數(shù)值計(jì)算方法 練習(xí)題

1、數(shù)值計(jì)算方法練習(xí)題習(xí)題一1.下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù)，試指出它們有幾位有效數(shù)字以及它們的絕對(duì)誤差限、相對(duì)誤差限。（1）；（2）；（3）；（4）（7）；（5）；（6）；2.為使下列各數(shù)的近似值的相對(duì)誤差限不超過效數(shù)字？，問各近似值分別應(yīng)取幾位有3.設(shè)均為第1題所給數(shù)據(jù)，估計(jì)下列各近似數(shù)的誤差限。（1）；（2）；（3）4.計(jì)算為什么？（1），取，利用下列等價(jià)表達(dá)式計(jì)算，哪一個(gè)的結(jié)果最好？；（2）；（3）（4）5.序列滿足遞推關(guān)系式若（三位有效數(shù)字），計(jì)算時(shí)誤差有多大？這個(gè)計(jì)算過程穩(wěn)定嗎？6.求方程的兩個(gè)根，使其至少具有四位有效數(shù)字（要求利用。7.利用等式變換使下列表達(dá)式的計(jì)算結(jié)果比較精

2、確。（1）；（2）（3）；（4）8.設(shè)，求證：（1）（2）利用（1）中的公式正向遞推計(jì)算時(shí)誤差增大；反向遞推時(shí)誤差函數(shù)減小。9.設(shè)x0,x*的相對(duì)誤差為，求f(x)=lnx的誤差限。10.下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似值，試指出它們有幾位有效數(shù)字，并給出其誤差限與相對(duì)誤差限。11.下列公式如何才比較準(zhǔn)確？（1）（2）12.近似數(shù)x*=0.0310,是13.計(jì)算取四個(gè)選項(xiàng)：位有數(shù)數(shù)字。，利用式計(jì)算誤差最小。1.已知習(xí)題二，求的二次值多項(xiàng)式。2.令求的一次插值多項(xiàng)式，并估計(jì)插值誤差。3.給出函數(shù)估計(jì)截?cái)嗾`差。的數(shù)表，分別用線性插值與二次插值求的近似值，并0.40.389420.50.47943

3、0.60.564640.70.644220.80.717364.設(shè)，試?yán)美窭嗜沼囗?xiàng)定理寫出以為節(jié)點(diǎn)的三次插值多項(xiàng)式。5.已知，求及的值。6.根據(jù)如下函數(shù)值表求四次牛頓插值多項(xiàng)式，并用其計(jì)算和的近似值。xf(x)1.6152.414501.6342.464591.7022.652711.8283.030351.9213.340667.已知函數(shù)的如下函數(shù)值表，解答下列問題（1）試列出相應(yīng)的差分表；（2）分別寫出牛頓向前插值公式和牛頓向后插值公式。xf(x)0.01.000.11.320.21.680.32.080.42.520.53.008.下表為概率積分的數(shù)據(jù)表，試問：（1）（2）時(shí)，積分為

4、何值時(shí)，積分？xp0.460.4846550.470.49374520.480.50274980.490.51166839.利用程在在0.3和0.4之間的根的近似值。各點(diǎn)的數(shù)據(jù)（取五位有效數(shù)字），求方10.依據(jù)表10中數(shù)據(jù)，求三次埃爾米特插值多項(xiàng)式。表10xy00113y911.依據(jù)數(shù)表11中數(shù)據(jù)，利用基函數(shù)方法，構(gòu)造四次埃爾米特插值多項(xiàng)式。表11xyy0001212312.在上給出的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，用分段線性插值求的近似值，要使截?cái)嗾`差不超過，問函數(shù)表的步長(zhǎng)h應(yīng)怎樣選??？13.將區(qū)間分成n等分，求在上的分段三次埃爾米特插值多項(xiàng)式，并估計(jì)截?cái)嗾`差。14、給定的數(shù)值表用線性插值與二次插值計(jì)算ln

