中考數(shù)學壓軸題第25題新定義試題匯總及解析

1、中考新定義綜合性試題一解答題（共30小題）1（2008鎮(zhèn)江）閱讀以下材料：對于三個數(shù)a、b、c，用m（a，b，c）表示這三個數(shù)的平均數(shù)，用min（a，b，c）表示這三個數(shù)中最小的數(shù)例如：m1，2，3=；min1，2，3=1；min1，2，a=a（a1）；1（a1）解決下列問題：（1）填空：minsin30，cos45，tan30=，如果min2，2x+2，42x=2，則x的取值范圍為0x1；（2）如果m2，x+1，2x=min2，x+1，2x，求x根據，你發(fā)現(xiàn)了結論“如果ma，b，c=mina，b，c，那么a=b=c（填a，b，c的大小關系）”，證明你發(fā)現(xiàn)的結論運用的結論，填空：若m2x+y+

2、2，x+2y，2xy=min2x+y+2，x+2y，2xy，則x+y=4；（3）在同一直角坐標系中作出函數(shù)y=x+1，y=（x1）2，y=2x的圖象（不需列表描點），通過觀察圖象，填空：minx+1，（x1）2，2x的最大值為1【考點】二次函數(shù)的圖象；解一元一次方程；一元一次不等式組的應用；一次函數(shù)的圖象；特殊角的三角函數(shù)值【專題】壓軸題；閱讀型（【分析】1）因為用min（a，b，c）表示這三個數(shù)中最小的數(shù)分別計算sin30，cos45，tan30的值，因為sin30最小，所以minsin30，cos45，tan30=sin30度；（2）結合題意，分情況討論，將實際問題與數(shù)學思想聯(lián)系起來，讀懂

3、題列出算式或一元一次不等式組即可求解；（3）作出正確的圖象，是解題的關鍵【解答】解：（1）minsin30，cos45，tan30=，如果min2，2x+2，42x=2，則x的取值范圍為0x1；（2）m2，x+1，2x=x+1法一：2x（x+1）=x1當x1時，則min2，x+1，2x=2，則x+1=2，x=1當x1時，則min2，x+1，2x=2x，則x+1=2x，x=1（舍去）綜上所述：x=11法二：m2，x+1，2x=x+1=min2，x+1，2x，x=1a=b=c證明：ma，b，c=，如果mina，b，c=c，則ac，bc則有=c，即a+b2c=0（ac）+（bc）=0又ac0，bc0

4、ac=0且bc=0a=b=c其他情況同理可證，故a=b=c4；（3）作出圖象最大值是1【點評】解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，進而找到所求的量的等量關系2（2015春大冶市校級月考）閱讀理解：對于三個數(shù)a，b，c，用ma，b，c表示這三個數(shù)的平均數(shù)，用mina，b，c表示這三個數(shù)中最小的數(shù)例如：m1，2.3=；min1，2，3=1min1，2，a=2（1）填空：m（2）3，（3）2，（）=；minsin60，cos45，tan30=；如果min3，2x5，3x+24=3，則x的取值范圍為4x7探究歸納：（2）如果m2015，x+2014，2x+2013=min2015，x+2014，

5、2x+2013，求x的值；根據，你發(fā)現(xiàn)了結論“如果ma，b，c=min=a，b，c，那么a=b=c（填a，b，c的大小關系）”證明你發(fā)現(xiàn)的結論；遷移運用：運用的結論，填空：m3x+y，x+2y+11，4xy2=min3x+y，x+2y+11，4xy2，則x+y=112【考點】一元一次不等式組的應用【專題】閱讀型（【分析】1）根據ma，b，c表示這三個數(shù)的平均數(shù)，進行解答；因為用min（a，b，c）表示這三個數(shù)中最小的數(shù)分別計算sin60，cos45，tan30的值，因為sin60最小，所以minsin60，cos45，tan30=sin60；由得出2x53，且3x+243，兩個式子同時成立，據

