有限單元法原理及應(yīng)用

1、.1 感謝 大學(xué)力學(xué)論壇大學(xué)力學(xué)論壇 網(wǎng)友分享 有限單元法原理及應(yīng)用有限單元法原理及應(yīng)用 簡明教程簡明教程 .2 有限單元法原理及應(yīng)用有限單元法原理及應(yīng)用 簡明教程簡明教程 .3 內(nèi)容結(jié)構(gòu)內(nèi)容結(jié)構(gòu) 第一章第一章 概述概述 第八章第八章 關(guān)于板殼單元關(guān)于板殼單元 第九章第九章 結(jié)構(gòu)動力分析的有限單元法結(jié)構(gòu)動力分析的有限單元法 第六章第六章 空間問題的有限單元法空間問題的有限單元法 第七章第七章 軸對稱旋轉(zhuǎn)單元軸對稱旋轉(zhuǎn)單元 第十章第十章 結(jié)構(gòu)非線形分析的有限單元法簡介結(jié)構(gòu)非線形分析的有限單元法簡介 第五章第五章 等參元等參元 第四章第四章 平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法平面結(jié)構(gòu)問題的有限單元法 第三章

2、第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 .4 第一章第一章 概述概述 1.1 有限單元法的概念有限單元法的概念 返回全書目錄返回全書目錄 1.2 有限單元法基本步驟有限單元法基本步驟 1.3 工程實例工程實例 .5 第一章第一章 概述概述 1.1 有限單元法的概念有限單元法的概念 基本思想基本思想:借助于數(shù)學(xué)和力學(xué)知識，利用計算機技術(shù)而 解決工程技術(shù)問題 三大類型三大類型(按其推導(dǎo)方法分): (1) 直接剛度法直接剛度法(簡稱直接法簡稱直接法): 根據(jù)單元的物理意義，建立有關(guān)場變量表示的單元 性質(zhì)方程。 (2) 變分法變

3、分法 直接從求解泛函的極值問題入手，把泛函的極植問 題規(guī)劃成線性代數(shù)方程組，然后求其近似解的一種計算 方法。 (3) 加權(quán)余量法加權(quán)余量法 直接從控制方程中得到有限單元方程，是一種近似 解法。 返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄 .6 1.2 有限單元法基本步驟有限單元法基本步驟 (1) 待求解域離散化待求解域離散化 (2) 選擇插值函數(shù)選擇插值函數(shù) (3) 形成單元性質(zhì)的矩陣方程形成單元性質(zhì)的矩陣方程 (4) 形成整體系統(tǒng)的矩陣方程形成整體系統(tǒng)的矩陣方程 (5) 約束處理，求解系統(tǒng)方程約束處理，求解系統(tǒng)方程 (6) 其它參數(shù)計算其它參數(shù)計算 第一章第一章 概述概述 返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄 .7 圖1

4、-2 工程問題有限單元法分析流程 第一章第一章 概述概述 .8 1.3 工程實例工程實例 (a) 鏟運機舉升工況測試 第一章第一章 概述概述 (b) 鏟運機工作裝置插入工況有限元分析 圖1-3 WJD-1.5型電動鏟運機 返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄 .9 第一章第一章 概述概述 (a) KOMATSU液壓挖掘機 (b) 某液壓挖掘機動臂限元分析 圖1-4 液壓挖掘機 .10 圖1-5 駕駛室受側(cè)向力應(yīng)力云圖 圖1-6 接觸問題結(jié)構(gòu)件應(yīng)力云圖 第一章第一章 概述概述 .11 第一章第一章 概述概述 圖1-7 液壓管路速度場分布云圖 圖1-8 磨片熱應(yīng)力云圖 圖1-9 支架自由振動云圖 .12 第二

5、章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 2.1 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造的必要性結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造的必要性 2.2 結(jié)構(gòu)計算基本知識結(jié)構(gòu)計算基本知識 2.3 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析的自由度與約束結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析的自由度與約束 2.4 自由度計算公式自由度計算公式 2.5 結(jié)構(gòu)幾何不變結(jié)構(gòu)組成規(guī)律結(jié)構(gòu)幾何不變結(jié)構(gòu)組成規(guī)律 2.6 平面結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析示例平面結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析示例 2.7 空間結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析空間結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 返回全書目錄返回全書目錄 .13 2.1 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造的必要性結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造的必要性 結(jié)構(gòu)是用來承受和傳遞載荷的。結(jié)構(gòu)是用來承受和傳遞載荷的。如果不計材料的 應(yīng)變，在其受到任意載荷作用時其形狀

6、和位置沒有發(fā) 生剛體位移時，稱之為幾何不變結(jié)構(gòu)或幾何穩(wěn)定結(jié)構(gòu)， 反之則稱為幾何可變結(jié)構(gòu)或幾何不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。幾何可 變結(jié)構(gòu)不能承受和傳遞載荷。對結(jié)構(gòu)進行幾何構(gòu)造分 析也是能夠?qū)こ探Y(jié)構(gòu)作有限單元法分析的必要條件。 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄 .14 (a) 結(jié)構(gòu)本身可變 (b) 缺少必要的約束條件 (c) 約束匯交于一點 圖2-1 幾何可變結(jié)構(gòu) 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 .15 2.2 結(jié)構(gòu)計算基本知識結(jié)構(gòu)計算基本知識 2.2.1 結(jié)構(gòu)計算簡圖結(jié)構(gòu)計算簡圖 實際結(jié)構(gòu)總是很復(fù)雜的，完全按照結(jié)構(gòu)的實際情況 進行力學(xué)分析是不可能的，也是

