大學(xué)物理靜電場(chǎng)經(jīng)典習(xí)題詳解

1、題7.1: 1964年，蓋爾曼等人提出基本粒子是由更基本的夸克構(gòu)成，中子就是由一個(gè)帶 Me的31上夸克和兩個(gè)帶-e下夸克構(gòu)成，若將夸克作為經(jīng)典粒子處理（夸克線(xiàn)度約為10 20 m），3中子內(nèi)的兩個(gè)下夸克之間相距2.60 10 15 m。求它們之間的斥力。題7.1解：由于夸克可視為經(jīng)典點(diǎn)電荷，由庫(kù)侖定律21 qg21 eF廠(chǎng) er2 er 3.78Ner40 r40 9rF與er方向相同表明它們之間為斥力。題7.2：質(zhì)量為m，電荷為e的電子以圓軌道繞氫核旋轉(zhuǎn)，其動(dòng)能為Ek。證明電子的旋轉(zhuǎn)頻率滿(mǎn)足2 232 oEk me4其中是0真空電容率,電子的運(yùn)動(dòng)可視為遵守經(jīng)典力學(xué)規(guī)律。題7.2分析：根據(jù)題意

2、將電子作為經(jīng)典粒子處理。電子、氫核的大小約為10 15 m，軌道半徑約為10 10 m，故電子、氫核都可視作點(diǎn)電荷。點(diǎn)電荷間的庫(kù)侖引力是維持電子沿圓軌道 運(yùn)動(dòng)的向心力，故有2v m r1e240 r2由此出發(fā)命題可證。證：由上述分析可得電子的動(dòng)能為1 21 e2Ekmv2 8 0 r電子旋轉(zhuǎn)角速度為22 e4mr3由上述兩式消去r，得223232 0 Ek4 2me4題7.3：在氯化銫晶體中，一價(jià)氯離于Cl與其最鄰近的八個(gè)一價(jià)格離子Cs+構(gòu)成如圖所示的立方晶格結(jié)構(gòu)。（1）求氯離子所受的庫(kù)侖力；（2）假設(shè)圖中箭頭所指處缺少一個(gè)銫離子（稱(chēng) 作品格缺陷），求此時(shí)氯離子所受的庫(kù)侖力。題7.3分析：銫離

3、子和氯離子均可視作點(diǎn)電荷，可直接將晶格頂角銫離子與氯離子之間的庫(kù)侖力進(jìn)行矢量疊加。為方便計(jì)算可以利用晶格的對(duì)稱(chēng)性求氯離子所受的合力。解：（I）由對(duì)稱(chēng)性，每條對(duì)角線(xiàn)上的一對(duì)銫離子與氯離子間的作用合力為零，故F!0（2）除了有缺陷的那條對(duì)角線(xiàn)外，其它銫離子與氯離子的作用合力為零，所以氯離子所受的合 力F2的值為2qg2 e9F2一 22 1.92 10 N4r 30aF2方向如圖所示。題7.4:若電荷Q均勻地分布在長(zhǎng)為 L的細(xì)棒上。求證：(1)在棒的延長(zhǎng)線(xiàn)，且離棒中心為 r處的電場(chǎng)強(qiáng)度為04P(2)在棒的垂直平分線(xiàn)上，離棒為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度為1 Q2 o r 4r2 L2若棒為無(wú)限長(zhǎng)(即L)，試將結(jié)

4、果與無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線(xiàn)的電場(chǎng)強(qiáng)度相比較。題7.4分析：這是計(jì)算連續(xù)分布電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度。此時(shí)棒的長(zhǎng)度不能忽略，因而不能將棒當(dāng) 作點(diǎn)電荷處理。但帶電細(xì)棒上的電荷可看作均勻分布在一維的長(zhǎng)直線(xiàn)上。如圖所示，在長(zhǎng)直線(xiàn)上任意取一線(xiàn)元，其電荷為dq = Qdx/L，它在點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度為dE 1 dq e dE2e4 o r整個(gè)帶電體在點(diǎn) P的電場(chǎng)強(qiáng)度E dE接著針對(duì)具體問(wèn)題來(lái)處理這個(gè)矢量積分。(1) 若點(diǎn)P在棒的延長(zhǎng)線(xiàn)上，帶電棒上各電 荷元在點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同，E dE iL(2) 若點(diǎn)P在棒的垂直平分線(xiàn)上，則電場(chǎng)強(qiáng)度 零，因此，點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度就是E沿x軸方向的分量因?qū)ΨQ(chēng)性疊加為證：(1)延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)

