杭州市中考數(shù)學復習難題突破專題七：圖形變換綜合探究題

1、難題突破專題七圖形變換綜合探究題圖形的軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)是近年中考的新題型、熱點題型，它主要考查學生的觀察與實驗能力， 探索與實踐能力，因此在解題時應注意以下方面：1 熟練掌握圖形的軸對稱、圖形的平移、圖形的旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)和基本方法2 結合具體問題大膽嘗試，動手操作平移、旋轉(zhuǎn)，探究發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在規(guī)律是解答操作題的基本方法 3注重圖形與變換的創(chuàng)新題，弄清其本質(zhì)，掌握其基本的解題方法，尤其是折疊與旋轉(zhuǎn)等類型 1平移變換問題1 兩個三角板 abc，def 按如圖 z71 所示的位置擺放，點 b 與點 d 重合，邊 ab 與邊 de 在同一條直線上(假設圖形中所有的點、線都在同一平面內(nèi) ) ，其中，cde

2、f 90 ， abcf30 ， acde6 cm.現(xiàn)固定三角板 def，將三角板 abc 沿射線 de 方向平移，當點 c 落在邊 ef 上時停止運動設 三角板平移的距離為 x(cm)，兩個三角板重疊部分的面積為 y(cm2)(1)當點 c 落在邊 ef 上時，x_cm；圖 z71(2) 求 y 關于 x 的函數(shù)表達式，并寫出自變量 x 的取值范圍；(3) 設邊 bc 的中點為點 m，邊 df 的中點為點 n，直接寫出在三角板平移過程中，點 m 與點 n 之間距離 的最小值例題分層分析(1) 當點 c 落在 ef 邊上時記為 c，此時 a 點的對應點記為 a，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得 ae _

3、cm，所以 xaaaeae_cm.(2) 分類討論：當 0x6 時，根據(jù)三角形的面積公式可得答案；當 6x12 時，根據(jù)面積的和 差可得答案；當 12x15 時，根據(jù)面積的和差可得答案(3) 根據(jù)點與直線上所有點的連線中垂線段最短，可得當 nmbd 時，mn 最小根據(jù)線段的和差即可 求得答案類型 2折疊問題2 2019衢州 如圖 z72，將矩形 abcd 沿 de 折疊使頂點 a 落在點 a處，然后將矩形展平，沿 ef 折疊使頂點 a 落在折痕 de 上的點 g 處，再將矩形 abcd 沿 ce 折疊，此時頂點 b 恰好落在 de 上的點 h 處，如圖.(1) 求證 egch；(2) 已知 a

4、f 2，求 ad 和 ab 的長圖 z72例題分層分析(1) 由折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)可知_，_，再根 據(jù)四邊形 abcd 是矩形，可得_，等量代換即可證明 egch；(2) 由折疊的性質(zhì)可知ade_，fgea90，af 2，那么 dg_，利用勾股定理求出 df_，于是可得 adafdf_；再利用 aas 證 aef bce，得到 _ ，于是 abaebe_解題方法點析折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等解決折疊問題要注意折疊前后對應點的位置；掌握輔助線的作法；折痕兩邊折疊部分是全等的；折 疊的某點與所落位置之間線段被折痕垂直平分類型 3

5、旋轉(zhuǎn)變換問題3 2019成都如圖 z73，abc 中，abc45，ahbc 于點 h，點 d 在 ah 上，且 dhch，連結 bd.圖 z73(1) 求證：bdac；(2) 將bhd 繞點 h 旋轉(zhuǎn)，得 ehf(點 b，d 分別與點 e，f 對應)，連結 ae.()如圖，當點 f 落在 ac 上時(f 不與 c 重合)，若 bc4，tanc3，求 ae 的長；()如圖，當ehf 是由bhd 繞點 h 逆時針旋轉(zhuǎn) 30得到時，設射線 cf 與 ae 相交于點 g，連結 gh，試探究線段 gh 與 ef 之間滿足的等量關系，并說明理由例題分層分析(1) 先判斷出 ahbh，再證明bhdahc 即

