概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)答案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)答案習(xí)題答案第 1 章三、解答題1設(shè) p(ab) = 0，則下列說法哪些是正確的？(1) a 和 b 不相容；(2) a 和 b 相容；(3) ab 是不可能事件；(4) ab 不一定是不可能事件；(5) p(a) = 0 或 p(b) = 0(6) p(a b) = p(a)解：(4) (6)正確.2設(shè) a，b 是兩事件，且 p(a) = 0.6，p(b) = 0.7，問：(1) 在什么條件下 p(ab)取到最大值，最大值是多少？(2) 在什么條件下 p(ab)取到最小值，最小值是多少？解：因?yàn)閜( ab) p( a) +p( b) -p( a u b)，又因?yàn)閜( b) p

2、( a u b) 即 p( b) -p( a u b) 0.所以(1) 當(dāng)p( b) =p( a u b)時(shí) p(ab)取到最大值，最大值是p( ab) =p( a)=0.6.(2)p( a u b) =1時(shí) p(ab)取到最小值，最小值是 p(ab)=0.6+0.7-1=0.3.3已知事件 a，b 滿足p ( ab )=p ( ab )，記 p(a) = p，試求 p(b)解：因?yàn)閜 ( ab )=p ( ab )，即p ( ab )=p ( a u b ) =1 -p ( a u b ) =1 -p ( a) -p ( b ) +p ( ab )，所以p ( b) =1 -p ( a) =

3、1 -p.4已知 p(a) = 0.7，p(a b) = 0.3，試求p ( ab )解：因?yàn)?p(a b) = 0.3，所以 p(a ) p(ab) = 0.3, p(ab) = p(a ) 0.3,又因?yàn)?p(a) = 0.7，所以 p(ab) =0.70.3=0.4，p ( ab )=1 -p ( ab ) =0.6.5 從 5 雙不同的鞋子種任取 4 只，問這 4 只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少？解：顯然總?cè)》ㄓ衝=c410種，以下求至少有兩只配成一雙的取法k：法一：分兩種情況考慮：k=c15c24(c12)2+c25其中：c1c 25 4(c12)2為恰有 1 雙配對的方法數(shù)

4、法二：分兩種情況考慮：k=c 1 5c 1 c1 8 62!+c25其中：c15c 1 c1 8 62!為恰有 1 雙配對的方法數(shù)法三：分兩種情況考慮：k=c15(c28-c14) + c25其中：c15(c28-c14)為恰有 1 雙配對的方法數(shù)法四：先滿足有 1 雙配對再除去重復(fù)部分：k=c1c 25 8-c25法五：考慮對立事件：k=c 410-c45(c12)4其中：c45(c12)4為沒有一雙配對的方法數(shù)法六：考慮對立事件：k=c 4 -10c 1 c1 c1 c1 10 8 6 44!其中：c 1 c1 c1 c1 10 8 6 44!為沒有一雙配對的方法數(shù)所求概率為k 13p =

5、 =c 4 2110.6在房間里有 10 個(gè)人，分別佩戴從 1 號到 10 號的紀(jì)念章，任取 3 人記錄其紀(jì)念章的號碼求： (1) 求最小號碼為 5 的概率；(2) 求最大號碼為 5 的概率解：(1)法一：p =c 25c 310=112，法二：p =c 1 a 2 1 3 5 =a3 1210(2)法二：p =c 2 14 =c 3 2010，法二：p =c 1 a 2 13 4 =a3 2010232x7將 3 個(gè)球隨機(jī)地放入 4 個(gè)杯子中去，求杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別為 1，2，3 的概率 解：設(shè) m m m 表示杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別為 1，2，3 的事件，則1, 2, 3p ( m )

6、 = 1a 3 34 = , p( m ) = 4 3 8c2 a 2 93 4 = , p ( m ) = 43 16c 1 14 =43 168設(shè) 5 個(gè)產(chǎn)品中有 3 個(gè)合格品，2 個(gè)不合格品，從中不返回地任取 2 個(gè)，求取出的 2 個(gè)中全是合格品， 僅有一個(gè)合格品和沒有合格品的概率各為多少？解：設(shè) m m m 分別事件表示取出的 2 個(gè)球全是合格品，僅有一個(gè)合格品和沒有合格品，則 2, 1, 0p( m ) = 2cc2325=0.3 , p ( m ) =1c 1c 13 2c 25=0.6 , p ( m ) =1cc2225=0.19口袋中有 5 個(gè)白球，3 個(gè)黑球，從中任取兩個(gè)，

