專題05 圓與三角函數(shù)、相似結(jié)合的綜合問題(解析版)

1、 備戰(zhàn) 2020 中考數(shù)學之解密壓軸解答題命題規(guī)律專題 05 圓與三角函數(shù)、相似結(jié)合的綜合問題 【典例分析】【例 1】如圖，m，n 是以 ab 為直徑的o 上的點，且 an bn mfbd 于點 f，弦 mn 交 ab 于點 c，bm 平分abd，（1） 求證：mf 是o 的切線；（2） 若 cn3，bn4，求 cm 的長思路點撥（1） 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義證得omb=mbf，得出 ombf，即可證得 ommf， 即可證得結(jié)論；（2） 由勾股定理可求 ab 的長，可得 ao，bo，on 的長，由勾股定理可求 co 的長，通過證 acnmcb，可得ac cncm bc，即可求 c

2、m 的長滿分解答（1）連接 om，omob，ombobm，1an =bn bm 平分abd，obmmbf，ombmbf，ombf，mfbd，ommf，即omf90，mf 是o 的切線；（2）如圖，連接 an ， onq ， an =bn =4q ab是直徑，an =bn，anb =90，on ab ab = an2+bn2=4 2 ao =bo =on =2 2 oc = cn2-on2= 9 -8 =1 ac =2 2 +1，bc =2 2 -1q a =nmb ， anc =mbc dacndmcbac cn=cm bc ac gbc =cm gcn 7 =3gcm cm =732【例 2

3、】如圖，ab 為o 直徑，ac 為o 的弦，過o 外的點 d 作 deoa 于點 e，交 ac 于點 f，連 接 dc 并延長交 ab 的延長線于點 p，且d=2a，作 chab 于點 h（1）判斷直線 dc 與o 的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若 hb=2，cosd=35，請求出 ac 的長思路點撥（1）連接 oc，易證cob=d，由于p+d=90，所以p+cob=90，從而可知半徑 ocdc；（2）由（1）可知：coscop=cosd=35，設(shè)半徑為 r，所以 oh=r2，從而可求出 r 的值，利用勾股定理即可求出 ch 的長度，從而可求出 ac 的長度滿分解答解：（1）dc 與o 相切理

4、由如下：連接 oc，cob=2a，d=2a，cob=d，deap，dep=90，在 dep 中，dep=90， p+d=90，p+cob=90，ocp=90，半徑 ocdc，dc 與o 相切（2）由（1）可知：ocp=90，cop=d，coscop=cosd=35，chop，cho=90，設(shè)oh r 2 3o 的半徑為 r，則 oh=r2在 cho 中，coshoc= = = ，r=5，oh=52=3，oc r 5由勾股定理可知：ch=4，ah=abhb=102=8在 ahc 中，cha=90，由勾股定理可知：ac= 4 5 3【例 3】如圖，ab 是o 的直徑，d、e 為o 上位于 ab 異

5、側(cè)的兩點，連接 bd 并延長至點 c，使得 cd=bd， 連接 ac 交o 于點 f，連接 ae、de、df（1） 證明：e=c；（2） 若e=55，求bdf 的度數(shù)；（3）設(shè) de 交 ab 于點 g，若 df=4，cosb=23，e 是弧 ab 的中點，求 eged 的值思路點撥（1） 直接利用圓周角定理得出 adbc，勁兒利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出 ab=ac，即可得出e=c；（2） 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出afd=180e，進而得出bdf=c+cfd，即可得出答案；（3）根據(jù) cosb=23，得出 ab 的長，再求出 ae 的長，進而得 aegdea，求出答案即可滿分解答解：（1）

6、證明：連接 ad，ab 是o 的直徑， adb=90，即 adbc，cd=bd，ad 垂直平分 bc，4ab=ac，b=c，又b=e，e=c；（2）解：四邊形 aedf 是o 的內(nèi)接四邊形， afd=180e，又cfd=180afd，cfd=e=55，又e=c=55，bdf=c+cfd=110；（3）解：連接 oe，cfd=e=c，fd=cd=bd=4，在 abd 中，cosb=23，bd=4，ab=6，e 是 ab 的中點，ab 是o 的直徑，aoe=90，且 ao=oe=3， ae= 3 2 ，e 是 ab 的中點，ade=eab，aegdea，aeegdeae，即 eg ed= ae 2