5、P的電場(chǎng)強(qiáng)度E則dq2 or利用幾何關(guān)系rr x統(tǒng)一積分變量，EPL 21 Qdx-L24 o L(r x)21 1 14 oL r L 2 r L 22o 4rE LdEyj Lsin dEj電場(chǎng)強(qiáng)度的方向沿 x軸。(3)根據(jù)以上分析，中垂線(xiàn)上一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向沿y軸，大小為sin dq2or利用幾何關(guān)系sin r r , r r2 x2統(tǒng)一積分變量，則E L 2 _JrQdxQ 1-L24 o L(x2 r 2)322 o.L2 4r2當(dāng)棒長(zhǎng)L時(shí)，若棒單位長(zhǎng)度所帶電荷為常量，則P點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度lim2 or J1 4r2 L22 orr2 L21，帶電長(zhǎng)直1sinQEodlL 4 oR2

6、R由幾何關(guān)系dlRd，統(tǒng)一積分變量后，有L1QEoo sin d2 2o 4 o2oR方向沿y軸負(fù)方向。此結(jié)果與無(wú)限長(zhǎng)帶電直線(xiàn)周?chē)碾妶?chǎng)強(qiáng)度分布相同。這說(shuō)明只要滿(mǎn)足細(xì)棒可視為無(wú)限長(zhǎng)帶電直線(xiàn)。題 7.5：一半徑為R的半圓細(xì)環(huán)上均勻分布電荷Q,求環(huán)心處的電場(chǎng)強(qiáng)度題7.5分析：在求環(huán)心處的電場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)，不能將帶電半圓環(huán)視作點(diǎn)電荷?，F(xiàn)將其抽象為帶電半圓弧線(xiàn)。在弧線(xiàn)上取線(xiàn)元dl，其電荷此電荷元可視為點(diǎn)電荷 dq 2dl，它在點(diǎn)0的電場(chǎng)R強(qiáng)度dE 一 gjer。因圓環(huán)上電荷對(duì)y軸呈對(duì)稱(chēng)性分布，電場(chǎng)分布也是軸對(duì)稱(chēng)的，則有40 rdEx 0，點(diǎn)0的合電場(chǎng)強(qiáng)度 EdEyjLL解：由上述分析，點(diǎn)0的電場(chǎng)強(qiáng)度題7.6

7、：用電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理求證：無(wú)限大均勻帶電板外一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E（提0題7.6分析：求點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度可采用兩種方法處理, 細(xì)圓環(huán)或無(wú)數(shù)平行細(xì)長(zhǎng)線(xiàn)元組成，它們的電荷分別為dq 2 rdr或 ddy求出它們?cè)谳S線(xiàn)上一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度dE后,將無(wú)限大平板分別視為由無(wú)數(shù)同心的了。證1：如圖所示，在帶電板上取同心細(xì)圓環(huán)為微元，由 于帶電平面上同心圓環(huán)在點(diǎn) P激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度 dE 向均相同，因而P處的電場(chǎng)強(qiáng)度E dE1 xdq；22、3 2 ；4 o (r x )i2 o電場(chǎng)強(qiáng)度的方向?yàn)閹щ娖桨逋夥ň€(xiàn)方向。證2：如圖所示，取無(wú)限長(zhǎng)帶電細(xì)線(xiàn)為微元，各微元在點(diǎn)內(nèi)且對(duì)x軸對(duì)稱(chēng)，因此，電場(chǎng)在 的電場(chǎng)強(qiáng)度應(yīng)為E E

8、x ； dE cos ；xdy2 o y2積分得E的方再疊加積分，即可求得點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度2 xrdr；2；4 o(r x )P激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度 dE在Oxy平面y軸和z軸方向上的分量之和，即Ey、Ez均為零，則點(diǎn)P示：把無(wú)限大帶電平板分解成一個(gè)個(gè)圓環(huán)或一條條細(xì)長(zhǎng)線(xiàn)，然后進(jìn)行積分疊加）電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向?yàn)閹щ娖桨逋夥ň€(xiàn)方向。上述討論表明，雖然微元割取的方法不同，但結(jié)果是相同的。題7.7：水分子H2O中氧原子和氫原子的等效電荷中心如圖所示。假設(shè)氧原子和氫原子等效電荷中心間距為r。試計(jì)算在分子的對(duì)稱(chēng)軸線(xiàn)上，距分子較遠(yuǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。題7.7分析：水分子的電荷模型等效于兩個(gè)電偶極子，它們的電偶極矩大小均為p