6、此即可求得x的范圍；（2）結合題意，分情況討論，將實際問題與數(shù)學思想聯(lián)系起來，讀懂題列出算式即可求解；根據可以得到結論：當三個數(shù)的平均數(shù)等于三個數(shù)中的最小的數(shù)，則這幾個數(shù)相等，據此即可寫出；根據結論，三個數(shù)相等，即可求得x，y的值，從而求得x+y的值；2【解答】解：（1）m（2）3，（3）2，（）=；minsin60，cos45，tan30=，故答案為：；min3，2x5，3x+24=3，解得：4x7故答案為：4x7（2）m2015，x+2014，2x+2013=x+2014，2x+2013（x+2014）=x1當x1時，則min2015，x+2014，2x+2013=2015，則x+2014

7、=2015，x=1當x1時，則min2015，x+2014，2x+2013=2x+2013，則x+2014=2x+2013，x=1（舍去）綜上所述：x=1a=b=c理由如下：ma，b，c=，如果mina，b，c=c，則ac，bc則有=c，即a+b2c=0，（ac）+（bc）=0又ac0，bc0，ac=0且bc=0a=b=c其他情況同理可證，故a=b=c故答案為：a=b=c（3）由的結論，若m3x+y，x+2y+11，4xy2=min3x+y，x+2y+11，4xy2，則3x+y=x+2y+11=4xy2，3=，故答案為：解得：x=，y=，x+y=11故答案為：11【點評】本題考查了一元一次不等

8、式組的應用，解決的關鍵是讀懂題意，據題意結合方程和不等式去求解，考查綜合應用能力3（2015江都市模擬）設xi（i=1，2，3，n）為任意代數(shù)式，我們規(guī)定：y=maxx1，x2，x3，xn表示x1，x2，xn中的最大值，如y=max1，2=2（1）求y=maxx，3；（2）借助函數(shù)圖象，解決以下問題：解不等式maxx+1，2若函數(shù)y=max|x1|，x+a，x24x+3的最小值為1，求實數(shù)a的值【考點】二次函數(shù)的性質；一次函數(shù)的性質；反比例函數(shù)的性質【專題】新定義（【分析】1）根據規(guī)定，分x3和x3兩種情況求解；（2）畫出函數(shù)y=x+1和y=的圖象得到交點坐標為（1，2），然后根據規(guī)定寫出不等

9、式的解集即可；畫出函數(shù)y=|x1|，y=x24x+3的圖象，可知最小值為y=x+a與拋物線的交點，令y=1根據拋物線解析式求出x的值，再代入直線解析式求出a的值即可【解答】解：（1）y=（2）；由圖可知，兩函數(shù)圖象交點為（1，2），不等式maxx+1，2的解集為x0；4由圖可知，最小值為y=x+a與拋物線y=x24x+3的交點，x24x+3=1，解得x1=2，x2=2+（舍去），（2）+a=1，解得a=【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質，一次函數(shù)的性質，反比例函數(shù)的性質，以及作函數(shù)圖象，讀懂題目信息，理解y=maxx1，x2，x3，xn的意義是解題的關鍵4（2015慶陽）定義運算maxa，b：當

10、ab時，maxa，b=a；當ab時，maxa，b=b如max3，2=2（1）max，3=3；（2）已知y1=和y2=k2x+b在同一坐標系中的圖象如圖所示，若max，k2x+b=，結合圖象，直接寫出x的取值范圍；（3）用分類討論的方法，求max2x+1，x2的值【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題【專題】新定義（【分析】1）根據3（2）根據題意得出和已知求出即可；k2x+b，結合圖象求出即可；（3）分為兩種情況：當2x+1x2時，當2x+1x2時，結合已知求出即可【解答】解：（1）max，3=3故答案為：3；（2）max，k2x+b=，k2x+b，從圖象可知：x的取值范圍為3x0或x2；（3

