小學(xué)數(shù)學(xué)競賽：三角形等高模型與鳥頭模型(一).教師版解題技巧 培優(yōu) 易錯(cuò) 難

1、ab cd4-3-1. 三角形等高模型與鳥頭模型板塊一例題精講三角形等高模型我們已經(jīng)知道三角形面積的計(jì)算公式：三角形面積 =底 高 2從這個(gè)公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積如果三角形的底不變，高越大(小)，三角形面積也就越大(小)；如果三角形的高不變，底越大(小)，三角形面積也就越大(小)；這說明當(dāng)三角形的面積變化時(shí)，它的底和高之中至少有一個(gè)要發(fā)生變化但是，當(dāng)三角形的底和高同時(shí)發(fā)生1變化時(shí)，三角形的面積不一定變化比如當(dāng)高變?yōu)樵瓉淼?3 倍，底變?yōu)樵瓉淼?，則三角形面積與原來的一3樣這就是說：一個(gè)三角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底的變化同

2、時(shí) 也告訴我們：一個(gè)三角形在面積不改變的情況下，可以有無數(shù)多個(gè)不同的形狀在實(shí)際問題的研究中，我們還會(huì)常常用到以下結(jié)論：1 等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；2 兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如左圖 s : s =a : b1 2abs1s2abc d夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖 s =s ；acd bcd反之，如果 s =s ，則可知直線 平 于acd bcd4 等底等高 兩個(gè)平 四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；5 三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；6 兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底

3、之比；兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比【例 1】 你有多少種方法將任意一個(gè)三角形分成： 3 個(gè)面積相等的三角形； 4 個(gè)面積相等的三角形； 6 個(gè)面積相等的三角形【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】1 星 【題型】解答【解析】 如下圖，d、e 是 bc 的三等分點(diǎn)，f、g 分別是對(duì)應(yīng)線段的中點(diǎn)，答案不唯一：aaafgbd ecbdcbdc 如下圖，答案不唯一，以下僅供參考：（1） （2） （3） 如下圖，答案不唯一，以下僅供參考：（4）（5）【答案】答案不唯一：aaafgbd ecbdcbdc 答案不唯一：（1）（2 ）（3）（4）（5）答案不唯一：【例 2】 如圖，bd 長 12

4、厘米，dc 長 4 厘米，b、c 和 d 在同一條直線上 求三角形 abc 的面積是三角形 abd 面積的多少倍？ 求三角形 abd 的面積是三角形 adc 面積的多少倍？abdc【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 因?yàn)槿切?abd、三角形 abc 和三角形 adc 在分別以 bd、bc 和 dc 為底時(shí)，它們的高都是從 a 點(diǎn)向 bc 邊上所作的垂線，也就是說三個(gè)三角形的高相等于是：三角形 abd 的面積 =12 高 2 =6 高三角形 abc 的面積 =（12+4）高2=8 高三角形 adc 的面積 =4 高 2 =2 高4所以，三角形 abc 的面積是三角形

5、 abd 面積的 倍；3三角形 abd 的面積是三角形 adc 面積的 3 倍【答案】43、3【例 3】 如右圖， abfe 和 cdef 都是矩形， ab 的長是 4 厘米， bc 的長是 3 厘米，那么圖中陰影部分的 面積是 平方厘米陰影長方形abcdaebfd c【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 圖中陰影部分的面積等于長方形 abcd 面積的一半，即 4 3 2 =6 (平方厘米)【答案】6【鞏固】(2009 年四中小升初入學(xué)測試題)如圖所示，平行四邊形的面積是 50 平方厘米，則陰影部分的面積是 平方厘米【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】2 星 【題型】解

6、答【解析】 根據(jù)面積比例模型，可知圖中空白三角形面積等于平行四邊形面積的一半，所以陰影部分的面積也 等于平行四邊形面積的一半，為 50 2 =25 平方厘米【答案】25【鞏固】如下圖，長方形 afeb 和長方形 fdce 拼成了長方形 abcd ，長方形 abcd 的長是 20，寬是 12，則 它內(nèi)部陰影部分的面積是 a bfdec【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】2 星 【題型】解答1【解析】 根據(jù)面積比例模型可知陰影部分面積等于長方形面積的一半，為 20 12 =120 2【答案】120【例 4】 如圖，長方形 abcd 的面積是 56 平方厘米，點(diǎn) e 、 f 、g 分別是長方形 abc