5、0.54的近似值并估計(jì)誤差限15、在-4x4上給出的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，若用二次插值法求的近似值，要使誤差不超過，函數(shù)表的步長(zhǎng)h應(yīng)取多少?16、若，求和17、若的值，這里pn+1.互異，求18、求證19、已知的函數(shù)表求出三次newton均差插值多項(xiàng)式，計(jì)算f(0.23)的近似值并用均差的余項(xiàng)表達(dá)式估計(jì)誤差.20、給定f(x)=cosx的函數(shù)表用newton等距插值公式計(jì)算cos0.048及cos0.566的近似值并估計(jì)誤差.21.求一個(gè)次數(shù)不高于四次的多項(xiàng)式p(x),使它滿足22.令明是-1,1上帶權(quán)稱為第二類chebyshev多項(xiàng)式，試求的表達(dá)式，并證的正交多項(xiàng)式序列.23、用最小二乘法求一個(gè)形

6、如的經(jīng)驗(yàn)公式，使它擬合下列數(shù)據(jù)，并計(jì)算均方誤差.24、填空題(1)滿足條件(2)的插值多項(xiàng)式p(x)=().,則f1,2,3,4=()，f1,2,3,4,5=().(3)設(shè)為互異節(jié)點(diǎn)，為對(duì)應(yīng)的四次插值基函數(shù)，則()，().(4)設(shè)序列，其中是區(qū)間0,1上權(quán)函數(shù)為(x)=x的最高項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式，則()，()習(xí)題三1.給出數(shù)據(jù)如下表所示，試用最小二乘法求一次和二次擬合多項(xiàng)式。xy1.000.22090.750.32950.500.88260.251.439202.00030.252.56450.503.13340.753.70611.004.28362.用最小二乘法求下列不相容方程組的近似

7、解。（1）（2）3.用最小二乘法求一個(gè)形如算均方誤差。的經(jīng)驗(yàn)公式，使它與下表中的數(shù)據(jù)相擬合，并計(jì)xy1919.02532.33149.03873.34497.84.在某次實(shí)驗(yàn)中，需要觀察水份的滲透速度，測(cè)得時(shí)間t與水的重量w的數(shù)據(jù)見下表。設(shè)已知t與w之間的關(guān)系為，試用最小二乘法確定參數(shù)a、s。t(秒)w(克)14.2224.0243.8584.59163.44323.02642.595.試構(gòu)造點(diǎn)集上的離散正交多項(xiàng)式系。并利用所求的離散正交多項(xiàng)式系，對(duì)第二題中的數(shù)據(jù)求二次擬合多項(xiàng)式。6.現(xiàn)測(cè)量長(zhǎng)度和米、米。試合理地決定長(zhǎng)度和米，為了提高測(cè)量的可靠性，又測(cè)量到的值。習(xí)題四1.確定下列求積公式中的特

8、定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式具有的代數(shù)精度。（1）；（2）；（3）；（4）；2.用辛甫生公式求積分的值，并估計(jì)誤差。3.分別用復(fù)化梯形法和復(fù)化辛甫生法計(jì)算下列積分：（1），8等分積分區(qū)間；（2），4等分積分區(qū)間；（3），8等分積分區(qū)間；（4），6等分積分區(qū)間。4.用復(fù)化梯形公式求積分差不超過e（不計(jì)舍入誤差）？，問將積分區(qū)間a,b分成多少等分，才能保證誤5.導(dǎo)出下列三種矩形公式的項(xiàng)（1）；（2）；（3）提示：利用泰勒公式。6.用龍貝格公式計(jì)算下列積分，要求相鄰兩次龍貝格值的差不超過。（1）；（2）；7.根據(jù)等式以及當(dāng)n=3,6,12時(shí)的三個(gè)值，利用外推算法求的近似值。8