11、）當2x+1x2時，max2x+1，x2=2x+1，當2x+1x2時，max2x+1，x2=x2【點評】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題的應用，能讀懂題意是解此題的關鍵55（2015衢州）小明在課外學習時遇到這樣一個問題：定義：如果二次函數(shù)y=a1x2+b1x+c1（a10，a1，b1，c1是常數(shù)）與y=a2x2+b2x+c2（a20，a2，b2，c2是常數(shù)）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個函數(shù)互為“旋轉函數(shù)”求函數(shù)y=x2+3x2的“旋轉函數(shù)”小明是這樣思考的：由函數(shù)y=x2+3x2可知，a1=1，b1=3，c1=2，根據a1+a2=0，b1=b2，c1+c

12、2=0，求出a2，b2，c2，就能確定這個函數(shù)的“旋轉函數(shù)”請參考小明的方法解決下面問題：（1）寫出函數(shù)y=x2+3x2的“旋轉函數(shù)”；（2）若函數(shù)y=x2+mx2與y=x22nx+n互為“旋轉函數(shù)”，求（m+n）2015的值；（3）已知函數(shù)y=（x+1）（x4）的圖象與x軸交于點a、b兩點，與y軸交于點c，點a、b、c關于原點的對稱點分別是a1，b1，c1，試證明經過點a1，b1，c1的二次函數(shù)與函數(shù)y=（x+1）（x4）互為“旋轉函數(shù)”【考點】二次函數(shù)綜合題【專題】壓軸題（【分析】1）根據“旋轉函數(shù)”的定義求出a2，b2，c2，從而得到原函數(shù)的“旋轉函數(shù)”；（2）根據“旋轉函數(shù)”的定義得到

13、m=2n，2+n=0，再解方程組求出m和n的值，然后根據乘方的意義計算；（3）先根據拋物線與坐標軸的交點問題確定a（1，0），b（4，0），c（0，2），再利用關于原點對稱的點的坐標特征得到a1（1，0），b1（4，0），c1（0，2），則可利用交點式求出經過點a1，b1，c1的二次函數(shù)解析式為y=（x1）（x+4）=x2+x2，再把y=（x+1）（x4）化為一般式，然后根據“旋轉函數(shù)”的定義進行判斷（【解答】1）解：a1=1，b1=3，c1=2，1+a2=0，b2=3，2+c2=0，a2=1，b2=3，c2=2，函數(shù)y=x2+3x2的“旋轉函數(shù)”為y=x2+3x+2；（2）解：根據題意得m=

14、2n，2+n=0，解得m=3，n=2，（m+n）2015=（3+2）2015=1；（3）證明：當x=0時，y=（x+1）（x4）=2，則c（0，2），當y=0時，（x+1）（x4）=0，解得x1=1，x2=4，則a（1，0），b（4，0），點a、b、c關于原點的對稱點分別是a1，b1，c1，a1（1，0），b1（4，0），c1（0，2），設經過點a1，b1，c1的二次函數(shù)解析式為y=a2（x1）（x+4），把c1（0，2）代入得a2（1）4=2，解得a2=，經過點a1，b1，c1的二次函數(shù)解析式為y=（x1）（x+4）=x2+x2，而y=（x+1）（x4）=x2+x+2，6a1+a2=+=0，

15、b1=b2=，c1+c2=22=0，經過點a1，b1，c1的二次函數(shù)與函數(shù)y=（x+1）（x4）互為“旋轉函數(shù)【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握關于原點對稱的兩點的坐標特征；會求二次函數(shù)圖象與坐標軸的交點和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；對新定義的理解能力6（2015茂名）在平面直角坐標系中，我們不妨把縱坐標是橫坐標的2倍的點稱之為“理想點”，例如點（2，4），（1，2），（3，6）都是“理想點”，顯然這樣的“理想點”有無數(shù)多個（1）若點m（2，a）是反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k0）圖象上的“理想點”，求這個反比例函數(shù)的表達式；（2）函數(shù)y=3mx1（m為常數(shù)，m0）的圖象上存在“理想點