7、求取到的兩個(gè)球顏色相同的概率解：設(shè) m =“取到兩個(gè)球顏色相同”，m =“取到兩個(gè)球均為白球”，m =“取到兩個(gè)球均為黑球”， 1 1 2則m=m u m 且m i m =f1 2 1 2.所以p( m ) =p ( m u m ) =p( m ) +p ( m ) =1 2 1 2cc2528+cc232813= .2810 若在區(qū)間 (0，1)內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，求事件“兩數(shù)之和小于 6/5”的概率解：這是一個(gè)幾何概型問題以 x 和 y 表示任取兩個(gè)數(shù)，在平面上建立 xoy 直角坐標(biāo)系，如圖. 任取兩個(gè)數(shù)的所有結(jié)果構(gòu)成樣本空間 w = (x，y)：0 x，y 1事件 a =“兩數(shù)之和小于 6/5

8、”= (x，y) w ： x + y 6/5因此p( a) =a的面積w的面積=1 4 1 - 2 5 17 =1 25圖？11隨機(jī)地向半圓0 y 2ax -x2（ a 為常數(shù)）內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與 軸的夾角小于p4的概率x解：這是一個(gè)幾何概型問題以 x 和 y 表示隨機(jī)地向半圓內(nèi)擲一點(diǎn)的坐標(biāo)，q表示原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與 軸的夾角，在平面上建立 xoy 直角坐標(biāo)系，如圖 .隨機(jī)地向半圓內(nèi)擲一點(diǎn)的所有結(jié)果構(gòu)成樣本空間xa的面積 2 4 1 1w=(x，y)：0 x 2a,0 y 2ax -x2事件 a =“原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與 軸的夾角小于p4

9、”=(x，y)：0 x 2 a,0 y 2 ax -x2,0 qp4因此1 1a 2 + pa2p ( a) = = = + w的面積 1 p 2pa2212已知1 1 1p ( a) = , p ( b a) = , p ( a b ) = ，求 p ( a u b ) 4 3 2解：p ( ab ) =1 1 1p ( a) p ( b a) = =4 3 12, p ( b ) =p ( ab ) 1 1 1 = = ,p ( a | b ) 12 2 6p ( a u b) =p( a) +p ( b) -p ( ab ) =1 1 1 1+ - = .4 6 12 313設(shè) 10 件

10、產(chǎn)品中有 4 件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，則另 一件也是不合格品的概率是多少？解：題中要求的“已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率”應(yīng)理解為 求“已知所取兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品，則兩件均為不合格品的概率”。設(shè) a=“所取兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品”，b=“兩件均為不合格品”；p( a) =1 -p ( a) =1 -c 26c 2102 c 2 = ， p ( b ) = 43 c 210=215，p ( b | a) =p ( ab ) p( b ) 2 2 1 = = / =p ( a) p ( a) 15 3 514

11、有兩個(gè)箱子，第 1 箱子有 3 個(gè)白球 2 個(gè)紅球，第 2 個(gè)箱子有 4 個(gè)白球 4 個(gè)紅球，現(xiàn)從第 1 個(gè)箱子中隨機(jī)地取 1 個(gè)球放到第 2 個(gè)箱子里，再從第 2 個(gè)箱子中取出一個(gè)球，此球是白球的概率是多少？已知上 述從第 2 個(gè)箱子中取出的球是白球，則從第 1 個(gè)箱子中取出的球是白球的概率是多少？解：設(shè) a=“從第 1 個(gè)箱子中取出的 1 個(gè)球是白球”， b=“從第 2 個(gè)箱子中取出的 1 個(gè)球是白球”，則p( a) =c 1 3 2 2 = , p( a ) =c 1 5 55，由全概率公式得i231231231223 c 1 2 c 1 23p( b) =p( a) p( b | a)