9、.分別用下列方法計(jì)算積分，并比較結(jié)果精度（積分準(zhǔn)確值。（1）復(fù)化梯形法，n=16；（2）復(fù)化辛甫生法，n=8；（3）龍貝格算法，求至r2；（4）三點(diǎn)高斯勒讓德公式；（5）五點(diǎn)高斯勒讓德公式。9.試確定下面求積分式的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡可能高。10.已知f(x)的值見表6-13。用三點(diǎn)公式求函數(shù)階導(dǎo)數(shù)值，并估計(jì)誤差。在x=1.0,1.1,1.2處的一11.用二階三點(diǎn)公式求函數(shù)在x=1.2處的二階導(dǎo)數(shù)值（利用數(shù)表6-13）。xf(x)1.00.250001.10.226761.20.2066112.用中點(diǎn)公式的外推算法求二次。在x=2處的一階導(dǎo)數(shù)值，取h=0.8開始，加速13、分別用復(fù)合梯形公

10、式及復(fù)合simpson公式計(jì)算下列積分.14、用simpson公式求積分，并估計(jì)誤差15、確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精確度.(1)(2)(3)16、計(jì)算積分，若用復(fù)合simpson公式要使誤差不超過，問區(qū)間要分為多少等分?若改用復(fù)合梯形公式達(dá)到同樣精確度，區(qū)間應(yīng)分為多少等分?17、用romberg求積算法求積分，取.18、用三點(diǎn)gauss-legendre求積公式計(jì)算積分.19、用三點(diǎn)gauss-chebyshev求積公式計(jì)算積分.習(xí)題五1.用列主元素法解下列方程組(1)；(2)；(3)對(duì)(1)(2)兩題觀察每步消元結(jié)果的系數(shù)矩陣有何特點(diǎn)，右

11、下方矩陣是否對(duì)稱，列主元在何處，消元過程是否符合上題結(jié)論。2.用追趕法解下列方程組（1）（2）3.求第1題及第2題中系數(shù)矩陣a的lu分解，并用此分解法解對(duì)應(yīng)的線性方程組。4.給定5、用gauss消去法求解下列方程組.，求及。6、用列主元消去法求解方程組并求出系數(shù)矩陣a的行列式deta的值.7、用doolittle分解法求習(xí)題5(1)方程組的解.8、下述矩陣能否作doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一?9、用追趕法解三對(duì)角方程組ax=b，其中10、用平方根法解方程組11、設(shè)，證明12、設(shè)13、設(shè)為計(jì)算a的行范數(shù)，列范數(shù)及f-范數(shù)和2范數(shù).上任一種范數(shù)，是非奇異的，定義，證明14、求下面

12、兩個(gè)方程組的解，并利用矩陣的條件數(shù)估計(jì).，即，即15、是非題（若是在末尾（）填+,不是填-）：題目中（1）若a對(duì)稱正定,（2）定義（3）定義（4）只要,則是上的一種向量范數(shù)（）是一種范數(shù)矩陣（）是一種范數(shù)矩陣（），則a總可分解為a=lu,其中l(wèi)為單位下三角陣，u為非奇上三角陣（）（5）只要，則總可用列主元消去法求得方程組的解（）（6）若a對(duì)稱正定,則a可分解為（）（7）對(duì)任何都有（8）若a為正交矩陣，則，其中l(wèi)為對(duì)角元素為正的下三角陣（）（）習(xí)題六1.對(duì)下列方程組考察用雅可比迭代法與高斯塞德爾迭代法是否收斂？若收斂，寫出其迭代格式；若下收斂，能否將方程變形，使之用雅可比迭代法或高斯塞德爾迭代法

13、時(shí)收斂？（1）；（2）；（3）；（4）；2.試分析用雅可比迭代法和塞德爾迭代法連續(xù)迭代5次求線性方程組的解（取初值）3.用雅可比迭代法解下列方程組。（1）（2）取，并判別此迭代是否收斂？4.用塞德爾迭代法解方程組。取，并判別此迭代是否收斂？5.證明對(duì)于任意的矩陣a，序列6.方程組收斂于零矩陣.(1)考查用jacobi法和gs法解此方程組的收斂性.(2)寫出用j法及gs法解此方程組的迭代公式并以為止.7.設(shè)方程組計(jì)算到證明:解此方程的jacobi迭代法與gauss-seidel迭代法同時(shí)收斂或發(fā)散.8.下列兩個(gè)方程組ax=b，若分別用j法及gs法求解，是否收斂?9.設(shè)，deta0，用,b表示解方

