2016年四川省高考數(shù)學(xué)理科試題含答案

1、2016 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù)學(xué)（理工類）本試卷分第 I 卷（選擇題）和第 II 卷（非選擇題） ，第 I 卷 1 至 2 頁(yè)，第 II 卷 3 至 4 頁(yè)，共 4 頁(yè)，滿分 150 分，考試時(shí)間 120 分鐘，考生作答時(shí)，須將答案答在答題卡上，在本試題卷、草稿上答題無(wú)效，考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共第10 小題，每小題I 卷（選擇題5 分，共50共50分）分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的。1. 設(shè)集合A x | 2x2 ， Z 為整數(shù)集，則AZ中元素的個(gè)數(shù)是（）（ A）3（ B） 4（C） 5（ D） 62. 設(shè) i

2、 為虛數(shù)單位，則( xi) 6 的展開(kāi)式中含x4 的項(xiàng)為（）（ A） 15x4（ B） 15x4（ C） 20i x 4（D） 20i x 43. 為了得到函數(shù) yysin 2x 的圖象上所有的點(diǎn)（）sin(2 x) 的圖象，只需把函數(shù)3（ A）向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度（ B）向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度33（ C）向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度（ D）向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度664. 用數(shù)字1， 2， 3，4， 5 組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）（ A） 24（ B） 48（C） 60（D） 725. 某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入. 若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130 萬(wàn)元

3、，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200 萬(wàn)元的年份是 （）（參考數(shù)據(jù)：lg 1.12 0.05 ， lg 1.3 0.11，lg2 0.30 ）（ A ） 2018 年（ B） 2019 年（ C） 2020 年（ D）2021 年6. 秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的數(shù)書九章中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法. 如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入n， x 的值分別為3， 2，則輸出v 的值為（）（ A）9（B）18（C）20（ D）35yx1,221x

4、, 則 p 是 q 的（）7. 設(shè) p：實(shí)數(shù) x， y 滿足 ( x 1) +( y 1)2， q：實(shí)數(shù) x， y 滿足 yy1,（ A）必要不充分條件（B）充分不必要條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件8. 設(shè) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， P 是以 F 為焦點(diǎn)的拋物線y22 px(p0) 上任意一點(diǎn)， M 是線段 PF 上的點(diǎn)，且PM =2 MF , 則直線 OM的斜率的最大值為（）（ A）3 （B） 2 （C）2 （D）13329. 設(shè)直線l1，2 分別是函數(shù)f(x)=ln x,0x1,圖象上點(diǎn)1， 2 處的切線，l1 與l2 垂直相交于點(diǎn)P，且lln x, x1,PPl ， l2分別與 y

5、 軸相交于點(diǎn) A， B，則 PAB的面積的取值范圍是（）1（ A） (0,1)（ B） (0,2)（C）(0,+ )（D） (1,+ )10. 在平面內(nèi)，定點(diǎn) A， B， C， D滿足 DA = DB = DC , DADB = DB DC = DC DA =-2 ，動(dòng)點(diǎn) P， M滿足 AP =1， PM =MC ，則 BM2的最大值是（）（A） 43 （B） 49 （C） 376 3（D）37 2 334444第 II 卷（非選擇題 100 分）二、填空題：本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分。11.cos 2 sin 2=.8812. 同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬

6、幣正面向上時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在2 次試驗(yàn)中成功次數(shù) X 的均值是.13. 已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為2 的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是。133正視圖14. 已知函數(shù)f （ x）是定義在R 上的周期為2 的奇函數(shù)，當(dāng)0 x1 時(shí)， f （x） = 4x ，則 f （）+ f （ 1）( x2y, x2x=。15在平面直角坐標(biāo)系中， 當(dāng) P( x，y) 不是原點(diǎn)時(shí)， 定義 P 的“伴隨點(diǎn)” 為 Py2y2 ) ；當(dāng) P 是原點(diǎn)時(shí)，定義 P 的“伴隨點(diǎn)“為它自身，平面曲線C上所有點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”所構(gòu)成的曲線C 定義為曲線 C的“伴隨曲線” . 現(xiàn)有下列命題：若點(diǎn) A

7、 的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn) A ，則點(diǎn) A 的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A單位圓的“伴隨曲線”是它自身；若曲線 C關(guān)于 x 軸對(duì)稱，則其“伴隨曲線”C 關(guān)于 y 軸對(duì)稱；一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.其中的真命題是_ （寫出所有真命題的序列）.三、解答題：本大題共6 小題，共75 分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。16. （本小題滿分 12 分）我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x （噸）、一位居民的月用水量不超過(guò)x 的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x 的部分按議價(jià)收費(fèi). 為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年100 位居民

