1.3.1柱體、錐體、臺(tái)體、球體體積

1、 類似于用單位正方形的面積度量平面類似于用單位正方形的面積度量平面 圖形的面積，我們可以用單位正方體（棱圖形的面積，我們可以用單位正方體（棱 長(zhǎng)為長(zhǎng)為1個(gè)長(zhǎng)度單位的正方體）的體積來(lái)度個(gè)長(zhǎng)度單位的正方體）的體積來(lái)度 量幾何體的體積。量幾何體的體積。 一個(gè)幾何體的體積是單位正方體體積的多少倍，那一個(gè)幾何體的體積是單位正方體體積的多少倍，那 么這個(gè)幾何體的體積的數(shù)值就是多少。么這個(gè)幾何體的體積的數(shù)值就是多少。 長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，那么它的體積為，那么它的體積為 V長(zhǎng)方體 長(zhǎng)方體=abc 或或V長(zhǎng)方體 長(zhǎng)方體=Sh 這里，這里，S，h分別表示長(zhǎng)方體的底面積和高。

2、分別表示長(zhǎng)方體的底面積和高。 復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧 以前學(xué)過(guò)特殊的棱柱以前學(xué)過(guò)特殊的棱柱正方體、長(zhǎng)方體以及圓柱正方體、長(zhǎng)方體以及圓柱 的體積公式的體積公式, ,它們的體積公式可以統(tǒng)一為：它們的體積公式可以統(tǒng)一為： ShV （S為底面面積，為底面面積，h為高）為高） 一般棱柱體積也是：一般棱柱體積也是： ShV 其中其中S為底面面積，為底面面積，h為棱柱的高為棱柱的高 取一摞書(shū)放在桌面上，并改變它們的位置，觀察取一摞書(shū)放在桌面上，并改變它們的位置，觀察 改變前后的體積是否發(fā)生變化？改變前后的體積是否發(fā)生變化？ 等底等高柱體的體積相等嗎？等底等高柱體的體積相等嗎？ 兩兩等高等高的幾何體的幾何體, ,若

3、在若在所有等高處所有等高處的水平的水平截截 面的面積相等面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等 祖暅原理祖暅原理 S h SS 棱柱（圓柱）可由多邊形（圓）沿某一方向得到，棱柱（圓柱）可由多邊形（圓）沿某一方向得到， 因此，兩個(gè)底面積相等、高也相等的棱柱（圓柱）應(yīng)因此，兩個(gè)底面積相等、高也相等的棱柱（圓柱）應(yīng) 該具有相等的體積。該具有相等的體積。 h 柱體的體積柱體的體積 底面積相等，高也相等的柱體的體積也相等。底面積相等，高也相等的柱體的體積也相等。 V柱體 柱體=sh 圓錐的體積公式：圓錐的體積公式： ShV 3 1 （其中（其中S為底面面積，為底面面積，h為高）

4、為高） 圓錐體積等于同底等高的圓柱的體積的圓錐體積等于同底等高的圓柱的體積的 3 1 探究棱錐與同底等高的棱柱體積之間的關(guān)系探究棱錐與同底等高的棱柱體積之間的關(guān)系 （以正方體為例）（以正方體為例） 四棱錐與同底等高的四棱柱的關(guān)系四棱錐與同底等高的四棱柱的關(guān)系 錐體（棱錐、圓錐）的體積錐體（棱錐、圓錐）的體積 （底面積（底面積S，高高h(yuǎn)） 1 3 Vsh 四棱錐 ShV 3 1 （其中（其中S為底面面積，為底面面積，h為高）為高） 由此可知，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底由此可知，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底 面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是等于面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類

5、似，都是等于 底面面積乘高的底面面積乘高的 3 1 經(jīng)過(guò)探究得知，棱錐也是同底等高的棱柱體積經(jīng)過(guò)探究得知，棱錐也是同底等高的棱柱體積 的的 即棱錐的體積：即棱錐的體積： 3 1 由于圓臺(tái)由于圓臺(tái)( (棱臺(tái)棱臺(tái)) )是由圓錐是由圓錐( (棱棱 錐錐) )截成的，因此可以利用兩個(gè)錐截成的，因此可以利用兩個(gè)錐 體的體積差得到圓臺(tái)體的體積差得到圓臺(tái)( (棱臺(tái)棱臺(tái)) )的的 體積公式體積公式( (過(guò)程略過(guò)程略) ) 根據(jù)臺(tái)體的特征，如何求臺(tái)體的體積？根據(jù)臺(tái)體的特征，如何求臺(tái)體的體積？ A B A B C D C D P S S h DCBAPABCDP VVV hSSSS)( 3 1 棱臺(tái)（圓臺(tái)）的體積

6、公式棱臺(tái)（圓臺(tái)）的體積公式 hSSSSV)( 3 1 其中其中 ， 分別為上、下底面面積，分別為上、下底面面積，h為圓臺(tái)為圓臺(tái) （棱臺(tái)）的高（棱臺(tái)）的高 S S 柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？ hSSSSV)( 3 1 S為底面面積，為底面面積， h為柱體高為柱體高 ShV 0S S分別為上、下分別為上、下底面底面 面積，面積，h 為臺(tái)體高為臺(tái)體高 ShV 3 1 SS S為底面面積，為底面面積， h為錐體高為錐體高 上底擴(kuò)大上底擴(kuò)大上底縮小上底縮小 例例1 有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是 ）六角螺帽共重）