12、 +p ( a ) p ( b | a ) = 5 + 4 = ,5 c 1 5 c 1 45 9 9由貝葉斯公式得p( a | b ) =p( a) p( b | a) 3 c= p( b) 5 c151923 15/ = .45 2315將兩信息分別編碼為 a 和 b 傳遞出去，接收站收到時(shí)， a 被誤收作 b 的概率為 0.02，而 b 被誤收作 a 的概率為 0.01，信息 a 與信息 b 傳送的頻繁程度為 2：1，若接收站收到的信息是 a，問原發(fā)信息 是 a 的概率是多少？解：設(shè) m=“原發(fā)信息是 a”， n=“接收到的信息是 a”，已知2p ( n | m ) =0.02, p (

13、 n | m ) =0.01, p ( m ) = .3所以1p ( n | m ) =0.98, p ( n | m ) =0.99, p( m ) = ,3由貝葉斯公式得p ( m | n ) =p ( m ) p ( n | m ) 2 2 1 196= 0.98 ( 0.98 + 0.01) = .p ( m ) p ( n | m ) +p ( m ) p ( n | m ) 3 3 3 19716三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為 此密碼譯出的概率是多少？解：設(shè) a =“第 i 個(gè)人能破譯密碼”，i=1,2,3.1 1 1, ,5 3 4，問三人中至少有一人能將已

14、知p ( a11 1 1 4 2 3 ) = , p( a ) = , p ( a ) = , 所以 p( a ) = , p( a ) = , p ( a ) = ,5 3 4 5 3 4至少有一人能將此密碼譯出的概率為4 2 3 31 -p ( a a a ) =1 -p ( a ) p( a ) p ( a ) =1 - = .5 3 4 517設(shè)事件 a 與 b 相互獨(dú)立，已知 p(a) = 0.4，p(ab) = 0.7，求p ( ba).解：由于 a 與 b 相互獨(dú)立，所以 p(ab)=p(a)p(b),且p(ab)=p(a)+ p(b) - p(ab)= p(a)+ p(b) -

15、 p(a)p(b)將 p(a) = 0.4，p(ab) = 0.7 代入上式解得 p(b) = 0.5，所以bp ( b a) =1 -p ( b a) =1 -p ( ab ) p ( a) p ( b ) =1 -p ( a) p ( a)=1 -p ( b ) =1 -0.5 =0.5.或者,由于 a 與 b 相互獨(dú)立 ,所以 a 與 相互獨(dú)立，所以p ( b a) =p( b ) =1 -p ( b ) =1 -0.5 =0.5.18甲乙兩人獨(dú)立地對同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為 0.6 和 0.5，現(xiàn)已知目標(biāo)被命中，則它是甲 射中的概率是多少？解：設(shè) a=“甲射擊目標(biāo)”， b=“乙

16、射擊目標(biāo)”，m=“命中目標(biāo)”，已知 p(a)=p(b)=1,p ( m a) =0.6, p ( m b) =0.5,所以p ( m ) =p ( ab u ab u ab ) =p ( ab ) +p ( ab ) +p ( ab ).由于甲乙兩人是獨(dú)立射擊目標(biāo)，所以p ( m ) =p ( a) p ( b ) +p ( a ) p ( b ) +p ( a) p ( b ) =0.6 0.5 +0.4 0.5 +0.6 0.5 =0.8.p ( a | m ) =p ( am ) p ( a) p ( m | a) 10.6= = =0.75 p ( m ) p ( m ) 0.819某

17、零件用兩種工藝加工，第一種工藝有三道工序，各道工序出現(xiàn)不合格品的概率分別為 0.3，0.2， 0.1；第二種工藝有兩道工序，各道工序出現(xiàn)不合格品的概率分別為 0.3，0.2，試問：(1) 用哪種工藝加工得到合格品的概率較大些？(2) 第二種工藝兩道工序出現(xiàn)不合格品的概率都是 0.3 時(shí)，情況又如何？解：設(shè) a =“第 1 種工藝的第 i 道工序出現(xiàn)合格品”， i=1,2,3； b =“第 2 種工藝的第 i 道工序出現(xiàn)合 i i格品”，i=1,2.（1）根據(jù)題意，p(a )=0.7，p(a )=0.8，p(a )=0.9，p(b )=0.7,p(b )=0.8,1 2 3 1 2第一種工藝加工

