2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)新教材蘇教版必修第一冊教學(xué)案：第5章 5.1 第1課時　函數(shù)的概念 Word版含解析

1、5.1函數(shù)的概念和圖象第1課時函數(shù)的概念學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1在集合對應(yīng)的基礎(chǔ)上理解函數(shù)的概念，并能應(yīng)用函數(shù)的有關(guān)概念解題(重點、難點)2會求幾種簡單函數(shù)的定義域、值域(重點)通過學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)(1)國家統(tǒng)計局的課題組公布，如果將2005年中國創(chuàng)新指數(shù)記為100，近些年來中國創(chuàng)新指數(shù)的情況如下表所示：年度20082009201020112012201320142015中國創(chuàng)新指數(shù)116.5125.5131.8139.6148.2152.6158.2171.5如果用y表示年度值，i表示中國創(chuàng)新指數(shù)的取值，則i是y的函數(shù)嗎？如果是，這個函

2、數(shù)用數(shù)學(xué)符號可以怎樣表示？(2)利用醫(yī)療儀器可以方便地測量出心臟在各時刻的指標(biāo)值，據(jù)此可以描繪出心電圖，如圖所示醫(yī)生在看心電圖時，會根據(jù)圖形的整體形態(tài)來給出診斷結(jié)果(如根據(jù)兩個峰值的間距來得出心率等)如果用t表示測量的時間，v表示測量的指標(biāo)值，則v是t的函數(shù)嗎？如果是，這個函數(shù)用數(shù)學(xué)符號可以怎樣表示？1函數(shù)的概念函數(shù)的定義一般地，給定兩個非空實數(shù)集合a和b，如果按照某種對應(yīng)關(guān)系f，對于集合a中的每一個實數(shù)x，在集合b中都有唯一的實數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：ab為從集合a到集合b的一個函數(shù)函數(shù)的記法從集合a到集合b的一個函數(shù)通常記為yf(x)，xa函數(shù)的定義域在函數(shù)yf(x)，xa中，所有的x(

3、輸入值)組成的集合a叫做函數(shù)yf(x)的定義域函數(shù)的值域若a是函數(shù)yf(x)的定義域，則對于a中的每一個x(輸入值)，都有一個y(輸出值)與之對應(yīng)，則將所有輸出值y組成的集合y|yf(x)，xa稱為函數(shù)的值域2兩個函數(shù)是同一函數(shù)(1)定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同的兩個函數(shù) (2)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系和定義域都確定后，函數(shù)才能夠確定(3)給定函數(shù)時要指明函數(shù)的定義域，對于用表達式表示的函數(shù)，如果沒有指明定義域，那么，就認為函數(shù)的定義域是指使得函數(shù)表達式有意義的輸入值的集合思考：定義域和值域都相同的函數(shù)是同一個函數(shù)嗎？提示不一定是，如函數(shù)yx，x0,1，和yx2，x0,1定義域和值域都相同，但不是同一個函數(shù)1

4、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)任何兩個集合之間都可以建立函數(shù)關(guān)系()(2)已知定義域和對應(yīng)關(guān)系就可以確定一個函數(shù)()(3)根據(jù)函數(shù)的定義，定義域中的每一個x可以對應(yīng)著不同的y()答案(1)(2)(3)2(1)函數(shù)f(x)的定義域為(2)函數(shù)f(x)的定義域為(3)函數(shù)f(x)(xn)的定義域為(1)x|x10(2)x|x2(3)0,1,2,3,4,5,6,7,8,9(1)x100，x10，即x|x10(2)x20，x2，即x|x2(3)x的取值為0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，即0,1,2,3,4,5,6,7,8,93若f(x)x23x2，則f(1)0f(1)123120

5、4若f(x)x3，x0,1,2,3，則f(x)的值域為3，2，1,0f(0)3，f(1)2，f(2)1，f(3)0函數(shù)的概念【例1】判斷下列對應(yīng)f是否為從集合a到集合b的函數(shù)(1)an，br，對于任意的xa，x；(2)ar，bn，對于任意的xa，x|x2|；(3)ar，b正實數(shù)，對任意xa，x；(4)a1,2,3，br，f(1)f(2)3，f(3)4；(5)a1,1，b0，對于任意的xa，x0思路點撥求解本題的關(guān)鍵是判斷在對應(yīng)關(guān)系f的作用下，集合a中的任意一個元素在集合b中是否都有唯一的元素與之對應(yīng)解(1)對于a中的元素，如x9，y的值為y3，即在對應(yīng)關(guān)系f之下，b中有兩個元素3與之對應(yīng)，不符