7、不必要的，因此在對實 際結(jié)構(gòu)進行力學(xué)計算之前，必須將其作合理的簡化，使 之成為既反映實際結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)與特點，又便于計算 的幾何圖形。這種被抽象化了的簡單的理想圖形稱之為 結(jié)構(gòu)的計算簡圖，有時也稱為結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型。 結(jié)構(gòu)計算所常用的結(jié)點和支座的簡化形式結(jié)構(gòu)計算所常用的結(jié)點和支座的簡化形式: （1）結(jié)點： 鉸結(jié)點； 剛結(jié)點； 混合結(jié)點。 （2）支座： 活動鉸支座； 固定鉸支座 ； 固定支座 ； 定向支座 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄 .16 2.2.2 結(jié)構(gòu)的分類與基本特征結(jié)構(gòu)的分類與基本特征 按結(jié)構(gòu)在空間的位置分 結(jié)構(gòu)可分為平面結(jié)構(gòu)和空間結(jié)構(gòu)兩大類

8、(2) 按結(jié)構(gòu)元件的幾何特征分 桿系結(jié)構(gòu)： 梁、拱、桁架、剛架、桁構(gòu)結(jié)構(gòu)等 。 板殼結(jié)構(gòu) 實體結(jié)構(gòu)實體結(jié)構(gòu)的長、寬、高三個尺寸都很 大，具有同一量級。 混合結(jié)構(gòu) 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 .17 (3) 按結(jié)構(gòu)自由度分 靜定結(jié)構(gòu)自由度為零的幾何不變結(jié)構(gòu)。其特征: a. 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及支座反力可全部由平衡方程式 求出，并且解答是唯一的。 b. 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及支座反力與材料的性質(zhì)和截面 特征（幾何尺寸，形狀）無關(guān)。 c. 靜定結(jié)構(gòu)上無外載荷作用時，其內(nèi)力及支座反力 全為零。 d. 若靜定結(jié)構(gòu)在載荷作用下， 結(jié)構(gòu)中的某一部分 能不依靠于其它部分， 獨立地與載荷保持平衡時，則

9、 其它部分的內(nèi)力為零。 e. 當(dāng)將一平衡力系作用于靜定結(jié)構(gòu)的一個幾何不變 部分時，結(jié)構(gòu)的其余部分都無內(nèi)力產(chǎn)生。 f. 當(dāng)靜定結(jié)構(gòu)中的一個內(nèi)部幾何不變部分上的載 荷作等效變換時，其余部分的內(nèi)力不變。 g. 當(dāng)靜定結(jié)構(gòu)中的一個內(nèi)部兒何不變部分作構(gòu)造 改變時，其余部分的內(nèi)力不變。 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 .18 超靜定結(jié)構(gòu)自由度大于零的幾何不變結(jié)構(gòu)。其特 性： a. 超靜定結(jié)構(gòu)僅僅滿足靜力平衡條件的解有無窮多 個，但同時滿足結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)條件的解僅有一個。 b. 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及支反力不僅與載荷有關(guān)，而 且與林料的力學(xué)性能和截面尺寸有關(guān)。 c. 超靜定結(jié)構(gòu)在非載荷因素作用下，

10、如溫度變化、 支座沉陷、制造誤差等而產(chǎn)生的位移會受到多余約束的 限制，結(jié)構(gòu)內(nèi)必將產(chǎn)生內(nèi)力。 d. 超靜定結(jié)構(gòu)中的多余約束破壞后，結(jié)構(gòu)仍然保持 幾何不變性，因而仍有一定的承載能力， 不致整個結(jié)構(gòu) 遭受破壞。 e. 超靜定結(jié)構(gòu)由于具有多余的約束，因而比相應(yīng)的 靜定結(jié)構(gòu)具有較大的剛度和穩(wěn)定性， 在載荷作用下，內(nèi) 力分布也較均勻，且內(nèi)力峰值也較靜定結(jié)構(gòu)為小。 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 .19 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 (1) 具有奇數(shù)跨的剛架 正對稱載荷作用 2.2.3 結(jié)構(gòu)對稱性的利用結(jié)構(gòu)對稱性的利用 對稱結(jié)構(gòu)在正對稱載荷下，對稱軸截面上只能產(chǎn)生 正對稱的

11、位移，反對稱的位移為零；對稱結(jié)構(gòu)在反對稱 載荷下，對稱軸截面上只有反對稱的位移，正對稱的位 移為零。 (a) 對稱剛架 （b) 變形狀態(tài)分析 (c) 對稱性利用 圖2-22對稱性利用示意圖 .20 對稱剛架承受反對稱載荷作用 (a) 對稱剛架 (b) 變形狀態(tài)分析 (c) 反對稱性利用 圖2-23 反對稱性利用示意圖 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 .21 (a) 變形狀態(tài)分析 (b) 對稱性利用 圖2-24對稱性利用示意圖 (2) 具有偶數(shù)跨的剛架 正對稱載荷作用 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 .22 反對稱載荷作用 (b) 反對稱性狀態(tài)分析 第二章第二章

12、結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 (a) 變形狀態(tài)分析 (c) 反對稱性受力分析 (d) 反對稱性利用 圖2-25對稱性利用示意圖 .23 2.3 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析的自由度與約束結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析的自由度與約束 (1) 自由度自由度 指結(jié)構(gòu)在所在空間運動時，可以獨立改變的幾何 參數(shù)的數(shù)目，也就是確定該結(jié)構(gòu)位置時所需的獨立參 數(shù)的數(shù)目。 (2) 約束約束 指減少結(jié)構(gòu)自由度的裝置，即限制結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)運動 的裝置。 a. 支座鏈桿的約束 b. 鉸的約束: 單鉸； 復(fù)鉸； 完全鉸與不完 全鉸。 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄 .24 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)