16、”嗎？若存在，請求出“理想點”的坐標；若不存在，請說明理由【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征【專題】新定義（【分析】1）根據“理想點”，確定a的值，即可確定m點的坐標，代入反比例函數(shù)解析式，即可解答；（2）假設函數(shù)y=3mx1（m為常數(shù)，m0）的圖象上存在“理想點”（x，2x），則有3mx1=2x，整理得：（3m2）x=1，分兩種情況討論：當3m20，即m時，解得：x=，當3m2=0，即m=時，x無解，即可解答【解答】解：點m（2，a）是反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k0）圖象上的“理想點”，a=4，點m（2，4）在反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k0）圖象上，k=24=8

17、，反比例函數(shù)的解析式為（2）假設函數(shù)y=3mx1（m為常數(shù)，m0）的圖象上存在“理想點”（x，2x），則有3mx1=2x，整理得：（3m2）x=1，當3m20，即m時，解得：x=當3m2=0，即m=時，x無解，綜上所述，當m時，函數(shù)圖象上存在“理想點”，為（）；當m=時，函數(shù)圖象上不存在“理想點”【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖形上點的坐標特征，解決本題的關鍵是理解“理想點”的定義，確定點的坐標7（2012南昌模擬）給出函數(shù)（1）寫出自變量x的取值范圍；（2）請通過列表、描點、連線畫出這個函數(shù)的圖象；列表：7x43211234y：描點（在下面給出的直角坐標中描出上表對應的各點）x43211234

18、連線（將上圖中描出的各點用平滑曲線連接起來，得到函數(shù)圖象）（3）觀察函數(shù)圖象，回答下列問題：函數(shù)圖象在第一三象限；函數(shù)圖象的對稱性是（c）a既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形b只是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形c不是軸對稱圖形，而是中心對稱圖形d既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形在x0時，當x=1時，函數(shù)y有最?。ù?，?。┲?，且這個最值等于2；在x0時，當x=1時，函數(shù)y有最大（大，?。┲?，且這個最值等于2；在第一象限內，x在什么范圍內，y隨著x增大而減小，x在什么范圍內，y隨x增大而增大；（4）方程是否有實數(shù)解？說明理由（【考點】反比例函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)的性質；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征

19、【專題】綜合題；壓軸題；數(shù)形結合【分析】1）x在分母，那么x不能為0；（2）根據所給的自變量的值得到相應的函數(shù)值，進而描點，連線即可得到相應圖形；（3）觀察所得圖象看在哪兩個象限即可；由圖象可得兩個函數(shù)圖象只關于原點成中心對稱；找到每個象限內圖象的最低點或最高點所對應的自變量和函數(shù)值即可；應根據函數(shù)最低點自變量的取值判斷相應變化；（4）在同一平面直角坐標系中作出直線y=2x+1，看有沒有交點即可【解答】解：（1）自變量x的取值范圍是x0；（2）列表：8y22描點、連線：（3）觀察函數(shù)圖象，回答下列問題：函數(shù)圖象在第一、三象限；兩個函數(shù)圖象關于原點對稱，那么對稱性為：不是軸對稱圖形，而是中心對稱

20、圖形；故選c在x0時，當x=1時，函數(shù)y有最小值，且這個最值等于2；在x0時，當x=1時，函數(shù)y有最大值，且這個最值等于2；在第一象限內，當x1時，y隨著x增大而減??；當x1時，y隨x增大而增大（4）方程沒有實數(shù)解，與y=2x+1在同一直角坐標系中無交點【點評】用到的知識點為：分式有意義，分母不為0；函數(shù)在某個范圍內的最值，看最低點或最高點所對應的自變量與函數(shù)值；兩個函數(shù)解析式組成的方程無解，那么這兩個函數(shù)的圖象在同一坐標系中沒有交點8（2015湘潭）閱讀材料：用配方法求最值9已知x，y為非負實數(shù)，x+y20x+y2，當且僅當“x=y”時，等號成立示例：當x0時，求y=x+4的最小值解：+4=