8、每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照 0,0.5) ， 0.5,1)， ， 4,4.5)分成 9 組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.頻率組距0.520.40a0.160.120.080.0400.511.522.533.544.5月均用水量（噸）（ I ）求直方圖中a 的值；（ II ）設(shè)該市有30 萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3 噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由；（ III）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)x （噸），估計(jì) x 的值，并說(shuō)明理由.17. （本小題滿分 12 分）在 ABC中，角 A, B,C所對(duì)的邊分別是a, b, c, 且 cos AcosBsin C

9、 .abc（ I ）證明： sin A sin Bsin C ；（ II ）若 b2c2a26 bc ，求 tan B .518. （本小題滿分 12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中， AD BC，1ADC= PAB=90， BC=CD= AD.E 為棱 AD 的中點(diǎn)，異面直線2PA 與 CD所成的角為90 .PBCADE（ I ）在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM平面 PBE，并說(shuō)明理由；(II) 若二面角 P-CD-A 的大小為 45，求直線 PA與平面 PCE所成角的正弦值 . 19. （本小題滿分 12 分）已知數(shù)列 an 的首項(xiàng)為1， Sn 為數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和， Sn 1

10、qSn1 ，其中 q0， nN * .（ I ）若 2a2 , a3, a22 成等差數(shù)列，求 an 的通項(xiàng)公式；(ii) 設(shè)雙曲線 x2y21的離心率為 en ，且 e25e24n3nan2，證明： e1en33n 1.20. （本小題滿分 13 分）已知橢圓 E：的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的3 個(gè)頂點(diǎn)， 直線 l : y=- x+3與橢圓 E 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.（ I ）求橢圓E 的方程及點(diǎn)T 的坐標(biāo)；（ II）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l 平行于OT, 與橢圓E 交于不同的兩點(diǎn)A、 B，且與直線l 交于點(diǎn)P. 證明：存在常數(shù)，使得PT 2= PAPB，并求的值.21. （本小題

11、滿分14 分）設(shè)函數(shù) f ( x)= ax2- a-ln x，其中 a R.（I ）討論f ( x) 的單調(diào)性；（ II）確定a 的所有可能取值，使得f (x)1e1 x 在區(qū)間（1，+）內(nèi)恒成立(e=2.718 為自然對(duì)數(shù)的底x數(shù) ) 。2016 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（四川卷）數(shù)學(xué)（理工類）試題參考答案一、選擇題1C2A3D4D5B6B 7A 8 C 9A 10B二、填空題1121231322三、解答題16（本小題滿分12 分）3 14 2 15 3（）由頻率分布直方圖知，月均用水量在0,0.5) 中的頻率為 0.08 0.5=0.04 ，同理，在 0.5,1) ，1.5,2)，

12、2,2.5) ， 3,3.5) ， 3.5,4) ， 4,4.5) 中的頻率分別為0.08 ，0.20 ， 0.26 ，0.06 ， 0.04 ， 0.02 由 0.04+0.08+0.5 a+0.20+0.26+0.5 a+0.06+0.04+0.02=1 ，解得 a=0.30 （）由（） ， 100 位居民每人月均用水量不低于3 噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)全市30 萬(wàn)居民中月均用水量不低于3 噸的人數(shù)為300 000 0.12=36 000 （）因?yàn)榍? 組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.880

13、.85，而前 5 組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.730.85，所以 2.5 x0)sin Bsin C則 =sin， =sin， = sina kA b kB c kC代入 cos A + cosB = sin C 中，有abccos A +cos B =sin C ，變形可得k sin Ak sin Bk sin Csinsin=sincos+cossin=sin(+ ) ABABABA B在中，由+ +=，有 sin(+ ) =sin( )=sin，ABCA B CA BCC所以 sinAsinB=sinC2226（）由已知，b +c a =bc，根據(jù)

14、余弦定理，有cos A= b2c2a2= 3 2bc5所以 sin A= 1cos2 A =4 5由（），sinsin=sincos+cossin，ABABAB所以 4 sinB= 4 cos B+ 3 sinB，555故 tan B= sin B =4cos B18. （本小題滿分 12 分）（）在梯形ABCD中， AB與 CD不平行 .延長(zhǎng) AB，DC，相交于點(diǎn)M（ M平面 PAB），點(diǎn) M即為所求的一個(gè)點(diǎn). 理由如下：由已知， BC ED，且 BC=ED.所以四邊形BCDE是平行四邊形 .從而 CMEB.又 EB 平面 PBE， CM 平面 PBE，所以 CM平面 PBE.（說(shuō)明：延長(zhǎng)A