14、程組ax=f的j法及gs法收斂的充分必要條件.10.用sor方法解方程組(分別取=1.03,=1,=1.1)精確解，要求當(dāng)時(shí)迭代終止，并對(duì)每一個(gè)值確定迭代次數(shù).11.對(duì)上題求出sor迭代法的最優(yōu)松弛因子及漸近收斂速度，并求j法與gs法的漸近收斂速度.若要使次?12.填空題那么j法gs法和sor法各需迭代多少(1)要使應(yīng)滿足（）.(2)已知方程組，則解此方程組的jacobi迭代法是否收斂（）.它的漸近收斂速度r(b)=（）.(3)設(shè)方程組ax=b,其中代矩陣是（）.(4)用gs法解方程組件是a滿足（）.(5)給定方程組時(shí)sor迭代法收斂.其j法的迭代矩陣是（）.gs法的迭，其中a為實(shí)數(shù)，方法收斂

15、的充要條,a為實(shí)數(shù).當(dāng)a滿足（），且02習(xí)題七1.判斷下列方程有幾個(gè)實(shí)根，并求出其隔根區(qū)間。（1）（3）2.方程使其誤差不超過；（2）；（4）在區(qū)間（3，4）中有一實(shí)根，若用二分法求此根，問應(yīng)將區(qū)間對(duì)分幾次？并請(qǐng)用二分法求此根。3.下列方程各有一實(shí)根，判別能否直接將其寫成迭代格式而后求解？如不能，將方程變形，給出一個(gè)收斂的迭代格式。（1）4.求方程；（2）的隔根區(qū)間，對(duì)方程的下列四種等價(jià)變形，判斷各迭代格式的收斂性，選一種收斂最快的迭代格式，求出具有四位有效數(shù)字的近似根。（1）（4）5.考察方程6.用牛頓法求出的方程表2-6（2）（3）有幾個(gè)根，選擇合適的迭代格式求這些根，允許誤差根的迭代結(jié)果

16、見表2-6，試估計(jì)所求根的重?cái)?shù)。k01xk0.750.7527011xkxk0.0027023450.7547950.7563680.7575520.75844410.002080.001570.001180.0008897.用二分法求方程8.求方程并建立相應(yīng)迭代公式.的正根，使誤差小于0.05.在=1.5附近的一個(gè)根，將方程改寫成下列等價(jià)形式，(1)，迭代公式.(2),迭代公式.(3)，迭代公式.試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種收斂最快的方法求具有4位有效數(shù)字的近似根.9.設(shè)方程的迭代法(1)證明對(duì),均有,其中為方程的根.(2)取=4,求此迭代法的近似根，使誤差不超過,并列出各次迭代值

17、.(3)此迭代法收斂階是多少?證明你的結(jié)論.10給定函數(shù)，設(shè)對(duì)一切x,存在，而且.證明對(duì)的任意常數(shù),迭代法均收斂于方程的根.11.用steffensen方法計(jì)算第12題中(2)、(3)的近似根，精確到12用newton法求下列方程的根，計(jì)算準(zhǔn)確到4位有效數(shù)字.(1)(2)13.應(yīng)用newton法于方程在=2附近的根.在=1附近的根.,求立方根的迭代公式，并討論其收斂性.321230,a=141a=1411031.已知矩陣習(xí)題八411214試用格希哥林圓盤確定a的特征值的界。2.設(shè)x=(x1,x2,.,x3)t是矩陣a屬于特征值l的特征向量，若x=xi，nl-aaiii試證明特征值的估計(jì)式j(luò)=1

18、232a=10343613.用冪法求矩陣的強(qiáng)特征值和特征向量，迭代初值取y621a=231ij.(0)=(1,1,1)t。4.用反冪法求矩陣111最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取y(0)=(1,1,1)t。5.設(shè)arnn非奇異，a的正交分解為a=qr，作逆序相乘a1=rq，試證明（1）若a對(duì)稱則a1也對(duì)稱；（2）若a是上hessenberg陣，則a1也是上hessenberg陣。a=6.設(shè)矩陣1112（1）任取一非零向量作初始向量用冪法作迭代，求a的強(qiáng)特征值和特征向量；（2）用qr算法作一次迭代，求a的特征值；（3）用代數(shù)方法求出a的特征值和特征向量，將結(jié)果與（1）和（2）的結(jié)果比較。2