6、合函數(shù)的定義，故不能構(gòu)成函數(shù)(2)對于a中的元素x2，在f作用下，|22|b，故不能構(gòu)成函數(shù)(3)a中元素x0在b中沒有對應(yīng)元素，故不能構(gòu)成函數(shù)(4)依題意，f(1)f(2)3，f(3)4，即a中的每一個元素在對應(yīng)關(guān)系f之下，在b中都有唯一元素與之對應(yīng)，依函數(shù)的定義，能構(gòu)成函數(shù)(5)對于集合a中任意一個實數(shù)x，按照對應(yīng)關(guān)系在集合b中都有唯一一個確定的數(shù)0與它對應(yīng)，故是集合a到集合b的函數(shù)1判斷一個對應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)，要從以下三個方面去判斷，即a，b必須是非空數(shù)集；a中任何一個元素在b中必須有元素與其對應(yīng)；a中任一元素在b中必有唯一元素與其對應(yīng)2函數(shù)的定義中“每一個元素x”與“有唯一的元素y”說

7、明函數(shù)中兩變量x，y的對應(yīng)關(guān)系是“一對一”或者是“多對一”而不能是“一對多”1下列對應(yīng)關(guān)系式中是a到b的函數(shù)的有(填序號)ab1,1，xa，yb且x2y21；a1,2,3,4，b0,1，對應(yīng)關(guān)系如圖；ar，br，f：xy；az，bz，f：xy對于項，x2y21可化為y，顯然對任意xa，y值可能不唯一，故不符合對于項，符合函數(shù)的定義對于項，2a，但在集合b中找不到與之相對應(yīng)的數(shù)，故不符合對于項，1a，但在集合b中找不到與之相對應(yīng)的數(shù)，故不符合求函數(shù)的定義域【例2】求下列函數(shù)的定義域(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)x0；(4)f(x)；(5)f(x)ln(x1)；(6)f(x)(x1

8、)lg(x)思路點撥根據(jù)使式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義的條件列不等式(組)，求出x的范圍，就是所求函數(shù)的定義域解(1)要使f(x)有意義，則有3x20，x，即f(x)的定義域為(2)要使f(x)有意義，則x1且x2，即f(x)的定義域為1,2)(2，)(3)要使f(x)有意義，則解得x4且x0，x2，即f(x)的定義域為4，2)(2,0)(0，)(4)要使f(x)有意義，則x22x30解得x3或x1，即f(x)的定義域為(，13，)(5)要使f(x)有意義，則 即 解得x1且x0且x1，即f(x)的定義域為(1,0)(0,1)(1，)(6)要使f(x)lg(x)有意義，則 解得x0且x1，即f(x)

9、的定義域為(，1)(1,0)1求函數(shù)定義域時，不要化簡所給解析式，而是直接從所給的解析式尋找使解析式有意義時自變量滿足的條件2函數(shù)的定義域要用集合或區(qū)間形式表示，這一點初學(xué)者易忽視2求下列函數(shù)的定義域(1)f(x)；(2)f(x)ln(x1)且 xz解(1)要使函數(shù)有意義，只需所以x且x0，所以函數(shù)的定義域為(2)要使函數(shù)有意義，只需所以1x3又xz，所以x0,1,2,3所以函數(shù)的定義域為0,1,2,3求函數(shù)的值域或函數(shù)值【例3】已知f(x)x24x2(1)求f(2)，f(a)，f(a1)的值；(2)求f(x)的值域；(3)若g(x)x1，求f(g(3)的值思路點撥(1)將x2，a，a1代入f

10、(x)即可；(2)配方求值域；(3)先求g(3)再算f(g(3)解(1)f(2)224222，f(a)a24a2，f(a1)(a1)24(a1)2a22a1(2)f(x)x24x2(x2)222，f(x)的值域為2，)(3)g(3)314，f(g(3)f(4)424422在例3中，g(x)x1，求f(g(x)，g(f(x)解f(g(x)g(x)24g(x)2(x1)24(x1)2x22x1，g(f(x)f(x)1x24x21x24x31函數(shù)值f(a)就是a在對應(yīng)關(guān)系f下的對應(yīng)值，因此由函數(shù)關(guān)系求函數(shù)值，只需將f(x)中的x用對應(yīng)的值(包括值在定義域內(nèi)的代數(shù)式)代入即得2求f(g(a)時，一般要