7、 =185【例 4】如圖， aob 中，aob 為直角，oa=6，ob=8，半徑為 2 的動圓圓心 q 從點 o 出發(fā)，沿著oa 方向以 1 個單位長度/秒的速度勻速運動，同時動點 p 從點 a 出發(fā)，沿著 ab 方向也以 1 個單位長度/秒的速度勻速運動，設(shè)運動時間為 t 秒（0t5）以 p 為圓心，pa 長為半徑的p 與 ab、oa 的另一個交點 分別為 c、d，連結(jié) cd、qc（1） 當 t 為何值時，點 q 與點 d 重合？（2） 當q 經(jīng)過點 a 時，求p 被 ob 截得的弦長（3） 若p 與線段 qc 只有一個公共點，求 t 的取值范圍思路點撥（1）由題意知 cdoa，所 acda

8、bo，利用對應邊的比求出 ad 的長度，若 q 與 d 重合時，則，ad+oq=oa，列出方程即可求出 t的值；（2） 由于 0t5，當 q 經(jīng)過 a 點時，oq=4，此時用時為 4s，過點 p 作 peob 于點 e，利用垂徑定理即 可求出p 被 ob 截得的弦長；（3） 若p 與線段 qc 只有一個公共點，分以下兩種情況，當 qc 與p 相切時，計算出此時的時間；當 q 與 d 重合時，計算出此時的時間；由以上兩種情況即可得出 t 滿分解答（1）oa=6，ob=8，的取值范圍6由勾股定理可求得：ab=10，由題意知：oq=ap=t， ac=2t，ac 是p 的直徑，cda=90，cdob，

9、acdabo，acabadoa，6ad= t ，5當 q 與 d 重合時，ad+oq=oa，65t+t=6，t=3011；（2）當q 經(jīng)過 a 點時，如圖oq=oaqa=4，t=41=4s，pa=4，bp=abpa=6，過點 p 作 peob 于點 e，p 與 ob 相交于點 f、g， 連接 pf，peoa，7pebaob，pe bp=oa ab，pe=3.6，2 19由勾股定理可求得：ef= ，5由垂徑定理可求知：fg=2ef= 4 195；（3）當 qc 與p 相切時，如圖此時qca=90，oq=ap=t，aq=6t，ac=2t，a=a，qca=abo，aqcabo，aq ac=ab oa

10、，6 -t 2t =10 6，t=1813，18當 0t 時，p 與 qc 只有一個交點， 13當 qcoa 時，此時 q 與 d 重合，由（1）可知：t=3011，8當3011t5 時，p 與 qc 只有一個交點，綜上所述，當，p 與 qc 只有一個交點，t的取值范圍為：0t18 30或 t5 13 11【例 5】如圖 abc 內(nèi)接于o，bc =2, ab =ac，點 d 為 ac 上的動點，且 cos b =1010.(1) 求 ab 的長度；(2) 在點 d 運動的過程中，弦 ad 的延長線交 bc 的延長線于點 e，問 adae 的值是否變化？若不變，請 求出 adae 的值；若變化，

11、請說明理由.(3)在點 d 的運動過程中，過 a 點作 ahbd，求證：bh =cd +dh.思路點撥（1） 過 a 作 afbc，垂足為 f，交o 于 g，由垂徑定理可得 bf=1，再根據(jù)已知結(jié)合 rtafb 即可求得 ab 長；（2） 連接 dg，則可得 ag 為o 的直徑，繼而可證 dagfae，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得adae=afag，連接 bg，求得 af=3，fg=13，繼而即可求得 adae 的值；（3）連接 cd，延長 bd 至點 n，使 dn=cd，連接 an，通過證 adcadn，可得 ac=an，繼而 可得 ab=an，再根據(jù) ahbn，即可證得 bh=hd+cd. 滿

12、分解答（1)過 a 作 afbc，垂足為 f，交o 于 g，ab=ac，afbc，bf=cf=12bc=1，bf 1= = 10在 rtafb 中，bf=1，ab= cos b 10 ；10（2）連接 dg，afbc，bf=cf，ag 為o 的直徑，adg=afe=90，9又dag=fae，dagfae，ad：af=ag：ae，adae=afag，連接 bg，則abg=90，bfag，bf2=affg，af=ab2bf2=3，fg=13，adae=afag=af（af+fg）=3103=10；（3）連接 cd，延長 bd 至點 n，使 dn=cd，連接 an，adb=acb=abc，adc+a

