數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文矩陣 的可交換空間 的多項(xiàng)式表示的等價(jià)條件

1、矩陣的可交換空間的多項(xiàng)式表示的等價(jià)條件張清新（數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系 指導(dǎo)老師：楊忠鵬）摘要：錢微微文章錢微微,蔡耀志.論矩陣可交換的充要條件.大學(xué)數(shù)學(xué),2007，23（5）給出了與給定矩陣可交換的矩陣可表示為的多項(xiàng)式的充要條件。本文指出這個(gè)結(jié)果是錯(cuò)誤的，并分析了產(chǎn)生錯(cuò)誤原因，利用已有文獻(xiàn)結(jié)論，本文把與給定矩陣可交換的矩陣可表示為的多項(xiàng)式構(gòu)同為9個(gè)等價(jià)條件。關(guān)鍵詞：矩陣可交換 標(biāo)準(zhǔn)型 塊 多項(xiàng)式abstract: the article of weiwei qianweiwei qian,yaozhi cai. a discussion of necessary and sufficient con

2、ditions for the exchange matrix.2007,23(5) gives the necessary and sufficent conditions that the exchange matrix with a given matrix can be expressed as polynomial.this paper points out that the result of the above article is wrong,and analysis the cause of the errors.through the conclusions of the

3、existed,the paper make the exchange matrix with a given matrix can be expressed as polinomial conformate with nine equivalent conditions.keyword: exchangeable matrix jordan standard jordan block polynomial0 符號(hào)說明 多項(xiàng)式的次數(shù) 空間的維數(shù) 復(fù)數(shù)域上行列矩陣全體 矩陣的最小多項(xiàng)式 矩陣的特征多項(xiàng)式 矩陣的可交換空間 矩陣的多項(xiàng)式空間 階特征值為的塊1 引言 矩陣可交換是代數(shù)中相當(dāng)重要的內(nèi)容

4、，矩陣運(yùn)算與普通數(shù)域的代數(shù)運(yùn)算有很大的差別，最為重要的差別就是矩陣運(yùn)算一般不滿足交換律。若兩矩陣滿足，則就具有重要的性質(zhì)，如同時(shí)可上三角化(見文獻(xiàn)2)。由于它的重要性，引起了一系列的問題，近年來，越來越多的學(xué)者和專家開始從事對(duì)矩陣交換的性質(zhì)和可交換條件的研究.大家可以發(fā)現(xiàn)數(shù)量陣是與一切矩陣可交換，任意矩陣都與其多項(xiàng)式矩陣可交換。在文獻(xiàn)1中，作者研究了命題任意矩陣都與其多項(xiàng)式矩陣可交換的逆命題，其主要結(jié)論為:一個(gè)矩陣化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型 后，若中沒有純量矩陣的約當(dāng)塊，那么與可交換的矩陣其充要條件為是的次多項(xiàng)式:本文首先舉例說明錢微微文章中主要結(jié)論的錯(cuò)誤，并從理論上證明其錯(cuò)誤，然后從矩陣的內(nèi)部結(jié)構(gòu) 標(biāo)準(zhǔn)

5、型出發(fā)，討論矩陣為什么情況時(shí)，給出并證明了與等價(jià)的八個(gè)命題。定義1.1(見文獻(xiàn)3) 一個(gè)矩陣稱為非減次矩陣，是指的每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)為1 定義1.2 階矩陣的可交換空間定義1.3 階矩陣的多項(xiàng)式空間定義1.4 (見文獻(xiàn)4) 形式為的矩陣稱為塊，其中是復(fù)數(shù)。 2 關(guān)于錢微微文章的討論 2.1 錢微微文章的主要結(jié)論錢微微文章先對(duì)塊進(jìn)行分類，在標(biāo)準(zhǔn)型中的塊有三種類型：1），互不相同且都是的特征值。2），為任意實(shí)數(shù)，它也是的特征值，而且是多重根。3），為任意實(shí)數(shù)，它也是的重特征值。在此分類基礎(chǔ)上文獻(xiàn)1給出了以下命題：命題1（見文獻(xiàn)1定理2） 一個(gè)矩陣化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型后，若中沒有純量矩陣的約當(dāng)塊,那么與