7、d 邊上的中點(diǎn)， h 為 ad 邊上的任意一點(diǎn)，求陰影部分的面積aehdgaehdgbfcbfc【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 本題是等底等高的兩個(gè)三角形面積相等的應(yīng)用連接 bh 、 ch ae =eb ， s = aeh beh同 ， s =s ， s =s ，bfh cfh vcgh vdgh1 s = s = 56 =28 (平方厘米)2 2【答案】28【鞏固】圖中的 e 、 f 、 g 分別是正方形 abcd 三條邊的三等分點(diǎn)，如果正方形的邊長是 12 ，那么陰影部2 2 22 22 2 2 2 8分的面積是 a dah d6g51gee4 32bfcb

8、fc【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 把另外三個(gè)三等分點(diǎn)標(biāo)出之后，正方形的 3 個(gè)邊就都被分成了相等的三段把 h 和這些分點(diǎn)以及正 方形的頂點(diǎn)相連，把整個(gè)正方形分割成了 9 個(gè)形狀各不相同的三角形這 9 個(gè)三角形的底邊分別是 在正方形的 3 個(gè)邊上，它們的長度都是正方形邊長的三分之一陰影部分被分割成了 3 個(gè)三角形，右 邊三角形的面積和第1 第 2 個(gè)三角形相等：中間三角形的面積和第 3 第 4 個(gè)三角形相等；左邊三角形 的面積和第 5 個(gè)第 6 個(gè)三角形相等因此這 3 個(gè)陰影三角形的面積分別是 abh 、bch 和 cdh 的三分之一，因此全部陰影的總面積就等

9、于正方形面積的三分之一正方形的面積是144 ，陰影部分的面積就是 48 【答案】48【例 5】 長方形 abcd 的面積為 36， e 、 f 、 g 為各邊中點(diǎn)， h 為 ad 邊上任意一點(diǎn)，問陰影部分面積是多少？a h de gbfca ( h) dah de ge gb f cbfc【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 （法 1）特殊點(diǎn)法由于 h 為 ad 邊上任意一點(diǎn)，找 h 的特殊點(diǎn)，把 h 點(diǎn)與 a 點(diǎn)重合（如左上圖）， 那么陰影部分的面積就是 daef 與 dadg 的面積之和，而這兩個(gè)三角形的面積分別為長方形 abcd1 1 1 1 3 3面積的 和

10、，所以陰影部分面積為長方形 abcd 面積的 + = ，為 36 =13.5 8 4 8 4 8 8（法 2）尋找可利用的條件，連接 bh 、 hc ，如右上圖1 1 1可得： s = s 、 s = s 、 s = s ，而 s =s +s +s =36 ， dehb dahb dfhb dchb ddhg ddhc abcd dahb dchb dchd1 1即 s +s +s = ( s +s +s ) = 36 =18 ；dehb dbhf ddhg dahb dchb dchd1 1 1 1 1而 s +s +s =s +s ， s = be bf = ( ab ) ( bc ) =

11、 36 =4.5 dehb dbhf ddhg 陰影 debf debf所以陰影部分的面積是： s陰影【答案】13.5=18 -sdebf=18 -4.5 =13.5 【鞏固】在邊長為 6 厘米的正方形 abcd 內(nèi)任取一點(diǎn) p ，將正方形的一組對(duì)邊二等分，另一組對(duì)邊三等分，分別與 p 點(diǎn)連接,求陰影部分面積a d a (p) d a dppb cb c bc【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 （法 1）特殊點(diǎn)法由于 p 是正方形內(nèi)部任意一點(diǎn)，可采用特殊點(diǎn)法，假設(shè) p 點(diǎn)與 a 點(diǎn)重合，則陰1 1影部分變?yōu)槿缟现袌D所示，圖中的兩個(gè)陰影三角形的面積分別占正方形面積的