21、6，當x=，即x=1時，y的最小值為6（1）嘗試：當x0時，求y=的最小值（2）問題解決：隨著人們生活水平的快速提高，小轎車已成為越來越多家庭的交通工具，假設某種小轎車的購車費用為10萬元，每年應繳保險費等各類費用共計0.4萬元，n年的保養(yǎng)、維護費用總和為小轎車使用多少年報廢最合算（即：使用多少年的年平均費用最少，年平均費用=均費用為多少萬元？【考點】配方法的應用萬元問這種）？最少年平（【分析】1）首先根據y=，可得y=x+1，然后應用配方法，求出當x0時，y=的最小值是多少即可（2）首先根據題意，求出年平均費用=（+0.4n+10）n=，然后應用配方法，求出這種小轎車使用多少年報廢最合算，以

22、及最少年平均費用為多少萬元即可【解答】解：（1）y=x+1+1=3，當x=，即x=1時，y的最小值為3（2）年平均費用=（+0.4n+10）n=2+0.5=2.5，當，即n=10時，最少年平均費用為2.5萬元【點評】此題主要考查了配方法的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確配方法的關鍵是：先將一元二次方程的二次項系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方92013廈門）若x1，x2是關于x的方程x2+bx+c=0的兩個實數(shù)根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整數(shù)），則稱方程x2+bx+c=0（為“偶系二次方程”如方程x26x27=0，x22x8=0，x2+3x二次方程”10

23、=0，x2+6x27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系（1）判斷方程x2+x12=0是否是“偶系二次方程”，并說明理由；（2）對于任意一個整數(shù)b，是否存在實數(shù)c，使得關于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并說明理由【考點】根與系數(shù)的關系；解一元二次方程-因式分解法；根的判別式【專題】壓軸題；閱讀型；新定義（【分析】1）求出原方程的根，再代入|x1|+|x2|看結果是否為2的整數(shù)倍就可以得出結論；（2）由條件x26x27=0和x2+6x27=0是偶系二次方程建模，設c=mb2+n，就可以表示出c，然后根據公式法就可以求出其根，再代入|x1|+|x2|就可以得出結論【解答】解：（1）

24、不是，解方程x2+x12=0得，x1=3，x2=4|x1|+|x2|=3+4=7=23.53.5不是整數(shù)，x2+x12=0不是“偶系二次方程；（2）存在理由如下：x26x27=0和x2+6x27=0是偶系二次方程，假設c=mb2+n，當b=6，c=27時，27=36m+nx2=0是偶系二次方程，n=0時，m=，c=b2是偶系二次方程，當b=3時，c=32可設c=b2對于任意一個整數(shù)b，c=b2時，24ac，=4b2x=，x1=b，x2=b|x1|+|x2|=2|b|，b是整數(shù)，對于任何一個整數(shù)b，c=b2時，關于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”【點評】本題考查了一元二次方程的解法的

25、運用，根的判別式的運用根與系數(shù)的關系的運用及數(shù)學建模思想的運用，解答本題時根據條件特征建立模型是關鍵10（2012湛江）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：11例題：解一元二次不等式x240解：x24=（x+2）（x2）x240可化為（x+2）（x2）0由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”，得解不等式組，得x2，解不等式組，得x2，（x+2）（x2）0的解集為x2或x2，即一元二次不等式x240的解集為x2或x2（1）一元二次不等式x2160的解集為x4或x4；（2）分式不等式的解集為x3或x1；（3）解一元二次不等式2x23x0【考點】一元二次方程的應用；分式方程的應用；一元一次

26、不等式組的應用【專題】壓軸題（【分析】1）將一元二次不等式的左邊因式分解后化為兩個一元一次不等式組求解即可；（2）據分式不等式大于零可以得到其分子、分母同號，從而轉化為兩個一元一次不等式組求解即可；（3）將一元二次不等式的左邊因式分解后化為兩個一元一次不等式組求解即可；【解答】解：（1）x216=（x+4）（x4）x2160可化為（x+4）（x4）0由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”，得解不等式組，得x4，解不等式組，得x4，（x+4）（x4）0的解集為x4或x4，即一元二次不等式x2160的解集為x4或x4（2）或解得：x3或x1（3）2x23x=x（2x3）2x23x0可化為x（2x

27、3）0由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，異號得負”，得12或解不等式組，得0x，解不等式組，無解，不等式2x23x0的解集為0x【點評】本題考查了一元一次不等式組及方程的應用的知識，解題的關鍵是根據已知信息經過加工得到解決此類問題的方法11（2014安徽）若兩個二次函數(shù)圖象的頂點、開口方向都相同，則稱這兩個二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”（1）請寫出兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)；13（2）已知關于x的二次函數(shù)y1=2x24mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的圖象經過點a（1，1），若y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達式，并求出當0x3時，y2的最大值【考點】二次函數(shù)的性

28、質；二次函數(shù)的最值【專題】代數(shù)綜合題；壓軸題；新定義（“【分析】1）只需任選一個點作為頂點，同號兩數(shù)作為二次項的系數(shù)，用頂點式表示兩個為同簇二次函數(shù)”的函數(shù)表達式即可（2）由y1的圖象經過點a（1，1）可以求出m的值，然后根據y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”就可以求出函數(shù)y2的表達式，然后將函數(shù)y2的表達式轉化為頂點式，在利用二次函數(shù)的性質就可以解決問題【解答】解：（1）設頂點為（h，k）的二次函數(shù)的關系式為y=a（xh）2+k，當a=2，h=3，k=4時，二次函數(shù)的關系式為y=2（x3）2+420，該二次函數(shù)圖象的開口向上當a=3，h=3，k=4時，二次函數(shù)的關系式為y=3（x3）2+43

29、0，該二次函數(shù)圖象的開口向上兩個函數(shù)y=2（x3）2+4與y=3（x3）2+4頂點相同，開口都向上，兩個函數(shù)y=2（x3）2+4與y=3（x3）2+4是“同簇二次函數(shù)”符合要求的兩個“同簇二次函數(shù)”可以為：y=2（x3）2+4與y=3（x3）2+4（2）y1的圖象經過點a（1，1），2124m1+2m2+1=1整理得：m22m+1=0解得：m1=m2=1y1=2x24x+3=2（x1）2+1y1+y2=2x24x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b4）x+8y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，y1+y2=（a+2）（x1）2+1=（a+2）x22（a+2）x+（a+2）+1其中a+20

30、，即a2解得：函數(shù)y2的表達式為：y2=5x210x+5y2=5x210x+5=5（x1）2函數(shù)y2的圖象的對稱軸為x=150，函數(shù)y2的圖象開口向上當0x1時，函數(shù)y2的圖象開口向上，y2隨x的增大而減小，14當x=0時，y2取最大值，最大值為5（01）2=5，當1x3時，函數(shù)y2的圖象開口向上，y2隨x的增大而增大，當x=3時，y2取最大值，最大值為5（31）2=20綜上所述：當0x3時，y2的最大值為20【點評】本題考查了求二次函數(shù)表達式以及二次函數(shù)一般式與頂點式之間相互轉化，考查了二次函數(shù)的性質（開口方向、增減性），考查了分類討論的思想，考查了閱讀理解能力而對新定義的正確理解和分類討論

31、是解決第二小題的關鍵12（2012黔西南州）請閱讀下列材料：問題：已知方程x2+x1=0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍解：設所求方程的根為y，則y=2x所以x=把x=代入已知方程，得（）2+1=0化簡，得y2+2y4=0故所求方程為y2+2y4=0這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”請用閱讀村料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）（1）已知方程x2+x2=0，求一個一元二次方程，使它的根分別為己知方程根的相反數(shù)，則所求方程為：y2y2=0；（2）己知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不等于零的實數(shù)根，求一個一元二次方程，使

32、它的根分別是己知方程根的倒數(shù)【考點】一元二次方程的應用【專題】計算題；壓軸題【分析】根據所給的材料，設所求方程的根為y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程【解答】解：（1）設所求方程的根為y，則y=x所以x=y把x=y代入已知方程，得y2y2=0，故所求方程為y2y2=0；（2）設所求方程的根為y，則y=（x0），于是x=（y0）把x=代入方程ax2+bx+c=0，（a0），得a（）2+b+c=0去分母，得a+by+cy2=0若c=0，有ax2+bx=0，即x（ax+b）=0，可得有一個解為x=0，不符合題意，因為題意要求方程ax2+bx+c=0有兩個不為0的根故c0，故所求方程為

33、cy2+by+a=0（c0），（a0）【點評】本題是一道材料題，考查了一元二次方程的應用，以及解法，是一種新型問題，要熟練掌握13（2012民勤縣校級模擬）如圖，四邊形acde是證明勾股定理時用到的一個圖形，a，b，c是abc和bed邊長，易知方程”，這時我們把關于x的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次15請解決下列問題：（1）寫出一個“勾系一元二次方程”；（2）求證：關于x的“勾系一元二次方程”（3）若x=1是“勾系一元二次方程”積必有實數(shù)根；的一個根，且四邊形acde的周長是6abc面【考點】一元二次方程的應用；勾股定理的證明【專題】幾何圖形問題；壓軸題（【分析】1）直接找一組勾股數(shù)代入

34、方程即可；（2）通過判斷根的判別式的正負來證明結論；（3）利用根的意義和勾股定理作為相等關系先求得c的值，根據完全平方公式求得ab的值，從而可求得面積【解答】1）解：當a=3，b=4，c=5時勾系一元二次方程為3x2+5x+4=0；（2）證明：根據題意，得=（c）24ab=2c24aba2+b2=c22c24ab=2（a2+b2）4ab=2（ab）200勾系一元二次方程必有實數(shù)根；（3）解：當x=1時，有ac+b=0，即a+b=c2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=63c=6c=2a2+b2=c2=4，a+b=2（a+b）2=a2+b2+2abab=2abc=ab=1【點評】此類題目要讀懂

35、題意，根據題目中所給的材料結合勾股定理和根的判別式解題，14（2015河南）如圖，邊長為8的正方形oabc的兩邊在坐標軸上，以點c為頂點的拋物線經過點a，點p是拋物線上點a，c間的一個動點（含端點）過點p作pfbc于點f，點d、e的坐標分別為（0，6），（4，0），連接pd、pe、de（1）請直接寫出拋物線的解析式；（2）小明探究點p的位置發(fā)現(xiàn)：當p與點a或點c重合時，pd與pf的差為定值，進而猜想：對于任意一點p，pd與pf的差為定值，請你判斷該猜想是否正確，并說明理由；16（3）小明進一步探究得出結論：若將“pde的面積為整數(shù)”的點p記作“好點”，則存在多個“好點”，且使pde的周長最小的

36、點p也是一個“好點”請直接寫出所有“好點”的個數(shù)，并求出pde周長最小時“好點”的坐標【考點】二次函數(shù)綜合題【專題】壓軸題（【分析】1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；（2）首先表示出p，f點坐標，再利用兩點之間距離公式得出pd，pf的長，進而求出即可；（3）根據題意當p、e、f三點共線時，pe+pf最小，進而得出p點坐標以及利用pde的面積可以等于4到13所有整數(shù)，在面積為12時，a的值有兩個，進而得出答案【解答】解：（1）邊長為8的正方形oabc的兩邊在坐標軸上，以點c為頂點的拋物線經過點a，c（0，8），a（8，0），設拋物線解析式為：y=ax2+c，則，解得：故拋物線的解析式為：y