6、可；(2) ()在 rtahc 中，tanc_3.由 ahbh 及 bc4 可求得 ah_，ch_，過點 h 作 hpae 于 p，然后根據(jù)ehafhc，得到 hp_ap，ae_ap，最后用勾股定 理求解即可；()設 ah 與 cg 交于點 q.先判斷出agqchq，得到_，然后判斷 aqc gqh，最后 用相似比求解即可12019菏澤專 題 訓 練如圖 z74，將 abc 繞直角頂點 c 順時針旋轉(zhuǎn) 90，得 abc，連結aa，若125，則baa的度數(shù)是( )a55 b60 c65 d70圖 z74圖 z7522019舟山 如圖 z75，在平面直角坐標系 xoy 中，已知點 a( 2，0)，

7、b(1，1)若平移點 a 到點 c，使以點 o，a，c，b 為頂點的四邊形是菱形，則正確的平移方法是( )a 向左平移 1 個單位，在向下平移 1 個單位b 向左平移( 21)個單位，再向上平移 1 個單位c 向右平移( 21)個單位，再向上平移 1 個單位d 向右平移 1 個單位，再向上平移 1 個單位32019聊城 如圖 z76，把一張矩形紙片 abcd 沿 ef 折疊后，點 a 落在 cd 邊上的點 a處， 點 b 落在點 b處，若240，則圖中1 的度數(shù)為( )a115 b120 c130 d140圖 z76圖 z7742019溫州 如圖 z77，一張三角形紙片 abc，其中c90，a

8、c4，bc3.現(xiàn)小林將紙片做三次折疊：第一次使點 a 落在 c 處，將紙片展平做第二次折疊，使點 b 落在 c 處，再將紙片展平做第三次折疊，使點 a 落在 b 處這三次折疊的折痕長依次記為 a，b，c，則 a，b，c 的大小關系是( ) acab bbac ccba dbca52019貴港 如圖 z78，在 rtabc 中，acb90，將abc 繞頂點 c 逆時針旋轉(zhuǎn)得到abc，m 是 bc 的中點，p 是 ab的中點，連結 pm.若 bc2，bac30，則線段 pm 的最大值 是( )圖 z78a4 b3 c2 d16如圖 z79，折疊矩形紙片 abcd，使 b 點落在 ad 上一點 e

9、處，折痕的兩端點分別在 ab，bc 上(含 端點)，且 ab6，bc10.設 aex，則 x 的取值范圍是_72019武漢圖 z79如圖 z710，在abc 中，abac2 3，bac120，點 d，e 都在邊 bc 上，dae60.若 bd2ce，則 de 的長為_圖 z7108如圖 z711，是兩塊完全一樣的含 30角的三角板，分別記作abc 和b c ，現(xiàn)將兩塊三角板1 1 1重疊在一起，設較長直角邊的中點為 m，繞中點 m 轉(zhuǎn)動上面的三角板 abc，使其直角頂點 c 恰好落在三角 板 a b c 的斜邊 a b 上當a30，ac10 時，兩直角頂點 c，c 的距離是_1 1 1 1 1

10、 1圖 z711圖 z71292019德陽 如圖 z712，將abc 沿 bc 翻折得到dbc，再 dbc 繞點 c 逆時針旋轉(zhuǎn) 60得到fec，延長 bd 交 ef 于 h，已知abc30，bac90，ac1，則四邊形 cdhf 的面積為_102019舟山 一副含 30和 45角的三角板 abc 和 def 疊合在一起，邊 bc 與 ef 重合，bcef12 cm(如圖 z713)，點 g 為邊 bc(ef)的中點，邊 fd 與 ab 相交于點 h，現(xiàn)將三角板 def 繞點 g 按順時針方向旋轉(zhuǎn)(如圖 z713)，在cgf 從 0到 60的變化過程中，觀察點 h 的位置變化，點 h 相應 移

