統(tǒng)計(jì)學(xué)常用公式

1、公式一1. 眾數(shù)【MOD】(1) 未分組數(shù)據(jù)或單變量值分組數(shù)據(jù)眾數(shù)的計(jì)算未分組數(shù)據(jù)或單變量值分組數(shù)據(jù)的眾數(shù)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。(2) 組距分組數(shù)據(jù)眾數(shù)的計(jì)算對(duì)于組距分組數(shù)據(jù)，先找出出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值所在組，即為眾數(shù)所在組，再根 據(jù)下面的公式計(jì)算計(jì)算眾數(shù)的近似值。下限公式:Mo=L+ i1 + 2式中：M0表示眾數(shù)；L表示眾數(shù)的下線；1表示眾數(shù)組次數(shù)與上一組次數(shù)之差；2表示眾數(shù)組次數(shù)與下一組次數(shù)之差；i表示眾數(shù)組的組距。上限公式:M0=U- i1 + 2式中：U表示眾數(shù)組的上限。2. 中位數(shù)【MEDIAN(1)未分組數(shù)據(jù)中中位數(shù)的計(jì)算根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)時(shí)，要先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，然后確

2、定中位數(shù)的位置。設(shè)組數(shù)據(jù)按從小到大排序后為X1, X2,，Xn，中位數(shù)Me，為則有：Me=X（N+1）當(dāng)N為奇數(shù)+X當(dāng)N為偶數(shù)1Me二；X n22N / 2確定中位數(shù)的位置，并確定中位數(shù)(2)分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計(jì)算 分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計(jì)算時(shí)，要先根據(jù)公式 所在的組，然后采用下面的公式計(jì)算中位數(shù)的近似值：式中：Me表示中位數(shù)；L表示中位數(shù)所在組的下限；Sm-1表示中位數(shù)所在組以下各組 的累計(jì)次數(shù)；f m表示中位數(shù)所在組的次數(shù)；d表示中位數(shù)所在組的組距3. 均值的計(jì)算【AVERAQEnxx1 +x2 +Xni 1X=(1) 未經(jīng)分組均值的計(jì)算未經(jīng)分組數(shù)據(jù)均值的計(jì)算公式為:(2)分組數(shù)據(jù)均值計(jì)算分組數(shù)據(jù)

3、均值的計(jì)算公式為:x1 f1+x2f2+L +xkfkfi f2 + L +fkkXi fii 1fii 14. 幾何平均數(shù)【GEOMEAN幾何平均數(shù)是N個(gè)變量值乘積的N次方根，計(jì)算公式為:式中：G表示幾何平均數(shù)；表示連乘符號(hào)5. 調(diào)和平均數(shù)【HARMEAN調(diào)和平均數(shù)是對(duì)變量的倒數(shù)求平均，然后再取倒數(shù)而得到的平均數(shù)，它有簡(jiǎn)單調(diào)和 平均數(shù)與加權(quán)調(diào)和平均數(shù)兩種計(jì)算形式。簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)：H= n = nH= 1 1 1 n 1+ + + x1x2Xni 1 xinmi加權(quán)調(diào)和平均數(shù)：m1+m2+mn= i 1nm1+m2+.+ mnmiX1X2Xni 1 xi式中：H表示調(diào)和平均數(shù)。6 .極差【Ra

4、nge】極差也稱全距，是一組1數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差，即式中：R表示極差；max xi和min xi分別表示一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值。7 .平均差【Mean Deviation 平均差是各標(biāo)志值與其平均數(shù)的絕對(duì)離差的算術(shù)平均。x-x(1)根據(jù)未分組資料的計(jì)算公式：AD=(2)根據(jù)分組資料的計(jì)算公式：AD=X -Xii 1fi式中：AD表示平均差8 .方差【Varianee】和標(biāo)準(zhǔn)差【Standard Deviation】方差是各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)。要求掌握方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法。未分組數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式為：2分組數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式為：式中：2表示方差。方差的平方根即為標(biāo)準(zhǔn)差，其相

5、應(yīng)的計(jì)算公式為:未分組數(shù)據(jù):2XiX fi分組數(shù)據(jù):式中：表示標(biāo)準(zhǔn)差9. 離散系數(shù)離散系數(shù)通常是就標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)計(jì)算的，因此，也稱為標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，它是一組數(shù)據(jù) 的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比，是測(cè)度數(shù)據(jù)離散程度的相對(duì)指標(biāo)。其計(jì)算公式為：V x式中：V表示離散系數(shù)。10. 偏態(tài)【SKE】偏態(tài)是對(duì)分布偏斜方向及程度的測(cè)度。利用眾數(shù)、中位數(shù)和均值之間的關(guān)系就可以 判斷分布是左偏還是右偏。顯然，判別偏態(tài)的方向并不困難，但要測(cè)度偏斜的程度就需 要計(jì)算偏態(tài)系數(shù)了。EXCEL中偏態(tài)系數(shù)的計(jì)算公式為:nn-1 n-2 i 13X.-Xis11. 峰值【KURTEXCEL中峰值系數(shù)的計(jì)算公式為：式中：s表示樣本標(biāo)準(zhǔn)差。公式

6、二1. 均值估計(jì)(1)樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差，即為樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差，又稱為樣本均值的抽樣平均誤差,它反映的是所有可能樣本的均值與總體均值的平均差異程度，反映了所有可能樣本的實(shí)際抽樣誤差水平。樣本均值的抽樣平均誤差計(jì)算公式為：重復(fù)抽樣方式：X 2 n .汕不重復(fù)抽樣方式：xN nN 1通常情況下，當(dāng)N很大時(shí)，(N-1 )幾乎等于N,樣本均值的抽樣平均誤差的計(jì)算公式 也可簡(jiǎn)化為： 在公式中， 是總體標(biāo)準(zhǔn)差。但實(shí)際計(jì)算時(shí)，所研究總體的標(biāo)準(zhǔn)差通常是未知的， 在 大樣本的情況下，通常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S代替。(2) 大樣本均值的極限誤差x Z 2 x(3) 大樣本下總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的置