13、bc=180，adn+adb=180， adc=adn，ad=ad，cd=nd，adcadn，ac=an，ab=ac，ab=an，ahbn，bh=hn=hd+cd.【例 6】已知如圖，拋物線與 軸相交于 b(1，0)，c(5，0)兩點，與 y 軸的正半軸相交于 a點，過 a，b，c 三點的p 與 y 軸相切于點 a，m 為 軸負半軸上的一個動點，直線 mb 交拋物線于 n， 交p 于 d(1)填空:a 點坐標是_，p 半徑的長是_， =_， =_， =_；(2)若48:5，求 n 點的坐標； bnc aob(3)若aob 與以 a，b，d 為頂點的三角形相似，求 mbmd 的值10bnc ao

14、b思路點撥（1） 先將b、c兩點坐標代入拋物線方程，再根據(jù)題意求得p半徑，進而求得拋物線方程；（2） 根據(jù)sbnc： aob=48：5求出n點的y坐標，將yn代入拋物線方程即可求得n點坐標； （3）根據(jù)三角形相似的性質(zhì)和射影定理便可求得mbmd的值滿分解答；(1) p 的半徑=3, = , = , =（2）由（1）知拋物線的解析式為a點的坐標為（0， ），所以oa=,s 48:5,=， 而ob=1,bc=oc-ob=5-1=4,，設(shè)點n的縱坐標為 ，則有 ，解得 ， 而拋物線最小值是 ， ，在中，時， （不合題意，舍去）， ，符合條件的n點的坐標是（7， ）； （3）過點a作直徑aq聯(lián)接bq，

15、11abq=90,bao+aob=90,ma與p相切于點a，oab+bao=90, oab=aob,而aqb=adb,oab=adb,而amb=amd,mabmda, aobdba時，abd=aob=90,易 aobbom,則om= , ,; aobdab時，bad=aob=90,bd是p的直徑，dcb=90,而bd=23=6,bc=4,dcb=mob=90,omcd,mobdcb,;12所以， aob與以a,b,d為頂點的三角形相似，mbmd等于 或【變式訓練】1如圖，已知圓 o 的內(nèi)接六邊形 abcdef 的邊心距 om =2 ，則該圓的內(nèi)接正三角形 ace 的面積為 （ ）a2 b4 c

16、 6 3 【答案】d【詳解】解：如圖所示，連接 oc , ob ，過 o 作 on ce 于 n ，d 4 3多邊形 abcdef cob =60 o ，是正六邊形， oc =ob， dcob 是等邊三角形， ocm =60o， om =oc sin ocm， oc =om 4 3= ( cm ) sin 60 3 ocn =30o， on =1 2 3oc = , cn =2 ， 2 3ce =2cn =4，該圓的內(nèi)接正三角形 ace 的面積 =3 122 34 =4 3 ， 313故選：d2如圖，在 dabc 中， o 是 ab 邊上的點，以 o 為圓心， ob 為半徑的 e o 與 ac

17、 相切于點 d ， bd 平分 abc， ad = 3od ， ab =12 ，cd的長是（ ）a 2 3b2 c 3 3d 4 3【答案】a【詳解】解： e o 與 ac 相切于點 d，14y ac od，ado90，q ad 3od，od 3 tana ，ad 3a30，q bd平分abc，obdcbd，q obod，obdodb，odbcbd， od / / bc，cado90，1abc60，bc ab6，ac 3bc6 3，2cbd30，3 3 cd bc 62 3；3 3故選 a3如圖，點 p 是以 ab為直徑的半圓上的動點， ca ab，pd ac于點 d ，連接 ap ，設(shè)apx

18、，papdy，則下列函數(shù)圖象能反映 與x之間關(guān)系的是（ ）ab15c d 【答案】c【詳解】設(shè)：圓的半徑為 r，連接 pb ，則sin abpap 12r 2rx，q ca ab，即ac是圓的切線，則pda pba ，則pd apsin xx 12r 2rx2則ypa pd -12 rx2 x圖象為開口向下的拋物線，故選： c 4如圖，以等邊三角形 abc 的 bc 邊為直徑畫半圓，分別交 ab 、ac 于點 e 、d ，df 是圓的切 線，過點 f 作 bc 的垂線交 bc 于點 g 若 af 的長為 2，則 fg 的長為a 4b c 6d 【答案】b16【詳解】連結(jié) od，如圖， df 是

19、圓的切線， oddf， odf=90，abc 為等邊三角形， c=a=b=60，ab=ac， 而 od=oc， odc=60， odc=a， odab， dfab在 adf 中，a=60， adf=30， ad=2af=22=4，而 odab，點 o 為 bc 的中點， od abc 的中位線， ad=cd=4，即 ac=8， ab=8， bf=ab-af=6， fgbc， bgf=90，在 bfg 中，sinb=sin60= ， fg=6 =3 .5如圖，已知 ab 是e o的直徑，點 p 在 ba 的延長線上，pd 與e o相切于點 d，過點 b 作 pd 的垂線交 pd 的延長線于點 c

