常微分方程的應(yīng)用

1、常微分方程的應(yīng)用17常微分方程應(yīng)用結(jié)課作業(yè)學(xué)院：輕工與紡織學(xué)院 班級(jí)：服裝設(shè)計(jì)與工程 13-1 班 學(xué)號(hào)： 201321805024 姓名：周志彬常微分方程經(jīng)濟(jì)應(yīng)用微分方程在不僅在物理學(xué)、 力學(xué)上有廣泛的應(yīng) 用，在經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理科學(xué)等實(shí)際問(wèn)題中也比比皆 是，本次我們將集中討論微分方程的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用。 讀者可從中感受到應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的理論和方法 解決經(jīng)濟(jì)管理實(shí)際問(wèn)題的魅力 .隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展 , 數(shù)學(xué)在我們的生 活中可以說(shuō)無(wú)處不在 , 尤其是在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng) 用越來(lái)越廣泛 . 經(jīng)濟(jì)學(xué)必須進(jìn)行定量研究 . 而常 微分方程是對(duì)經(jīng)濟(jì)管理問(wèn)題進(jìn)行定量研究的最 重要、最基本的數(shù)學(xué)工具之一， 為了研究經(jīng)濟(jì)變

2、量之間的聯(lián)系及其內(nèi)在規(guī)律 , 常常需要建立某一 經(jīng)濟(jì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)所滿足的關(guān)系式 , 并由此確定 所研究函數(shù)的形式 , 從而根據(jù)一些已知條件來(lái)確 定該函數(shù)的表達(dá)式 . 從數(shù)學(xué)上講 , 就是建立微分 方程并求解微分方程 . 用微分方程解決問(wèn)題，下 面就是幾個(gè)例子：一、公司資產(chǎn)函數(shù)例。某公司 t 年凈資產(chǎn)有 W(t)(百萬(wàn)元 ), 并且 資產(chǎn)本身以每年 5% 的速度連續(xù)增長(zhǎng) , 同時(shí)該公 司每年要以 300 百萬(wàn)元的數(shù)額連續(xù)支付職工工 資.(1) 給出描述凈資產(chǎn) W(t) 的微分方程 ;(2) 求解方程 , 這時(shí)假設(shè)初始凈資產(chǎn)為 W0;(3) 討論在 W0 500, 600, 700三種情況下 ,

3、W(t) 變化 特點(diǎn).解 (1) 利用平衡法，即由凈資產(chǎn)增長(zhǎng)速度 資產(chǎn)本身增長(zhǎng)速度職工工資支付速度 得到所求微分方程dW 0.05W 30.dt(2) 分離變量，得dW0.05dt .W 600600| 0.05t lnC1 (C1兩邊積分，得 ln |W 于是|W 600| C1e0.05t , 或 W 600 Ce0.05t (C C1). 將 W(0) W0 代入，得方程通解：W 600 (W0 600)e0.05t.上式推導(dǎo)過(guò)程中 W 600,當(dāng) W 600時(shí)， dW 0知dtW 600 (W0 600)e0.05t , W 600 W0, 通常稱為 平衡解 ，仍包含在通解表達(dá)式中 .

4、(3) 由通解表達(dá)式可知，當(dāng) W0500 百萬(wàn)元時(shí)，凈資 產(chǎn)額單調(diào)遞減，公司將在第 36 年破產(chǎn)；當(dāng) W0600 百萬(wàn)元時(shí)，公司將收支平衡，將資產(chǎn)保持在 600 百萬(wàn)元不變；當(dāng) W0700 百萬(wàn)元時(shí)，公司凈資產(chǎn)將 按指數(shù)不斷增大 .二、價(jià)格調(diào)整模型例 如果設(shè)某商品在時(shí)刻 t 的售價(jià)為 P, 社會(huì) 對(duì)該商品的需求量和供給量分別是 P 的函數(shù) D(P),S(P), 則在時(shí)刻 t 的價(jià)格 P(t)對(duì)于時(shí)間 t 的變化率 可認(rèn)為與該商品在同時(shí)刻的超額需求量 D(P) S(P) 成正比 , 即有微分方程ddPt kD(P) S(P) (k 0) (1.3) 在 D(P)和 S(P)確定情況下 , 可解出