7、信度為(1)的置信區(qū)間:n(4) 總體方差未知，小樣本正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的置信度為(1)的置信區(qū)間：t s1 2.ns2 . n2. 比例估計(jì)(1)樣本比例的抽樣平均誤差樣本比例的抽樣平均誤差為:重復(fù)抽樣下： 上式中，p應(yīng)為總體比例，實(shí)際計(jì)算時(shí)通常用樣本比例 p代替不重復(fù)抽樣下:p 1 p N nn N 1(2) 樣本比例的抽樣極限誤差(3) 總體比率的區(qū)間估計(jì)總體比例P的置信度為（1 ）的置信區(qū)間為:即P Z 2 p p p Z 2 p3. 總體均值檢驗(yàn)（1）單一總體均值檢驗(yàn)正態(tài)總體（總體方差已知）或大樣本均值檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z為:正態(tài)總體（總體方差未知）小樣本均值檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t

8、為：（2）兩個(gè)總體的均值檢驗(yàn)兩個(gè)正態(tài)總體均值檢驗(yàn)一一兩個(gè)總體方差已知或大樣本Z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為:大樣本下對(duì)兩個(gè)總體均值進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，在總體標(biāo)準(zhǔn)差未知的情況下 差代替總體標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行計(jì)算，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量不變可用樣本標(biāo)準(zhǔn)兩個(gè)正態(tài)總體均值檢驗(yàn)（小樣本）兩個(gè)總體方差未知但相等T檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為:其中:Xi2S2n2X24.總體比例檢驗(yàn)(1)單一總體的比例檢驗(yàn)Z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量p PoPo 1po（2）兩個(gè)總體比例的檢驗(yàn)其中：? n1? n2?2，巴為當(dāng)p1 p2時(shí)p1和p2的聯(lián)合估計(jì)值。 m n2檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為:? ?2? 1 ?5.總體方差假設(shè)檢驗(yàn)(1)單一正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)n 1 s22o其中：S2X.ii 12的

9、估計(jì)量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為:(2)兩個(gè)正態(tài)總體的方差假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：F s/s2n1n2其中:S1S2公式三1.單因素方差分析設(shè)總體共分為k種處理進(jìn)行觀察，第 種處理試驗(yàn)了容量為nj的樣本。(1)計(jì)算各項(xiàng)離差平方和在單因素方差分析中，需要計(jì)算的離差平方和有3個(gè)，它們分別是總離差平方和,誤差項(xiàng)離差平方和以及水平項(xiàng)離差平方和?？傠x差平方和，用SST (Sum of Squares for Total )代表：式中：x表示全部樣本觀測(cè)值的總均值。其計(jì)算公式為:誤差離差平方和，用SSE( Sum of Squares for Error )代表:njXj式中：Xj表示第j種水平的樣本均值，Xj亠一水平項(xiàng)

10、離差平方和。為了后面敘述方便，可以把單因素方差分析中的因素稱為A。于是水平項(xiàng)離差平方和可以用 SSA( Sum of Squares for Factor A )表示。SSA的計(jì)算公式為:nj kSSAXji 1 j 1(2) 計(jì)算平均平方用離差平方和除以自由度即可得到平均平方和(MeanSquare)。對(duì)SST來(lái)說(shuō)，其自 由度為(n-1)；對(duì)SSA來(lái)說(shuō)，其自由度為(r-1 )，這里r表示水平的個(gè)數(shù)；對(duì)SSE來(lái)說(shuō), 其自由度為(n-r )。與離差平方和一樣，SST SSA SSE之間的自由度也存在著如下的關(guān) 系：n-1= (r-1 ) + (n-r)對(duì)于SSA其平均平方MSA(組間均方差)為：

11、SSAMSA -r 1對(duì)于SSE其平均平方MSE(組內(nèi)均方差)為：MSE SSEn r(3) 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量FF MSAMSE2.兩因素方差分析設(shè)兩個(gè)因素A、B分別有k個(gè)水平和n個(gè)水平，共進(jìn)行nk次試驗(yàn)(1)計(jì)算各項(xiàng)離差平方和在兩因素方差分析中，需要計(jì)算的離差平方和有4個(gè)，它們分別是總離差平方和,誤差項(xiàng)離差平方和以及水平 A、B項(xiàng)離差平方和?？傠x差平方和，用 SST (Sum of Squares for Total )代表： SSTxij xnkiXj式中：x表示全部樣本觀察值的總均值，其計(jì)算公式為:水平項(xiàng)離差平方和可以分別用SS(Sumof Squares for Factor A)和SS(SumDf Squares for Factor B ) 表示。SSA的計(jì)算公式為:n k=SSAX?j xi 1 j 1式中:X?jnrSSB的計(jì)算公式為:n k- 2SSBx xi 1 j 1式中:xi?Xij誤差離差平方和，用SSE（ Sum of Squares for Error）代表：（2）計(jì)算平均平方用離差平方和除以自由度即可得到平均平方和（Mean Square）。對(duì)SST來(lái)說(shuō)，其自 由度為（n k-1 ）；對(duì)SSA來(lái)說(shuō)，其自由度為（k-1 ），這里k表示水平A的個(gè)數(shù)；對(duì)SSB來(lái) 說(shuō)，其自由度為（n-1 ），這里n