1變化率與導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)學(xué)案-嚴(yán)新國(guó)

1、函數(shù)的平均變化率導(dǎo)學(xué)案恩施市第一高級(jí)中學(xué)高二年級(jí)理科數(shù)學(xué)嚴(yán)新國(guó)執(zhí)筆【課程學(xué)習(xí)冃標(biāo)】1、知識(shí)與技能：（I）通過大量的實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程， 了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)；（2）理解導(dǎo)數(shù)概念和幾何 意義，能用定義求解簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，會(huì)求曲線在某點(diǎn)處的切線。2、過程與方法： 通過動(dòng)手計(jì)算培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較和歸納能力； 通過問題的探究體會(huì)逼近、類比、以已知探求未知、從特殊到一般的數(shù)學(xué) 思想方法。3、17i感、態(tài)度與價(jià)值觀：通皙運(yùn)詢的觀點(diǎn)體會(huì)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵，使學(xué)生拿握導(dǎo)數(shù)的概念不再困難，從而 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)概念的形成

2、，導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵的理解；難點(diǎn):在平均變化率的妹礎(chǔ)上去探求瞬時(shí)變化率，深刻理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵,通過逼近的方法，引導(dǎo)學(xué)生觀察來突破難點(diǎn)【知識(shí)體系探究】探究（一）平均變化率問題1:有關(guān)氣球膨脹率我們都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程。開始可以輕松的吹進(jìn)氣體，并且 氣球半徑增加的較快；隨著氣球的變大，吹進(jìn)一口氣往往要使岀吃奶的力氣，氣 球大小變化卻不明顯。也就是說隨著氣球內(nèi)宇氣容蜃的增加，氣球的半徑增加趣 來越慢.思考1.你能用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解秫這個(gè)現(xiàn)象嗎？我們先研究|氣球的體枳增 加1L時(shí)，氣球半徑半徑的變化情況。思考2.艸氣球的容量匕增加到內(nèi)時(shí)，氣球的半徑增大的幅度是如何變化的? 氣球的平均膨脹率是多少？問題

3、2：有關(guān)高臺(tái)跳水在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度加單位:加）與起跳后的時(shí)間f （單 位：5）存在函數(shù)關(guān)系 h（t）= -4.9r2+6.5r+10.思考1：如何用運(yùn)動(dòng)員在0GS0.5和1GS2時(shí)的平均速7度粗略地描述其運(yùn) 動(dòng)狀態(tài)?思考2：上面計(jì)算了兩個(gè)時(shí)間段運(yùn)動(dòng)員的平均速度，下面在計(jì)算。拓這段時(shí)間里的平均速度，并思考以下問題：運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)是靜止的嗎？你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題 嗎？知識(shí)歸納：1. 把上述問題進(jìn)行推廣，對(duì)于函數(shù)y = f(x)中的變化率問題可以用式子來表示。對(duì)于函數(shù)y = f(x)9我們把稱為y = /(X)從召到疋的平均變化率。若設(shè)X = &

4、心y =平均變化率可表示為亠倫)7(勺)Xx2 - X2求聞數(shù)平均變化率的步驟:3思考：觀察函數(shù)fCr)的圖彖平均變化率 豈=/(;/()表示什心x2 -X)么？【基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1莎方法技巧探究】 練習(xí)1已知函數(shù)/U)= -x2 +x的圖象上的一點(diǎn)A(-1,-2)及臨近一點(diǎn)B(-l + Ar,-2 + Av),則生=Aa練習(xí)2.求y =疋在x =勺附近的平均變化率。變式題：1 .質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為5 = r2+3 ,則在時(shí)間(3,3 + Ar)中相應(yīng)的平均速度為.2. 物體按照s(r)=3#+什4的規(guī)律作氏線運(yùn)動(dòng)，求在4s附近的平均變化率.3過曲線j=/-(x)=/兩點(diǎn)?(1, 1)和Q (1+Aa

5、, 1+Ay)作曲線的割線,求出 ri A A=0. 1時(shí)割線的斜率.探究(二)導(dǎo)數(shù)的概念問題：通過探究(一的學(xué)習(xí)我們認(rèn)識(shí)到：平均速丿支只能粗略地描述運(yùn)動(dòng)員的 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，它并不能反映某一刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).需要尋找一個(gè)量，能更椿細(xì)地刻 畫運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；如：在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，如果我們知道運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度力(單位：加)與起跳后的時(shí)間(單位：5 )存在關(guān)系加)=-4.9/2+65 + 1(),那么我們就會(huì)計(jì)算任意一段的平均速度：，通過平均速度：來描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但用平均 速度不一怎能反映運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，那么如何求運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度 呢？(瞬時(shí)速度的概念：我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬

6、時(shí)速度)動(dòng)手嘗試：求高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在2秒時(shí)的瞬時(shí)速度&v()時(shí)，在2 + Ar,2這段時(shí)間內(nèi)d()時(shí)，在2,2 +Ar這段時(shí)間內(nèi)/z（2）-/?（2 + Ar）_ 4.9A/2 +I3.IAZ 2-（2 + Ar） _-Ar=一4.9&一 13/z（2 + A/）-/?（2）_ -4.9A/2 -I3.1A; （2 + ） - 2_Az=-4.9Ar - i 3?p|A/=-0.01v =A/ =0.01 時(shí)，V =SA/=-0.001 W, v =當(dāng)A/ = 0.001 時(shí)，v =Ar = - 0.000 1 Hj, v =當(dāng) A/ = 0.000 1 時(shí)，v =S Ar =-0.000 0

7、1 時(shí)，當(dāng)Ar =0.00001 時(shí)，v =1 Ar =-0.000 001 時(shí)，當(dāng) Ar = 0.000 001 時(shí)，v =0 0 O O 0 oO 0 O O 0 0思考I：關(guān)于這些數(shù)據(jù)，下面的判斷對(duì)嗎？(1) 汨/趨近于0時(shí)，即無論/從小于2的一邊，還是/從大于2的一邊趨近于 2時(shí)，平均速度都趨近于一個(gè)確定的值13力/$。(2) 靠近-13.1且比-13.1人的任何一個(gè)數(shù)都可以是某一段2 + A/,2上的平均速 度；(3) 靠近-13.1且比13.1小的任何一個(gè)數(shù)都可以是某一段2,2 + 3上的平均速度；3(4) 13.1表示在2秒附近,運(yùn)動(dòng)員的速度大約是13.1也/$。思考2：跳水運(yùn)動(dòng)

8、員在2秒時(shí)的瞬時(shí)速度與其平均速度之間有何關(guān)系？如何川符 號(hào)表示？跳水運(yùn)動(dòng)員在f的瞬時(shí)速度如何表示？思考3：瞬時(shí)變化率打平均變化率的關(guān)系是怎樣的？函數(shù)y = /(x)在大二勺處的 瞬時(shí)變化率如何表示？知識(shí)歸納：函數(shù) y = y(x) 在 x = x0 處的瞬時(shí)變化率 是，我，記作即 f 億)=lim= Iim 心心)7(“)。0 小亠心 &T0心附注： 導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)yhW在x=x0處的； 定義的形式可以有哪些變化？ 求函數(shù)y = /(x)在兀=忑處的導(dǎo)數(shù)步驟：o【基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1 j方法技巧探究】練習(xí)I (I)求函數(shù)嚴(yán)3啟在尸1處的導(dǎo)數(shù).(2) 求函數(shù)jx)=-x2+x在x = -l附近的平均變化

9、率，并求出在該點(diǎn)處 的導(dǎo)數(shù).練習(xí)2將原油精煉為汽油、柴油、塑膠籌備種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和 加熱，如果第刃i時(shí),原油的溫度(單位：C)為/(x) = x2-7x +15(0x8), 計(jì)算第2力時(shí)和笫6時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義.變式訓(xùn)練：I.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為5 = r2+3,求質(zhì)點(diǎn)在心3的瞬時(shí)速度.2. 求曲線E(x)=在x = l時(shí)的導(dǎo)數(shù).3例2中,計(jì)算第弘時(shí)和第5時(shí),原油溫度的瞬時(shí)變化率,并說明它們的意義.探究(三)導(dǎo)數(shù)的兒何意義問題I：如圖，當(dāng)出(無” J(x”)5 = 1,2,3,4)沿著曲線/(X)趨近于點(diǎn)P(,/(x0).割線的斜率直與切線PT的斜率R冇什么關(guān)