15、P至點(diǎn) N，使得 AP=PN，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn)）（）方法一：由已知， CD PA， CD AD， PAAD=A，所以 CD平面 PAD.從而 CDPD.所以PDA是二面角P-CD-A 的平面角 .所以PDA=45.設(shè) BC=1，則在 Rt PAD中， PA=AD=2.過(guò)點(diǎn) A 作 AH CE，交 CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接 PH.易知 PA平面 ABCD，從而 PACE.于是 CE平面 PAH.所以平面PCE平面 PAH.過(guò) A 作 AQ PH于 Q，則 AQ平面 PCE.所以APH是 PA與平面 PCE所成的角 .在 Rt AEH中， AEH=45， AE=1，所以 AH=2

16、 .2在 Rt PAH中， PH=PA2AH 2=3 2 ，2所以 sinAPH=AH= 1 .PH3方法二：zPMyBCADxE由已知， CD PA， CD AD， PAAD=A，所以 CD平面 PAD.于是 CDPD.從而PDA是二面角P-CD-A 的平面角 .所以PDA=45.由 PA AB，可得 PA平面 ABCD.設(shè) BC=1，則在 Rt PAD中， PA=AD=2.作 Ay AD，以 A 為原點(diǎn)， 以 AD, AP 的方向分別為 x 軸， z 軸的正方向， 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz ，則 A（ 0,0,0）， P（ 0,0,2）， C(2,1,0) ，E(1,0,0)

17、，所以 PE =（ 1,0,-2）， EC =（ 1,1,0 ）， AP =（ 0,0,2 ）設(shè)平面 PCE的法向量為 n=(x,y,z)，nPE0,x2z0,設(shè) x=2，解得 n=(2,-2,1).由得xy0,nEC0,設(shè)直線 PA與平面 PCE所成角為，則 sin = | n AP |=21 .| n | | AP |222( 2)2123所以直線 PA 與平面 PCE所成角的正弦值為1 .319. （本小題滿分 12 分）（）由已知，Sn 1 qSn 1,Sn 2 qSn 1 1, 兩式相減得到 an 2 qan 1, n 1 .又由 S2 qS1 1得到 a2qa1 ，故 an 1 q

18、an 對(duì)所有 n1都成立 .所以，數(shù)列 an 是首項(xiàng)為1，公比為 q 的等比數(shù)列 .n 1從而 an =q .由 2a2，a3， a2 +2成等差數(shù)列，可得 2a3 =3a2 2 ，即 2q20 ，=3q 2, ，則 (2 q+ 1)(q 2)由已知 , q0 ，故q=2 .所以 ann 1*2(nN ) .（）由（）可知，anqn 1 .2所以雙曲線 x2y 21 的離心率 en1an21q2( n 1) .an由 e21q5 解得 q4 .233因?yàn)?1+q2( k1)2( k 1)，所以1+q2( k 1)k 1*qq（kN ）.于是 e1e2en1+qqn 1qn1 ，q1故 e1 e

19、24n3nenn 1.320. （本小題滿分13 分）（ I ）由已知， a2b ，則橢圓 E的方程為x2y21 .2b2b2x2y21, 得 3x2(18 2b2 )有方程組 2b2b212x0 . yx3,方程的判別式為=24( b23)，由=0 ，得 b2 =3 ，此時(shí)方程的解為x=2 ，所以橢圓 E 的方程為 x2y21 .63點(diǎn) T 坐標(biāo)為（ 2,1）.（ II ）由已知可設(shè)直線 l的方程為 y1 x m( m0) ，21xm，x22m ，y3有方程組2可得2m .yx3，y12m ,138 m2所以 P 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 22m）， PT.2339設(shè)點(diǎn) A， B的坐標(biāo)分別為A(x1 , y1)， B(x2 , y2 ) .x2y2，63122由方程組可得12)0 . 13x4mx (4 mx，ym2方程的判別式為=16(92m2 ) ，由0 ，解得3 2m3 2.22由得 x1x2 =4m , x1 x24m212.33所以 PA(22mx )2(12my )25 22mx，3131231同理 PB52m22x2 ，3所以 PAPB5 (22mx1)(22mx2 )4335 (22m )2(22m )( x1x2 ) x1x24335 (22m)2(22m)( 4m)4m2124333310 m2 .94 ，使