初中數(shù)學(xué)競賽專題培訓(xùn)(12)：平行四邊形

1、初中數(shù)學(xué)競賽專題培訓(xùn)平行四邊形是一種極重要的幾何圖形這不僅是因?yàn)樗茄芯扛?特殊的平行四邊形矩形、菱形、正方形的基礎(chǔ)，還因?yàn)橛伤?的定義知它可以分解為一些全等的三角形，并且包含著有關(guān)平行 線的許多性質(zhì)，因此，它在幾何圖形的研究上有著廣泛的應(yīng)用由平行四邊形的定義決定了它有以下幾個(gè)基本性質(zhì)：(1) 平行四邊形對角相等；(2) 平行四邊形對邊相等；(3) 平行四邊形對角線互相平分除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：(1) 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；(2) 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；(3) 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；(4) 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四

2、邊形例 1 如圖 2-32 所示在 abcd 中，aebc，cfad，dn=bm求 證：ef 與 mn 互相平分分析 只要證明 enfm 是平行四邊形即可，由已知，提供的等 量要素很多，可從全等三角形下手證 因?yàn)?abcd 是平行四邊形，所以ad bc，ab cd，b=d又 aebc，cfad，所以 aecf 是矩形，從而ae=cf 所以rtabertcdf(hl，或 aas)，be=df又由已知 bm=dn， 所以第十二講 平行四邊形bem dfn(sas)，me=nf 又因?yàn)?af=ce，am=cn，maf=nce，所以maf nce(sas)，所以 mf=nf 由，四邊形 enfm 是平

3、行四邊形，從而對角線 ef 與 mn 互相平分例 2 如圖 2-33 所示rtabc 中，bac=90，adbc 于 d， bg 平分abc，efbc 且交 ac 于 f求證：ae=cf分析 ae 與 cf 分處于不同的位置，必須通過添加輔助線使兩 者發(fā)生聯(lián)系若作 ghbc 于 h，由于 bg 是abc 的平分線，故 ag=gh ，易知abghbg又連接 eh，可證abehbe，從 而 ae=he這樣，將 ae“轉(zhuǎn)移”到 eh 位置設(shè)法證明 ehcf 為平 行四邊形，問題即可獲解證 作 ghbc 于 h，連接 eh因?yàn)?bg 是abh 的平分線，ga ba ，所以 ga=gh，從而abg hb

4、g(aas)，所以 ab=hb 在abe 及hbe 中，abe=cbe，be=be，所以 abehbe(sas)所以 ae=eh，bea=beh下面證明四邊形 ehcf 是平行四邊形因?yàn)?adgh，所以aeg= bgh(內(nèi)錯(cuò)角相等) 又aeg= geh(因?yàn)閎ea=beh，等角的補(bǔ)角相等)，agb= bgh(全等三角形對應(yīng)角相等)，所以agb=geh從而ehac(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)由已知 efhc，所以 ehcf 是平行四邊形，所以fc=eh=ae說明 本題添加輔助線 ghbc 的想法是由 bg 為abc 的平分 線的信息萌生的(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等)，從而構(gòu) 造出全等三角形

5、 abg 與hbg繼而發(fā)現(xiàn)abe hbe，完成了 ae 的位置到 he 位置的過渡這樣，證明 ehcf 是平行四邊形就是 順理成章的了人們在學(xué)習(xí)中，經(jīng)過刻苦鉆研，形成有用的經(jīng)驗(yàn)，這對我們 探索新的問題是十分有益的例 3 如圖 2-34 所示 abcd 中，de ab 于 e，bm=mc=dc 求 證：emc=3 bem分析 由于emc 是bem 的外角，因此emc=b+bem從 而，應(yīng)該有b=2 bem，這個(gè)論斷在bem 內(nèi)很難發(fā)現(xiàn)，因此， 應(yīng)設(shè)法通過添加輔助線的辦法，將這兩個(gè)角轉(zhuǎn)移到新的位置加以 解決利用平行四邊形及 m 為 bc 中點(diǎn)的條件，延長 em 與 dc 延長 線交于 f，這樣b=

6、mcf 及bem=f，因此， 只要證明mcf=2 f 即可不難發(fā)現(xiàn) edf 為直角三角形(edf=90)及 m 為斜 邊中點(diǎn)，我們的證明可從這里展開證 延長 em 交 dc 的延長線于 f，連接 dm由于 cm=bm，f= bem ，mcf=b，所以mcfmbe(aas)，所以 m 是 ef 的中點(diǎn)由于 abcd 及 deab，所以，defd， 三角形 def 是直角三角形，dm 為斜邊的中線，由直角三角形斜邊 中線的性質(zhì)知f=mdc，又由已知 mc=cd，所以mdc=cmd，則mcf=mdc+cmd=2f從而emc=f+mcf=3f=3bem例 4 如圖 2-35 所示矩形 abcd 中，c

7、ebd 于 e，af 平分 bad 交 ec 延長線于 f求證：ca=cf分析 只要證明caf 是等腰三角形，即caf=cfa 即可由 于caf=45-cad，所以，在添加輔助線時(shí)，應(yīng)設(shè)法產(chǎn)生一個(gè) 與cad 相等的角 a，使得cfa=45-a為此，延長 dc 交 af 于 h，并設(shè) af 與 bc 交于 g，我們不難證明fch=cad證 延長 dc 交 af 于 h，顯然fch=dce又在 rtbcd 中， 由于 cebd，故dce=dbc因?yàn)榫匦螌蔷€相等，所以dcb cda ，從而dbc=cad，因此，fch=cad 又 ag 平分bad=90，所以abg 是等腰直角三角形，從而 易證hc

8、g 也是等腰直角三角形，所以chg=45由于chg 是chf 的外角，所以chg=cfh+fch=45，所以 cfh=45-fch 由，cfh=45-cad=caf，于是在三角形 caf 中，有ca=cf 例 5 設(shè)正方形 abcd 的邊 cd 的中點(diǎn)為 e，f 是 ce 的中點(diǎn)(圖 2-36)求證：分析 作baf 的平分線，將角分為1 與2 相等的兩部分， 設(shè)法證明dae= 1 或2證 如圖作baf 的平分線 ah 交 dc 的延長線于 h，則1= 2=3，所以fa=fh 設(shè)正方形邊長為 a，在 adf 中，分析 準(zhǔn)確地畫圖可啟示我們證明gdh=ghd證 因?yàn)?de bc，所以四邊形 bce

9、d 為平行四邊形，所以 1= 4又 bd=fd，所以所以 bc=gc=cd 因此，dcg 為等腰三角形，且頂角dcg=45，所以從而所以 rt abgrthcg(aas)，從而rtabgrtade(sas) ，又所以 hdg=ghd，從而 gh=gd，即ghd 是等腰三角形練習(xí)十二1如圖 2-38 所示deac，bfac，de=bf，adb=dbc求 證：四邊形 abcd 是平行四邊形例 6 如圖 2-37 所示正方形 abcd 中，在 ad 的延長線上取點(diǎn) e，f，使 de=ad，df=bd，連接 bf 分別交 cd，ce 于 h，g求證： ghd 是等腰三角形2如圖 2-39 所示在平行四邊形 abcd 中，abe 和bcf 都是等邊三角形求證：def 是等邊三角形4如圖