9、0 er0，而夾角為2。疊加后水分子的電偶極矩大小為p 2er0 cos，方向沿對(duì)稱(chēng)軸線(xiàn)。由于點(diǎn) O到場(chǎng)點(diǎn)A的距離x0，利用教材中電偶極子在延長(zhǎng)線(xiàn)上的電場(chǎng)強(qiáng)度E 1 2prr x0 x題7.8：無(wú)兩條無(wú)限長(zhǎng)平行直導(dǎo)線(xiàn)相距為 求兩導(dǎo)線(xiàn)構(gòu)成的平面上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度 一根導(dǎo)線(xiàn)上單位長(zhǎng)度導(dǎo)線(xiàn)受到另一根導(dǎo)線(xiàn)上電荷作用的電場(chǎng)力。題7.8分析：（1）在兩導(dǎo)線(xiàn)構(gòu)成的平面上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為兩導(dǎo)線(xiàn)單獨(dú)在此所激發(fā)的電場(chǎng) 的疊加。（2）由F = qE，單位長(zhǎng)度導(dǎo)線(xiàn)所受的電場(chǎng)力等于另一根導(dǎo)線(xiàn)在該導(dǎo)線(xiàn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度來(lái) 乘以單位長(zhǎng)度導(dǎo)線(xiàn)所帶電的量，即：F= E應(yīng)該注意：式中的電場(chǎng)強(qiáng)度E是除去自身電荷外其它電荷的合電場(chǎng)強(qiáng)度，

10、電荷自身建立的電場(chǎng)不會(huì)對(duì)自身電荷產(chǎn)生作用力。題7.8解：（1）設(shè)點(diǎn)P在導(dǎo)線(xiàn)構(gòu)成的平面上，E、E分別表示正、負(fù)帶電導(dǎo)線(xiàn)在P點(diǎn)的電可求得電場(chǎng)的分布。也可由點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度疊加，求電場(chǎng)分布。解1：水分子的電偶極矩p 2p0 cos2er）cos在電偶極矩延長(zhǎng)線(xiàn)上1 er0 cos1 4er0 cosE 2p4 0x3 4 0x3解2：在對(duì)稱(chēng)軸線(xiàn)上任取一點(diǎn)E3x2EcosE 2ecos40r22e4 ox2由于r2202xrcoscosx r0 cosr代入得2eE4 ox r0 cosT22(x 02xo cos )3212x測(cè)量分子的電場(chǎng)時(shí)，總有X0,因此,式中（x223 2ro2xro cos

11、)2r0 cosx2r cos，將上式化簡(jiǎn)并略去則該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度微小量后，得E丄recosr。，均勻帶有等量異號(hào)電荷，電荷線(xiàn)密度為 。（1） （設(shè)該點(diǎn)到其中一線(xiàn)的垂直距離為x）； （2）求每EEE-1 1 .i20 x0X012 o x(r。X)(2)設(shè)F、F分別表示正、負(fù)帶電導(dǎo)線(xiàn)單位長(zhǎng)度所受的電場(chǎng)力，則有FFi20r02FFi2 0 r0場(chǎng)強(qiáng)度，則有顯然有F F，相互作用力大小相等，方向相反，兩導(dǎo)線(xiàn)相互吸引。題7.9：如圖所示，電荷Q分別均勻分布在兩個(gè)半徑為R的半細(xì)圓環(huán)上。求：（1）帶電圓環(huán)偶極矩的大小和方向；（2）等效正、負(fù)電荷中心的位置。題7.9分析：（1）電荷分布呈軸對(duì)稱(chēng)，將細(xì)環(huán)分割成