13、構(gòu)幾何構(gòu)造分析 (1)桁架自由度計算公式桁架自由度計算公式 一個平面體系的自由度計算結(jié)果，不外下述三種一個平面體系的自由度計算結(jié)果，不外下述三種 可能：可能： a. W0 表明結(jié)構(gòu)缺少必要的約束， 可運動， 故 結(jié)構(gòu)必定是幾何可變體系。 b. W=0 表明結(jié)構(gòu)具有保證幾何不變所需的最少的 約束數(shù)。 c. W0 表明結(jié)構(gòu)具有多余約束。 2.4 自由度計算公式自由度計算公式 zgjW 2 zgjW 3 平面桁架 空間桁架 桁架中的結(jié)點數(shù)為j，桿件數(shù)為g，支座鏈桿數(shù)為z， 則桁架的自由度W 為 (2) 平面混合結(jié)構(gòu)的自由度計算公式平面混合結(jié)構(gòu)的自由度計算公式 返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄 .25 2.5

14、 結(jié)構(gòu)幾何不變結(jié)構(gòu)組成規(guī)律結(jié)構(gòu)幾何不變結(jié)構(gòu)組成規(guī)律 結(jié)構(gòu)的自由度W0是組成幾何不變體系的必要條 件，但不是充分條件。 (1) 二元體規(guī)則 由兩根不在同一條直線上的鏈桿聯(lián)結(jié)一個新結(jié)點 所組成的結(jié)構(gòu)稱為二元體。二元體規(guī)則是指在一個幾 何不變結(jié)構(gòu)上，由增加二元體而發(fā)展的結(jié)構(gòu)，是一個 幾何不變結(jié)構(gòu)。鉸接三角形是最簡單的幾何不變結(jié)構(gòu)。 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 圖2-31 鉸接三角形 返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄 .26 (a) 瞬變結(jié)構(gòu) (b) 分離體分析 (c) 平衡狀態(tài)分析 圖2-32 瞬變結(jié)構(gòu) 結(jié)構(gòu)的特征是：當(dāng)它受載荷作用時會產(chǎn)生微小的 位移， 但位移一旦發(fā)生后， 即轉(zhuǎn)變成一幾

15、何不變結(jié) 構(gòu)，但結(jié)構(gòu)的內(nèi)力可能為無限大值或不定值，這樣的 結(jié)構(gòu)稱為瞬變結(jié)構(gòu)。顯然，瞬變結(jié)構(gòu)在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計 中應(yīng)盡量避免。 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 .27 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 (a) 鉸與鏈桿連接兩剛片 (b) 三鏈桿連接兩剛片 圖2-33 兩剛片連接規(guī)則 (2) 兩剛片規(guī)則 兩剛片用三根既不完全平行也不交于同一點的鏈桿 相聯(lián)，所得結(jié)構(gòu)是幾何不變結(jié)構(gòu)。 .28 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 (a) 瞬變結(jié)構(gòu) (b) 常變結(jié)構(gòu) (c) 瞬變結(jié)構(gòu) 圖2-34 兩剛片連接可變結(jié)構(gòu) .29 (3) 三剛片規(guī)則 三個剛片用不在同一直線上

16、的三個單鉸兩兩相聯(lián)， 所得結(jié)構(gòu)是幾何不變結(jié)構(gòu)。 圖2-35 基本三角形結(jié)構(gòu) 圖2-36 三剛片規(guī)則示意圖 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 .30 2.6 平面結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析示例平面結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析示例 (a) 結(jié)構(gòu)示例 (b) 錯誤分析 (c) 分析 圖2-37 兩剛片連接可變結(jié)構(gòu) 解：此結(jié)構(gòu)可采用平面桁架結(jié)構(gòu)自由度計算公式，其中 j=6， g=8， z= 4 048622zmjW 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄 .31 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 結(jié)構(gòu)組成分析如下，由于此結(jié)構(gòu)有四根支座鏈桿， 故不能簡單的從結(jié)構(gòu)本

17、身內(nèi)部組成分析入手，應(yīng)按三剛 片規(guī)則考慮。首先選擇三個剛片。在此可將基礎(chǔ)視為剛 片。但應(yīng)注意，不能如圖2-37(b)所示那樣將基本三角 形ABD和BCE作為剛片和。這樣的話無法找到兩剛 片兩兩相聯(lián)接的對應(yīng)關(guān)系。 按圖2-37(c)所示，可把基礎(chǔ)及在基礎(chǔ)上增加的由支 座鏈桿、組成的二元體一起看成剛片，并選基本 三角形BCE 為剛片， 桿件DF為剛片， 則三剛片間 的相互聯(lián)接關(guān)系如下: 剛片和間用桿件DB、FE相聯(lián)，虛鉸位置在此 二平行桿件延長線的無窮遠處； .32 2.7 空間結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析空間結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 空間幾何不變結(jié)構(gòu)的組成規(guī)律簡述如下： 規(guī)律規(guī)律1 空間中一點與一剛體用三根鏈桿相連

18、且三 鏈桿不在同一平面內(nèi)，則組成幾何不變的結(jié)構(gòu)、且無多 余約束。 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 剛片和間用桿件DA及支座鏈桿相聯(lián)，虛 鉸位置在F點； 剛片和用桿件BA、支座鏈桿相聯(lián)， 虛鉸 位置在C點。 三鉸C、F、 可看成位于同一條直線上，該結(jié)構(gòu) 不符合三剛片規(guī)則，故此結(jié)構(gòu)為幾何瞬變結(jié)構(gòu)。 返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄 .33 (a) 空間點與基礎(chǔ)連接 (b) 瞬變結(jié)構(gòu) (c) 鉸接四面體 圖2-38 兩剛片連接可變結(jié)構(gòu) 圖2-39 簡單空間桁架 圖2-40 空間網(wǎng)狀結(jié)構(gòu) 規(guī)律規(guī)律2 一個幾何不變結(jié)構(gòu)（或剛體）與基礎(chǔ)用六 根即不平行也不相交于同一條直線的鏈桿相聯(lián)，所組 成的結(jié)構(gòu)