19、01a=02-17.設(shè)矩陣1-11（1）用householder變換化a為對(duì)稱三對(duì)角陣a1。（2）用平面旋轉(zhuǎn)陣對(duì)a1進(jìn)行一步qr迭代計(jì)算出a2。8.用帶位移的qr方法計(jì)算下列矩陣的全部特征值。121421(1)a=010,(2)a=0233100119.設(shè)arnn，且已知其強(qiáng)特征值l1和對(duì)應(yīng)的特征向量x(1)，（1）證明：若構(gòu)造householder陣h使hx=ke（常數(shù)k0,e=(1,0,.,0)trn），(1)11hah=1則必有l(wèi)0xa1其中a1r(n-1)(n-1),xr1(n-1)，且a的其余n-1個(gè)特征值就是a1的特征值。3-2為例，已知l=4,x(1)=(2,1)t，用以上方法構(gòu)

20、造h陣，并求出a（2）以32a=1的第二個(gè)特征值l2。10.對(duì)以下的實(shí)對(duì)稱陣用qr方法求其全部特征值。3104-11(1)a=142,(2)a=021-13-21-23習(xí)題九1.取步長(zhǎng)h=0.1，分別用歐拉法與改進(jìn)的歐拉法解下列初值問題（1）；（2）準(zhǔn)確解：（1）；（2）；2.用四階標(biāo)準(zhǔn)龍格庫塔法解第1題中的初值問題，比較各法解的精度。3.用歐拉法計(jì)算下列積分在點(diǎn)處的近似值。4.求下列差分格式局部截?cái)嗾`差的首項(xiàng)，并指出其階數(shù)。（1）（2）（3）（4）5.用euler法解初值問題位).6.用改進(jìn)euler法和梯形法解初值問題確解相比較.7.證明中點(diǎn)公式(7.3.9)部截?cái)嗾`差主項(xiàng).取步長(zhǎng)h=0.

21、1，計(jì)算到x=0.3(保留到小數(shù)點(diǎn)后4取步長(zhǎng)h=0.1,計(jì)算到x=0.5，并與準(zhǔn)是二階的，并求其局8.用四階r-k方法求解初值問題9.對(duì)于初值問題10.(1)用euler法求解，步長(zhǎng)h應(yīng)取在什么范圍內(nèi)計(jì)算才穩(wěn)定?11.(2)若用梯形法求解，對(duì)步長(zhǎng)h有無限制?12.(3)若用四階r-k方法求解，步長(zhǎng)h如何選取?13.用四步四階的adams顯式方法求解初值問題取h=0.1.取步長(zhǎng)h=0.2.14.用形如15.試確定參數(shù)的線性二步法解，使方法具有盡可能高的階數(shù)，并求出局部截?cái)嗾`差主項(xiàng).習(xí)題一1.（1）5，；（2）2，；（3）4，；（4）5，；（5）1，；（6）2，；（7）6，2.；3.（1）；（2）

22、；（3）4.第（3）個(gè)結(jié)果最好5.不穩(wěn)定。從計(jì)算到時(shí)，誤差約為6.，7.（1）；（2）；（3）；（4）。9.求lnx的誤差極限就是求f(x)=lnx的誤差限，有已知x*的相對(duì)誤差滿足故，而，即10.直接根據(jù)定義得有5位有效數(shù)字，其誤差限，相對(duì)誤差限有2位有效數(shù)字，有5位有效數(shù)字，11.要使計(jì)算較準(zhǔn)確，主要是避免兩相近數(shù)相減，故應(yīng)變換所給公式。（1）（2）12.3位13.習(xí)題二1.2.；，介于x和0，1決定的區(qū)間內(nèi)；，當(dāng)時(shí)。3.0.54667，0.000470；0.54714，0.0000294.5.1，06.，7.向前插值公式向后插值公式8.（1）；（2）9.0.337648910.11.12