12、長(zhǎng)度均為ds的線(xiàn)元，帶正電荷的上半圓環(huán)線(xiàn)元與帶負(fù)電荷的下半圓環(huán)對(duì)稱(chēng)位置上的線(xiàn)元構(gòu)成一元電偶極子，細(xì)圓環(huán)總的偶極矩 等于各元電偶極矩之和，有P dpj（2）由于正、負(fù)電荷分別對(duì)稱(chēng)分布在 y軸兩側(cè)，我們?cè)O(shè)想在y軸上能找到一對(duì)假想點(diǎn)， 如果該帶電環(huán)對(duì)外激發(fā)的電場(chǎng)可以被這一對(duì)假想點(diǎn)上等量的點(diǎn)電荷所激發(fā)的電場(chǎng)代替，這 對(duì)假想點(diǎn)就分別稱(chēng)作正、負(fù)等效電荷中心。等效正負(fù)電荷中心一定在y軸上并對(duì)中心 0對(duì)稱(chēng)。由電偶極矩p可求得正、負(fù)等效電荷中心的間距，并由對(duì)稱(chēng)性求得正、負(fù)電荷中心。 解：（1 ）將圓環(huán)沿y軸方向分割為一組相互平行的元電偶極子，每一元電偶極子帶電dq ds QdRdp 2Rcos dq j竺 Rc

13、os d則帶電圓環(huán)的電偶極矩22dP4Qr（2）等效正、負(fù)電荷中心間距為4R根據(jù)對(duì)稱(chēng)性正、負(fù)電荷中心在y軸上，所以其坐標(biāo)分別為0,空和0,2R也可以借助幾何中心的定義，得1 2yRsin Rd e R 2xRsinRd e 0R ；2題7.10:設(shè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E與半徑為R的半球面的對(duì)稱(chēng)軸平行，試計(jì)算通過(guò)此半球面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量。題7.10分析方法1 :由電場(chǎng)強(qiáng)度通量的定義，對(duì)半球面S求積分，即 sSEdS。方法2 :作半徑為R 高斯定理的平面S與半球面S 一起可構(gòu)成閉合曲面，由于閉合面內(nèi)無(wú)電荷，由1:E dSq 0S0這表明穿過(guò)閉合曲面的凈通量為零，穿入平面 球面S的電場(chǎng)強(qiáng)度通量。因而S的

14、電場(chǎng)強(qiáng)度通量在數(shù)值上等于穿出半S E dS解1：取球坐標(biāo)系,電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和面兀在球坐標(biāo)系中可表示為EE(cosesine sindSR2 sindd er=E dSSER2Ssin sin2sin2 sin dERder)d d00r2e解2:由于閉合曲面內(nèi)無(wú)電荷分布，根據(jù)高斯定理，有依照約定取閉合曲面的外法線(xiàn)方向?yàn)槊尕S的方向，2 2 E R cos R E題7.11：邊長(zhǎng)為a的立方體如圖所示，其表面分別平行于xy、yz和zx平面，立方體的一個(gè)頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。現(xiàn)將立方體置于電場(chǎng)強(qiáng)度E (E1 kx)i E2j的非均勻電場(chǎng)中，求電場(chǎng)對(duì)立方體各表面及整個(gè)立方體表面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量。題7.11解：

15、參見(jiàn)圖。由題意E與Oxy面平行，所以對(duì)任何與 Oxy面平行的立方體表面。電 場(chǎng)強(qiáng)度的通量為零。即OABCDEFG0。而 ABGFE dS(Eikx)iE2j dSjE2a2與面ABGF且該兩面的電場(chǎng)分布相同，故有考慮到面CDEO CDEO ABGFE?a2的外法線(xiàn)方向相反,同理AOEF EdSE,iE2j ( dSi)E1a2 BCDGE dS(巳 ka)iE2j (dSi) (E! ka)a2因此，整個(gè)立方體表面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量3 ka題7.12 :地球周?chē)拇髿猹q如一部大電機(jī)，由于雷雨云和大氣氣流的作用，在晴天區(qū)域， 大氣電離層總是帶有大量的正電荷，云層下地球表面必然帶有負(fù)電荷。晴天大氣電場(chǎng)