11、動的路徑長共為_(結果保留根號)112019自貢圖 z713如圖 z714，在平面直角坐標系中，o 為坐標原點，點 a(1，0)，點 b(0， 3)(1)求bao 的度數(shù)(2)如圖，將aob 繞點 o 順時針旋轉(zhuǎn) aob，當點 a恰好落在 ab 邊上時，設o 的面 積為 s ，o 的面積為 s ，s 與 s 有何關系？為什么？1 2 1 2(3)若將aob 繞點 o 順時針旋轉(zhuǎn)到如圖 z714所示的位置，s 與 s 的關系發(fā)生變化了嗎？證明你1 2的判斷圖 z714122019赤峰 opa 和oqb 分別是以 op，oq 為直角邊的等腰直角三角形，點 c，d，e 分別是 oa，ob，ab 的中

12、點(1) 當aob90時，如圖 z715，連結 pe，qe，直接寫出 ep 與 eq 的大小關系；(2) 將oqb 繞點 o 逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當aob 是銳角時，如圖 z715，(1)中的結論是否成立？若 成立，請給出證明；若不成立，請加以說明(3) 仍將oqb 繞點 o 旋轉(zhuǎn)，當aob 為鈍角時，延長 pc，qd 交于點 g， abg 為等邊三角形，如圖 z715，求aob 的度數(shù)圖 z715參考答案類型 1平移變換問題例 1 【例題分層分析】(1)3 15解：(1)在 rtabc 中，abc30，則bac60，ab2ac12cm，bc6 3cm.1如圖，當點 c 在 ef 上時，cae60

13、，則 ae ac3 cm，2所以 aaaeae15 cm.故 x15 cm.1(2)如圖，當 0x6 時，bdx，dg x，2則 bg3 1 3 x，所以 y dgbg x2.2 2 8如圖，當 6x12 時，bdx，bex6，1 3 3則 dg x，bg x，eh (x6)，2 2 31 1 3 3 3所以 y dgbg ehbe x2 (x6)2 x22 3x6 3. 2 2 8 6 24如圖，當 12b,那么 b如果 acbc，那么 ab,那么1 1a bd如果 ac2bc2，那么 ab11某校規(guī)定學生的學期數(shù)學成績滿分為 100 分，其中平時學習成績占 30%，期末卷面成績占 70%，

14、小明 的兩項成績（百分制）依次是 80 分，90 分，則小明這學期的數(shù)學成績是（ ）a83 分 b86 分 c87 分 d92.4 分12下列計算正確的是（ ）a（a2b）2a2b2ba6a2a3c（3xy2）26x2y4d（m）7（m）2m5二、填空題13已知abca c且 ： 1：2，則 ab：ab_abc abc14 將直線 y2x+4 沿 y 軸向下平移 3 個單位，則得到的新直線所對應的函數(shù)表達式為_15 如圖，在abc 中，bac60， abc 繞著點 a 順時針旋轉(zhuǎn) 40后得到ade，則bae_16周末，張三、李四兩人在磁湖游玩，張三在湖心島 p 處觀看李四在湖中劃船（如圖），小

15、船從 p 處出發(fā)，沿北偏東 60方向劃行 200 米到 a處，接著小船向正南方向劃行一段時間到 b 處.在 b 處李四觀測張三所在的 p 處在北偏西45的方向上，這時張三與李四相距_米（保留根號）.17已知 x1 是一元二次方程 ax2bx+60 的一個根，則 a+b 的值為_18已知 rtabc 中，ac3，bc4，以 c 為圓心，以 r 為半徑作圓若此圓與線段 ab 只有一個交點， 則 r 的取值范圍為_三、解答題19我們已經(jīng)知道一些特殊的勾股數(shù)，如三連續(xù)正整數(shù)中的勾股數(shù)：3、4、5；三個連續(xù)的偶數(shù)中的勾股 數(shù) 6、8、10；事實上，勾股數(shù)的正整數(shù)倍仍然是勾股數(shù)(1)另外利用一些構成勾股數(shù)

