1-3函數(shù)的一般概念

1、1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 1-3函數(shù)的一般概念 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 1.3 函數(shù)的一般概念 映射映射 函數(shù)的概念函數(shù)的概念 幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 一、映射一、映射 定義定義1 1：設(shè)設(shè)X 與與 Y 是兩個(gè)非空集合，若對是兩個(gè)非空集合，若對 X 中的每一個(gè)元素中的每一個(gè)元素 x，均可找到，均可找到 Y 中唯一確定的中唯一確定的 元素元素 y 與之對應(yīng)，則稱這個(gè)對應(yīng)是集合與之對應(yīng)，則稱這個(gè)對應(yīng)是集合X 到集合到集合 Y 的一個(gè)映射，記

2、為的一個(gè)映射，記為 f ，或者更詳細(xì)地寫，或者更詳細(xì)地寫 YXf： 將將 x 的對應(yīng)元的對應(yīng)元 y 記作記作)(: )(xfyxxf 1.映射的概念 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 并稱并稱 y 為映射為映射 f 下下 x 的的像像，而，而 x 稱為映射稱為映射 f 下下 y 的的 原像原像(或稱為或稱為逆像逆像). 集合集合 X 稱為映射稱為映射 f 的的定義域定義域， 記作記作 XD f ，而，而 X 的所有元素的像的所有元素的像f (x) 的集合的集合 , )(,|XxxfyYyy 稱為映射稱為映射 f 的的值域值域，記為，記為)(XfRf或或 1-3函數(shù)的一般概念函

3、數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 概括起來，構(gòu)成一個(gè)映射必須具備下列三概括起來，構(gòu)成一個(gè)映射必須具備下列三 個(gè)個(gè)基本要素基本要素： ；，即定義域，即定義域集合集合XDX f )1( ；，即限制值域的范圍：，即限制值域的范圍：集合集合YRY f )2( ：對應(yīng)規(guī)則對應(yīng)規(guī)則 f)3(，使每個(gè)使每個(gè)Xx 有唯一有唯一 確定的確定的 y=f (x) 與之對應(yīng)與之對應(yīng). 需要指出的是：需要指出的是： （1）映射要求元素的像必須是唯一的）映射要求元素的像必須是唯一的. （2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的）映射并不要求元素的逆像也是唯一的. 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 定義定義2 2

4、： 設(shè)設(shè) f 是集合是集合X 到集合到集合Y 的一個(gè)映射，的一個(gè)映射， 若若 f 的逆像也是唯一的，即對的逆像也是唯一的，即對X 中的任意兩中的任意兩 個(gè)不同元素個(gè)不同元素 x1 x2 ，它們的像，它們的像 y1 與與 y2 也滿也滿 足足 y1 y2 ，則稱，則稱 f 為為單射單射； 如果映射如果映射 f 滿足滿足 Rf = Y ，則稱，則稱 f 為為滿射滿射； 如果映射如果映射 f 既是單射，既是單射， 又是滿射，則稱又是滿射，則稱 f 為為雙射雙射（又稱一一對應(yīng)（又稱一一對應(yīng) ）. 2 一一對應(yīng) 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 3.逆映射逆映射 逆映射：逆映射： 如果

5、映射如果映射 f 既是單射，又是滿射，則既是單射，又是滿射，則 ，對應(yīng)關(guān)系，對應(yīng)關(guān)系，于是，于是是唯一確定的是唯一確定的的的 即滿足方程即滿足方程它的逆像它的逆像對任一對任一 )( (, xyxf XxYRy f )(yxfxy XRg f ： 的的稱稱之之為為，上上的的一一個(gè)個(gè)映映射射到到構(gòu)構(gòu)成成了了fXR f , 1 f記為記為逆映射，逆映射，值值域域?yàn)闉槠淦涠ǘx義域域?yàn)闉? 1 f f RD . 1 XR f 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 4.4.復(fù)合映射：復(fù)合映射： 那就可以構(gòu)造出一個(gè)那就可以構(gòu)造出一個(gè) )( 1 xgux UXg ： 和和 )( 2 ufyu

6、YUf ： , 2fg DUR 如如果果 新的對應(yīng)關(guān)系新的對應(yīng)關(guān)系 )( xgfyx YXgf ： 的的和和也是一個(gè)映射，稱之為也是一個(gè)映射，稱之為gf 復(fù)合映射復(fù)合映射. . 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 二二 函數(shù)概念函數(shù)概念 函數(shù)是整個(gè)高等數(shù)學(xué)中最基本的研究函數(shù)是整個(gè)高等數(shù)學(xué)中最基本的研究對對象象, , 可以可以說說數(shù)學(xué)分析就是研究函數(shù)的數(shù)學(xué)分析就是研究函數(shù)的. .因此我因此我們對們對 函數(shù)的概念以及常函數(shù)的概念以及常見見的一些函數(shù)的一些函數(shù)應(yīng)應(yīng)有一個(gè)清楚有一個(gè)清楚 的的認(rèn)識認(rèn)識. . 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 例例 圓內(nèi)接正多邊形的周長圓