16、平均 電場(chǎng)強(qiáng)度約為120 V m，方向指向地面。試求地球表面單位面積所帶的電荷（以每平方厘 米的電子數(shù)表示）。題7.11分析：考慮到地球表面的電場(chǎng)強(qiáng)度指向地球球心，在大氣層中取與地球同心的球面 為高斯面，利用高斯定理可求得高斯面內(nèi)的凈電荷。解：在大氣層臨近地球表面處取與地球表面同心的球面為高斯面，其半徑R Re （ Re為地球平均半徑）。由高斯定理2 1 SE dSE4 Req0地球表面電荷面密度q 4 REoE1.06910 C m單位面積額外電子數(shù).(e)56.63 10 cm題7.13：設(shè)在半徑為R的球體內(nèi)，其電荷為對(duì)稱(chēng)分布，電荷體密度為kr0 r R0r Rk為一常量。試用高斯定理求電

17、場(chǎng)強(qiáng)度E與r的函數(shù)關(guān)系。（你能用電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理求解這個(gè)問(wèn)題嗎?）題7.13分析：通常有兩種處理方法：（1）利用高斯定理求球內(nèi)外的電場(chǎng)分布。由題意知電荷呈球?qū)ΨQ(chēng)分布，因而電場(chǎng)分布也是球?qū)ΨQ(chēng)，選擇與帶電球體同心的球面為高斯面，在球 面上電場(chǎng)強(qiáng)度大小為常量，且方向垂直于球面，因而有E dS E 4 r2S1根據(jù)咼斯定律- E dS dV，可解得電場(chǎng)強(qiáng)度的分布0（2）利用帶電球殼電場(chǎng)疊加的方法求球內(nèi)外的電場(chǎng)分布。將帶電球分割成無(wú)數(shù)個(gè)同心帶電球殼，球殼帶電荷為 dq 4 r 2dr，每個(gè)帶電球殼在殼內(nèi)激發(fā)的電場(chǎng)dE = 0 ,而在球 殼外激發(fā)的電場(chǎng)dE 4dV2 er由電場(chǎng)疊加可解得帶電球體內(nèi)外的電場(chǎng)

18、分布0rrE(r) 0dERE(r) 0 dE解1：因電荷分布和電場(chǎng)分布均為球?qū)ΨQ(chēng)，球面上各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為常量，由高斯定律.E dSSdV得球體內(nèi)(0 rR)E(r)4drrkr40E(r)球體外kr2er4 0(r R)E(r) 4kr4r2drR40E( ) kRE(r) 2 er4 or解2：將帶電球分割成球殼,球殼帶電dqdV kr 4r 2dr由上述分析，球體內(nèi)(02r 1 kr 4 r dr040(r R)R_ 1 kr0 4E(r)球體外E(r)erR)kr2er4 0kR4 kr題7.14: 無(wú)限大均勻帶電薄平板，電荷面密度為，在平板中部有一半徑為 r的小圓孔。求圓孔中心軸

19、線(xiàn)上與平板相距為x的一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度。題7.14分析：用補(bǔ)償法求解利用高斯定理求解電場(chǎng)強(qiáng)度只適用于幾種非常特殊的對(duì)稱(chēng)性電場(chǎng)。本題的電場(chǎng)分布雖 然不具有這樣的對(duì)稱(chēng)性，但可以利用具有對(duì)稱(chēng)性的無(wú)限大帶電平面和帶電圓盤(pán)的電場(chǎng)疊加, 求出電場(chǎng)的分布。若把小圓孔看作由等量的正、負(fù)電荷重疊而成、挖去圓孔的帶電平板等效于一個(gè)完整 的帶電平板和一個(gè)帶相反電荷(電荷面密度)的圓盤(pán)。這樣中心軸線(xiàn)上的電場(chǎng)強(qiáng)度等效于平板和圓盤(pán)各自獨(dú)立在該處激發(fā)的電場(chǎng)的矢量和。解：在帶電平面附近E!en為沿平面外法線(xiàn)的單位矢量；圓盤(pán)激發(fā)的電場(chǎng)E2x，x2 r2enE 巳 E2在圓孔中心處22 ren它們的合電場(chǎng)強(qiáng)度為在距離圓孔較遠(yuǎn)時(shí) x

20、r，則JI埠用-巨0題 7.15:無(wú)限長(zhǎng)、半徑為 R的圓柱體上電荷均勻分布。圓柱體單位長(zhǎng)度的電荷為,用咼斯定理求圓柱體內(nèi)距軸線(xiàn)距離為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度。題7.15分析：無(wú)限長(zhǎng)圓柱體的電荷具有軸對(duì)稱(chēng)分布，電場(chǎng)強(qiáng)度也為軸對(duì)稱(chēng)分布，且沿徑矢 方向。取同軸往面為高斯面，電場(chǎng)強(qiáng)度在圓柱側(cè)面上大小相等，且與柱面正交。在圓柱的 兩個(gè)底面上，電場(chǎng)強(qiáng)度與底面平行，E dS 0對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度通量貢獻(xiàn)為零。整個(gè)高斯面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為: E dS E 2 rL由于，圓柱體電荷均勻分布，電荷體密度面內(nèi)的總電荷r2L由高斯定理.: E dSq.o可解得電場(chǎng)強(qiáng)度的分布,解：取同軸柱面為高斯面，由上述分析得E 2 rLr2L 貸r2

21、L.R2，處于高斯r2oR2題7.16: 一個(gè)內(nèi)外半徑分別Ri為R2和的均勻帶電球殼，總電荷為Q1,球殼外同心罩一個(gè)半徑為 R3的均勻帶電球面，球面帶電荷為Q2。求電場(chǎng)分布。電場(chǎng)強(qiáng)度是否是場(chǎng)點(diǎn)與球心的距離r的連續(xù)函數(shù)？試分析。題7.16分析：以球心O為原點(diǎn)，球心至場(chǎng)點(diǎn)的距離r為半徑，作同心球面為高斯面。由于電荷呈球?qū)ΨQ(chēng)分布，電場(chǎng)強(qiáng)度也為球?qū)ΨQ(chēng)分布，高斯面上電場(chǎng)強(qiáng)度沿徑矢方向，且大小相等。因而-E dS E 4 r2，在確定高斯面內(nèi)的電荷 利用高斯定理E dS q. o即可求的電場(chǎng)強(qiáng)度的分布解：取半徑為r的同心球面為高斯面，由上述分析E 4 r2 q or r時(shí)。帶電平板上小圓孔對(duì)電場(chǎng)分布的影響

22、可以忽略不計(jì)。Ri r R2,高斯面內(nèi)電荷 q33Qi（舉，故r2 RR2 E3E4LQi (r3 Ri3)E23324 o(R2 Ri )rr Ri),單位Ri r R2題7.i7:兩個(gè)帶有等量異號(hào)電荷的無(wú)限長(zhǎng)同軸圓柱面，半徑分別為 長(zhǎng)度上的電荷為。求離軸線(xiàn)為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度：（i）r Ri，（2）在帶電面附近，電場(chǎng)強(qiáng)度大小不連續(xù)，電場(chǎng)強(qiáng)度有一躍變L2or2 orL題7.18:如圖所示，有三個(gè)點(diǎn)電荷Qi、Q2、Q3沿一條直線(xiàn)等間距分布，已知其中任一點(diǎn)電荷所受合力均為零，且 Qi = Q2 = Q3。求在固定Qi、Q3的情況下，將 Q2從點(diǎn)0移到無(wú)窮遠(yuǎn) 處外力所作的功。題7.18分析：由庫(kù)侖力的

23、定義，根據(jù)Qi、Q3所受合力為零可求得 Q3外力作功W應(yīng)等于電場(chǎng)力作功 W的負(fù)值，即 W W。求電場(chǎng)力作功的方法有兩種，（I）根據(jù)功的定義，電場(chǎng)力作的功為W 0Q2Edl其中E是點(diǎn)電荷Qi、Q3產(chǎn)生的合電場(chǎng)強(qiáng)度。（2）根據(jù)電場(chǎng)力作功與電勢(shì)能差的關(guān)系，有WQ2(Vo V )Q2V0其中Vo是Qi、Q3在點(diǎn)0產(chǎn)生的電勢(shì)（取無(wú)窮遠(yuǎn)處為零電勢(shì)）。解i：由題意Qi所受的合力為零2 0 o(2d)2%4由點(diǎn)電荷電場(chǎng)的疊加， 意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為解得Q21q4Qi、Q3激發(fā)的電場(chǎng)在y軸上任r00千宣-Qy22 3 2o（d y ）將Q2從點(diǎn)0沿y軸移到無(wú)窮遠(yuǎn)處（沿其他路徑所作的功相同，請(qǐng)想一想為什么？） 所作