23、.13.14、解仍可使用n=1及n=2的lagrange插值或newton插值,并應(yīng)用誤差估計(jì)。線性插值時(shí)，用0.5及0.6兩點(diǎn)，用newton插值誤差限，因，故二次插值時(shí)，用0.5，0.6，0.7三點(diǎn)，作二次newton插值誤差限故，15、解：用誤差估計(jì)式，令因得16、解：由均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系于是17、解：，由均差對(duì)稱性可知當(dāng)有而當(dāng)pn1時(shí)于是得18、解：只要按差分定義直接展開得19、解：根據(jù)給定函數(shù)表構(gòu)造均差表當(dāng)n=3時(shí)得newton均差插值多項(xiàng)式n3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0.23)n3(0.23)=0.

24、23203由余項(xiàng)表達(dá)式可得由于20、計(jì)算式，用n=4得newton前插公誤差估計(jì)其中計(jì)算時(shí)用newton后插公式（5.18)誤差估計(jì)得這里仍未0.56521、解：這種題目可以有很多方法去做，但應(yīng)以簡(jiǎn)單為宜。此處可先造它滿足使，顯然p(x)=x2(2-x)+ax2(x-1)2由p(2)=1求出a，于是，再令22、解：因23、解：本題給出擬合曲線數(shù)，即，故法方程系法方程為解得最小二乘擬合曲線為均方程為24、解答：（1）（2）（3）（4）習(xí)題三1.，2.（；1）（2），其中c為任意常數(shù)3.4.，5.，6.，。1.（1）精度為3；（2），3；習(xí)題四，代數(shù)，代數(shù)精度為（3），或，代數(shù)精度2；（4），代數(shù)

25、精度為3。2.，3.（1），；（2）；（3），；（4），4.，5.（1）；（2）；（3）6.（1），7.3.1415800728.（1）1.099768；（2）1.09862；（3）1.098612；（4）1.098039；（5）1.098609.10.，11.0.260012.0.35355413、解本題只要根據(jù)復(fù)合梯形公式及復(fù)合simpson公式（6.13）直接計(jì)算即可。對(duì)出，取n=8,在分點(diǎn)處計(jì)算f(x)的值構(gòu)造函數(shù)表。按復(fù)合梯形公式求，按復(fù)合simpson公式求得，積分14、解：直接用simpson公式得估計(jì)誤差，因，故15、解：本題直接利用求積公式精確度定義，則可突出求積公式的參數(shù)。

26、（1）令代入公式兩端并使其相等，得解此方程組得，于是有再令，得故求積公式具有3次代數(shù)精確度。（2）令代入公式兩端使其相等，得解出得而對(duì)（3）令不準(zhǔn)確成立，故求積公式具有3次代數(shù)精確度。代入公式精確成立，得解得，得求積公式對(duì)故求積公式具有2次代數(shù)精確度。16、解：由simpson公式余項(xiàng)及得即對(duì)梯形公式同樣，取n=6，即區(qū)間分為12等分可使誤差不超過，由余項(xiàng)公式得即取n=255才更使復(fù)合梯形公式誤差不超過17、解：本題只要對(duì)積分果如下表所示。使用romberg算法（6.20），計(jì)算到k3，結(jié)于是積分，積分準(zhǔn)確值為0.71327218、解：本題直接應(yīng)用三點(diǎn)gauss公式計(jì)算即可。由于區(qū)間為，所以先做變換于是本題精確值19、解：本題直接用gauss-chebyshev求積公式計(jì)算即于是，因n=2,即為三點(diǎn)公式，于是，即故習(xí)題五1.（1）；（2）；（3）2.（1）(1.2,1.4,1.6,0.8)t；（2）(1.5,2,1,1)t3.對(duì)第1題中的系數(shù)矩陣（1）對(duì)第2題中的系數(shù)矩陣；（2）（1）（2）4.8，5；6，85.解本題是gauss消去法解具體方程組，只要直接用消元公式及回代公式直接計(jì)算即可。故6.解：先選列主元，2行與1行交換得消元3行與2行交換消元回代得解行列式得7