7、內(nèi)接正多邊形的周長 n nrS n sin2 , 5 , 4 , 3 n 3 S5 S 4 S6 S 圓內(nèi)接正圓內(nèi)接正n 邊形邊形 O r n ) 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 因變量因變量自變量自變量 .),()( ff DxxfyyXfR RDfRD :，則則稱稱映映射射設(shè)設(shè)數(shù)數(shù)集集 記記為為上上的的函函數(shù)數(shù)為為定定義義在在,D )(xfy D 稱為稱為定義域，定義域，記作記作Df ，即，即 Df = D . 函數(shù)值的全體構(gòu)成的數(shù)集稱為函數(shù)值的全體構(gòu)成的數(shù)集稱為值域，值域，記為：記為： ：定義定義. 1 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 ( ( )

8、) 0 x )( 0 xf 對應(yīng)法則對應(yīng)法則f 函數(shù)的兩要素函數(shù)的兩要素: : 定義域定義域與與對應(yīng)法則對應(yīng)法則. x y f XD YfX 2 1xy 例例如如， 1 ,1: D 2 1 1 x y 例例如如， )1 ,1(: D 自變量自變量 因變量因變量 約定約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意定義域是自變量所能取的使算式有意 義的一切實(shí)數(shù)值義的一切實(shí)數(shù)值. 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 定義定義: : .)( ),(),( 的的圖圖形形函函數(shù)數(shù) 稱稱為為點(diǎn)點(diǎn)集集 xfy DxxfyyxC ox y ),(yx x y W D 如果自變量在定如果自變量在定 義域

9、內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值 時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值總時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值總 是只有一個(gè)，這種函是只有一個(gè)，這種函 數(shù)叫做單值函數(shù)，否數(shù)叫做單值函數(shù)，否 則叫做多值函數(shù)則叫做多值函數(shù) 例例如如， 222 ayx 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 表示函數(shù)的主要方法有三種: 表格法、圖形法、解 析法(公式法). 用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念, 坐標(biāo)平 面上的 函數(shù)的表示法 .)( ),(),( 的的圖圖形形函函數(shù)數(shù) 稱稱為為點(diǎn)點(diǎn)集集 xfy DxxfyyxC 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 單值函數(shù)與多值函數(shù) 在函數(shù)的定義中在函數(shù)的定義中,對每個(gè)對每個(gè)x

10、D, 對應(yīng)的函數(shù)值對應(yīng)的函數(shù)值y總是唯總是唯 一的一的, 這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù)這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù). 如果給定一個(gè)對應(yīng)法則如果給定一個(gè)對應(yīng)法則, 按這個(gè)法則按這個(gè)法則, 對每個(gè)對每個(gè)x D, 總有確定的總有確定的y值與之對應(yīng)值與之對應(yīng), 但這個(gè)但這個(gè)y不總是唯一的不總是唯一的, 我們稱我們稱 這種法則確定了一個(gè)多值函數(shù)這種法則確定了一個(gè)多值函數(shù). 例如, 由方程x2y2r2確定的函數(shù)是一個(gè)多值函數(shù): 下頁 此多值函數(shù)附加條件“y0”后可得到一個(gè)單值分支 22 1 )(xrxyy. 22 xry. 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 此函數(shù)稱為絕對值函數(shù), 其定義域?yàn)?/p>

11、D(, +), 其值域?yàn)镽f 0, + ). 例 6. 函數(shù) 0 0 | xx xx xy. (2) (1)常值函數(shù) yc. 其定義域?yàn)镈(, ), 其值域?yàn)镽f c. 下頁 三幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例三幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 (3) 符號函數(shù)符號函數(shù) 01 00 01 sgn x x x xy 當(dāng)當(dāng) 當(dāng)當(dāng) 當(dāng)當(dāng) xxx sgn 其定義域?yàn)镈(, +) , 其值域?yàn)镽f 1, 0, 1. 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 (4) 取整函數(shù)取整函數(shù) y=x x表示不超過表示不超過 的最大的最大 整數(shù)整數(shù) 階梯曲線階梯曲線 x 其定義域?yàn)?/p>

