§2.4.1平面向量的數(shù)量積

1、 2.4平面向量的數(shù)量積第7課時(shí)一、平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義教學(xué)目的：1掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；3了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題；4掌握向量垂直的條件.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積定義教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類型：新授課教 具：多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析：本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對(duì)于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識(shí)主要知識(shí)點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義； 平面向量數(shù)量積的 5個(gè)重

2、要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運(yùn) 算律教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1. 向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù) 入，使b =入 a I 2平面向量基本定理：如果 ei , e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 入1,入2使a=入心+入2e23. 平面向量的坐標(biāo)表示分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量 i、j作為基底.任作一個(gè)向量a，由平面向 量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得a = xi yj把（x,y）叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作 a=（x, y）4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算若 a =(xi, yj , b =(X2”2

3、)，則 a b =區(qū) x?,yi y?) , a - b =(捲 - x?,力 - y?),a = ( x, y).右 A(Xi, yi ) , B(x2, y2)，則 AB = x2 Xi, y2 yi5. a / b ( b才0 )的充要條件是xiy2-X2yi=06線段的定比分點(diǎn)及入P1, P2是直線I上的兩點(diǎn)，P是I上不同于Pi, P2的任一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)使pip =入PP2 ,入叫做點(diǎn)p分R P2所成的比，有三種情況入0（內(nèi)分）（外分）入0（入-1）（外分）入0 （-1入0）7.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若點(diǎn)R 1 （xi, yi） , P2 （X2, y2）,入為實(shí)數(shù)，且 RP =入PR，則

4、點(diǎn) R的坐標(biāo)為（占,$），我們稱入為點(diǎn)P分乖所成的比.8點(diǎn)P的位置與入的范圍的關(guān)系: 當(dāng)40時(shí)，RP與PF2同向共線，這時(shí)稱點(diǎn)P為PP2的內(nèi)分點(diǎn). 當(dāng) 衣0 （九式一1）時(shí)，PiP與PP2反向共線，這時(shí)稱點(diǎn) p為PP2的外分點(diǎn)9線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,設(shè) OR可得OP = a bi +扎=a ,i0.力做的功：W = |F|s|cos K v是F與s的夾角、講解新課:i. 兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量a與b ,作OA = a , OB = b，則/ AOB = 0 （0 0n叫a與b的 夾角說明：（i）當(dāng)0=0時(shí)，a與b同向；（2）當(dāng)0= n時(shí)，a與b反向；(

5、3) 當(dāng)0= 一時(shí)，a與b垂直，記ab;2(4) 注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的.范圍0 WW 180且a b=0，不能推出而一般 a與c不共3“投影”的概念：作圖2. 平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角是0，則數(shù)量a|b|cosT叫a與b的數(shù)量積，記作 a b,即有ab = |a|b|cosv(o on .并規(guī)定o與任何向量的數(shù)量積為o.探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別(1 )兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由COST的符號(hào)所決定.(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a b；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積 ax b,而ab是兩個(gè)向

6、量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分符號(hào)“ ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“x”代替.(3)在實(shí)數(shù)中，若a-=0，且ab=0，則b=0 ;但是在數(shù)量積中，若a=0,b=0.因?yàn)槠渲衏os：有可能為0.(4 )已知實(shí)數(shù) a、b、c(b 亍 0)，貝U ab=bc = a=c.但是 a b = be a = c如右圖：ab = |a|b|cos- = |b|OA|, b c = |b|c|cos = |b|OA|二 a b = bc 但 a=c在實(shí)數(shù)中，有(ab)c = a(b c)，但是(ab)ca(bc)顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥c c共線的向量，而右端是與 a共線的向量, 線.定義：|b|

7、cosv叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)動(dòng)銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)動(dòng)鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)二為直角時(shí)投影為0;當(dāng)二=0時(shí)投影為|b|;當(dāng)二=180時(shí)投影為-|b|.4. 向量的數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積a b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cosyi的乘積.5. 兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量.1 ea = a e =|a|cosv2 a_b：= a b = 03 當(dāng)a與b同向時(shí)，a b = |a| |b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a b = -|a|b|.特別的a a = |a|2或I a |二.a aCOST =a b|a|b|5 |a

8、b| w |a|b|三、講解范例:例1已知|a|=5,例2已知|a|=6,例3已知|a|=3,|b|=4, a 與 b 的夾角 0 =120,求 a b.|b|=4, a 與 b 的夾角為 60o 求(a+2b) (a-3b).|b|=4, 且a與b不共線，k為何值時(shí)，向量 a+kb與a-kb互相垂直例4判斷正誤，并簡(jiǎn)要說明理由 a 0 = 0; 0 a = 0; 0 AB = BA :丨 a b| = | a|b| ;若 aQ 則對(duì)任一非零b有a bO;a b = 0,貝U a與b中至少有一個(gè)為 0;對(duì)任意向量 a , b , c都有（a b ） c= a （ b c）;a與b是兩個(gè)單位向量

9、，則 a 2 =b.解：上述8個(gè)命題中只有正確；對(duì)于：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，應(yīng)有0a = O;對(duì)于：應(yīng)有Oa = 0;對(duì)于：由數(shù)量積定義有丨a b | = | a|b| cos 01 | a| b |,這里 0是a與b的夾角，只有 0=0或0= n時(shí)，才有| a b | = | a | | b | ;對(duì)于：若非零向量 a、b垂直，有a b=0;對(duì)于：由a b = 0可知a丄b可以都非零；對(duì)于：若a與c共線，記a=入貝U a b =（入）b=入（cb） =入（b C ,（ a b ） c=入（b c c=（ b c 入 c（ b c） a若a與c不共線，則（a b ） c* （b c） a

10、 .評(píng)述：這一類型題，要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律例6已知| a|=3,| b|=6，當(dāng)a/b，a丄b，a與b的夾角是60時(shí)，分 別求a b .解：當(dāng)a / b時(shí)，若a與b同向，則它們的夾角 0=0 a b=| a | | b | cos0= 3X6X1 = 18; a b =| a | b | cos180= 30X （-1 ）= 18; 當(dāng)a b時(shí)，它們的夾角0= 90,a b = 0； 當(dāng)a與b的夾角是60時(shí)，有1a b=| a| b | cos60= 30X_ = 90 180,因此，當(dāng) a / b2評(píng)述：兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是時(shí)，有0或180兩種可

11、能.四、課堂練習(xí)：1已知|a|=1, |b|=、2，且（a-b）與a垂直，則a與b的夾角是（ ）A.60 B.30 C.135 D. 4 5 2. 已知|a|=2, |b|=1, a與b之間的夾角為，那么向量 m=a-4b的模為（）3A.2B.2、3C.6D.123已知a、b是非零向量，則|a|=|b是（a+b）與（a-b）垂直的（）A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4已知向量 a、b 的夾角為一，|a|=2, |b|=1，則 |a+b| |a-b|=35. 已知a+b=2i-8j, a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量， 那么a b=.26. 已知 a丄 b、c 與 a、b 的夾角均為 60 且 |a|=1, |b|=2, |c|=3，則（a+2b-c） =.7. 已知 |a|=1, |b