6、可交換的矩陣其充要條件為可化為的次多項(xiàng)式，即 該命題也可表示為：一個(gè)矩陣化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型后，若中沒有純量矩陣的約當(dāng)塊,那么.2.2 錢微微文章主要結(jié)論的反例對(duì)于命題1我們可舉一例如下，例1 設(shè) , ,所以,故與可交換a化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為，其約當(dāng)塊有兩塊,都屬于上述約當(dāng)塊分類的，故都不屬于約當(dāng)塊，所以矩陣都滿足命題1的前提，故由命題1可知可化為的次多項(xiàng)式，即可化為的3次多項(xiàng)式，即存在，使得,變形得，即但是因?yàn)?,則=與矛盾。這說明雖然與可交換，但是不能表示為的3次多項(xiàng)式因此例1說明文獻(xiàn)1的主要結(jié)論命題1是錯(cuò)誤的。2.3 錢微微文章證明過程的錯(cuò)誤 首先我們引入錢微微文章對(duì)于命題1的證明。引理2.3.1

7、 (見文獻(xiàn)1引理2) 當(dāng)矩陣為對(duì)角陣 ,即 ,且互不相同時(shí) ,與它可交換的 矩陣必可表示成 的 次多項(xiàng)式。引理2.3.2 (見文獻(xiàn)1引理3) 當(dāng)為約當(dāng)塊矩陣，即時(shí)，與其可交換的矩陣也可寫成的 次多項(xiàng)式。命題1（見文獻(xiàn)1定理2） 一個(gè)矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型后，若中沒有純量矩陣的塊,那么與可交換的矩陣其充要條件為可化為的次多項(xiàng)式，即證明 對(duì)于與可交換的矩陣應(yīng)滿足的方程中,若將化成標(biāo)準(zhǔn)型,其中為滿秩陣為標(biāo)準(zhǔn)型. 將代入上面方程,得若令，則方程化成.這就表明:要求的可交換矩陣,可先求的標(biāo)準(zhǔn)型的可交換矩陣,則與可交換的矩陣由于本定理的前提中表明標(biāo)準(zhǔn)型中沒有型（純量矩陣塊）,型塊由引理2.3.1即知與可交換的矩陣

8、可表示為的次多項(xiàng)式. 對(duì)于型塊,由引理2.3.2即知與可交換的矩陣也必可表示為的次多項(xiàng)式. 由定理?xiàng)l件現(xiàn)在只有這兩種類型的塊,所以與可交換的矩陣必可表示為的次多項(xiàng)式,那么與可交換的矩陣必為。這就證明了在定理前提下與可交換矩陣的充要條件為.以上是文獻(xiàn)1對(duì)于命題1的證明，其證明時(shí)誤以為與標(biāo)準(zhǔn)型可交換的矩陣都是與分塊形式相同的準(zhǔn)對(duì)角型。實(shí)際上，若中存在兩個(gè)塊的特征值相同的話，則與可交換的矩陣未必都是與分塊形式相同的準(zhǔn)對(duì)角型，如下例：例2 設(shè)，其中，則存在與可交換的矩陣，為非準(zhǔn)對(duì)角型。 證明 設(shè)與具有相同的分塊 因?yàn)?，即即比較以上兩矩陣的元素可得，由文獻(xiàn)可得，令不全為零時(shí)，則，故為非準(zhǔn)對(duì)角型。其次文獻(xiàn)

9、1對(duì)于塊的分類有些不合理，與已有的通行做法存在這差異，根據(jù)文獻(xiàn)4知塊一般分為一級(jí)塊和多級(jí)塊，其實(shí)就是個(gè)不同的一級(jí)塊，是個(gè)相同的一級(jí)塊，是一個(gè)的多級(jí)塊。 實(shí)際上一個(gè)階矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型后，中沒有純量矩陣的矩陣是十分普遍，由命題1可得矩陣滿足是十分普遍的，若矩陣滿足，則必滿足，我們由文獻(xiàn)5知，由文獻(xiàn)6知,由此可得若矩陣滿足，則必滿足，我們知道這類矩陣是極為特殊的，所以命題1與實(shí)際有著極大的差別。因此，錢微微文章的斷言是錯(cuò)誤的，其實(shí)在過去的一些教材與文章都曾散落一些結(jié)論有關(guān)為什么情況時(shí)，但并未引起注意。 通過大量的學(xué)習(xí)與調(diào)研，在對(duì)一些文獻(xiàn)結(jié)論歸納總結(jié)，本文得到了與等價(jià)的8個(gè)命題。3、中每個(gè)矩陣都是的多項(xiàng)