16、的公式也可以寫出許多勾股數(shù)，畢達哥拉斯學派提出的公式：a2n+1，b2n2+2n，c2n2+2n+1(n 為正整數(shù))是一組勾股數(shù)，請證明滿足以上公式的 a、b、c 的數(shù)是一組勾股數(shù)(2)然而，世界上第一次給出的勾股數(shù)公式，收集在我國古代的著名數(shù)學著作九章算術中，書中提到：當 a1 1 (m2n2)，bmn，c (m2 22+n2)(m、n 為正整數(shù)，mn 時，a、b、c 構成一組勾股數(shù)；利用上述結論，解決如下問題：已知某直角三角形的邊長滿足上述勾股數(shù)，其中一邊長為 37，且 n5，求該直角 三角形另兩邊的長20如圖，在abc 中，abac，ab 是o 的直徑，o 與 bc 交于點 d，o 與

17、ac 交于點 e，dfac 于 f， 連接 de（1） 求證：d 為 bc 中點；（2） 求證：df 與o 相切；（3）若o 的半徑為 5，tanc43，則 de 21景觀大道要進行綠化改造，已知購買a 種樹苗 3 棵，b 種樹苗 4 棵，需要 370 元；購買 a 種樹苗 5 棵， b 種樹苗 2 棵，需要 430 元（1） 求購買 a，b 兩種樹苗每棵各需多少元？（2） 現(xiàn)需購買這兩種樹苗共 100 棵，要求購買這兩種樹苗的資金不超過 5860 元，求最多能購買多少棵 a 種樹苗？22如圖 1，有一個“z”字圖形，其中 abcd，ab：cd：bc1：2：3（1）如圖 2，若以 bc 為直徑

18、的o 恰好經(jīng)過點 d，連結 ao1 求 cosc2 當 ab2 時，求 ao 的長（2）如圖 3，當 a，b，c，d 四點恰好在同一個圓上時求c 的度數(shù)23下面是小元設計的“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程，已知：如圖 1，直線 l 和 l 外一點 p求作：直線 l 的垂線，使它經(jīng)過點 p，作法：如圖 2，(1) 在直線 l 上任取一點 a；(2) 連接 ap，以點 p 為圓心，ap 長為半徑作弧，交直線 l 于點 b(點 a，b 不重合)；(3) 連接 bp，作apb 的角平分線，交 ab 于點 h；(4) 作直線 ph，交直線 l 于點 h所以直線 ph 就是所求作的垂線

19、根據(jù)小元設計的尺規(guī)作圖過程，(1) 使用直尺和圓規(guī)，補全圖形(保留作圖痕跡)；(2) 完成下面的證明證明：ph 平分apb，aph pa ，ph直線 l 于 h( ) (填推理的依據(jù))24某水果店以 4 元/千克的價格購進一批水果，由于銷售狀況良好，該店又再次購進同一種水果，第二 次進貨價格比第一次每千克便宜了 1 元，所購水果重量恰好是第一次購進水果重量的 2 倍，這樣該水果店 兩次購進水果共花去了 2000 元（1） 該水果店兩次分別購買了多少元的水果？（2） 在銷售中，盡管兩次進貨的價格不同，但水果店仍以相同的價格售出，若第一次購進的水果有 3% 的損耗，第二次購進的水果有 4% 的損耗

20、，該水果店希望售完這些水果獲利不低于 3780 元，則該水果每千 克售價至少為多少元？25某商場銷售一種小商品,每件進貨價為 190 元.調(diào)查發(fā)現(xiàn),當銷售價為 210 元時,平均每天能銷售 8 件； 當銷售價每降低 2 元時,平均每天就能多銷售 4 件.設每件小商品降價 x 元,平均每天銷售 y 件.（1） 直接寫出 y 與 x 之間的函數(shù)關系式(不必寫出 x 的取值范圍)；（2） 商場要想使這種小商品平均每天的銷售利潤達到 280 元,求每件小商品的銷售價應定為多少元? （3）設每天的銷售總利潤為 w 元,求 w 與 x 之間的函數(shù)關系式；每件商品降價多少元時，每天的總利潤 最大?最大利潤是