10、系？切線的斜率R為多少？問題乙觀察圖形，(1)此處的切線怎義卩以前學(xué)過的切線定義有什么不同？(2) 曲線在某點(diǎn)處的切線有哪些特點(diǎn)？(3) 如何求過曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率呢？與所學(xué)的“導(dǎo)數(shù)”冇什么關(guān)系?知識(shí)歸納： 導(dǎo)數(shù)的幾何意義:【基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流與方法技巧探究】練習(xí)1 （1）求拋物線y = r過點(diǎn)（1, 1）的切線方程。（2）求雙曲線y = 點(diǎn)（2, *）的切線方程。（3）求拋物線y = x2過點(diǎn)（號(hào)，6）的切線方程。練習(xí)2. （1）如圖，它表示跳水運(yùn)動(dòng)中島度隨時(shí)間變化的函數(shù)朋）4射十6.5“10 的圖象根據(jù)圖彖，請(qǐng)描述、比較曲線朋）在附近的變化情況.（2）如圖,它表示人體血管中藥物濃度伸位：噸

11、加巧隨時(shí)間（單 位:min）變化的函數(shù)圖彖.根據(jù)圖彖，估計(jì)-0. 2, 0. 4, 0. 6, 0. 8時(shí)，血管中藥物濃 度的瞬時(shí)變化率（梢確到0. 1）思考：1.由函數(shù)廠3在尸局處求導(dǎo)數(shù)的過程町以看到，門時(shí)，/（兀）是一個(gè)確定 的數(shù),那么，帕變化時(shí),f（勸是否構(gòu)成了一個(gè)函數(shù)?為什么?2討論函數(shù)/（x）在點(diǎn)兀處的導(dǎo)數(shù)廣（兀八導(dǎo)函數(shù)fx）.導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別9聯(lián)系。知識(shí)歸納：導(dǎo)函數(shù)的形式：學(xué)習(xí)小結(jié)I平均變?cè)坡嗜绾斡?jì)算？瞬時(shí)變化率b平均變化率的關(guān)系是怎樣的？如何用符 號(hào)表不？2. 導(dǎo)數(shù)9瞬時(shí)變化率的關(guān)系是怎樣的？如何用符號(hào)表示？3. 求函數(shù)y = f（x）在處的導(dǎo)數(shù)步驟：“一差；二比；三極限”4 導(dǎo)數(shù)

12、的兒何怠義是什么？5. 函數(shù)/（x）在點(diǎn)心處的導(dǎo)數(shù)/（兀八 導(dǎo)函數(shù)廠（X）、導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別9聯(lián)系是什么？6. 知識(shí)探究中你體會(huì)了哪些數(shù)學(xué)思想?【課后鞏周】1將半徑為彳的球加熱，若球的半徑增加丘則球的體積増加約等于A. /? A氐 4 JiR 卜 RC. 4D.4 用 R32. 一直線運(yùn)動(dòng)的物體，從時(shí)間到/ + &時(shí)，物體的位移為山，那么面竺為A/-0 Z（ ）A.從時(shí)間/到/ + /時(shí)，物體的平均速度；B.在/時(shí)刻時(shí)該物體的瞬時(shí)速度； C 十時(shí)間為&時(shí)物體的速度；D .從時(shí)間/到/ +/時(shí)物體的平均速度.3. 在曲線尸2H-1的圖象上取一點(diǎn)（1, 1）及鄰近一點(diǎn)（1+,1+3）,則冬Ax等于（

13、）A. 4 對(duì)2 A H B. 4+2 &xC. 4 屮 HD. 4+ A x4若曲線尸f3在點(diǎn)（Ao, /U）處的切線方程為2Ay-l=0,則（）a. r （Ao）o b. r （Ao）o c. r g）=o d. r（而 不存在5. 已知命題P：函數(shù)尸的導(dǎo)函數(shù)是常數(shù)函數(shù)；命題Q：函數(shù)尸f3是一次函數(shù), 則命題P是命題Q的（）A充分不必要條件B 必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6. 設(shè)函數(shù)幾0在勺處可導(dǎo)，則lim(乜+力)一門他_力)等于()10hAf (A-o)B.oC.2f (xo) D.y (Xo)7. 若曲線上毎一點(diǎn)處的切線都平行于軸，則此曲線的函數(shù)必是&曲線在點(diǎn)尸(2, 8)處的切線方程是.9. 質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律$ =亦+ 1作直線運(yùn)動(dòng)，若質(zhì)點(diǎn)在/ = 2時(shí)的瞬時(shí)速度是X,則d的值為.10. 已知質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律5=2/2+3做直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：cm,時(shí)問單位：s),求 質(zhì)點(diǎn)M在匸3時(shí)的瞬時(shí)速度.11. 求函數(shù)Jlx)