10、式的判別3.1 預(yù)備知識(shí)引理3.1.1 (見文獻(xiàn)8引理1)設(shè)，分別是階塊，其特征值不相等，若,則。證明 設(shè)，由，得比較以上兩矩陣的元素可得，由由；由由遞推過程可以看出：，故。引理3.1.2 (見文獻(xiàn)8引理4) 設(shè)為給定的階塊，則與的可交換矩陣具有形式 證明 設(shè)，因,化簡得即 得 對(duì)照可得； 故引理3.1.3 (見文獻(xiàn)3定理3.2.4.1)設(shè)是給定的非減次矩陣，則。 證明 任取,則必成立，所以,任取，設(shè)是的標(biāo)準(zhǔn)型。如果，那么且,如果能夠證明，那么。因此，只要假定本身就是一個(gè)矩陣就可以了。因?yàn)槭欠菧p次的，所以假定 ，其中，是的個(gè)不同的特征值，如果把寫成的上述形式相同的分塊形式，那么的相應(yīng)非對(duì)角子塊

11、具有形式 ，。因?yàn)樘卣髦岛褪遣煌模鶕?jù)引理3.1.1,可以得出是這些方程的唯一解，因此矩陣必須是分塊對(duì)角矩陣 ，其中每個(gè)，交換性假設(shè)是說，對(duì)于所以,有如果記，其中 ，那么這些恒等式變成，i=1,2,，k,。由于的特殊形式,根據(jù)引理3.1.2可以得出每個(gè)必須是具有toeplitz形式的上三角矩陣，即 ，（*）其中沿著各對(duì)角線的諸元素取常值。如果可以構(gòu)造楚一些次數(shù)至多是所謂多項(xiàng)式，且具有性質(zhì)：對(duì)所有，而，那么將滿足。定義 ，的次數(shù)=,由此可見，對(duì)所有有，這是因?yàn)?。顯然不一定等于，可是它是非奇異矩陣（因?yàn)橹T是各不相同的），且像關(guān)于的任一個(gè)多項(xiàng)式那樣，具有形式（*）。因?yàn)樾稳纾?）的任意非奇異矩陣的

12、逆具有同一形式，有因?yàn)檫@種形式的任意兩個(gè)矩陣的乘積還是同一形式，所以矩陣 是具有toeplitz形式（*）的上三角矩陣，每個(gè)這樣的矩陣可以寫成關(guān)于的一個(gè)多項(xiàng)式，例如因此，存在一個(gè)次數(shù)至多是的多項(xiàng)式，使得 =，如果現(xiàn)在令，的次數(shù)至多是n-1 ，如果，則，所以，故,則，綜上所述，。引理3.1.4(見文獻(xiàn)6引理2) 設(shè)和為階矩陣的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式，則=當(dāng)且僅當(dāng)?shù)乃谐醯纫蜃觾蓛苫ニ鼗虻某醯纫蜃咏M僅由一個(gè)次數(shù)為的初等因子構(gòu)成。 引理3.1.5(見文獻(xiàn)7) 矩陣的最小多項(xiàng)式是的特征多項(xiàng)式的一個(gè)因式，即，且是的最后一個(gè)不變因子。 引理3.1.6 (見文獻(xiàn)7) 設(shè)是一個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣，的最小多項(xiàng)式為，i=

13、1,2,s,那么的最小多項(xiàng)式 引理3.1.7(見文獻(xiàn)7) 階若當(dāng)塊的最小多項(xiàng)式為。引理3.1.8(見文獻(xiàn)7)設(shè)階矩陣，則矩陣的多項(xiàng)式空間的維數(shù)等于矩陣a最小多項(xiàng)式的次數(shù)，即且。 證明 設(shè)，則為的一組基。先證它們線性無關(guān)，否則若存在不全為零的數(shù)使 這與為的最小多項(xiàng)式矛盾。再任取 ,下證可由線性表出。事實(shí)上，任取，存在，使 =+ ，其中或 ，若，則，當(dāng)然可由線性表出。若， ，不妨設(shè) = ，則 ， 綜上所述，=，因?yàn)?，故。引?.1.9 (見文獻(xiàn)9定理3和文獻(xiàn)5推論) 對(duì)于給定矩陣，則且，其中為矩陣的不同特征值的個(gè)數(shù)，表示第個(gè)特征值的塊個(gè)數(shù)，表示第個(gè)特征值第個(gè)塊的階數(shù)。 3.2 等價(jià)條件定理 設(shè)矩陣

14、，則以下命題等價(jià)1)2）為階全陣環(huán)的交換子環(huán)3)4）的不變因子為5）的所有初等因子兩兩互素6）7）8）9) 矩陣是非減次矩陣證明 “12”因且為階全陣環(huán)的交換子環(huán)，故為階全陣環(huán)的交換子環(huán)?！?3” 假設(shè)，由引理3.1.4知至少有一對(duì)不互素的初等因子（不妨設(shè)） ，即且不妨設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)型為這樣從 得 ， 令 ，對(duì)任意的,則。因此 和 都是在中，由 及 知,即此時(shí)是不可交換的，這就證明了為階全陣環(huán)的交換子環(huán)時(shí)，。“34”因， 根據(jù)引理3.1.5 可得，則=，因，對(duì)照可得所以， 即證得的不變因子為“45” 因的不變因子為設(shè)為的個(gè)不同的特征值，則=其中 則矩陣的初等因子為因?yàn)楫?dāng)時(shí)，則與互素，即的所有初等因子

15、兩兩互素。“56” 的所有初等因子兩兩互素，由引理3.1.8知，故，又因，所以。 “67”根據(jù)引理3.1.8 可得，因，則?！?3” 根據(jù)引理3.1.7 可得，因，則，根據(jù)引理3.1.5可得，又因，所以?！?9” 因，且，故設(shè)為的個(gè)不同的特征值，則可分解為=其中，根據(jù)引理5知矩陣的最小多項(xiàng)式= ，又因?yàn)椋?，所以則矩陣的初等因子為可得矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為其中，是的個(gè)不同的特征值， ，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)型可得的每個(gè)特征值的重?cái)?shù)為1，則為非減次矩陣?！?3” 假設(shè)，由引理3.1.4知至少有一對(duì)不互素的初等因子（不妨設(shè)） ，即且，所以對(duì)于特征值至少存在兩個(gè)塊，則因?yàn)閷?duì)于任意的,當(dāng)時(shí)，則 (其中為矩陣的不同特征值

16、的個(gè)數(shù)，表示第個(gè)特征值的塊個(gè)數(shù)，表示第個(gè)特征值第個(gè)塊的階數(shù)。)由引理9可得與已知矛盾。所以。“91”由引理3.1.3可得?！?8” 因，則，根據(jù)引理3.1.9可得，根據(jù)引理3.1.8可得,故。由“”可得命題“1)” “2)” “3)” “4)” “5)” “6)” “7)” “9)”均等價(jià)，由“”可得“1)”“3)” “8)” “9)”均等價(jià)，根據(jù)等價(jià)的傳遞性知以上9個(gè)命題均等價(jià)，證畢。結(jié)束語本文首先舉例說明文獻(xiàn)1的主要結(jié)論關(guān)于矩陣可交換性不正確,再從理論上找出文獻(xiàn)1主要結(jié)論出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因，然后從矩陣的內(nèi)部結(jié)構(gòu) 標(biāo)準(zhǔn)型出發(fā)，討論矩陣為什么情況時(shí)，給出并證明了與等價(jià)的8個(gè)命題。實(shí)際上大家可以發(fā)現(xiàn)

17、在等價(jià)的9個(gè)命題中，有許多的等價(jià)或充分或必要條件零星的散落在一些文章中，9個(gè)等價(jià)條件從本質(zhì)上看就是為非減次矩陣，從外觀上就是矩陣的最小多項(xiàng)式的次數(shù)為。也許還有更多的等價(jià)條件，但它們的根源是一樣。致謝首先非常感謝楊忠鵬教授抽出大量的時(shí)間對(duì)我進(jìn)行論文指導(dǎo)，并在指導(dǎo)過程中提出了大量行之有效的意見和建議，在他的悉心指導(dǎo)和不斷的鼓勵(lì)下使得本文順利完成。而在整個(gè)過程中我受益良多，不僅拓廣了知識(shí)面，而且提高了解題的嚴(yán)謹(jǐn)度，同時(shí)感受到了楊教授勤奮治學(xué)，刻苦鉆研的精神，而楊教授嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度已深深的影響了我。所以，在此，謹(jǐn)向楊教授表示衷心的感謝和崇高的敬意！同時(shí)，對(duì)給予我大量幫助的數(shù)學(xué)系的各位老師和領(lǐng)導(dǎo)表示衷心的感謝！參考文獻(xiàn)1錢微微,蔡耀志.論矩陣可交換的充要條件j.大學(xué)數(shù)學(xué),2007，23（5）:143-146.2曾梅蘭.線性變換及矩陣可交換的性質(zhì)與應(yīng)用j.孝感學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，26（3）:44-45.3（美）合恩（horn,r.a）等著楊奇譯.矩陣分析m.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005.4.王萼芳,石生明.高等代數(shù)（第三版）m.北京：高等教育出版社，2003.5金輝.與方陣可交換的矩陣空間結(jié)構(gòu)的探討j