20、，若e o的半徑為 4，bc 6，則 pa 的長為（ ）a4b 2 3c3 d2.5【答案】a【詳解】連接 od，pd 與o 相切于點 d，odpd， pdo=90，bcp=90，pdo=pcb，p=p，podpbc，po：pb=od：bc，即 po：（po+4）=4：6，po=8，17pa=po-oa=8-4=4，故選 a.6如圖，ac 是o 的直徑，弦 bdao 于 e，連接 bc，過點 o 作 ofbc 于 f，若 bd=8cm，ae=2cm， 則 of 的長度是（ ）a3cm b 6 cm c2.5cm 【答案】d【詳解】連接 ob，d 5 cmac 是o 的直徑，弦 bdao 于 e

21、，bd=8cm，ae=2cm在 oeb 中，oe2+be2=ob2，即 oe2+42=（oe+2）2解得：oe=3，ob=3+2=5，ec=5+3=8在 ebc 中，bc=be2+ec2=42+82=4 5ofbc，ofc=ceb=90 c=c，ofcbec，18of oc=be bcof 5，即 = ，4 4 5解得：of= 5 故選 d7如圖，四邊形 abcd 中，adbc，abc=90，ab=5，bc=10，連接 ac、bd，以 bd 為直徑的圓 交 ac 于點 e，若 de=3，則 ad 的長為（ ）a5 b4 【答案】d【詳解】如圖：連接 be，c3 5d2 5在 abc 中，ab5

22、，bc10， ac5 5 ，連接 be，bacedb，adbc，abc90， bad90bd 是圓的直徑，bed90cba， abcdeb，ab ac=de db，195 5 5 = ，3 dbdb3 5 ，在 abd 中，ad bd 2 -ab22 5 ，故選 d8如圖 abc 內(nèi)接于o，ab 為o 的直徑，cab=60，弦 ad 平分cab，若 ad=6，則 ac=_【答案】2 3【詳解】解：連接 bd，ab 是o 的直徑，c=d=90，bac=60，弦 ad 平分bac，bad=12bac=30，在 abd 中，ab=adcos30=4 3 ，在 abc 中，ac=abcos60=43

23、12=2 3 故答案為 2 3 9如圖，已知 ab 為o 的直徑，ab=2，ad 和 be 是圓 o 的兩條切線，a、b 為切點，過圓上一點 c 作 o 的切線 cf，分別交 ad、be 于點 m、n，連接 ac、cb，若abc=30，則 am=_20【答案】33【詳解】連接 om，oc，ob=oc，且abc=30，bco=abc=30，aoc boc 的外角，aoc=2abc=60，ma，mc 分別為圓 o 的切線，ma=mc，且mao=mco=90， 在 aom 和 com 中， aom com（hl），aom=com= aoc=30，在 aom 中，oa= ab=1，aom=30，tan

24、30=解得：am=，即=，故答案為 2110如圖，dabc是o 的內(nèi)接三角形，且 ab 是o 的直徑，點 p 為o 上的動點，且 bpc =60，o 的半徑為 6，則點 p 到 ac 距離的最大值是_【答案】 6 +3 3 【詳解】過 o 作 om ac 大值 =pm ，于 m，延長 mo 交o 于 p，則此時，點 p 到 ac 距離的最大，且點 p 到 ac 距離的最 om ac， a =bpc =60，o 的半徑為 6，op =oa =6， om =3 3oa = 6 =3 3 ， 2 2 pm =op +om =6 +3 3 ，則點 p 到 ac 距離的最大值是 6 +3 3 ，22故答

25、案為： 6 +3 3 11如圖，在o 中，弦 ab=1，點 c 在 ab 上移動，連結(jié) oc，過點 c 作 cdoc 交o 于點 d，則 cd 的最大值為_【答案】12【詳解】解：作 ohab，延長 dc 交o 于 e，如圖，ah=bh=1 1ab= ，2 2cdoc，cd=ce，abd=dea，bcd=eca， bcdeca，bc cd=ce accdce=bcac，cd2=（bh-ch）（ah+ch）=（121 1 -ch）（ +ch）= -ch22 4，cd=14-ch 2 ，當 ch 最小時，cd 最大，而 c 點運動到 h 點時，ch 最小，此時 cd=121，即 cd 的最大值為