19、是幾何不變的結(jié)構(gòu)，且無多余約束。 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 .34 (a) 空間幾何不變結(jié)構(gòu) (b) 瞬變結(jié)構(gòu) (c) 可變結(jié)構(gòu) (d) 常變結(jié)構(gòu) 圖2-41 空間結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 規(guī)律規(guī)律3 一個幾何不變結(jié)構(gòu)（ 或剛體 ）與另一個幾 何不變結(jié)構(gòu)（或剛體）用六根即不平行也不相交于同一 條直線的鏈桿相聯(lián)，所組成的結(jié)構(gòu)是幾何不變的結(jié)構(gòu)， 且無多余約束。 第二章第二章 結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析結(jié)構(gòu)幾何構(gòu)造分析 .35 3.1 結(jié)構(gòu)離散與向量表示結(jié)構(gòu)離散與向量表示 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 返回全書目錄返回全書目錄 3.2 位移函數(shù)及單元的剛

20、度矩陣位移函數(shù)及單元的剛度矩陣 3.3 坐標(biāo)變換及單元剛度矩陣坐標(biāo)變換及單元剛度矩陣 3.4 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 3.5 約束處理及求解約束處理及求解 3.6 計算示例計算示例 3.7 ANSYS桁架結(jié)構(gòu)計算示例桁架結(jié)構(gòu)計算示例 3.8ANSYS剛架結(jié)構(gòu)計算示例剛架結(jié)構(gòu)計算示例 .36 3.1 結(jié)構(gòu)離散與向量表示結(jié)構(gòu)離散與向量表示 工程上許多由金屬構(gòu)件所組成的結(jié)構(gòu)，如塔式桁構(gòu) 支承架、起重機起重臂架、鋼結(jié)構(gòu)橋梁、鋼結(jié)構(gòu)建筑等 可以歸結(jié)為桿系結(jié)構(gòu)。桿系結(jié)構(gòu)按各桿軸線及外力作用 線在空間的位置分為平面桿系和空間桿系結(jié)構(gòu)。 桿系結(jié)構(gòu)可以由桿單元、梁單元組成。 (a) Liebherr塔式起重機

21、 (b) Liebherr履帶式起重機 (c) 鋼結(jié)構(gòu)橋梁 (d) 埃菲爾鐵塔 圖3-1 桿系結(jié)構(gòu) 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄 .37 3.1.1 結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化 由于桿系結(jié)構(gòu)本身是由真實桿件聯(lián)接而成，故離散 化比較簡單，一般將桿件或者桿件的一段( 一根桿又分 為幾個單元 )作為一個單元，桿件與桿件相連接的交點 稱為結(jié)點。 桿系結(jié)構(gòu)的離散化的要點可參考如下： a. 桿件的轉(zhuǎn)折點、匯交點、自由端、集中載荷作用 點、支承點以及沿桿長截面突變處等均可設(shè)置成結(jié)點。 這些結(jié)點都是根據(jù)結(jié)構(gòu)本身特點來確定的。 b. 結(jié)構(gòu)中兩個結(jié)點間

22、的每一個等截面直桿可以設(shè)置 為一個單元。 變換為作用在結(jié)點上的等效結(jié)點載荷。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .38 c. 變截面桿件可分段處理成多個單元，取各段中點 處的截面近似作為該單元的截面，各單元仍按等截面桿 進行計算。 d. 對曲桿組成的結(jié)構(gòu)，可用多段折線代替，每端折 線為一個單元。如若提高計算精度，也可以在桿件中間 增加結(jié)點。 e. 在有限元法計算中，載荷作用到結(jié)點上。當(dāng)結(jié)構(gòu) 有非結(jié)點載荷作用時，應(yīng)該按照靜力等效的原則將其 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 (a) 結(jié)點載荷處理方式 (b) 等效結(jié)點載荷處

23、理方式 圖3-2桿系結(jié)構(gòu)離散化示意圖 .39 3.1.2 坐標(biāo)系坐標(biāo)系 圖3-3 坐標(biāo)系示意圖 為了建立結(jié)構(gòu)的平衡條件，對結(jié)構(gòu)進行整體分析， 尚需要建立一個對每個單元都適用的統(tǒng)一坐標(biāo)系，即結(jié) 構(gòu)坐標(biāo)系或稱之為整體坐標(biāo)系、總體坐標(biāo)系。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .40 3.1.3 向量表示向量表示 在有限單元法中力學(xué)向量的規(guī)定為：當(dāng)線位移及相 應(yīng)力與坐標(biāo)軸方向一致時為正，反之為負；轉(zhuǎn)角位移和 力矩，按右手法則定出的矢量方向若與坐標(biāo)軸正向相一 致時為正。對于任意方向的力學(xué)向量，應(yīng)分解為沿坐標(biāo) 軸方向的分量。 剛架結(jié)構(gòu)示意圖 (b) 結(jié)點位移和結(jié)點力分向

24、量 圖3-4 平面剛架分析示意圖 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .41 T iiii vu T jjjj vu 結(jié)點位移列向量為 單元e結(jié)點位移列向量為 T jjjiii j ie uu 結(jié)點力向量為 Te iii e i MVUF Te jjj e j MVUF 單元e結(jié)點力列向量為 Te jjjiii e j e ie MVUMVU F F F 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .42 3.2 位移函數(shù)及單元的剛度矩陣位移函數(shù)及單元的剛度矩陣 3.2.1 軸向拉壓桿單元的位移的函數(shù)軸向拉壓桿單元的位移的函數(shù) 有

25、限單元法分析中，雖然對不同結(jié)構(gòu)可能會采取不 同的單元類型，采用的單元的位移模式不同，但是構(gòu)建 的位移函數(shù)的數(shù)學(xué)模型的性能、能否真實反映真實結(jié)構(gòu) 的位移分布規(guī)律等，直接影響計算結(jié)果的真實性、計算 精度及解的收斂性。 為了保證解的收斂性，選用的位移函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足下 列要求: a. 單元位移函數(shù)的項數(shù)，至少應(yīng)等于單元的自由度 數(shù)。它的階數(shù)至少包含常數(shù)項和一次項。至于高次項要 選取多少項，則應(yīng)視單元的類型而定。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄 .43 i u j u 由單元結(jié)點位移，確定待定系數(shù)項 當(dāng) 時， 當(dāng) 時， 所以 用結(jié)點位移表示

26、 其中 、 分別表示當(dāng) ， 時； ， 時的單元內(nèi)的軸向位移狀態(tài)，故稱為軸向位移形函數(shù)。 0 x lx i uu j uu i u 1 l uu ij 2 jjuiiu uNNxu)( l x Niu1 l x N ju iu N ju N 1 i u0 j u0 i u1 j u 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 b. 單元的剛體位移狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)當(dāng)全部包含在 位移函數(shù)中。 c. 單元的位移函數(shù)應(yīng)保證在單元內(nèi)連續(xù)，以及相鄰 單元之間的位移協(xié)調(diào)性。 .44 3.2.2 梁單元平面彎曲的位移函數(shù)梁單元平面彎曲的位移函數(shù) 梁單元平面彎曲僅考慮結(jié)點的四個位移分

27、量 ， ， ， ，由材料力學(xué)知,各截面的轉(zhuǎn)角: 故梁單元平面彎曲的位移表達式可分為僅包含四個 待定系數(shù) ， ， ， 的多項式 單元結(jié)點位移條件 當(dāng) 時 ， 當(dāng) 時 ， i i j j x v 1 2 3 4 3 4 2 321 )(xxxxv 0 xi vv i x v lx j vv j x v jiji jiji i i l vv l l vv l v 23 4 2 3 2 1 12 2 13 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .45 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 11 23 12 23 1 x l x l N x l x l

28、 N x l x l xN x l x l N j jv i iv jjjjviiiiv NvNNvNxv )( e jjii juiu NNNN NN v u 00 0000 e Nf 稱為形函數(shù)矩陣。 N 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .46 3.2.3 單元的應(yīng)力應(yīng)變單元的應(yīng)力應(yīng)變 在彈性范圍內(nèi)，并且不考慮剪力的影響時，平面 剛架單元內(nèi)任一點的軸向線應(yīng)變由兩部分組成，即軸 向應(yīng)變與彎曲應(yīng)變之和，其軸向應(yīng)變與平面桁架軸向 應(yīng)變相同。 軸向應(yīng)變?yōu)?彎曲應(yīng)變?yōu)?y為梁單元任意截面上任意點至中性軸 (x軸)的距離。 得出平面剛架單元應(yīng)變 x u l x

29、2 2 x v y b x 圖3-5 彎曲應(yīng)變計算示意圖 2 2 x v y x u b x l xx e x B 則 x ll yx ll y l x ll yx ll y l B 232232 621261641261 平面剛架梁單元的應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣。 B e xx BEE 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .47 3.2.4 平面剛架梁單元的剛度矩陣平面剛架梁單元的剛度矩陣 梁單元的i，j結(jié)點發(fā)生虛位移為 T * jjjiii e uu 單元內(nèi)相應(yīng)的虛應(yīng)變應(yīng)為 e x B * * 由虛功原理有 dxdydzF x v x e e T * T * e v

30、 e dxdydzBEB T T * 由于結(jié)點虛位移 的任意性，故上式可寫成 e eee v e kdxdydzBEBF T 上式稱為局部坐標(biāo)下的平面剛架單元的剛度方程， 簡稱為單剛。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .48 dxdydzBEBk v e T 橫截面積A 橫截面對形心軸z的靜矩S 橫截面對主慣性軸z的慣性矩I 得到四個3 3子塊所組成的局部坐標(biāo)系下的平面剛 架梁單元的單元剛度矩陣。 A dydzA 0 A ydydzS A dydzyI 2 l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA

31、 l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA kk kk k e jj e ji e ij e iie 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 22 2323 22 2323 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .49 平面桁架的單元剛度矩陣為 l EA l EA l EA l EA kk kk k e jj e ji e ij e iie 空間桁架單元每個結(jié)點有3個位移分量，其單元結(jié)點 位移列向量 T jjjiii j ie wuwu

32、 空間桁架局部坐標(biāo)下的單元剛度矩陣是66的 000000 000000 0000 000000 000000 0000 l EA l EA l EA l EA kk kk k e jj e ji e ij e iie 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .50 空間剛架單元每個結(jié)點有6個位移分量，其單元 結(jié)點位移列向量 T jzjyjxjjjiziyixiii j ie wvuwvu 空間剛架局部坐標(biāo)下的單元剛度矩陣是1212的。 (a) 桿單元i端產(chǎn)生單位位移 (b) 桿單元j端產(chǎn)生單位位移 圖3-6 平面桁架單元剛度系數(shù)的物理意義 (a) 梁單元i端產(chǎn)生

33、單位位移 (b) 梁單元j端產(chǎn)生單位位移 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .51 (c) 梁單元i端產(chǎn)生單位角位移 (d) 梁單元j端產(chǎn)生單位角位移 圖3-7 平面剛架單元剛度系數(shù)的物理意義 3.2.5 單元的剛度矩陣的性質(zhì)單元的剛度矩陣的性質(zhì) a. 單元剛度矩陣僅與單元的幾何特征和材料性質(zhì) 有關(guān)。僅與單元的橫截面積A、慣性矩I、單元長度l、 單元的彈性模量E有關(guān)。 b. 單元剛度矩陣是一個對稱陣。在單元剛度矩陣 對角線兩側(cè)對稱位置上的兩個元素數(shù)值相等，即，根 據(jù)是反力互等定理。 c. 單元剛度矩陣是一個奇異陣。 d. 單元剛度矩陣可以分塊矩陣的形式表示

34、。具有 確定的物理意義。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .52 3.3 坐標(biāo)變換及單元剛度矩陣坐標(biāo)變換及單元剛度矩陣 3.3.1 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換 在整體坐標(biāo)系中單元結(jié)點力向量和結(jié)點位移列向量 可分別表示成 T jjjiii e j e i e vuvu T jjjiii j i e MYXMYX F F F (a) 向量轉(zhuǎn)換分析 (b) 向量轉(zhuǎn)換 圖3-8 向量轉(zhuǎn)換示意圖 sincos iii vuu cossin iii vuv ii 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄 .53 i i

35、i i i i v u v u 100 0cossin 0sincos 對于梁單元如圖3-8(b)所示，則有 j j j i i i j j j i i i v u v u v u v u 100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000sincos 可簡寫為 e e T 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .54 同理 e e FTF 式中 平面剛架梁單元的從局部坐標(biāo)系向整體 坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。 T 100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000s

36、incos T 3.3.2 整體坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣整體坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣 eee e e e e kTkTTkTF T1 式中 整體坐標(biāo)下的單元剛度矩陣。 e k T TkTk e e 和 一樣， 為對稱陣、奇異陣。 ek e k 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .55 3.4 整體剛度矩陣整體剛度矩陣 3.4.1 整體剛度矩陣的建立整體剛度矩陣的建立 整體剛度矩陣也稱之為結(jié)構(gòu)剛度矩陣或總體剛度 矩陣，簡稱總剛。 整體剛度矩陣的求解是建立在結(jié)構(gòu) 平衡條件的基礎(chǔ)之上， 因此研究對象以整體坐標(biāo)系為 依據(jù)。 圖3-9 載荷向量示意圖 如右圖所示剛架結(jié)構(gòu)

37、，其結(jié)點載荷列向量分別為 T 111. 1 MPPP yx T 2212. 2 MPPP yx T 3331. 3 MPPP yx T 444. 4 MPPP yx 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄 .56 結(jié)構(gòu)載荷列向量 T 4321 PPPPP T 44433322211 1 MPPMPPMpPMPPP yxyxyxyx 結(jié)點位移列向量 T 4321 T 444333222111 vuvuvuvu 對于結(jié)點對于結(jié)點1 對于結(jié)點對于結(jié)點2 對于結(jié)點對于結(jié)點3 對于結(jié)點對于結(jié)點4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M P P M

38、 Y X y x 1 1 1 PF 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 M P P M Y X M Y X y x 2 2 2 1 2 PFF 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 M P P M Y X M Y X y x 3 3 3 2 3 PFF 4 4 4 3 4 3 4 3 4 M P P M Y X y x 4 3 4 PF 建立 結(jié)點 平衡 條件 方程 式如 右表。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .57 用分塊矩陣的形式，建立桿端內(nèi)力與結(jié)點位移的關(guān)系式。用分塊矩陣的形式，建立桿端內(nèi)力與結(jié)點位移

39、的關(guān)系式。 對于單元對于單元1有有 簡寫為簡寫為 其中單元其中單元1的剛度的剛度 矩陣矩陣 關(guān)系式展開為關(guān)系式展開為 2 1 1 22 1 21 1 12 1 11 1 2 1 1 kk kk F F 111 kF 1 22 1 21 1 12 1 11 1 kk kk k 2 1 221 1 21 1 2 2 1 121 1 11 1 1 kkF kkF 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .58 對于單元對于單元2有有 簡寫為簡寫為 其中單元其中單元2的剛度矩陣的剛度矩陣 關(guān)系式展開為關(guān)系式展開為 3 2 2 33 2 32 2 23 2 22 2 3

40、2 2 kk kk F F 222 kF 2 33 2 32 2 23 2 22 2 kk kk k 3 2 332 2 32 2 3 2 2 232 2 22 2 2 kkF kkF 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .59 對于單元對于單元3有有 簡寫為簡寫為 其中單元其中單元3的剛度矩的剛度矩 陣陣 關(guān)系式展開為關(guān)系式展開為 4 3 3 44 3 43 3 34 3 33 3 4 3 3 kk kk F F 333 kF 3 44 3 43 3 34 3 33 3 kk kk k 4 3 443 3 43 3 4 4 3 343 3 33 3 3 k

41、kF kkF 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .60 單元剛度矩陣由22的子矩陣組成， 每個子矩陣 是33的方陣。 的上角標(biāo)表示單元編號，下角標(biāo)表示 單元j端單位位移所引起的i端相應(yīng)力。 將桿端內(nèi)力與結(jié)點位移關(guān)系式代入結(jié)點的平衡條件 方程式中，經(jīng)整理得： e ij k 4 3 2 1 4 3 2 1 3 44 3 43 3 34 3 33 2 33 2 32 2 23 2 22 1 22 1 21 1 12 1 11 00 0 0 00 P P P P kk kkkk kkkk kk 簡寫為 PK 稱之為結(jié)構(gòu)原始平衡方程。其中 3 44 3 43 3 3