7、六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六邊，已知底面是正六邊 形，邊長(zhǎng)為形，邊長(zhǎng)為12mm，內(nèi)孔直徑為，內(nèi)孔直徑為10mm，高為，高為10mm， 問(wèn)這堆螺帽大約有多少個(gè)（問(wèn)這堆螺帽大約有多少個(gè)（ 取取3.14）？）？ 3 /8 . 7cmg 解：六角螺帽的體積是六棱解：六角螺帽的體積是六棱 柱的體積與圓柱體積之差，即柱的體積與圓柱體積之差，即: : 10) 2 10 (14. 310612 4 3 22 V )(2956 3 mm )(956. 2 3 cm 所以螺帽的個(gè)數(shù)為所以螺帽的個(gè)數(shù)為 252)956. 28 . 7(10008 . 5（個(gè)）（個(gè)） 答：這堆螺帽大約有答：這堆螺帽大約有25

8、2252個(gè)個(gè) 如果用油漆去涂一個(gè)乒乓球和一個(gè)籃球，且如果用油漆去涂一個(gè)乒乓球和一個(gè)籃球，且 涂的油漆厚度相同，問(wèn)哪一個(gè)球所用的油漆多？涂的油漆厚度相同，問(wèn)哪一個(gè)球所用的油漆多？ 為什么？為什么？ 一個(gè)充滿空氣的足球和一個(gè)充滿空氣的籃球，一個(gè)充滿空氣的足球和一個(gè)充滿空氣的籃球， 球內(nèi)的氣壓相同，若忽略球內(nèi)部材料的厚度，則球內(nèi)的氣壓相同，若忽略球內(nèi)部材料的厚度，則 哪一個(gè)球充入的氣體較多？為什么？哪一個(gè)球充入的氣體較多？為什么？ 3 3 4 RVR 的球的體積為：的球的體積為：定理：半徑是定理：半徑是 2 4 RSR的球的表面積為：定理：半徑是 例例2 2：圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑：圓柱的

9、底面直徑與高都等于球的直徑. . 求證：求證： （1 1）球的體積等于圓柱體積的）球的體積等于圓柱體積的 （2 2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積. . . 3 2 (1)(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的2 2倍倍, ,則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的 倍倍. . (2)(2)若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2 2倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的 倍倍. . (3)(3)若兩球表面積之比為若兩球表面積之比為1:21:2，則其體積之比是，則其體積之比是 . . (4)(4)若兩球體積之比是若兩球體積之比是1:21:2，則其表面積之比是，則

10、其表面積之比是 . . 2 4 22:1 3 4:1 影響球的表面積及體積的只有一個(gè)元素，影響球的表面積及體積的只有一個(gè)元素， 就是就是球的半徑球的半徑. . 例例3（1）把半徑為）把半徑為3cm鋼球放入一個(gè)正方體的鋼球放入一個(gè)正方體的 有蓋紙盒中有蓋紙盒中,至少要用多少紙制作紙盒至少要用多少紙制作紙盒? 球內(nèi)切于正方體球內(nèi)切于正方體 分析：用料最省時(shí)分析：用料最省時(shí),球與正方體有什么位置關(guān)系球與正方體有什么位置關(guān)系? 兩個(gè)幾何體相切兩個(gè)幾何體相切:一個(gè)幾何體的各個(gè)面與一個(gè)幾何體的各個(gè)面與 另一個(gè)幾何體的各面相切另一個(gè)幾何體的各面相切. 公式的應(yīng)用公式的應(yīng)用 例例3 （2）把正方體的紙盒裝入半

11、徑為）把正方體的紙盒裝入半徑為4cm的的 球狀木盒里球狀木盒里,能否裝得下能否裝得下? 分析：半徑為分析：半徑為4cm的球狀木盒能裝下的最大正的球狀木盒能裝下的最大正 方體與球盒有什么位置關(guān)系？方體與球盒有什么位置關(guān)系？ 球外接于正方體球外接于正方體 兩個(gè)幾何體相接兩個(gè)幾何體相接:一個(gè)幾何體的所有頂點(diǎn)都一個(gè)幾何體的所有頂點(diǎn)都 在在 另一個(gè)幾何體的表面上。另一個(gè)幾何體的表面上。 公式的應(yīng)用公式的應(yīng)用 例例4.一個(gè)正方體內(nèi)接于半徑為一個(gè)正方體內(nèi)接于半徑為R的球內(nèi)的球內(nèi),求正方體的求正方體的 體積體積. R 解解: 因?yàn)檎襟w內(nèi)接于球內(nèi)，所以正方體的因?yàn)檎襟w內(nèi)接于球內(nèi)，所以正方體的8 個(gè)定點(diǎn)均在球面上，又正方體和球體都個(gè)定點(diǎn)均在球面上，又正方體和球體都 是中心對(duì)稱圖形，所以它們的對(duì)稱中心是中心對(duì)稱圖形，所以它們的對(duì)稱中心 必重合，即球心就是正方體的中心，必重合，即球心就是正方體的中心， 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 a, , 2 3 23 , 3 Ra aR則則 所以所以,正方體的體積為正方體的體積為: 333 2 38 3 () 39 VaRR 公式的應(yīng)用公式的應(yīng)用 練習(xí)練習(xí)：棱長(zhǎng)為棱長(zhǎng)為a的正方體內(nèi)有一個(gè)球與這