26、223故答案為1212如圖，已知半圓 o 與四邊形 abcd 的邊 ad 、ab 、bc oc =1，則 ae be =_.都相切，切點分別為 d 、e 、c，半徑【答案】1【詳解】如圖，連接 oe，ad、ab 與半圓 o 相切， oeab，oa 平分doe，aoe=12doe，同理boe=12eoc，doe+eoc=180，aoe+boe=90，即aob=90，abo+bao=90，bao+aoe=90， abo=aoe，oea=beo=90，aeooeb，ae：oe=oe：be，aebe=oe=1故答案為 1.，13如圖，以 ab 為直徑的o 與 ce 相切于點 c，ce 交 ab 的延長

27、線于點 e，直徑 ab18，a30，24 弦 cdab，垂足為點 f，連接 ac，oc，則下列結(jié)論正確的是_（寫出所有正確結(jié)論的序號） bc =bd ；扇形 obc 的面積為274；3 ocfoec；4 若點 p 為線段 oa 上一動點，則 apop 有最大值 20.25【答案】【詳解】弦 cdab，ab 是直徑， bc =bd，所以正確；boc=2a=230=60，扇形 obc 的面積=60 p92 27= p360 2，所以錯誤；o 與 ce 相切于點 c，occe，oce=90，cof=eoc，ofc=oce，ocfoec，所以正確；apop=(9-op)op= -(op-9 81)2+

28、 ，2 4當 op=9281時，apop 的最大值為 =20.25，所以正確，4故答案為：14如圖，已知o 是abc 的外接圓，且 bc 為o 的直徑，在劣弧 ac adc 沿 ad 對折，得到ade，連接 ce（1）求證：ce 是o 的切線；上取一點 d，使 cd =ab，將25 （2）若 ce = 3 c d，劣弧 cd 的弧長為 ，求o 的半徑【答案】（1）見解析；（2）圓的半徑為 3 【詳解】（1） cd =ab，cadbcaead，設(shè)：dcadea，dcedec，則ace 中，根據(jù)三角形內(nèi)角和為 180，2+2+2180，+90，ce 是o 的切線；（2）過點 a 作 ambc，延長

29、 ad 交 ce 于點 n， 則 dnce，四邊形 amcn 為矩形，設(shè)：abcdx，則 ce = 3 x，則 cn=123ce = xam，而 abx， 2則 sinabm =32，abm60，oab 為等邊三角形，即aob60，cd =ab =60 360 2r，26解得：r3，故圓的半徑為 315如圖，點 c 在以 ab 為直徑的o 上，ad 與過點 c 的切線垂直，垂足為點 d，ad 交o 于點 e（1） 求證：ac 平分dab；（2） 連接 be 交 ac 于點 f，若 coscad ，求的值【答案】（1） 詳見解析；（2）79.【詳解】（1）證明：連接 oc，則 occd， 又 a

30、dcd，adoc，cadoca，又 oaoc，ocaoac， cadcao，ac 平分dab（2）解：連接 be 交 oc 于點 h，易證 ocbe，可知ocacad，coshcf45，設(shè) hc4,fc5，則 fh3又aefchf，設(shè) ef3x，則 af5x，ae4x，oh2x27 bhhe3x3 oboc2x4在obh 中，（2x）2（3x3）2（2x4）2化簡得：9x22x70，解得：x af 5x 7= = fc 5 979（另一負值舍去）16如圖，四邊形abcd 內(nèi)接于o，ab=ac，bdac，垂足為 e，點 f 在 bd 的延長線上，且 df=dc， 連接 af、cf.(1) 求證：

31、bac=2dac；(2) 若 af10，bc4 5 ，求 tanbad 的值.【答案】(1)見解析；(2) tanbad= 【詳解】解：（1）abac， ab = ac ，abcacb，112.abcadb，abc bdac，adb90dac，1 1（180bac）90 bac， 2 212bacdac，bac2dac； (2)df=dc，bfc=cb=cf,121bdc= bac=fbc, 228又 bdac，ac 是線段 bf 的中垂線，ab= af=10, ac=10. 又 bc4 5 ，設(shè) aex, ce=10x,ab2ae2=bc2ce2, 100x2=80(10x)2, x=6 a