12、和 ，所以陰影部4 61 1分的面積為 62 ( + ) =15 平方厘米4 6（法 2）連接 pa 、 pc 由于 dpad 與 dpbc 的面積之和等于正方形 abcd 面積的一半，所以上、下兩個(gè)陰影三角形的面積1之和等于正方形 abcd 面積的 ，同理可知左、右兩個(gè)陰影三角形的面積之和等于正方形 abcd 面4積的1 1 1，所以陰影部分的面積為 6 2 ( + ) =15 平方厘米 6 4 6【答案】15【例 6】 如右圖，e 在 ad 上，ad 垂直 bc， ad =12 厘米， de =3 厘米求三角形 abc 的面積是三角形 ebc 面積的幾倍？aebdc【考點(diǎn)】三角形的等高模型

13、 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 因?yàn)?ad 垂直于 bc，所以當(dāng) bc 為三角形 abc 和三角形 ebc 的底時(shí)，ad 是三角形 abc 的高，ed 是三角形 ebc 的高，于是：三角形 abc 的面積 =bc 12 2 =bc 6三角形 ebc 的面積 =bc 3 2 =bc 1.5所以三角形 abc 的面積是三角形 ebc 的面積的 4 倍【答案】4【例 7】 如圖，在平行四邊形 abcd 中，ef 平行 ac，連結(jié) be、ae、cf、bf 那么與 bec 等積的三角形 一共有哪幾個(gè)三角形？afdebc【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 aec、 af

14、c、 abf【答案】 aec、 afc、 abf【鞏固】如圖，在 abc 中，d 是 bc 中點(diǎn)，e 是 ad 中點(diǎn)，連結(jié) be、ce，那么與 abe 等積的三角形一 共有哪幾個(gè)三角形？abedc【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 3 個(gè)， aec bed dec【解析】 【答案】3 個(gè)， aec bed、dec【鞏固】如圖，在梯形 abcd 中，共有八個(gè)三角形，其中面積相等的三角形共有哪幾對(duì)？adob c【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 abd 與acd， abc 與 dbc， abo 與 dco【答案】 abd 與 acd，abc

15、與dbc， abo 與 dco【例 8】 如圖，三角形 abc 的面積為 1，其中 ae =3 ab ， bd =2 bc ，三角形 bde 的面積是多少？abeabec cd【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】2 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】迎春杯【解析】 連接 ce ， ae =3 ab ， be =2 ab ， s =2 sv bce v acb又 bd =2 bc ， s =2 s =4 s =4 v bde v bce v abc【答案】4d【例 9】 如右圖，ad =db ，ae =ef =fc ，已知陰影部分面積為 5 平方厘米，dabc 的面積是 方厘米平abde f cabde

16、 f c【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】2 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】2008 年，四中考題1 1【解析】 連接 cd 根據(jù)題意可知， ddef 的面積為 ddac 面積的 ， ddac 的面積為 dabc 面積的 ，所3 21 1 1以 ddef 的面積為 dabc 面積的 = 而 ddef 的面積為 5 平方厘米，所以 dabc 的面積為2 3 65 16=30 (平方厘米)【答案】30【鞏固】圖中三角形 abc 的面積是 180 平方厘米，d 是 bc 的中點(diǎn)，ad 的長是 ae 長的 3 倍，ef 的長是 bf 長的 3 倍那么三角形 aef 的面積是多少平方厘米？v abd v a

17、bcv abev abdv abev zcy v dcbv zcyv dcby abcdaefbdc【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】2 星 【題型】解答s bd 1【解析】 v abd ， v abc 等高，所以面積的比為底的比，有 v abd = = ,s bc 2v abc1 1 ae 1所以 s = s = 180 =90 (平方厘米)同理有 s = s = 90 =30 (平方厘米)， 2 2 ad 3sv afefe 3= s = 30 =22.5 (平方厘米)即三角形 aef 的面積是 22.5 平方厘米 be 4【答案】22.5【鞏固】如圖，在長方形 abcd 中，y 是 bd

