三重積分的計(jì)算方法與例題

1、三重積分的計(jì)算方法：三重積分的計(jì)算是化為三次積分進(jìn)行的。其實(shí)質(zhì)是計(jì)算一個定積分(一重積分)和一個二重積分。從順序看：Z2如果先做定積分f (x, y, z)dz，再做二重積分 F (x, y)d ，就是“投 弓D影法”也即“先一后二”。步驟為：找 及在xoy面投影域D。多D上一點(diǎn)(x,y) “穿線”確定z的積分限，完成了“先一”這一步(定積分)；進(jìn)而按二重積分的計(jì)算步驟計(jì)算投影域D上的二重積分，完Z2成“后二”這一步。f (x, y, z)dv f (x, y, z)dzdD召C2如果先做二重積分f(x, y,z)d再做定積分F(z)dz，就是“截面Dzq法”也即“先二后一”。步驟為：確定 位

2、于平面z 與z c2之間，即z C1,C2，過z作平行于xoy面的平面截，截面Dz。區(qū)域Dz的邊界曲面都是z的函數(shù)。計(jì)算區(qū)域Dz上的二重積分 f (x, y, z)d ，完成DzC2了“先二”這一步(二重積分)；進(jìn)而計(jì)算定積分 F(z)dz，完成“后ClC2一”這一步。f(x,y,z)dv f (x, y,z)d dzCi Dz當(dāng)被積函數(shù)f (z)僅為z的函數(shù)(與x,y無關(guān))，且Dz的面積 容易求出時，“截面法”尤為方便。為了簡化積分的計(jì)算，還有如何選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系計(jì)算的問題?？梢园匆韵聨c(diǎn)考慮：將積分區(qū)域 投影到xoy面，得投影區(qū)域D(平面)(1) D是X型或丫型，可選擇直角坐標(biāo)系計(jì)算(當(dāng)

3、的邊界曲面中有較多的平面時，常用直角坐標(biāo)系計(jì)算)(2) D是圓域(或其部分)，且被積函數(shù)形如f(x2 y2),fd)時,x可選擇柱面坐標(biāo)系計(jì)算(當(dāng)為圓柱體或圓錐體時，常用柱面坐標(biāo)計(jì)算)(3) 是球體或球頂錐體，且被積函數(shù)形如f(x2 y2 z2)時，可選擇球面坐標(biāo)系計(jì)算以上是一般常見的三重積分的計(jì)算方法。對向其它坐標(biāo)面投影或不易作出的情形不贅述。三重積分的計(jì)算方法小結(jié)：1. 對三重積分，采用“投影法”還是“截面法”，要視積分域 及被積函數(shù)f(x,y,z)的情況選取。一般地，投影法(先一后二)：較直觀易掌握；截面法(先二后一)：Dz是 在z處的截面，其邊界曲線方 程易寫錯，故較難一些。特殊地，對

4、Dz積分時，f(x,y,z)與x,y無關(guān)，可直接計(jì)算Sz。因而中只要z a,b,且f(x,y,z)僅含z時，選取“截面法”更佳。2. 對坐標(biāo)系的選取，當(dāng) 為柱體，錐體，或由柱面，錐面，旋轉(zhuǎn)拋物面與其它曲面所圍成的形體；被積函數(shù)為僅含 z或Zf(x2 y2)時，可考慮用 柱面坐標(biāo)計(jì)算。三重積分的計(jì)算方法例題：補(bǔ)例1:計(jì)算三重積分I zdxdydz，其中 為平面x y z 1與三個坐標(biāo)面x 0, y 0,z0圍成的閉區(qū)域。解1 “投影法” 1.畫出 及在xoy面投影域D. 2. “穿線” 0 z 1 x y00 03計(jì)算11 xdx0 01(1y)2dy2 (1 x)2y (1 x)y22 011

5、 (160x)3dxA%4124解2“截面法” 1.畫出。2.0,1過點(diǎn)z作垂直于z軸的平面截得Dz 。Dz是兩直角邊為x,y的直角三角形，x 1 z, y 1 z3計(jì)算zdxdydz補(bǔ)例2:計(jì)算z( xy)dz22(10解1 “投影法”y dv，其中是x21.畫出 及在xoy面投影域D.1zdxdydz z dxdydz0 Dz1zSd dzz0z)(1z)dz 1 1(z 2z22 0z3)dz 24z2和z=1圍成的閉區(qū)域。2y2消去z，y21 即 D:y2 12.“穿線” x2 y21,X 型 D :.22.1 x y . 1 x2， 2Jxy 1 x22xyz13計(jì)算x2 y2dv1

6、 xdxdy-,;1 x22px2 Tx y1* x2y2dzdxx2y2(1 x2 y2)dy 1 6注：可用柱坐標(biāo)計(jì)算。解2 “截面法”2z2y dxdydzd0 0z軸的平面截2得 Dz : xz2y dv補(bǔ)例3:化二重積分Izr 2drdz02 3r30dz i0z3dz 6f (x,y,z)dxdydz為三次積分，其中z x2 2y2及z 2 x2所圍成的閉區(qū)域解：1.畫出 及在xoy面上的投影域D.z2 x2y2由z22 x消去z，得 x2y2 1即D :2 xy2 12“穿線”x2 2y2 z 2 x21 x 1X 型 D:. ,C 2；.2.1 x y . 1 x1 x 1I1

7、2；2-:.1 x2 y . 1 x22 2 2x 2y z 2 x3計(jì)算I1 j1 x22 x2f (x, y, z)dxdydz dx dy f(x, y, z)dz1x2 2y2注：當(dāng)f (x, y, z)為已知的解析式時可用柱坐標(biāo)計(jì)算補(bǔ)例4:計(jì)算 zdv,其中為z6 x2y2及 zx2 y2所圍成的閉區(qū)域。解1 “投影法”1.畫出及在xoy面投影域用柱坐標(biāo)計(jì)算2.解“穿線”3.計(jì)算 zdv6 r2r cosr sin 化zdzrdrdr的邊界曲面方程為:2z=6-r , z=r D:26 rrdr0zdzriz0 厶262r dr2r(60解2 “截面法”2)2dr(36r 13r20

8、)dr92。31.畫出如圖： 由zr2及z r圍成。2.z 0,6 0,2 2,6i 由 z=r 與 z=2 圍成；z 0,2 , Dz : r z2 由 z=2 與 z=6r2圍成；z 2,6，Dz :r、6 z022:0 r.6z2 z6263.計(jì)算zdv=zdvzdvzrdrddzz rdrd dz120Dz12Dz226226zSd0z1dzzSd2z2dzz0(z2)dzz C、6 z)2dz2z3dz06（6z2)dz923注：被積函數(shù)z是柱坐標(biāo)中的第三個變量，不能用第二個坐標(biāo)r代換。補(bǔ)例5:計(jì)算 （x2 y2）dv，其中由不等式0 a x2 y2 z2確定。X解：用球坐標(biāo)計(jì)算。由yzcos sinsin sin得的邊界曲面的球坐標(biāo)方程:cos爪PA，連結(jié)OP=，其與z軸正向的夾角為P在xoy面的投影為P 夾角為,OP=。連結(jié)OP，其與x軸正向的(x22)dv d0Az2.2(sina2 sin d23 sin0155Ad(A5253a ) sin d0a5) 1 1415(A5a5)三重積分的計(jì)算方法練