21、多少?【參考答案】*一、選擇題題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 a a b d d d d b d d 二、填空題13 1： 2 14 y=2x+115 100c d16100 617 618 3r4 或 r125三、解答題19(1)證明見解析；(2)當 n5 時，一邊長為 37 的直角三角形另兩邊的長分別為 12，35 【解析】【分析】（1）根據(jù)題意只需要證明 a2+b2c2，即可解答（2）根據(jù)題意將 n5 代入得到 a1 1 (m252)，b5m，c (m2 22+25)，再將直角三角形的一邊長為 37，分別分三種情況代入 a1 1 (m252)，b5m，c

22、(m2 22+25)，即可解答【詳解】(1)a2+b2(2n+1)2+(2n2+2n)24n2+4n+1+4n4+8n3+4n24n4+8n3+8n2+4n+1，c2(2n2+2n+1)24n4+8n3+8n2+4n+1，a2+b2c2，n 為正整數(shù)，a、b、c 是一組勾股數(shù)； (2)解：n5a1 1(m252)，b5m，c (m2+25)， 2 2直角三角形的一邊長為 37， 分三種情況討論，當 a37 時，12(m252)37，解得 m3 11 (不合題意，舍去) 當 y37 時，5m37，解得 m375(不合題意舍去)；當 z37 時，3712(m2+n2)，解得 m7，mn0，m、n

23、是互質(zhì)的奇數(shù)，m7，把 m7 代入得，x12，y35綜上所述：當 n5 時，一邊長為 37 的直角三角形另兩邊的長分別為 12，35【點睛】此題考查了勾股數(shù)和勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題關鍵20（1）證明見解析（2）相切（3）6【解析】【分析】（1） 連接 ad，根據(jù)圓周角定理得到adb90，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結論；（2） 連接 od，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到dfcodf，根據(jù)切線的判定定理即可得到結論；（3） 根據(jù)平行線的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到bedo，根據(jù)余角的性質(zhì)得到edfcdf，得 到 decd，解直角三角形即可得到結論【詳解】（1）證明：連接 ad，ab 是o 的直徑

24、， adb90， adbc，abac，d 為 bc 中點；（2）連接 od，aobo，bdcd，odac，dfcodf，dfac，odf90，oddf，df 與o 相切；（3）oddf，dfac，acod，aed+ode180，aed+b180，bedo，edf+edocdf+odb90， edfcdf，decd，o 的半徑為 5，tanc43，ab10，bd6，decdbd6故答案為：6【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，正確的作出輔助線是解 題的關鍵21（1）購買 a，b 兩種樹苗每棵分別需 70 元，40 元；（2）最多能購買 62 棵 a 種

25、樹苗【解析】【分析】（1） 設購進 a 種樹苗的單價為 x 元/棵，購進 b 種樹苗的單價為 y 元/棵，根據(jù)“購買 a 種樹苗 3 棵，b 種樹苗 4 棵，需要 370 元；購買 a 種樹苗 5 棵，b 種樹苗 2 棵，需要 430 元”，即可得出關于 x、y 的二 元一次方程組，解之即可得出結論；（2） 設需購進 a 種樹苗 m 棵，則購進 b 種樹苗（100m）棵，根據(jù)總價單價購買數(shù)量結合購買兩種 樹苗的總費用不多于 5860 元，即可得出關于 m 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結論 【詳解】解：（1）設購進 a 種樹苗的單價為 x 元/棵，購進 b 種樹苗的單價為 y 元

26、/棵，則解得 ，答：購買 a，b 兩種樹苗每棵分別需 70 元，40 元（2）設購進 a 種樹苗 m 棵，則70m+40 （100m）5860解得 m62最多能購買 62 棵 a 種樹苗【點睛】本題考查了一元一次不等式的應用以及二元一次方程組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確 列出二元一次方程組；（2）根據(jù)數(shù)量間的關系，正確列出一元一次不等式22（1）cosc=23；當 ab2 時，ao= 5 ；（2）c60【解析】【分析】（1）連接 bd，根據(jù)圓周角定理得到cdb90，根據(jù)余弦的定義計算；作 oecd 于 e，證明aobeoc，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到aceo90，根據(jù)勾股定理計