42、4 3 33 2 33 2 32 2 23 2 22 1 22 1 21 1 12 1 11 00 0 0 00 kk kkkk kkkk kk K 為整體剛度矩 陣。 K 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .61 3.4.2 整體剛度矩陣的集成整體剛度矩陣的集成 整體剛度矩陣是由在整體坐標(biāo)系下，矩陣按照結(jié) 點編號的順序組成的行和列的原則，將全部單元剛度 矩陣擴展成nn方陣后對號入座疊加得到。 對于單元1 0000 0000 00 00 1 22 1 21 1 12 1 11 1kk kk K 對于單元2 0000 00 00 0000 2 33 2 32

43、 2 23 2 22 2 kk kk K 對于單元3 3 44 3 43 3 34 3 33 3 00 000 0000 0000 kk kk K 單元剛度矩陣集成得出整體剛度矩陣 3 44 3 43 3 34 3 33 2 33 2 32 2 23 2 22 1 22 1 21 1 12 1 11 321 00 0 0 00 4 3 2 1 4321 kk kkkk kkkk kk KKKK 結(jié)點編號 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .62 3.4.3 整體剛度矩陣的性質(zhì)整體剛度矩陣的性質(zhì) 整體剛度矩陣 中位于主對角線上的子塊 ，稱 為主子塊，其余 為

44、副子塊。 a. 中主子塊 由結(jié)點i的各相關(guān)單元的主子塊擴 展之后疊加求得，即 b. 當(dāng)結(jié)點i、 j為單元e的相關(guān)結(jié)點時， 中副子塊 為該單元e相應(yīng)的副子塊，即 。 c. 當(dāng)結(jié)點i、 j為非相關(guān)結(jié)點時， 中副子塊 為 零子塊，即 。 d. 僅與各單元的幾何特性、材料特性，即A、I、 l、E等因素有關(guān)。 e. 為對稱方陣， f. 為奇異矩陣，其逆矩陣不存在，因為建立整 體剛度矩陣時沒有考慮結(jié)構(gòu)的邊界約束條件。 K ii K ij K K e iiii kK K ij K e ijij kK K ij K 0 ij K K K jiij KK K 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜

45、力分析的有限單元法 .63 g. 為稀疏矩陣，整體剛度矩陣中的非零元素分布區(qū) 域的寬度與結(jié)點編號有關(guān)，非零元素分布在以對角線為 中心的帶狀區(qū)域內(nèi)，稱為帶狀分布規(guī)律，見圖3-10(a)。 在包括對角線元素在內(nèi)的區(qū)域中，每行所具有的元素個 數(shù)叫做把半帶寬，以d表示。 最大半帶寬等于相鄰結(jié)點號的最大差值加 1 與結(jié)點自由 度數(shù)的乘積，結(jié)點號差越大半帶寬也就越大。計算機以 半帶寬方式存儲，見圖3-10(b)。半帶寬越窄，計算機的 存儲量就越少，而且可以大幅度減少求解方程所需的運 算次數(shù)。其效果對大型結(jié)構(gòu)顯得尤為突出。 圖3-10 整體剛度矩陣存儲方法 h. 整體剛度矩陣稀疏陣。 故整體剛度矩陣不能求

46、逆，必須作約束處理方能正確地將結(jié)點位移求出，進而 求出結(jié)構(gòu)的應(yīng)力場。 (a) 帶狀分 布規(guī)律 (b) 帶狀存儲 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .64 3.5 約束處理及求解約束處理及求解 3.5.1 約束處理的必要性約束處理的必要性 建立結(jié)構(gòu)原始平衡方程式 時，并未考 慮支承條件（約束），也就是說，將原始結(jié)構(gòu)處理成 一個自由懸空的、存在剛體位移的幾何可變結(jié)構(gòu)。整 體剛度矩陣是奇異矩陣，因此，無法求解?？梢詤⒄?第 2 章的原則，結(jié)合實際工程結(jié)構(gòu)引入支承條件，即 對結(jié)構(gòu)原始平衡方程式 做約束處理。 約束處理后的方程稱為基本平衡方程。 統(tǒng)一記為 PK PK

47、 PK 3.5.2 約束處理方法約束處理方法 約束處理常用方法有填0置1法和乘大數(shù)法。采用 這兩種方法不會破壞整體剛度矩陣的對稱性、稀疏性 及帶狀分布等特性。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄 .65 下面以圖3-11所示剛架結(jié)構(gòu)為例，解釋如何進行約 束處理。對于下圖所示剛架結(jié)構(gòu) 設(shè)結(jié)點位移列向量為 設(shè)結(jié)點載荷列向量為 T 9321 T 321 uuuu T 9321 T 321 ppppPPPP 固定支座 (b) 支座強迫位移已知 圖3-11 結(jié)構(gòu)約束 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .6

48、6 其原始平衡方程式為 3 2 1 3 2 1 2 33 2 32 2 23 2 22 1 22 1 21 1 12 1 11 0 0 P P P kk kkkk kk 按照每個結(jié)點的位移分量將上式展開為 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 999897969594939291 898887868584838281 797877767574737271 696867666564636261 595857565554535251 494847464544434241 393837363534333231 282726262524232221 191817161

49、514131211 p p p p p p p p p u u u u u u u u u kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .67 對于如圖3-11(a)所示，結(jié)構(gòu)約束（支座）位移全 部為零，此時做約束處理時，采用填0置1法比較適宜。 對于如圖3-11(b)所示，某約束（支座）位移為給定 的強迫值，此時做約束處理時，采用乘大數(shù)法比較適 宜。 (1) 填0置1法 如右圖所示結(jié)點1