18、得到合格品的概率為p(a a a )= p(a )p(a )p(a )= 1 2 3 1 2 3第二種工藝加工得到合格品的概率為0.7 0.8 0.9 =0.504,p(b b )= p(b )p(b )= 1 2 1 20.7 0.8=0.56,可見第二種工藝加工得到合格品的概率大。（2）根據(jù)題意，第一種工藝加工得到合格品的概率仍為 0.504，而 p(b )=p(b )=0.7,1 2第二種工藝加工得到合格品的概率為p(b b )= p(b )p(b )= 1 2 1 2可見第一種工藝加工得到合格品的概率大。0.7 0.7=0.49.1設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件 a，b 和 c 滿足條件 ab

19、c = ，9p ( a u b u c ) =，求 p(a)16p ( a)1=p ( b ) =p (c ) ,2且已知解：因?yàn)?abc = ，所以 p(abc) =0,因?yàn)?a，b，c 兩兩相互獨(dú)立，p( a)=p( b) =p (c ),所以p ( ab ) +p ( bc ) +p ( ac ) =p ( a) p ( b ) +p ( b ) p (c ) +p ( a) p (c ) =3 p ( a)2由加法公式p( a u b u c ) =p( a) +p ( b ) +p (c ) -p ( ab) -p ( bc ) -p ( ac ) +p ( abc )得3p( a)

20、 -3 p ( a)2 =916即4 p( a) -34 p ( a) -1 =01 1p ( a) , 得 p( a) = . 考慮到2 42設(shè)事件 a，b，c 的概率都是12，且p ( abc ) =p ( abc )，證明：證明：因?yàn)?p ( abc ) =p( ab ) +p ( ac ) +p ( bc ) - p ( a b c)=p ( abc )，所以12p( abc ) =1 -p ( a u b u c ) =1 - p( a) +p ( b) +p(c ) -p ( ab) -p ( bc ) -p ( ac ) +p ( abc )將p ( a)=p ( b ) =p

21、(c ) =12代入上式得到3p ( abc ) =1 - -p ( ab ) -p ( bc ) -p ( ac ) +p ( abc )2整理得12 p ( abc ) =p ( ab ) +p ( bc ) +p ( ac ) - .23設(shè) 0 p(a) 1，0 p(b) 0為參數(shù)，k = 0，1，4.5.11 +lf ( x) = 1b -a 0, a x b 其它6.f ( x ) =12 pse-( x -m) 2s2, -x+7.j(x) =12 pe-x 22, -x +8.f(b -ms) -f(a -ms)9.x-112pi0.40.40.2分析：由題意，該隨機(jī)變量為離散型

22、隨機(jī)變量，根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)求法，可觀察出隨機(jī) 變量的取值及概率。910.64分析：每次觀察下基本結(jié)果“x1/2 ”出現(xiàn)的概率為2- f ( x ) dx =22xdx =014，而本題對隨機(jī)變量 3 0 00a y-x= y 1x 取值的觀察可看作是 3 重伯努利實(shí)驗(yàn)，所以1 1 9p y =2 =c 2 ( ) 2 (1 - ) 3-2 =4 4 6411.x -1 2.2 -1p x 2.2 =p =f( 2 2 2.2 -12) =0.7257,-1.6 -1 x -1 5.8 -1 5.8 -1 -1.6 -1p -1.6 x 5.8 =p =f( ) -f( 2 2 2

23、2 2=f(2.4) -f(-1.3) =f(2.4) +f(1.3) -1 =0.8950,同理， p| x | 3.5 =0.8822.)12. y -1 g ( y ) =p y =3 x +1 y =p x =f ( 3 y -13).13.1348，利用全概率公式來求解：py=2=py=2x=1px=1+py=2x=2px=2 +py=2x =3px=3+py=2x=4px=41 1 1 1 1 1 1 13=0 + + + = .4 2 4 3 4 4 4 48二、單項(xiàng)選擇題：1. b，由概率密度是偶函數(shù)即關(guān)于縱軸對稱，容易推導(dǎo)f(-a)=-a-f ( x ) dx = f ( x