18、 的中點(diǎn)， z 是 dy 的中點(diǎn)，如果 ab =24 厘米， bc =8 厘米，求 三角形 zcy 的面積dczyab【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】2 星 【題型】解答1 1 1【解析】 y 是 bd 的中點(diǎn)， z 是 dy 的中點(diǎn)， zy = db ， s = s ，2 2 41 1 1又 abcd 是長方形， s = s = s =24 (平方厘米)4 4 2【答案】24【鞏固】如圖，三角形 abc 的面積是 24，d、e 和 f 分別是 bc、ac 和 ad 的中點(diǎn)求三角形 def 的面積afebdc【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 三角形 adc 的面

19、積是三角形 abc 面積的一半 24 2 =12 ，三角形 ade 又是三角形 adc 面積的一半12 2 =6 三角形 fed 的面積是三角形 ade 面積的一半，所以三角形 fed 的面積 =6 2 =3 【答案】3【鞏固】如圖，在三角形 abc 中， bc =8 厘米，高是 6 厘米，e、f 分別為 ab 和 ac 的中點(diǎn)，那么三角形 ebf 的面積是多少平方厘米？aefb【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】2 星 【題型】解答 【解析】 f 是 ac 的中點(diǎn) s =2sv abc v abf同理 s =2sv abf vbefc22 s =s 4 =8 6 2 4 =6 (平方厘米)vb

20、ef vabc【答案】6【例 10】 如圖所示， a 、 b 、 c 都是正方形邊的中點(diǎn) cod aob 大 15 平方厘米 aob 的面積為 平方厘米。caoebd【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】3 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】走美杯，5 年級(jí)，決賽，第 8 題，10 分【解析】 s -s =s -s =s =15cm ，所以， s =7.5cm 。dcod dabo dbcd dabd dabd dabo【答案】7.5【例 11】 如圖 abcd 是一個(gè)長方形，點(diǎn) e、f 和 g 分別是它們所在邊的中點(diǎn)如果長方形的面積是 36 個(gè)平 方單位，求三角形 efg 的面積是多少個(gè)平方單位dgcd

21、gceafbe fa b【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 如右圖分割后可得， s =s 2 =s 4 =36 4 =9 （平方單位）vefg 矩形defc 矩形abcd【答案】9【鞏固】如圖，長方形 abcd 的面積是 1 ， m 是 ad 邊的中點(diǎn)， n 在 ab 邊上，且 2 an =bn .那么，陰影部 分的面積是多少？amdamdnb cnb c【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】3 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】迎春杯，決賽1【解析】 連 接 bm ，因?yàn)?m 是中點(diǎn)所以 abm 的面積為 又因?yàn)?2 an =bn ，所以 bdc 的面積為41 1 1 1 1

22、 1 5 = ，又因?yàn)?bdc 面積為 ，所以陰影部分的面積為：1 - - = .4 3 12 2 12 2 12【答案】512【例 12】 如圖，大長方形由面積是 12 平方厘米、24 平方厘米、36 平方厘米、48 平方厘米的四個(gè)小長方形 組合而成求陰影部分的面積22adefab12cm236cm212cmm36cm2n24cm248cm224cmc d48cm2【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】3 星 【題型】解答12 1 24 1【解析】 如圖，將大長方形的長的長度設(shè)為 1，則 ab = = ， cd = = ，12 +36 4 24 +48 31 1 1 1 1所以 mn = - =

23、 ，陰影部分面積為 (12 +24 +36 +48) =5(cm2) 3 4 12 2 12【答案】5【例 13】 圖中 abcd 是個(gè)直角梯形(dab=abc=90)，以 ad 為一邊向外作長方形 adef，其面積為 6.36 平方厘米。連接 be 交 ad 于 p，再連接 pc。則圖中陰影部分的面積是()平方厘米。fapedb c(a)6.36 (b)3.18 (c)2.12 （d）1.59【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】3 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第 5 題【解析】 如圖,連接 ae，bd。因?yàn)?adbc，則：pdcs = + = + = = 陰影 epd pdc e

24、pd pdb eda= ,又 abed，則： = ,所以， pdb ead ebd1 1= 6.36 =3.18 （平方厘米）2 2fapedb c說明：答案和直角梯形形狀無關(guān)，可以讓 bc 邊趨近 ad 邊，直到和 ad 邊重合，此時(shí)，p 與 a 重合， pe 是 adef 的對(duì)角線，所以，陰影部分的面積是 adef 面積的一半，等于 3.18 平方厘米?！敬鸢浮?3.18【例 14】 如圖， bc 是半徑為 6 的圓 o 上的弦，且 bc 的長度與圓的半徑相等， a 是圓外的一點(diǎn)， oa 的長 度為 12 ，且 oa 與 bc 平行，那么圖中陰影部分的面積是 。（ =3.14 ）b coa

25、oo【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】3 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6 年級(jí)，第 11 題【解析】 由于 oa 與 bc 平行，如果連接 ob 、 oc ， dabc 的面積是等于 dobc 的面積，于是把求陰影部分 的面積轉(zhuǎn)化為扇形 boc 的面積。如圖1 ，連接 ob 、 oc 。由于 oa 與 bc 平行，根據(jù)面積比例模型，dabc 是等邊三角形，那么 boc 為 60，扇形 boc 的面積為 p6 60360=18.84 ?！敬鸢浮?8.84【鞏固】在下圖中，a 為半徑為 3 的0 外一點(diǎn)。弦 bca0 且 bc=3。連結(jié) ac。陰影面積等于c b.( p =3.14)o【考

26、點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】3 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】走美杯，6 年級(jí)，決賽，第 3 題，10 分【解析】 d 為 oa 與圓 0 的交點(diǎn)，連接 oc，ob，bd(見下圖).c baodacbod，cb=od=3， 四邊形 cbdo 是平行四邊形 cob 是等邊三角形. svcab= svcob陰影面積等于扇形 cob 的面積， s陰影= s扇形cob=r2603601p=323.14 =4.71.6【答案】4.71【例 15】 如圖，三角形 abc 中， dc =2 bd ，ce =3 ae ，三角形 ade 的面積是 20 平方厘米，三角形 abc 的面積是多少？aebdc【考點(diǎn)】

27、三角形的等高模型 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 ce =3 ae ， ac =4 ae ， s =4 s ；vadc vade又 dc =2 bd ， bc =1.5dc ， s =1.5s =6 s =120 (平方厘米)v abc v adc v ade【答案】120【例 16】 如圖，在三角形 abc 中，已知三角形 ade 、三角形 dce 、三角形 bcd 的面積分別是 89，28，26那 么三角形 dbe 的面積是 ddbebda e c【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】3 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】希望杯，復(fù)賽，六年級(jí)【解析】 根據(jù)題意可知， s =s +s =89 +

28、28 =117 ，dadc dade ddce所以 bd : ad =s : s =26 :117 =2 :9 ，dbdc dadc那么 s : s =bd : ad =2 : 9 ，ddbe dade2 2 2 7故 s =89 =(90 -1) =20 - =19 9 9 9 9【答案】 1979【例 17】 如圖，梯形 abcd 被它的一條對(duì)角線 bd 分成了兩部分三角形 bdc 的面積比三角形 abd 的面積 大 10 平方分米已知梯形的上底與下底的長度之和是 15 分米，它們的差是 5 分米求梯形 abcd 的面積adadhb cbec【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】3 星 【題型

29、】解答【關(guān)鍵詞】小數(shù)報(bào)【解析】 如右圖，作 ab 的平行線 de三角形 bde 的面積與三角形 abd 的面積相等，三角形 dec 的面積就 是三角形 bdc 與三角形 abd 的面積差(10 平方分米)從而，可求出梯形高(三角形 dec 的高)是： 2 10 5 =4 (分米)，梯形面積是：15 4 2 =30 (平方分米)【答案】30【例 18】 圖中 v aob 的面積為15cm2，線段 ob 的長度為 od 的 3 倍，求梯形 abcd 的面積 adobc【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 在 vabd 中，因?yàn)?s =15cm 2 ，且 ob =3od ，

30、所以有 sv aob因?yàn)?vabd 和 vacd 等底等高，所以有 s =s v abd v acdv aod=sv aob3 =5cm2從而 s =15cm 2 ，在 vbcd 中，s =3s =45cm 2 ，所以梯形面積：15 +5 +15 +45 =80（cm 2） vocd vboc vocd【答案】80【例 19】 如圖，把四邊形 abcd 改成一個(gè)等積的三角形ddaabcabcdaod dboc dabd2 2【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】4 星 【題型】解答【解析】 本題有兩點(diǎn)要求，一是把四邊形改成一個(gè)三角形，二是改成的三角形與原四邊形面積相等我們可 以利用三角形等積變形的

31、方法，如右上圖把頂點(diǎn) a 移到 cb 的延長線上的 a處，v abd 與 vabd 面 積相等，從而 v adc 面積與原四邊形 abcd 面積也相等這樣就把四邊形 abcd 等積地改成了三角 形 v adc問題是 a位置的選擇是依據(jù)三角形等積變形原則過 a 作一條和 db 平行的直線與 cb 的延長線交于 a點(diǎn)具體做法： 連接 bd；2 過 a 作 bd 的平行線，與 cb 的延長線交于 a3 連接 ad，則 v acd 與四邊形 abcd 等積【答案】具體做法： 連接 bd；2 過 a 作 bd 的平行線，與 cb 的延長線交于 a3 連接 ad，則 v acd 與四邊形 abcd 等積d

32、aabc【例 20】 一個(gè)長方形分成 4 個(gè)不同的三角形，綠色三角形面積占長方形面積的 15% ，黃色三角形面積是21cm2問：長方形的面積是多少平方厘米？黃紅紅綠【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】3 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽【解析】 黃色三角形與綠色三角形的底相等都等于長方形的長，高相加為長方形的寬，所以黃色三角形與綠 色三角形的面積和為長方形面積的 50% ，而綠色三角形面積占長方形面積的15% ，所以黃色三角形 面積占長方形面積的 50% -15% =35% 已知黃色三角形面積是 21cm2，所以長方形面積等于 21 35% =60 （ cm2）【答案】60【例 21】 o

33、 是長方形 abcd 內(nèi)一點(diǎn)，已知 dobc 的面積是 5cm2，doab 的面積是 2cm2，求 dobd 的面積是多少？adopb c【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】3 星 【題型】解答1 1【解析】 由 于 abcd 是長方形，所以 s +s = s ，而 s = s ，所以 s +s =s ，daod dboc abcd dabd abcd則 s =s +s ，所以 s =s -s =5 -2 =3cm dboc doab dobd dobd dboc doab【答案】32【例 22】 如右圖，過平行四邊形 abcd 內(nèi)的一點(diǎn) p 作邊的平行線 ef 、gh ，若 dpbd 的面積為

34、 8 平方分米， 求平行四邊形 phcf 的面積比平行四邊形 pgae 的面積大多少平方分米？2()bcfe abhgdbcp dabpdbdp2 2dbpddbocabcd4ag d ag deppef fb h c bh c【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 根據(jù)差不變?cè)?，要求平行四邊?phcf 的面積與平行四邊形 pgae 的面積差，相當(dāng)于求平行四邊 形 bcfe 的面積與平行四邊形 abhg 的面積差如右上圖，連接 cp 、 ap 1由于 s +s =s +s +s = s ，所以 s -s =s dbcp dadp dabp dbdp dadp abc

35、d dbcp dabp dbdp而 sdbcp1 1= s ， s = s ，所以 s -s =2 s -s =2 s =16 (平方分米) bcfe dabp abhg【答案】16【例 23】 如右圖，正方形 abcd 的面積是 20 ，正三角形 dbpc 的面積是15 ，求陰影 dbpd 的面積apdapdb c【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】4 星 【題型】解答 【解析】 連接 ac 交 bd 于 o 點(diǎn)，并連接 po 如下圖所示，ob c可得 po / / dc ，所以 ddpo 與 dcpo 面積相等(同底等高)，所以有：s +s =s +s =s ，dbpo dcpo dbpo

36、dpdo dbpd1 1因?yàn)?s = s = 20 =5 ，所以 s =15 -5 =10 4 4【答案】10【鞏固】如右圖，正方形 abcd 的面積是12 ，正三角形 dbpc 的面積是 5 ，求陰影 dbpd 的面積apdapdb cob c【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】4 星 【題型】解答【解析】 連接 ac 交 bd 于 o 點(diǎn)，并連接 po 如右上圖所示，可得 po / / dc ，所以 ddpo 與 dcpo 面積相等(同底等高)，所以有:s +s =s +s =s ，dbpo dcpo dbpo dpdo dbpd1因?yàn)?s = s =3 ，所以 s =5 -3 =2 dbo

37、c abcd dbpd【答案】2【例 24】 在長方形 abcd 內(nèi)部有一點(diǎn) o ，形成等腰 daob 的面積為 16，等腰 ddoc 的面積占長方形面積的 18% ，那么陰影 daoc 的面積是多少？dcod daob abcdabcd22 2 2 2dcoa b【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】4 星 【題型】解答【解析】 先算出長方形面積，再用其一半減去 ddoc 的面積(長方形面積的 18% )，再減去 daod 的面積，即 可求出 daoc 的面積1 1根據(jù)模型可知 s +s = s ，所以 s =16 （ -18%）=50 ，2 2又 daod 與 dboc 的面積相等，它們的面積

38、和等于長方形面積的一半，所以 daod 的面積等于長方 1形面積的 ，4所以 sdaoc=sdacd-sdaod-sdcod=12s -25%s -18%s =25 -12.5 -9 =3.5 abcd abcd abcd【答案】3.5【例 25】 如右圖所示，在梯形 abcd 中， e 、 f 分別是其兩腰 ab 、 cd 的中點(diǎn)， g 是 ef 上的任意一點(diǎn)，已知 dadg 的面積為15cm 是cm 22，而 dbcg 的面積恰好是梯形 abcd 面積的720，則梯形 abcd 的面積a da degfegfb cbc【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】4 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】陳省身杯

39、，六年級(jí)【解析】 如果可以求出 dabg 與 dcdg 的面積之和與梯形 abcd 面積的比，那么就可以知道 dadg 的面積占 梯形 abcd 面積的多少，從而可以求出梯形 abcd 的面積如圖，連接 ce 、 de 則 s =s ， s =s ，于是 s +s =s daeg ddeg dbeg dceg dabg dcdg dcde要求 dcde 與梯形 abcd 的面積之比，可以把梯形 abcd 繞 f 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，變成一個(gè)平行四邊形如 下圖所示：1從 中 容 易 看 出 dcde 的 面 積 為 梯 形 abcd 的 面 積 的 一 半 ( 也 可 以 根 據(jù) s = s ，dbe

40、c dabc1 1 1 1s =s = s ， s +s = s + s = s 得來)daed dafd dadc dbec daed dabc dadc abcd1 7 3那么，根據(jù)題意可知 dadg 的面積占梯形 abcd 面積的 1 - - = ，所以梯形 abcd 的面積是2 20 20315 =100cm202小結(jié)：梯形一條腰的兩個(gè)端點(diǎn)與另一條腰的中點(diǎn)連接而成的三角形，其面積等于梯形面積的一半， 這是一個(gè)很有用的結(jié)論本題中，如果知道這一結(jié)論，直接采用特殊點(diǎn)法，假設(shè) g 與 e 重合，則 dcde22222222的面積占梯形面積的一半，那么 dadg 與 dbcg 合起來占一半【答案

41、】100【例 26】 如圖所示，四邊形 abcd 與 aegf 都是平行四邊形，請(qǐng)你證明它們的面積相等fa bgd e cfa bgd e c【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 本題主要是讓學(xué)生了解并會(huì)運(yùn)用等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等和三角形面積等于與它等底等 高的平行四邊形面積的一半證明：連接 be (我們通過 abe 把這兩個(gè)看似無關(guān)的平行四邊形聯(lián)系在一起)1在平行四邊形 abcd 中， = ab ab 邊上的高，abe1 = s abe wabcd1同理， = s ，平行四邊形 abcd 與 aegf 面積相等abe y aegf【答案】證明：連接 be

42、(我們通過 abe 把這兩個(gè)看似無關(guān)的平行四邊形聯(lián)系在一起)在平行四邊形 abcd 中， 1= s abewabcdabe=12ab ab 邊上的高，同理，abe1= s ，平行四邊形 abcd 與 aegf 面積相等 y aegf 【鞏固】如圖所示，正方形 abcd 的邊長為8 厘米，長方形 ebgf 的長 bg 為10 厘米，那么長方形的寬為幾厘米？eeababffdgcdgc【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 本 題主要是讓學(xué)生會(huì)運(yùn)用等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等 ( 長方形和正方形可以看作特殊的平 行四邊形)三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半

43、證明：連接 ag (我們通過 abg 把這兩個(gè)長方形和正方形聯(lián)系在一起)1在正方形 abcd 中， = ab ab 邊上的高，abg1= s (三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半) abg wabcd1同理， = s abg efgb 正方形 abcd 與長方形 efgb 面積相等 長方形的寬 =8 8 10 =6.4 (厘米) 【答案】6.4【例 27】 如圖，正方形 abcd 的邊長為 6，ae1.5，cf2長方形 efgh 的面積為 hadegbfc【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】3 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】走美杯，5 年級(jí)，決賽，第 8 題，10 分，6 年級(jí)，決賽，

44、第 9 題，10 分【解析】 連接 de，df，則長方形 efgh 的面積是三角形 def 面積的二倍。三角形 def 的面積等于正方形 的面積減去三個(gè)三角形的面積：66-(61.5+4.54+26)2=16.5，所以長方形的面積為 33?！敬鸢浮?3【例 28】 如圖，abcd 為平行四邊形，ef 平行 ac，如果 v ade 的面積為 4 平方厘米求三角形 cdf 的面 積d cfd cfaebaeb【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】4 星 【題型】解答 【解析】 連結(jié) af、ce s =s ； s =s ； v ade v ace vcdf v acf又ac 與 ef 平行， s =sv

45、 ace v acf s =s =4 (平方厘米) v ade vcdf【答案】4【鞏固】如右圖，在平行四邊形 abcd 中，直線 cf 交 ab 于 e ，交 da 延長線于 f ，若 =1 ，求befade的面積cb cbed afed a f【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】4 星 【題型】解答【解析】 本 題主要是讓學(xué)生并會(huì)運(yùn)用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等 ( 或夾在一組平行線之間的三角形面積 相等)和等量代換的思想連接 ac ab cd ， s =sade ace同理 ad bc ， s =s acf abf又 s =s +s ， s =s +s ， s =s ，即 s =s =1

46、acf ace aef abf bef aef ace bef bef ade【答案】1【例 29】 梯形 abcd 中，ae 與 dc 平行， sdabe=15 , sdbcf=.adfbec【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】3 星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六年級(jí)，第 4 題【解析】 連結(jié) de，因?yàn)?ae 與 dc 平行，根據(jù)蝴蝶定理易知 sddef=sdcef，同樣可知 sdabf=sddef，所以sdabf=sdcef，那么 s =s =15dabe dbcf?！敬鸢浮?5【例 30】 圖中兩個(gè)正方形的邊長分別是 6 厘米和 4 厘米，則圖中陰影部分三角形的面積是多少平方厘米【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 4 4 2 =8 【答案】8【例 31】 如圖，有三個(gè)正方形的頂點(diǎn) d 、g 、k 恰好在同一條直線上，其中正方形 gfeb 的邊長為 10 厘米， 求陰影部分的面積d cd cgfpg fpooqhkqhka b e a be【考點(diǎn)】三角形的等高模型 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 對(duì)于這種幾個(gè)正方形并