慮隨機(jī)變量考慮隨機(jī)變量 )1( )1( 2 2 2 2 n Sn 1)1( )1( )1( 2 2/ 2 2 2 21

54、n Sn nP 即即 1 )1( )1( )1( )1( 2 21 2 2 2 2 2 n Sn n Sn P 由由 得得 2 的置信水平為的置信水平為 1的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 )1( )1( , )1( )1( 2 21 2 2 2 2 n Sn n Sn 第七章分析參數(shù)估計(jì) x O 2/ )(xf ) 1( 2 2/ n ) 1( 2 2/1 n 2/ )1( )1( , )1( )1( 2 21 2 2 2 2 n Sn n Sn 其中其中 n i i XXSn 1 22 )()1( 而而 的的置置信信水水平平為為 1的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為 )1( 1 , )1( 1 2 21 2

55、 2 n Sn n Sn 第七章分析參數(shù)估計(jì) 測測得得重重量量分分別別為為袋袋隨隨機(jī)機(jī)抽抽查查 其其重重量量服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布，粉粉某某自自動(dòng)動(dòng)包包裝裝機(jī)機(jī)包包裝裝洗洗衣衣 ,12 , 999998100299610001004 1000999997100310041001 )05. 0(? 裝裝的的洗洗衣衣粉粉重重量量的的方方差差如如何何估估計(jì)計(jì)該該包包裝裝機(jī)機(jī)所所包包 ,816. 311 2 975. 0 ）（ ,92.2111 2 025. 0 ）（ ,25.76) 1( 2 Sn 816. 3 25.76 , 92.21 25.76 )1( )1( , )1( )1( 2 2/1

56、 2 2 2/ 2 n Sn n Sn . )98.19,48. 3( . )47. 4 ,87. 1(95. 0的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為的的 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為的的所以所以95. 0 2 例例5 5 解解 第七章分析參數(shù)估計(jì) 二、兩個(gè)正態(tài)總體二、兩個(gè)正態(tài)總體與與),( 2 11 N),( 2 22 N的情形的情形 下面介紹兩個(gè)正態(tài)總體下面介紹兩個(gè)正態(tài)總體均值差均值差和和方差比方差比的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì). . 設(shè)設(shè)兩兩個(gè)個(gè)正正態(tài)態(tài)總總體體）（ 2 11, NX, ,）（ 2 22, NY相相互互獨(dú)獨(dú)立立， 分分別別抽抽取取樣樣本本),( 1 21n XXX和和),( 2 21n YYY，

57、 各自的樣本均值和樣本方差分別記為各自的樣本均值和樣本方差分別記為,YX., 22 YX SS 1. 1. 與與 已知時(shí)已知時(shí) 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2 1 2 2 21 由上一章知，由上一章知， )1 , 0( )()( 2 2 2 1 2 1 21 N nn YX Z 第七章分析參數(shù)估計(jì) 1. 1. 與與 已知時(shí)已知時(shí) 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2 1 2 2 21 由上一章知，由上一章知， )1 , 0( )()( 2 2 2 1 2 1 21 N nn YX Z 所以所以 21 的置信水平為的置信水平為 1的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 2 2 2 1 2 1 2/ nn zYX 第七章分析參數(shù)

58、估計(jì) 2. 2. 未知時(shí)未知時(shí) 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 22 2 2 1 21 由上一章知，由上一章知， 所以所以 21 的置信水平為的置信水平為 1的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 )2( 11 )( 21 21 21 nnt nn S YX T w ）（ 其中其中 . 2 )1()1( 21 2 2 2 12 nn SnSn S YX w 21 212/ 11 )2( nn SnntYX w 第七章分析參數(shù)估計(jì) 某工廠一條生產(chǎn)燈泡的流水線某工廠一條生產(chǎn)燈泡的流水線, ,在工藝改變前后在工藝改變前后 分別抽檢若干件產(chǎn)品的壽命分別抽檢若干件產(chǎn)品的壽命, ,得數(shù)據(jù)為得數(shù)據(jù)為 例例6 6 解解 改變前：改變

59、前： ;156,1364, 6 2 1 X SXn 改變后：改變后： .172,1407, 9 2 2 Y SYn 假定燈泡壽命服從正態(tài)分布假定燈泡壽命服從正態(tài)分布, ,且工藝改變前后方差不變且工藝改變前后方差不變, , 試求工藝改變前后平均壽命之差的試求工藝改變前后平均壽命之差的95%95%的置信區(qū)間的置信區(qū)間. . ,88.12 13 17281565 2 )1()1( 21 2 2 2 1 nn SnSn S YX W ,05. 0 ,16. 2)13( 2/ t ,43 XY,7 .14 9 1 6 1 88.1216. 2 第七章分析參數(shù)估計(jì) ,43 XY,7 .14 9 1 6 1

60、 88.1216. 2 所以所以 12 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 11 )13( 21 2/ nn StXY W )7 .1443 , 7 .1443( . )3 .57 , 3 .28( 第七章分析參數(shù)估計(jì) 3. 3. 兩個(gè)總體方差比兩個(gè)總體方差比 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2 2 2 1 由上一章知，由上一章知， )1, 1( 212 2 2 1 2 2 nnF S S F Y X 記記 ) 1, 1( 212/11 nnF , )1, 1( 212/2 nnF x O 2/ )(xf 2 1 2/ , )1, 1( 1 122/ nnF 由由 1 21 FP 第七章分析參數(shù)估計(jì) , )1,