50、、3處為固定支座，可知 將整體剛度矩陣中與之相對應(yīng)的主對角元素全部置 換成1， 相應(yīng)行和列上的其它元素均改為0。 同時，所 在同一行上的載荷分量替換成0，則有 0 987321 uuuuuu 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .68 0 0 0 0 0 0 0 10000000 010000000 001000000 000000 000000 000000 000000100 000000010 000000001 6 5 4 9 8 7 6 5 4 3 2 1 92 666564 565554 464544 p p p u u u u u u u u

51、u k kkk kkk kkk 6 5 4 6 5 4 666564 565554 464544 p p p u u u kkk kkk kkk 則 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 也可簡便地采用劃行劃列的辦法。在整體剛度矩 陣中將與約束位移為 0 的行和列劃掉，包括相關(guān)的所 在行的位移和載荷向量。 .69 處理后得基本平衡方程 (2) 乘大數(shù)法 右圖所示剛架，結(jié)點1為固定支座，結(jié)點3處在方 向的約束為已知強迫位移。即 將整體剛度矩陣中與之相對應(yīng)的主對角元素全部 乘以一個大數(shù)N，一般取 。同時，將相 應(yīng)同一行上的載荷分量替換成 N 乘以其主對角剛度系 數(shù)

52、和給定的強迫位移（包括零位移）。 22 2 22 1 22 Pkk 0 97321 uuuuu 088 uu 1510 1010N 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .70 0 0 0 0 0 888 6 5 4 9 8 7 6 5 4 3 2 1 999897969594939291 898887868584838281 797877767574737271 696867666564636261 595857565554535251 494847464544434241 393837363534333231 282726262524232221 1918

53、17161514131211 kN p p p u u u u u u u u u kNkkkkkkkk kkNkkkkkkk kkkNkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkkk kkkkkkkNkk kkkkkkkkNk kkkkkkkkkN 0 92 1111 jju kukN得到 由于N 足夠大，可以近似認為 0 92 1 jju k,則得出 0 1 u 同時得到0 9732 uuuu 088 uu 求出位移 之后，即可以求出結(jié)構(gòu)的應(yīng)力場 。 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .71 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限

54、單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 用有限單元法計算空間剛架結(jié)構(gòu)，在原理上及推導(dǎo) 過程與計算平面剛架結(jié)構(gòu)相同。在此不再重復(fù)。但應(yīng)注 意到，由于空間的每一結(jié)點一般具有六個自由度，故計 算較之復(fù)雜些。 3.6 計算示例計算示例 設(shè)兩桿的桿長和截面尺寸相同， 27 kN/m101 . 2 E 桿件長 m。 10l 返回章節(jié)目錄返回章節(jié)目錄 圖3-12 剛架受力簡圖 .72 結(jié)構(gòu)離散化后 將結(jié)構(gòu)劃分為4個結(jié)點、3個單元 2 m5 . 0A 4 3 m 24 1 12 15 . 0 I截面積 ，慣性矩 (2) 求結(jié)點載荷 首先須求局部坐標(biāo)系中固定端內(nèi)力 e F0 (a) 單元1作為兩端固定梁反力示意圖

55、(b) 單元2作為兩端固定梁反力示意圖 圖3-13內(nèi)力示意圖 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .73 單元1 mKN80 12 106 . 9 12 kN48 2 106 . 9 2 22 1 2 1 01 1 02 1 01 gl MM gl VV o 單元2 mKN200 8 10160 8 1 KN80 2 160 2 01 1 03 1 03 1 02 Pl MM P VV 在局部坐標(biāo)系下單元載荷列向量在局部坐標(biāo)系下單元載荷列向量 單元1 80 48 0 80 48 0 1 0 F 單元2 200 80 0 200 80 0 2 0 F 單元3

56、0 0 0 0 0 0 3 0 F 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .74 為了求出在整體坐標(biāo)下的載荷列向量，先求單元 得坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣 T 單元1、2 0 0 I 100000 010000 001000 000100 000010 000001 100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000sincos 1 T 單元3 0 90 100000 001000 010000 000100 000001 000010 100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cos

57、sin 0000sincos 3 T 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .75 求各單元在整體坐標(biāo)下的求各單元在整體坐標(biāo)下的等效結(jié)點載荷等效結(jié)點載荷 e P 0 1 02 01 1 0 1 0 1 1 0 80 48 0 80 48 0 P P FFTP T 2 03 02 2 0 2 0 2 2 0 200 80 0 200 80 0 P P FFTP T 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .76 3 02 04 3 0 3T 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100000 001000 010

58、000 000100 000001 000010 P P FTP T 求剛架的等效結(jié)點載荷 0 P 3 0 2 0 1 00 PPPP 0 0 0 200 80 0 120 128 0 80 48 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 200 80 0 200 80 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 80 48 0 80 48 0 0 P 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .77 因為無結(jié)點載荷作用，總結(jié)點載荷即為等效結(jié)點載荷。 T 0 000200800120128080480 PP (3) 求單元剛度矩陣 由于單元1、2

59、、3的尺寸相同，材料彈性模量相同，故 ek 3 21 kkk 梁單元的局部坐標(biāo)下的剛度矩陣表達式梁單元的局部坐標(biāo)下的剛度矩陣表達式 l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EA l EA k e 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 22 2323 22 2323 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .78 2 321 10 35005250175

60、05250 52510505251050 00105000010500 1750525035005250 52510505251050 00105000010500 kkk 則 （4）求整體坐標(biāo)系中的 e k 單元1 11 11 11T 1 2221 1211 kk kk kIkIk 單元2 22 22 22 2 3332 2322 kk kk kkk 單元3 3 3T3 3 TkTk 第三章第三章 桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法桿系結(jié)構(gòu)靜力分析的有限單元法 .79 33 3 43 3 2 3 2224 44 10 3500052517500525 01050000105000 52501055