24、)dx - - -a1f ( x )dx = -2-a1f ( x )dx = -20f ( x )dx2. b，只有 b 的結(jié)果滿足 f ( +)=lim f ( x) =1 x +3. c，根據(jù)分布函數(shù)和概率密度的性質(zhì)容易驗(yàn)證4. d，y=2, x 2 x , x 2，可以看出y不超過 2，所以1, y 2f ( y) =p y y =p x y , y 21, y 2 e j dx, y 2 0 q=1, y 2 -y , 1-e q , y 0，可以看出，分布函數(shù)只有一個(gè)間斷點(diǎn) .5. c, 事件的概率可看作為事件 a（前三次獨(dú)立重復(fù)射擊命中一次）與事件 b（第四次命中）同時(shí)發(fā)生的概

25、率，即p =p ( ab ) =p ( a) p ( b ) =c13p (1 -p )3 -2p.三、解答題 （a）1(1)x 1 2 3 4 5 6pi1136936736536336136分析：這里的概率均為古典概型下的概率，所有可能性結(jié)果共 36 種，如果 x=1，則表明兩次中至少有一點(diǎn)數(shù)為 1，其余一個(gè) 1 至 6 點(diǎn)均可，共有c126 -1 （這里 c 1 指任選某次點(diǎn)數(shù)為 1，6 為另一次有26 種結(jié)果均可取，減 1 即減去兩次均為 1 的情形，因?yàn)閏126多算了一次）或c125 +1種，故c 1 6 -1 c 1 5 +1 11 p x =1 = 2 = 2 =36 36 36

26、,其他結(jié)果類似可得.(2)0 ，x 1px =1，1x 2p x =1 +px =2，2 x 3f ( x) =p x =1 +px =2 +px =3，3 x 4px =1 +px =2 +px =3 +px =4，4 x 5p x =1 +px =2 +px =3 +px =4 +px =5，5 x 6 1 ，x 60 ，x 11136，1x 220 ，2 x 3 3627= ，3 x 4 3632，4 x 5 3635，5 x 6 361 ，x 621px =-1，-1x 2 4 2 22 i15 1i23xp-1 912512691126i注意，這里 x 指的是贏錢數(shù)， x 取 0-1

27、 或 100-1，顯然p x = 99=2 1=c 5 12610.3k =0alkk!=ae-l=1 ，所以 a =e-l.4(1)(2)0，x -10，x -1 ，-1x 2，f ( x ) = =px =-1 +px =2，2 x 3 3，2x 31，x 3 41，x 3 1 1 3 5 p x =p x =-1 = 、 p x =p x =2 = 2 4 2 2 12、p2x 3=px=2ux=3=px=2+px=3=34；5(1)1 1 1p x =偶數(shù) = + +l+2 2 2 4 2 2 i1+l =limi 11- 211 -2 2=13，(2)px5=1-px4=1- =16

28、 16，(3)px=3的倍數(shù)= 12 3ii =1=limi12 3 1 1- 1=1 71 -2 3.6(1)x p (0.5t)=p(1.5)px=0=e-1.5.(2)0.5t =2.5px1=1-px=0=1-e-2.5.7解：設(shè)射擊的次數(shù)為 x，由題意知x b (400，0.2)px2=1-px1=1-1k =0ck4000.02k0.98400 -k( )pp05dx + 0dx = x =21 -1k =08 kk !e-8=1 -0.28 =0.9972， 其 中 8=400 0.02.8解：設(shè) x 為事件 a 在 5 次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)， 則指示燈發(fā)出信號的概率x b (5，0.3)p =px3=1-px10=1-f(10) =e-2，y b 5，e -2則py=k =c k ( e -2 ) k (1 5-e -2 ) 5 -k , k=0,1, 5py 1 =1- py =0 =1 -（1-e-2）5=0.516710. (1)、由歸一性知：1 =+-f ( x)dx =2p-2a cos xdx =2a ，所以 a =12.(2)、p0 x p4 =p401 1 2 cos xdx = sin x | 4 =2 2 4.11. 解 （1）由 f(x)在 x=1 的連續(xù)性可得lim f ( x) =lim