27、 算即可；（2）證明afb 為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理計算【詳解】解：（1）如圖 2，連接 bd，bc 為o 的直徑，cdb90，在 rtbcd 中，cosccd 2 ；bc 3如圖 2，作 oecd 于 e， 則 cede，ab2，ab：cd：bc1：2：3， cd4，bc6，abce2，abcd，cabo，在aob 和eoc 中，ob =oc abo =c，ab =ceaobeoc（sas）， aceo90，oa oc2-ce2 5 ；（2）如圖 3，連接 ad 交 bc 于 f， abcd，afbdfc，bf ab 1= = ，cf cd 2bf 1= ，bc 3ab

28、 1= ，bc 3bfab，bfaa，abcd，bc，由圓周角定理得，ac， abafb， afb 為等邊三角形， cb60【點睛】本題考查的是圓周角定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握它們的判定定理和 性質(zhì)定理是解題的關鍵23(1)見解析；(2)見解析.【解析】【分析】(1) 以點 p 為圓心，任意長為半徑畫弧，與 pa、pb 分別有交點，再分別以這兩上交點為圓心，以大于這兩 點間線段的一半長為半徑畫弧，兩弧交于一點，過點 p 以及這個交點作射線，交 ab 于點 h；(2) 利用等腰三角形的三線合一證明 phab 即可【詳解】(1)如圖所示；(2)ph 平分apb，ap

29、hbph，papb，ph直線 l 于 h(等腰三角形的三線合一)，故答案為bph，pb，等腰三角形的三線合一【點睛】本題考查了作圖復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性 質(zhì)和基本作圖方法解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作 圖拆解成基本作圖，逐步操作24（1）水果店第一次購進水果 800 元，第二次購進水果 1200 元；（2）水果每千克售價為 10 元【解析】【分析】（1） 設該水果店兩次分別購買了 x 元和 y 元的水果根據(jù)“購進同一種水果，第二次進貨價格比第一次 每千克便宜了 1 元，所購水果重量恰好是第一次購進

30、水果重量的 2 倍，”、“兩次購進水果共花去了 2000 元”列出方程組并解答；（2） 設該水果每千克售價為 m 元， 則由“售完這些水果獲利不低于 3780 元”列出不等式并解答 【詳解】（1）設水果店第一次購進水果 x 元，第二次購進水果 y 元x +y =2000由題意，得 y x=2 4 -1 4 解之，得 x =800y =1200故水果店第一次購進水果 800 元，第二次購進水果 1200 元.（2）設該水果每千克售價為 m 元，第一次購進水果 800 4=200 千克，第二次購進水果 1200 3=400 千克， 由題意200 (1-30)+400 （1-4）m-2000 378

31、0解之，得 m 10故該水果每千克售價為 10 元.【點睛】此題考查一元一次不等式的應用，二元一次方程組的應用，解題關鍵在于列出方程y x25（1）y =2 x +8；（2）當每件小商品的銷售價定為 200 元或 204 元時，平均每天的銷售利潤可達到 280元；（3）每件小商品降價 8 元時，每天的總利潤最大，最大利潤為 288 元.【解析】【分析】（1） 根據(jù)銷售單價是 210 元時平均每天銷售量是 8 件，而銷售價每降低 2 元，平均每天就可以多售出 4 件，即可得出關系式；（2） 利用每件商品利潤銷量=總利潤，得出關系式求出即可；（3） 由題意得出：w=（210-190-x）（8+2x）進而得出二次函數(shù)的最值即可得出答案.【詳解】解： 與 之間的函數(shù)關系式為y =2 x +8.由題意可得:(2 x +8)(210 -190 -x ) =280.整理得 x2-16 x +60 =0 .解得x =6, x =10 1 2.210 -6 =204（元），210 -10 =200（元）答: