1 交比的定義和性質(zhì)

1、交比 最根本的射影不變量 一、點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比一、點(diǎn)列中四點(diǎn)的交比 定義1. 在拓廣平面上，設(shè)P1, P2, P3, P4為點(diǎn)列l(wèi)(P)中四點(diǎn), 且 P1 P2，固定基點(diǎn)P1, P2 之齊次坐標(biāo)，則記(P1P2,P3P4)表示這四點(diǎn) 構(gòu)成的一個(gè)交比交比. 定義為 1234 (,).PP PP 稱P1, P2為基點(diǎn)對基點(diǎn)對， P3, P4為分點(diǎn)對分點(diǎn)對. 注. P1, P2，P3, P4允許含一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)以及一對相同點(diǎn)； 或者， P1, P2，P3, P4全部是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。 312 412 , , PPP PPP 性質(zhì)1 共線四點(diǎn)的交比值出現(xiàn)0, 1, 三者之一這四點(diǎn)中有 某二點(diǎn)相同. 證明 對P

2、1=P2或P2=P3或P3=P4或P4 = P1進(jìn)行驗(yàn)證即可. 此時(shí), 上 述6個(gè)不同的交比值又只有3組：0, 1, . 性質(zhì)2 設(shè)(P1P2,P3P4 )=r. 當(dāng)改變這四點(diǎn)在交比符號中的次序 時(shí)，交比值變化規(guī)律如下： (1). 1 (2). 1. rr r r rr 換兩對 不變 兩對同換 換一對 改變 換中間或首尾 推論 相異的共線四點(diǎn)構(gòu)成的24個(gè)交比只有6個(gè)不同的值： ,1,. 1 r rr r 及其倒數(shù) 定理2. 設(shè)點(diǎn)列l(wèi)(P)中四點(diǎn)Pi的齊次坐標(biāo)為A+i B (i=1,2,3,4)， 且Pi與B不相同. 則 . )( )( ),( 4132 4231 4321 PPPP 注意： A

3、,B 表示點(diǎn)列l(wèi)(P)上兩點(diǎn)A,B的某一確定的齊次坐標(biāo)， 不可隨意改動. 但是A,B可以是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。 注注：定理2可以作為交比的一般定義. .),( 4132 4231 4321 PPPP PPPP PPPP 交比的初等幾何意義 性質(zhì)性質(zhì)3 如果限于歐氏平面，則上式右邊四個(gè)因式都是兩點(diǎn) 之間的有向距離，即 . )( )( ),( 4132 4231 4321 PPPP 注注：不允許只會這種定義！ 性質(zhì)4 設(shè)),4 , 3 , 2 , 1()(iPlP i 并已知 1234 (,)PP PPk 和其中三點(diǎn)的坐標(biāo). 則第四點(diǎn)的坐標(biāo)可唯一確定. 一直線依次交三點(diǎn)形P1P2P3的三邊P2P3, P3P

4、1, P1P2于Q1, Q2, Q3.在 此三邊上另取點(diǎn)Q1, Q2, Q3, 使 .),(,),(,),( 33 32122 21311 132 kQQPPkQQPPkQQPP 則 . 1,).1 ( 321 3 2 1 kkkQQQ共線 . 1,).2( 321 33 22 11 kkkQPQPQP共點(diǎn) Menelaus定理與Ceva定理. 作業(yè)1 已知(P1P2,P3P4 )=2, P1, P2, P4的坐標(biāo)依次為(1,1,1), (1,1,1), (1,0,1). 求P3的坐標(biāo). 解：設(shè)., 22142113 PPPPPP 則顯然, 1 2 由 . 2 1 ),( 1 2 1 4321

5、 PPPP 可得, 2 1 從而P3的坐標(biāo)為(3,1,3). 作業(yè)2. 設(shè)1,2,3,4,5,6是6個(gè)不同的共線點(diǎn). 證明：若 (12,34)=(14,32), 則(13,24)=-1. (12,34)r(14,32) 1 r r 由題設(shè) 1 r r r 2 2rr 已知四點(diǎn)相異 0r 2r (13,24)11.r 作業(yè)3 已知P1(3,1,1), P2(7,5,1), Q1(6,4,1), Q2(9,7,1). 求(P1 P2, Q1 Q2). 1234 (,).PP PP 31 122 41 122 , , PPP PPP 312 412 , , PPP PPP 12 1234 12 (,).PP PP 3759375904361111 1547043604360436 1111111111110000 112 3QPP 212 3QPP 作業(yè)4. 設(shè)1,2,3,4,5,6是6個(gè)不同的有窮遠(yuǎn)共線點(diǎn). 證明 (1) (12,34)(12,45)(12,53)=1; (2) (12,34)(12,56)=(12,36)(12,54). 13 2414 2515 23 (1)(12,34)(12,45)(12,53)1. 23 1