折紙問題中的數(shù)學(xué)

1、折紙問題中的數(shù)學(xué)通過折紙活動，分析留在紙張上的折痕，我們能夠揭示出大量幾何的對象 和性質(zhì)：軸對稱、中心對稱、全等、相似形、比例及類似于幾何分形結(jié)構(gòu)的迭代 (在圖案內(nèi)不斷地重復(fù)圖案 )等幾何性質(zhì)。折紙過程還能夠體現(xiàn)出許多幾何概念和規(guī)律，諸如正方形、矩形、直角三 角形、梯形等幾何形狀，對角線、中點(diǎn)、垂直平分線等幾何名稱，全等、勾股定 理等幾何法則，內(nèi)接、面積及其他一些幾何代數(shù)的概念，這些鮮活的、可視的過 程，給學(xué)生提供了彌補(bǔ)思維過程中的斷缺部分，更能符合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣。折紙可以探索二維和三維圖形之間的關(guān)系。例如，一張正方形 (二維物體 ) 的紙張可以折成一個立方體 (三維物體 )。然后，將它攤開

2、,研究留在正方形紙 上的折痕，正好體現(xiàn)了一個二維物體到三維物體，又回到二維的過程。在繽紛多彩的折紙活動中，有很多數(shù)學(xué)活動值得研究。在這里，我們精選 了其中的一些，展示如下：（1） 從一個矩形式樣的紙張 ,折成一個正方形 (如圖 2.2-15 所示 )。（2） 將一張正方形的紙沿著對角線對折 ,變成四個全等的直角三角形 (如圖 2.2-16 所示 )。（3） 找出正方形一條邊的中點(diǎn) (如圖 2.2-17 所示 )。（5） 將一個正方形紙張折疊 ,使折痕過正方形中心，便會構(gòu)成兩個全等 的梯形 (如圖 2.2-19 所示 ) 。（6） 把一個正方形折成兩半，那么，折痕將成為正方形兩條相對邊的垂 直平

3、分線 (如圖 2.2-20 所示 ) 。（7） 折出四面體 (按圖 2.2-21 所示的方法 ) 。（8） 折出正方體 (按圖 2.2-22 所示的方法 ) 。不僅如此，折紙還可以做出其他的一些重要內(nèi)容，諸如黃金比等。（ 9）折出黃金分割比圖 2.2-24 所展示的是在長方形紙片的一條邊中點(diǎn)折出 60角的方法： 將 一張矩形的紙沿兩條較短的邊（即寬）對折，折出這張矩形紙的平行于較長邊的 中線，再將這張紙鋪平；用手捏住矩形的一個角，將同一條寬上的另一個頂點(diǎn)折 向中線，使其剛好落在中線上，壓平。此時，左上角的 90角就分成了三個 30角。利用圖 2.2-24 中的 60角，借助于頂角為 60的等腰

4、三角形是正三角 形，通過連續(xù)折疊四個正三角形，還可以做出正四面體。其實(shí)，我們還可以像圖 2.2-25 這樣以正方形的角或中心為頂點(diǎn)，折出 60 或 30角。即，在正方形紙片 abfe 中，先將對邊 ae、 bf 重合，折出折痕 dg； 如圖 2.2-25 所示，過頂點(diǎn) a，將邊 ab 向上對折，使得 b 點(diǎn)剛好落在折痕 dg 上，記為 o 點(diǎn)。此時， bao、 eao 依次是 60角、 30角。（ 11）將長方形紙片折成三等份大多數(shù)人將長方形紙片折成三等份的慣用 方法是：先從紙片的一邊開始，估計地疊起紙片的三分之一；然后，將對邊也折起 來，根據(jù)三份是否重合來進(jìn)行調(diào)整。當(dāng)然，這種折法蘊(yùn)涵著樸素的極限思想；反復(fù)折疊中，一次比一次地更趨 近三等份。另外一種完全不同的折法是：如圖 2.2-26 所示，先將整張紙片 abcd 的一條邊 bc 對折（使點(diǎn) b、 c 重 合），找到其中點(diǎn) e 點(diǎn)；再折出整張紙片的對角線 ac，以及 e 點(diǎn)與 d 點(diǎn)的連 線 ed，兩條折痕相交于點(diǎn) x；最后，過交點(diǎn) x 折疊紙片，使 dg 重疊在 ag 上、 ce 重疊在 be 上。此時，則 dg 即為 ag 的三分之一。利用邊 bc 與 ad 平行以及 e 點(diǎn)是中