5、價(jià)格與 t 的函數(shù) 關(guān)系，這就是 商品的價(jià)格調(diào)整模型 .例如： 某種商品的價(jià)格變化主要服從市場(chǎng) 供求關(guān)系 . 一般情況下 ,商品供給量 S 是價(jià)格 P 的單調(diào)遞增函數(shù) , 商品需求量 Q 是價(jià)格 P的單調(diào) 遞減函數(shù) , 為簡(jiǎn)單起見(jiàn) , 分別設(shè)該商品的供給函數(shù)與需求函數(shù)分別為(8.6)S(P) a bP, Q(P) P 其中 a,b, , 均為常數(shù) , 且 b 0, 0.當(dāng)供給量與需求量相等時(shí) , 由(8.6)可得供求 平衡時(shí)的價(jià)格Peab并稱 Pe為均衡價(jià)格 .一般地說(shuō) , 當(dāng)某種商品供不應(yīng)求 , 即 S Q時(shí) 該商品價(jià)格要漲 , 當(dāng)供大于求 , 即 S Q 時(shí), 該商 品價(jià)格要落 . 因此,

6、 假設(shè) t 時(shí)刻的價(jià)格 P(t) 的變化 率與超額需求量 Q S成正比 , 于是有方程dP其中 k 0,ddPt kQ(P) S(P) 用來(lái)反映價(jià)格的調(diào)整速度 .(8.6)代入方程 , 可得 ddPt (Pe P)(8.7)其中常數(shù) (b )k 0,方程 (8.7)的通解為P(t) Pe Ce t假設(shè)初始價(jià)格 P(0) P0,代入上式 , 得 C P0 Pe,于 是上述價(jià)格調(diào)整模型的解為P(t) Pe (P0 Pe)e 由于 0知, t 時(shí), P(t) Pe. 說(shuō)明隨著時(shí)間不斷推 延, 實(shí)際價(jià)格 P(t) 將逐漸趨近均衡價(jià)格 Pe.三、新產(chǎn)品的銷售速度分析記時(shí)刻 t 時(shí)已售出的新產(chǎn)品數(shù)為 X(

7、t), 假設(shè)該 產(chǎn)品使用方便 ,這些正在使用的新產(chǎn)品實(shí)際上起 著宣傳的作用 ,吸引著尚未購(gòu)買的顧客 ,設(shè)每一個(gè) 新產(chǎn)品在單位時(shí)間內(nèi)平均吸引 K 個(gè)顧客 ,由此可 知,X(t) 滿足微分方程 :dXdt=KX,X(0)=0.其解為 : X(t)=X 0eKt .若取 t=0 表示新產(chǎn)品誕生的時(shí)刻： 則 X(t)=0, 與事實(shí)不符，它只考慮了實(shí)物廣告的作用 , 而忽略了廠家可以通過(guò)其他方式宣傳新產(chǎn)品從 而打開(kāi)銷路的可能性， 所以呢應(yīng)該有個(gè)上界， 設(shè) 需求量的上界為 K, 則尚未使用新產(chǎn)品的戶數(shù)為 ( K-X(t) )由統(tǒng)計(jì)規(guī)律可知 ,dXdt 與 X(K-X) 成正 比 ,比例系數(shù)為 r,則： d

8、Xdt=rX(K-X)它的解為 X(t)=K/1+ce -Krt 一階導(dǎo)數(shù) Xc(t)=cK 2re-Krt / 1+ce-Krt二階導(dǎo)數(shù) Xd(t)=cK 3r 2(ce-Krt -1)(1+ce-Krt )2 當(dāng) Xc(t)0 時(shí),X(t) 單調(diào)增加 , 由 Xd(t)=0得出 ce-Krt 0=1, 此時(shí) X(t 0)=K/2 當(dāng) t0, 即 Xc(t) 單調(diào)增加 , 這表示 在銷售量小于最大需求量的一半時(shí) , 銷售速度 Xc(t) 不斷增大 ; 當(dāng) tt0 時(shí),Xd(t)t0), 銷售速度 Xc(t) 開(kāi)始下降。所以，用戶采用某一新產(chǎn)品的這段時(shí)期 , 應(yīng) 是該產(chǎn)品正式大批量生產(chǎn)的較合適