24、的功為E Eiy E3y 2 o(d2y2)，外力QyW oQ2E dl 0 產(chǎn) 2 o(d2yy2)32dyQ28od解2：與解1相同，在任一點(diǎn)電荷所受合力均為零時(shí)iQ2Q。并由電勢(shì)的疊加得Qi、Q34在點(diǎn)0電勢(shì)VQiQ3Q04 od 4 od 2 od將Q2從點(diǎn)0推到無(wú)窮遠(yuǎn)處的過(guò)程中，外力作功Q28WQ2V0od比較上述兩種方法，顯然用功與電勢(shì)能變化的關(guān)系來(lái)求解較為簡(jiǎn)潔。這是因?yàn)樵谠S多 實(shí)際問(wèn)題中直接求電場(chǎng)分布困難較大，而求電勢(shì)分布要簡(jiǎn)單得多。題7.i9：已知均勻帶電長(zhǎng)直線(xiàn)附近的電場(chǎng)強(qiáng)度近似為為電荷線(xiàn)密度。（i）求在r = ri和r = r2兩點(diǎn)間的電勢(shì)差；（2）在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中, 我們?cè)?/p>

25、取r處的電勢(shì)為零，求均勻帶電長(zhǎng)直線(xiàn)附近的電勢(shì)時(shí)，能否這樣取？試說(shuō)明，題7.i9解：（i）由于電場(chǎng)力作功與路徑無(wú)關(guān)，若取徑矢為積分路徑，則有r2r2Ui2E drIn 2ri2 0 ri即V0e (R2 Ri)m上式表明質(zhì)子欲穿過(guò)環(huán)心，其速率不能小于e (R2 Ri)m（2）不能。嚴(yán)格地講，電場(chǎng)強(qiáng)度Eer只適用于無(wú)限長(zhǎng)的均勻帶電直線(xiàn)，而此時(shí)2電荷分布在無(wú)限空間。r處的電勢(shì)應(yīng)與直線(xiàn)上的電勢(shì)相等。題7.20：如圖所示，有一薄金屬環(huán)，其內(nèi)外半徑分別為Ri和R2,圓環(huán)均勻帶電，電荷面密度為 （ 0 ）。（ 1）計(jì)算通過(guò)環(huán)中心垂直于環(huán)面的軸線(xiàn)上一點(diǎn)的電勢(shì)；（2）若有一質(zhì)子沿軸線(xiàn)從無(wú)限遠(yuǎn)處射向帶正電的圓環(huán)，

26、要使質(zhì)子能穿過(guò)圓環(huán)，它的初速度至少應(yīng)為多少？題7.20分析：（1 ）如圖所示，將薄金屬環(huán)分割為一組不同半徑的同心帶電細(xì)圓環(huán)，禾U用細(xì) 環(huán)軸線(xiàn)上一點(diǎn)的電勢(shì)公式，根據(jù)電勢(shì)疊加原理，將這些不同半徑的帶電圓環(huán)在軸線(xiàn)上一點(diǎn)的電勢(shì)相加，即可得到軸線(xiàn)上的電勢(shì)分布。（2）由軸上電勢(shì)分布的結(jié)果可知，在圓環(huán)中心處（x = 0）電勢(shì)V有極大值，當(dāng)質(zhì)子從無(wú)窮遠(yuǎn)處射向圓環(huán)時(shí)，電勢(shì)能逐漸增加，而質(zhì)子的動(dòng)能隨之減少。若要使質(zhì)子穿過(guò)圓環(huán)， 則質(zhì)子在圓環(huán)中心處 Ek 0。根據(jù)能量守恒定律，可求出電子所需初速度的最小值。解：（1）在環(huán)上割取半徑為 r、寬度為dr的帶電細(xì)回環(huán)，其所帶電荷為dq dS 2 rdr它在軸線(xiàn)上產(chǎn)生的電勢(shì)

27、為dqrdrdV22、1 222、i 24 0（x r ）2 0（x r ）1薄金屬環(huán)的電勢(shì)等于這些同心軸圓環(huán)電勢(shì)的疊加產(chǎn)刃用 r2（2）根據(jù)能量守恒定律，為使質(zhì)子在圓環(huán)中心處的動(dòng)能滿(mǎn)足-mv0； e(Vo V )02題7.21:兩個(gè)同心球面的半徑分別為R1和R2，各自帶有電荷 Q1和Q2。求：（1）各區(qū)域電勢(shì)分布，并畫(huà)出分布曲線(xiàn)；（2）兩球面間的電勢(shì)差為多少？題7.21分析：通?？刹捎脙煞N方法（1）由于電荷均勻分布在球面上，電場(chǎng)分布也具有球?qū)?稱(chēng)性，因此，可根據(jù)電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的積分關(guān)系求電勢(shì)。取同心球面為高斯面，借助高斯定理可求得各區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度分布，再由VPp E dl可求得電勢(shì)分布。（2

28、）禾U用電勢(shì)疊加原理求電勢(shì)。一個(gè)均勻帶電的球面，在球面外產(chǎn)生的電勢(shì)為V丄4 r在球面內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度為零，電勢(shì)處處相等，等于球面的電勢(shì)V旦4 oR其中R是球面的半徑。根據(jù)上述分析，利用電勢(shì)在加原理，將兩個(gè)球面在各區(qū)域產(chǎn)生的電 勢(shì)疊加，可求得電勢(shì)的分布。解 1:(1)由高斯定理可求得電場(chǎng)分布E1E2E30Q14Q1Q- 牙e4rrR1R1r R2由電勢(shì)Vdl可求得各區(qū)域的電勢(shì)分布。當(dāng)r R時(shí)，有ViR1r E1dlR2R1E2dlR2 E3dlV2Q10 4 oQ14 0 R1R1R2Q24 0 R2Q1 Q24 0 R2R r R2時(shí)，有R2E2 dlrR2E3dlQ140Q14 or1R2Q20

29、R2Q14Q20 R2R2時(shí)，有E3 dl rQ1Q2r4 0 R2(2)兩個(gè)球面間的電勢(shì)差U 12R2RiE2 dl旦丄4 0 R11R2解2: (l)由各球面電勢(shì)的疊加計(jì)算電勢(shì)分布。若該點(diǎn)位于兩個(gè)球面內(nèi)，即r R，則V Q1Q24 0 R 40R2若該點(diǎn)位于兩個(gè)球面之間，即V Q1Q24 0 r 4 0 R?若該點(diǎn)位于兩個(gè)球面之外，即Q1 Q2 _V3RirR2，則rR2，則r4 0R2(2)兩個(gè)球面間的電勢(shì)差U12 VV2r R2Qi4 o RiQi4 0 R2題7.22: 半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)帶電細(xì)棒，其內(nèi)部的電荷均勻分布，電荷的體密度為?，F(xiàn)取棒表面為零電勢(shì)，求空間電勢(shì)分布并畫(huà)出分布曲線(xiàn)分

30、析無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電細(xì)棒電荷分布呈軸對(duì)稱(chēng)，其電場(chǎng)和電勢(shì)的分布也呈軸對(duì)稱(chēng)。選取同軸柱面為高斯面，利用高斯定理1。E dS V dV0可求得電場(chǎng)分布 E（r），再根據(jù)電勢(shì)差的定義bVaVbE2 dla并取棒表面為零電勢(shì)（Vb = 0），即可得空間任意點(diǎn)的電勢(shì)解：取高度為I、半徑為r且與帶電律同軸的回柱面為高斯面，由高斯定理rl得 E(r)當(dāng)r R時(shí)e 2 rlr2i0得 E(r)2 or取棒表面為零電勢(shì),空間電勢(shì)的分布有r r當(dāng) r R 時(shí)，V(r)-dr(R2 r2)r 2 04 02 2當(dāng) r R 時(shí)，V(r) dr R In Rr 2 r 2 0 r圖是電勢(shì)V隨空間位置r的分布曲線(xiàn)。題7.23：兩個(gè)很長(zhǎng)的共軸圓柱面（Ri = 3.0 10 1 m，R2 = 0.10 m），帶有等量異號(hào)的電荷， 兩者的電勢(shì)差為 450 V。求：（1）圓柱面單位長(zhǎng)度上帶有多少電荷？ （2）兩圓柱面之間的電場(chǎng)強(qiáng)度。題7.23：兩圓柱面之間的電場(chǎng)E -2 r根據(jù)電勢(shì)差的定義有R2R2U12R E dlIn 竺R12 0 R解得 2 0U12 InE3.74 10 -V 2 rr 兩圓柱面電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與r成反比