高中數(shù)學(xué)選修1-1《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》知識(shí)點(diǎn)講義匯編

1、dx( )00學(xué)習(xí)-好資料第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、變化率與導(dǎo)數(shù)1、定義：設(shè)y = f (x)在x=x處取得一個(gè)增量dx(dx0).0dy函數(shù)值也得到一個(gè)增量dy, 稱 為從x 到x +dx0 0的平均變化率.若當(dāng)時(shí)dx 0時(shí)，有極限存在， 則稱此極限值為函數(shù)y在x =x 處的瞬時(shí)變化率，0dy f (x +dx)-f(x)記為 lim =lim 0 0 ，也稱為函 dx 0 dx dx 0 dx數(shù)y在x =x 處的導(dǎo)數(shù)，記作f (x)或y 0 0f (x +dx)-f(x)即f x =lim 0 0 . dx 0 dxx =x,說明：導(dǎo)數(shù)即為函數(shù) y = f(x)在x =x 處的瞬時(shí)變化率 .

2、 02、幾何意義 :dx 0時(shí)，q沿f (x)圖像無限趨近于點(diǎn)p時(shí)，切線pt的斜率 .即 f(x0)=kpt.3、導(dǎo)函數(shù)（簡稱為導(dǎo)數(shù)）y = f(x)稱為導(dǎo)函數(shù)，記作y，即f(x)=y=limdx 0dydx=limdx 0f (x+dx)-f(x) dx.二、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式1 若 f ( x) =c(c 為常數(shù))，則 f(x) =0；2 若f ( x) =xa,則f(x) =axa-1;3 若 f ( x ) =sin x ,則 f4 若 f ( x ) =cos x ,則 f(x) =cos x(x) =-sin x;5 若f ( x) =ax,則f(x) =a x ln a6 若f

3、( x ) =ex,則f(x) =ex更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料7 若 f ( x ) =logxa,則 f(x) =1x ln a8 若 f ( x) =ln x,則 f(x) =1x三、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1. f ( x ) g ( x)=f(x) g(x)2. f ( x ) g ( x)=f(x) g ( x ) + f ( x) g(x)3.f ( x) f (x) g ( x) -f ( x) g =g ( x) g ( x)2(x)四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)y = f (u ) 和 u =g ( x ),稱則 y可以表示成為 x 的函數(shù),即 y = f ( g ( x )為一個(gè)復(fù)合函數(shù)，則y=f

4、(g( x ) g(x)五、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù):（1）在某個(gè)區(qū)間 ( a , b )內(nèi)，如果 f(x) 0，那么函數(shù) y = f ( x )在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；如果 f(x) 0,則f(x)仍為增函數(shù).例如：f (x)=x3在r上有f (0)=0，其余恒有f (x)0,，f(x)=x3仍為r上的增函數(shù)， 其函數(shù)圖像為：更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料（2）求單調(diào)區(qū)間的步驟：求f(x)的定義域；求導(dǎo)f(x)；3 令f4 令f(x)0，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間. (x)0，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間.說明：當(dāng)函數(shù)有多個(gè)遞增區(qū)間或遞減區(qū)間時(shí)，不能用 “ u”、“或” 相連，

5、應(yīng)該用“，”隔開或用“ 和”.（3）一種常見的題型：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，利用“ 若f (x)單調(diào)遞增，則f 則f (x)0?來求解，注意等號不能省略，否則可能漏解！(x)0；若f(x)單調(diào)遞減，2.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)（1）極大、極小值得定義：若對x 附近的所有的點(diǎn)，都有f (x)f(x)0 0 且f (x)=0，則稱f (x)是函數(shù)f (x)的一個(gè)極0 0小值.稱x 是極小值點(diǎn).0說明：極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是實(shí)數(shù)而不是點(diǎn).（2）求函數(shù)的極值的步驟：1 確定定義區(qū)間，求導(dǎo)f (x)；2 求方程f (x)=0的解x；0檢查x 左右兩邊 f (x

6、)的符號：0i、如果在x 附近的左側(cè)f (x)0,那么f (x)是極大值;0 0ii、如果在 x 附近的左側(cè)f (x)0,右側(cè)f(x)0,那么f (x)是極小值;0 0iii、如果在 x 左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)不改變符號，那么 f (x)在x處無極值.0 0更多精品文檔學(xué)習(xí)-好資料說明：在解答過程中通常用列表：3、4、 函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)求函數(shù) y = f ( x) 在 a, b 上的最大值與最小值的步驟1 求函數(shù) y = f ( x)2 將函數(shù) y = f ( x)在 ( a , b)內(nèi)的極值；的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值 f ( a )， f ( b )比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值.說明

7、：“最值”是整體概念，“極值”是個(gè)局部概念.5、6、 生活中的優(yōu)化問題解決優(yōu)化問題的基本思路：更多精品文檔/ / =/() () () / x n學(xué)習(xí)-好資料擴(kuò)展：常見的導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造函數(shù)型： 1、關(guān)系式為“ 加”型(1)f/(x)+f(x)0構(gòu)造 e x f (x)=exf/(x)+f(x)(2)xf/(x)+ f(x)0構(gòu)造 xf(x)=xf/(x)+ f(x)(3)xf/(x)+nf(x)0構(gòu)造 xn f (x)=xnf/ (x)+nxn-1f(x)=xn -1 xf /(x)+nf(x)(注意對x 的符號進(jìn)行討論2、關(guān)系式為“ 減”型)(1)f/(x)-f(x)0構(gòu)造f (x) f / (x)ex-f(x)ex f / (x)-f(x) (ex)2 (ex)2 e x f (x)xf / (x)-f(x)2 xf