12、D=(-, +), 其值域?yàn)?=Z. f R 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 （5）“非負(fù)小數(shù)部分” 函數(shù) ,.yxx x 它的定義域是 ,0,1 . f DR 值域是 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 是無理數(shù)時(shí)是無理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng) 是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng) x x xDy 0 1 )( 有理數(shù)點(diǎn)有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn) 1 x y o (6) 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù) 其定義域?yàn)镈=(-, +) , 其值域?yàn)?=0, 1. f R 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 (7) 取最值函數(shù)取最值函數(shù) )(),(maxxgxfy )(),(minx

13、gxfy y x o )(xf )(xg x o )(xf )(xg 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用對應(yīng)法則用 不同的不同的式子來表示的函數(shù)式子來表示的函數(shù),稱為稱為分段函數(shù)分段函數(shù). 0, 1 0, 12 )(, 2 xx xx xf例例如如 12 xy 1 2 xy 分段函數(shù)分段函數(shù) 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 例例1 1 脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖,其波形如圖其波形如圖 所示所示,寫出電壓寫出電壓U與時(shí)間與時(shí)間 的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式.)0( tt 解

14、解 U t o E ), 2 (E )0 ,( 2 , 2 , 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t t E U 2 ; 2 t E 單三角脈沖信號的電壓單三角脈沖信號的電壓, 2 (時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t ),( 2 0 0 t E U)( 2 t E U即即 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 ,),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t. 0 U 其其表表達(dá)達(dá)式式為為 是是一一個(gè)個(gè)分分段段函函數(shù)數(shù),)(tUU ),(, 0 , 2 (),( 2 2 , 0, 2 )( t tt E tt E tU U t o E ), 2 (E )0 ,( 2 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 例例2 2 .)3(, 212

15、 101 )(的的定定義義域域求求函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) xf x x xf 解解 2312 1301 )3( x x xf 212 101 )( x x xf 122 231 x x 1, 3 : f D 故故 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 M -M y x o y =f (x) X 有界有界 無界無界 M -M y x o X 0 x ,)(, 0,成成立立有有若若MxfXxMDX 1函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性: .)(否否則則稱稱無無界界上上有有界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)Xxf 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 f(x)sin x在(, +)上是有界的: |si

16、n x|1. 函數(shù) x xf 1 )( 在開區(qū)間(0, 1)內(nèi)是無上界的. M x xf 1 1 1 )(, 所以函數(shù)無上界. 函數(shù) x xf 1 )( 在(1, 2)內(nèi)是有界的. 這是因?yàn)? 對于任一 M1, 總有1x: 1 1 0 1 M x , 使 下頁 有界函數(shù)舉例 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 例例3 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 2函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性: ,)(DIDxf 區(qū)區(qū)間間的的定定義義域域?yàn)闉樵O(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) , 2121 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上上任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)如如果果對對于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ;)(上上是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的在在區(qū)

17、區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Ixf ),()()1( 21 xfxf 恒恒有有 )( xfy )( 1 xf )( 2 xf x y o I 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 )( xfy )( 1 xf )( 2 xf x y o I ;)(上上是是單單調(diào)調(diào)減減少少的的在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Ixf ,)(DIDxf 區(qū)區(qū)間間的的定定義義域域?yàn)闉樵O(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) , 2121 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上上任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)如如果果對對于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ),()()2( 21 xfxf 恒恒有有 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 3函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性: 有有對對于于

18、關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對對稱稱設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf 偶函數(shù)偶函數(shù) y x )(xf ox-x )( xf ;)(為為偶偶函函數(shù)數(shù)稱稱xf 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 有有對對于于關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對對稱稱設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf ;)(為為奇奇函函數(shù)數(shù)稱稱xf 奇函數(shù)奇函數(shù) )(xf y x )(xf ox -x )(xfy 1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 都內(nèi)的任何函數(shù)證明定義在對稱區(qū)間例)(),(. 4xfll .與一個(gè)偶函數(shù)之和可以表示成一個(gè)奇函數(shù) :證構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，設(shè)法由)(xf使得一個(gè)是奇函數(shù) 一個(gè)是偶函數(shù)，).(xf且兩者之和恰為 ),()( 2 1 )(xfxfxF令)()( 2 1 )(xfxfxG )()( 2 1 )(xfxfxF),(xF ).()()(xGxFxf且 )()( 2 1 )(xfxfxG)( xG ,)(是偶函數(shù)xF,)(是奇函數(shù)xG所以 因?yàn)?1-3函數(shù)的一般概念函數(shù)的一般概念數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 .這種表示法是唯一的我們還可以進(jìn)一步證明 我們只要能證明 ，)()(),()(xGxQxFxH .問題就能獲得解決 ,)(是奇函數(shù)