11、遵循由里到外逐層計算的原則3配方法是一種常用的求值域的方法，主要解決“二次函數(shù)型”的函數(shù)求值域抽象函數(shù)求定義域探究問題1在yf(x)中，f(x)的定義域指的是什么？x是什么？提示f(x)的定義域指的是x的范圍，其中x是函數(shù)的自變量2在函數(shù)yf(x1)中，自變量是誰？而它的定義域指的是什么？提示yf(x1)中自變量為x，其定義域指的是x的范圍3如何將函數(shù)yf(x)與yf(x1)中的自變量聯(lián)系起來？提示由于x，x1均為f的作用對象，故二者均應(yīng)在f(x)定義域之中，即yf(x)中x的范圍與yf(x1)中x1的范圍一致【例4】(1)已知函數(shù)yf(x)的定義域為1,4，則f(x2)的定義域為(2)已知函

12、數(shù)yf(x2)的定義域為1,4，則f(x)的定義域為(3)已知函數(shù)yf(x3)的定義域為1,4，則f(2x)的定義域為思路點撥找準(zhǔn)每一個函數(shù)中的自變量，通過括號內(nèi)范圍相同來解決問題(1)1,2(2)3,6(3)(1)由題知對于f(x2)有x21,4，x1,2，故f(x2)的定義域為1,2(2)由題知x1,4，x23,6，f(x)的定義域是3,6(3)由題知x1,4，x34,7，對于f(2x)有2x4,7，x，即f(2x)的定義域為抽象函數(shù)的定義域(1)已知f(x)的定義域，求f(g(x)的定義域：若f(x)的定義域為a，b，則f(g(x)中ag(x)b，從中解得x的取值范圍即為f(g(x)的定

13、義域.(2)已知f(g(x)的定義域，求f(x)的定義域：若f(g(x)的定義域為a，b，即axb，求得g(x)的取值范圍，g(x)的取值范圍即為f(x)的定義域.用較為口語化的語言可以將上述兩類題型的解法合并成兩句話：定義域指自變量的取值范圍.(告訴我們已知什么，求什么)括號內(nèi)范圍相同.(告訴我們?nèi)绾螌l件與結(jié)論聯(lián)系起來3已知函數(shù)yf(x1)的定義域為3,2，則f(x1)的定義域為5,0對于yf(x1)有x3,2，x14，1，在f(x1)中有x14,1，x5,0理解函數(shù)的概念應(yīng)關(guān)注五點(1)“a，b是非空的數(shù)集”，一方面強調(diào)了a，b只能是數(shù)集，即a，b中的元素只能是實數(shù)；另一方面指出了定義域

14、、值域都不能是空集，也就是說定義域為空集的函數(shù)是不存在的(2)理解函數(shù)的概念要注意函數(shù)的定義域是非空數(shù)集a，但函數(shù)的值域不一定是非空數(shù)集b，而是集合b的子集(3)函數(shù)定義中強調(diào)“三性”：任意性、存在性、唯一性，即對于非空數(shù)集a中的任意一個(任意性)元素x，在非空數(shù)集b中都有(存在性)唯一(唯一性)的實數(shù)y與之對應(yīng)這三性只要有一個不滿足，便不能構(gòu)成函數(shù)(4)yf(x)僅僅是函數(shù)符號，不是表示“y等于f與x的乘積”，f(x)表示以x為自變量的函數(shù)，f是確定函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系(5)除f(x)外，有時還用g(x)、u(x)、f(x)、g(x)等符號來表示函數(shù)1下列圖象表示函數(shù)圖象的是()c根據(jù)函數(shù)定義知，對定義域內(nèi)的任意變量x，都有唯一的函數(shù)值y和它對應(yīng)，即作垂直x軸的直線與圖象至多有一個交點(有一個交點即x是定義域內(nèi)的一個變量，無交點即x不是定義域內(nèi)的變量)顯然，只有答案c中圖象符合2下列四組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的一組是()af(x)|x|，g(x)bf(x)，g(x)()2cf(x)，g(x)x1df(x)，g(x)aa中定義域，對應(yīng)關(guān)系都相同，是同一函數(shù)；b中定義域不同；