37、=x2+8；（2）正確，理由：設p（a，a2+8），則f（a，8），d（0，6），pd=a2+2，pf=8（a2+8）=a2，pdpf=2；（3）在點p運動時，de大小不變，則pe與pd的和最小時，pde的周長最小，pdpf=2，pd=pf+2，pe+pd=pe+pf+2，當p、e、f三點共線時，pe+pf最小，此時點p，e的橫坐標都為4，將x=4代入y=x2+8，得y=6，p（4，6），此時pde的周長最小，且pde的面積為12，點p恰為“好點，pde的周長最小時”好點“的坐標為：（4，6），17由（2）得：p（a，a2+8），點d、e的坐標分別為（0，6），（4，0），當4a0時，pde=

38、（a+4）（a2+8）（a2+86）=；4pde12，當a=0時，pde=4，8a4時，pde=（a2+8+6）（a）46（a4）（a2+8）=a23a+4，4pde13，當a=8時，pde=12，pde的面積可以等于4到13所有整數(shù)，在面積為12時，a的值有兩個，所以面積為整數(shù)時好點有11個，經過驗證周長最小的好點包含這11個之內，所以好點共11個，綜上所述：11個好點，p（4，6）【點評】此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及兩點距離公式以及配方法求二次函數(shù)最值等知識，利用數(shù)形結合得出符合題意的答案是解題關鍵15（2015莆田）拋物線y=ax2+bx+c，若a，b，c滿足b=a+c，則稱拋物線y=

39、ax2+bx+c為“恒定”拋物線（1）求證：“恒定”拋物線y=ax2+bx+c必過x軸上的一個定點a；（2）已知“恒定”拋物線y=x2的頂點為p，與x軸另一個交點為b，是否存在以q為頂點，與x軸另一個交點為c的“恒定”拋物線，使得以pa，cq為邊的四邊形是平行四邊形？若存在，求出拋物線解析式；若不存在，請說明理由【考點】二次函數(shù)綜合題【專題】綜合題；壓軸題（【分析】1）由“恒定”拋物線y=ax2+bx+c，得到b=a+c，即ab+c=0，即可確定出拋物線恒過定點（1，0）；（2）先求出拋物線y=x2的頂點坐標和b的坐標，由題意得出pacq，pa=cq；存在兩種情況：作qmac于m，則qm=op

40、=，證明qmcrtpoa，mc=oa=1，得出點q的坐標，設拋物線的解析式為y=a（x+2）2，把點a坐標代入求出a的值即可；（頂點q在y軸上，此時點c與點b重合；證明oqcopa，得出oq=op=，得出點q坐標，設拋物線的解析式為y=ax2+，把點c坐標代入求出a的值即可【解答】1）證明：由“恒定”拋物線y=ax2+bx+c，得：b=a+c，即ab+c=0，拋物線y=ax2+bx+c，當x=1時，y=0，“恒定”拋物線y=ax2+bx+c必過x軸上的一個定點a（1，0）；（2）解：存在；理由如下：18“恒定”拋物線y=x2，當y=0時，x2=0，解得：x=1，a（1，0），b（1，0）；x=0時，y=，頂點p的坐標為（0，），以pa，cq為邊的平行四邊形，pa、cq是對邊，pacq，pa=cq，存在兩種情況：如圖1所示：作qmac于m，則qm=op=，qmc=90=poa，在rtqmc和poa中，rtqmcpoa（hl），mc=oa=1，om=2，點a和點c是拋物線上的對稱點，am=mc=1，點q的坐標為（2，），設以q為頂點，與x軸另一個交點為c的“恒定”拋物線的解析式為y=a（x+2）2，把點a（1，0）代入得：a=，拋物線的解析式為：y=（x+2）2，即yx2+4x+3；如圖2所示：頂點q在y軸上，此時點c與點b重合，