9、的時(shí)期 , 初期 應(yīng)采用小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳 , 后期則應(yīng)適 時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn) , 這樣做可以取得較高的經(jīng)濟(jì)效益！四、差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用采用與微分方程完全類似方法， 我們可以建 立在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的差分方程模型， 下面舉例說(shuō)明其 應(yīng)用.1. “籌措教育經(jīng)費(fèi)”模型某家庭從現(xiàn)在著手 , 從每月工資中拿出一 部分資金存入銀行 , 用于投資子女的教育 , 并計(jì) 算 20 年后開(kāi)始從投資賬戶中每月支取 1 000 元 , 直到 10 年后子女大學(xué)畢業(yè)并用完全部資金 . 要 實(shí)現(xiàn)這個(gè)投資目標(biāo) , 20年內(nèi)要總共籌措多少資金 ? 每月要在銀行存入多少錢 ? 假設(shè)投資的月利率 為 0.5%, 為此 , 設(shè)第 t 個(gè)

10、月 , 投資賬戶資金為 at, 每月存資金為 b 元, 于是 20 年后 , 關(guān)于 at ,的差分 方程模型為at 1 (1.005) at 1000(9.11)且 a120 0,a0 x.例： 某家庭從現(xiàn)在開(kāi)始 ,從每月工資中拿出一部 分資金存入銀行 ,用于投資子女的教育 ,計(jì)劃 20 年后開(kāi)始從投資帳戶中每月只取 1000元 ,直到 10 年后子女大學(xué)畢業(yè)并用完全部資金 .要實(shí)現(xiàn)這個(gè) 投資目標(biāo) ,20 年內(nèi)要總共籌措多少資金 ?每月要 在銀行存入多少錢 ?假設(shè)投資的月利率為 0.5%, 解：設(shè)第 t 個(gè)月 ,投資帳戶資金為 ta,每月存資金 為 b 元,于是,20 年后,關(guān)于 ta 的差分

11、方程模型為 at 1 1.005at 1000(9.11)a120 0, a0 x.且解方程(9.11)得其通解為at (1.005)t A 1 1100.0005 (1.005)t A 200000, 其中 A為任意常數(shù) .因?yàn)?20a120 (1.005)120 A 200000 0, a0 A 200000 x,從而有 x 200000 200001200 90073.45 .(1.005)120從現(xiàn)在到 20 年內(nèi) , at滿足方程at 1 (1.005 )a t b(9.12)且 a0 0, a240 90073 .45.解方程 (9.12)得通解at (1.005)t A 1 1b

12、.005 (1.005)t A 200b,以 及 a240 (1.005) 240 A 200b 90073.45, a0 A 200b 0, 從 而 有 b 194.95.即要 達(dá)到 投資 目標(biāo),20 年內(nèi) 要籌 措資金 90073.45 元,平均每月要存入 194.95 元.2. 價(jià)格與庫(kù)存模型 本模型考慮庫(kù)存與價(jià)格之間的關(guān)系設(shè) P(t)為第 t 個(gè)時(shí)段某類產(chǎn)品的價(jià)格 , L(t) 為第 t 個(gè)時(shí)段的庫(kù)存量 . L 為該產(chǎn)品的合理庫(kù)存量 . 一 般情況下 , 如果庫(kù)存量超過(guò)合理庫(kù)存 , 則該產(chǎn)品 的售價(jià)要下跌 , 如果庫(kù)存量低于合理庫(kù)存 , 則該 產(chǎn)品售價(jià)要上漲 , 于是有方程Pt 1 P

13、t k(L Lt )(9.13)其中 k 為比例常數(shù) .例： “百花”小商店是一個(gè)專門(mén)經(jīng)營(yíng)各類毛巾 的商店。每年?duì)I業(yè)時(shí)間為 360 天，每天平均售出 400張毛巾，每張毛巾的批發(fā)價(jià)平均為 070 元， 每次訂貨的平均費(fèi)用為 112 元。即每次訂貨， 不論購(gòu)買的數(shù)量多少都要支出 112 元?，F(xiàn)在商店 是每半年進(jìn)一次貨，一年進(jìn)兩次貨 。每張毛巾 的存貯費(fèi)用一年為 0126 元。這個(gè)商店的經(jīng)理 感覺(jué)到每年訂貨兩次看來(lái)并非是一個(gè)好的訂貨 方法，他希望能找到一種方法能幫助他確定每年 應(yīng)該訂貨幾次。 每次的數(shù)量應(yīng)該為多少， 將可能 為他節(jié)約一筆總的庫(kù)存費(fèi)用。解析： 現(xiàn)在“百花”商店是每年進(jìn)貨兩次 ，每 年

14、毛巾的需求量是 H=（400*360）144000 張 ，則 每次訂貨數(shù)量為 144000/2=72000 張。 這個(gè)庫(kù)存問(wèn)題是等量需求及時(shí)補(bǔ)充的 ，因此不 會(huì)產(chǎn)生脫銷費(fèi)用。這時(shí)的年度總庫(kù)存費(fèi)用 =年訂 貨 費(fèi) 用 + 年 存 貯 費(fèi) 用 ， 用 公 式 表 示 為 A=B+C其中 A 為年總庫(kù)存費(fèi)用；B 為 年 訂 貨 費(fèi) 用 ， B=HS/Q ，式中 H 為年需求量，本例 H=144000張 。S 為每次訂貨費(fèi)用 ， S=112元。 Q 為每 次訂貨量 ，本例 Q=72000 張。則B=HS/Q =144000 112/72000=224元。 每年訂 貨次數(shù)( N= H/Q) ，則 B=N

15、S=2 112=224 元。C 為年存貯費(fèi)用， C=Q/2K， 存量。K 為單位商品的存貯費(fèi)用， Q/2 為平均庫(kù) 本例 K=0.126 元 ，則 C=72000/2 0.126=4536元。因此“百花”商店每年訂貨兩次，每 次訂貨量 為 72000 張時(shí)的總庫(kù)存費(fèi)用為 A=B 十 C=224 4536=4760 元。3. 國(guó)民收入的穩(wěn)定分析模型 本模型主要討論國(guó)民收入與消費(fèi)和積累之 間的關(guān)系問(wèn)題 .設(shè)第 t 期內(nèi)的國(guó)民收入 yt 主要用于該期內(nèi)的 消費(fèi) Gt, 再生產(chǎn)投資 It 和政府用于公共設(shè)施的開(kāi) 支 G（定為常數(shù) ）, 即有yt Ct It G(9.17)又設(shè)第 t 期的消費(fèi)水平與前一

16、期的國(guó)民收入 水平有關(guān) , 即Ct Ayt 1 (0 A 1) (9.18) 第 t 期的生產(chǎn)投資應(yīng)取決于消費(fèi)水平的變化 即有It B(Ct Ct 1)(9.19)由方程 (9.17), (9.18), (9.19)合并整理得 yt A(1 B)yt1 BAyt 2 G (9.20) 于是, 對(duì)應(yīng) A, B, G 以及 y0, y,可求解方程 , 并 討論國(guó)民收入的變化趨勢(shì)和穩(wěn)定性 .例： 社會(huì)原收入水平 1000億元，消費(fèi)為 800 億 元。當(dāng)收入增加至 1200 億元時(shí)，消費(fèi)增加至 900 億元。解：平均消費(fèi)傾向： APC=C/Y=900/1200=0.75 平均儲(chǔ)蓄傾向： APS=1-APC=1-0.75=0.25 邊 際 消 費(fèi) 傾 向 ： MPC= C/ Y=(900-800)/(1200-1000)=0.5儲(chǔ)蓄傾向： MPS=1-MPC=1-0.5=0.5 自發(fā)總支出增加 50 億元，GDP 會(huì)增加多少。Y=1/(1-c) AE Y=1/(1-c)