32、e=6,be=8,ce=4,de=aa ce 6 4 = =3,bb 8bdbede3811，作 dhab，垂足為 h， 1 1 abdh bdae， 2 2dhbd ae 116 33 = =ab 10 5，bhbd2-dh2=445，ahabbh1044 6=5 5，tanbad=dh 33 11= = .ah 6 217如圖 abc 中，以 bc 為直徑的o 交 ab 于點 d，ae 平分bac 交 bc 于點 e，交 cd 于點 f且 ce=cf（1）求證：直線 ca 是o 的切線；（2）若 bd=4 dfdc，求 的值 3 cf29【答案】（1）證明見解析；（2）35【詳解】解：（1

33、）證明：bc 為直徑，bdc=adc=90，1+3=90ae 平分bac，1=2，ce=cf 4=5，3=4，3=5，2+5=90，acb=90，即 acbc，直線 ca 是o 的切線；（2）由（1）可知，1=2，3=5， adface，ad df df= =ac ce cf，bd=43dc，tanabc=cd 3=bd 4abc+bac=90，acd+bac=90， abc=acd，tanacd=34，30sinacd=ad 3=ac 5，df ad 3= =cf ac 518如圖，ab 是c 的直徑，m、d 兩點在 ab 的延長線上，e 是c 上的點，且 de2db da延長ae 至 f，

34、使 aeef，設(shè) bf10，cosbed=45.(1) 求證：debdae；(2) 求 da，de 的長；(3) 若點 f 在 b、e、m 三點確定的圓上，求 md 的長.【答案】(1)證明見解析； (2)da= 【詳解】(1)de2dbda，160 120 352，de= ；(3)md 7 7 35.de db=da de，又dd，debdae；(2)ab 是c 的直徑，e 是c 上的點， aeb=90，即 beaf，31又ae=ef，bf=10，ab=bf=10，4deb dae，cos bed= ，54ead=bed，cos ead =cos bed= ，5在 abe 中，由于 ab10

35、，cos ead45，得 ae=abcosead=8，be =ab 2 -ae 2 =6，deb dae，de db eb 6 3 = = = =da de ae 8 4，db=da-ab=da-10，de 3 160 = da =da 4 7 ，解得 da -10 3 120 = de =de 4 7， 經(jīng)檢驗， da =de =160 de 3=7 da 4是 120 da -10 3=7 de 4的解，da=160 120，de= ；7 7(3)連接 fm，beaf，即bef90，32bf 是 b、e、f 三點確定的圓的直徑，點 f 在 b、e、m 三點確定的圓上，即四點 f、e、b、m

36、 在同一個圓上， 點 m 在以 bf 為直徑的圓上，fmab，am得在 amf 中，由 cos famafamafcos fam 2aecos eab28160 64 352- =mddaam.7 5 3545645，19如圖，ab 是o 的直徑，點 d 是弧 ae 上一點，且bde=cbe，bd 與 ae 交于點 f. （1）求證：bc 是o 的切線；（2） 若 bd 平分abe，求證：de2=df db；（3） 在（2）的條件下，延長 ed，ba 交于點 p，若 pa=ao，de=2，求 pd 的長.【答案】（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析；（3）pd=4，oa= 2 2 【詳解

37、】（1） 證明：ab 是o 的直徑，aeb=90，eab+abe=90，eab=bde，bde=cbe， cbe+abe=90，即abc=90，abbc，bc 是o 的切線；（2） 證明：bd 平分abe，1=2，而2=aed，aed=1，fde=edb， dfedeb，de：df=db：de， de 2 =dfdb；（3）連結(jié) de，如圖，od=ob，2=odb，而1=2，odb=1，odbe，podpbe，pd po pd 2 pd 2= ，pa=ao，pa=ao=bo， = ，即 = ，pd=4 pe pb pe 3 pd +2 333cp 420如圖，ab 是o 的直徑，點 e 為線段

38、 ob 上一點（不與 o，b 重合），作 ecob，交o 于點 c， 作直徑 cd，過點 c 的切線交 db 的延長線于點 p，作 afpc 于點 f，連接 cb（1）求證：ac 平分fab；（2）求證：bc2=cecp；（3）當 ab=4 3 且cf 3= 時，求劣弧 bd 的長度【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）【詳解】（1）ab 是直徑，acb=90，bcp+acf=90，ace+bce=90， bcp=bce，acf=ace，afc=90，aec=90，fac=eac，即 ac 平分fab；（2）oc=ob，ocb=obc，pf 是o 的切線，ceab，ocp=ceb=90，4 3334bdpcb+ocb=90，bce+obc=90， bce=bcp，cd 是直徑，cbd=cbp=90，cbecpb，cb ce=cp c