常微分方程的應用

1、常微分方程的應用17常微分方程應用結(jié)課作業(yè)學院：輕工與紡織學院 班級：服裝設計與工程 13-1 班 學號： 201321805024 姓名：周志彬常微分方程經(jīng)濟應用微分方程在不僅在物理學、 力學上有廣泛的應 用，在經(jīng)濟學和管理科學等實際問題中也比比皆 是，本次我們將集中討論微分方程的經(jīng)濟應用。 讀者可從中感受到應用數(shù)學建模的理論和方法 解決經(jīng)濟管理實際問題的魅力 .隨著社會經(jīng)濟的迅速發(fā)展 , 數(shù)學在我們的生 活中可以說無處不在 , 尤其是在經(jīng)濟管理中的應 用越來越廣泛 . 經(jīng)濟學必須進行定量研究 . 而常 微分方程是對經(jīng)濟管理問題進行定量研究的最 重要、最基本的數(shù)學工具之一， 為了研究經(jīng)濟變

2、量之間的聯(lián)系及其內(nèi)在規(guī)律 , 常常需要建立某一 經(jīng)濟函數(shù)及其導數(shù)所滿足的關(guān)系式 , 并由此確定 所研究函數(shù)的形式 , 從而根據(jù)一些已知條件來確 定該函數(shù)的表達式 . 從數(shù)學上講 , 就是建立微分 方程并求解微分方程 . 用微分方程解決問題，下 面就是幾個例子：一、公司資產(chǎn)函數(shù)例。某公司 t 年凈資產(chǎn)有 W(t)(百萬元 ), 并且 資產(chǎn)本身以每年 5% 的速度連續(xù)增長 , 同時該公 司每年要以 300 百萬元的數(shù)額連續(xù)支付職工工 資.(1) 給出描述凈資產(chǎn) W(t) 的微分方程 ;(2) 求解方程 , 這時假設初始凈資產(chǎn)為 W0;(3) 討論在 W0 500, 600, 700三種情況下 ,

3、W(t) 變化 特點.解 (1) 利用平衡法，即由凈資產(chǎn)增長速度 資產(chǎn)本身增長速度職工工資支付速度 得到所求微分方程dW 0.05W 30.dt(2) 分離變量，得dW0.05dt .W 600600| 0.05t lnC1 (C1兩邊積分，得 ln |W 于是|W 600| C1e0.05t , 或 W 600 Ce0.05t (C C1). 將 W(0) W0 代入，得方程通解：W 600 (W0 600)e0.05t.上式推導過程中 W 600,當 W 600時， dW 0知dtW 600 (W0 600)e0.05t , W 600 W0, 通常稱為 平衡解 ，仍包含在通解表達式中 .

4、(3) 由通解表達式可知，當 W0500 百萬元時，凈資 產(chǎn)額單調(diào)遞減，公司將在第 36 年破產(chǎn)；當 W0600 百萬元時，公司將收支平衡，將資產(chǎn)保持在 600 百萬元不變；當 W0700 百萬元時，公司凈資產(chǎn)將 按指數(shù)不斷增大 .二、價格調(diào)整模型例 如果設某商品在時刻 t 的售價為 P, 社會 對該商品的需求量和供給量分別是 P 的函數(shù) D(P),S(P), 則在時刻 t 的價格 P(t)對于時間 t 的變化率 可認為與該商品在同時刻的超額需求量 D(P) S(P) 成正比 , 即有微分方程ddPt kD(P) S(P) (k 0) (1.3) 在 D(P)和 S(P)確定情況下 , 可解出

5、價格與 t 的函數(shù) 關(guān)系，這就是 商品的價格調(diào)整模型 .例如： 某種商品的價格變化主要服從市場 供求關(guān)系 . 一般情況下 ,商品供給量 S 是價格 P 的單調(diào)遞增函數(shù) , 商品需求量 Q 是價格 P的單調(diào) 遞減函數(shù) , 為簡單起見 , 分別設該商品的供給函數(shù)與需求函數(shù)分別為(8.6)S(P) a bP, Q(P) P 其中 a,b, , 均為常數(shù) , 且 b 0, 0.當供給量與需求量相等時 , 由(8.6)可得供求 平衡時的價格Peab并稱 Pe為均衡價格 .一般地說 , 當某種商品供不應求 , 即 S Q時 該商品價格要漲 , 當供大于求 , 即 S Q 時, 該商 品價格要落 . 因此,

6、 假設 t 時刻的價格 P(t) 的變化 率與超額需求量 Q S成正比 , 于是有方程dP其中 k 0,ddPt kQ(P) S(P) 用來反映價格的調(diào)整速度 .(8.6)代入方程 , 可得 ddPt (Pe P)(8.7)其中常數(shù) (b )k 0,方程 (8.7)的通解為P(t) Pe Ce t假設初始價格 P(0) P0,代入上式 , 得 C P0 Pe,于 是上述價格調(diào)整模型的解為P(t) Pe (P0 Pe)e 由于 0知, t 時, P(t) Pe. 說明隨著時間不斷推 延, 實際價格 P(t) 將逐漸趨近均衡價格 Pe.三、新產(chǎn)品的銷售速度分析記時刻 t 時已售出的新產(chǎn)品數(shù)為 X(

7、t), 假設該 產(chǎn)品使用方便 ,這些正在使用的新產(chǎn)品實際上起 著宣傳的作用 ,吸引著尚未購買的顧客 ,設每一個 新產(chǎn)品在單位時間內(nèi)平均吸引 K 個顧客 ,由此可 知,X(t) 滿足微分方程 :dXdt=KX,X(0)=0.其解為 : X(t)=X 0eKt .若取 t=0 表示新產(chǎn)品誕生的時刻： 則 X(t)=0, 與事實不符，它只考慮了實物廣告的作用 , 而忽略了廠家可以通過其他方式宣傳新產(chǎn)品從 而打開銷路的可能性， 所以呢應該有個上界， 設 需求量的上界為 K, 則尚未使用新產(chǎn)品的戶數(shù)為 ( K-X(t) )由統(tǒng)計規(guī)律可知 ,dXdt 與 X(K-X) 成正 比 ,比例系數(shù)為 r,則： d

8、Xdt=rX(K-X)它的解為 X(t)=K/1+ce -Krt 一階導數(shù) Xc(t)=cK 2re-Krt / 1+ce-Krt二階導數(shù) Xd(t)=cK 3r 2(ce-Krt -1)(1+ce-Krt )2 當 Xc(t)0 時,X(t) 單調(diào)增加 , 由 Xd(t)=0得出 ce-Krt 0=1, 此時 X(t 0)=K/2 當 t0, 即 Xc(t) 單調(diào)增加 , 這表示 在銷售量小于最大需求量的一半時 , 銷售速度 Xc(t) 不斷增大 ; 當 tt0 時,Xd(t)t0), 銷售速度 Xc(t) 開始下降。所以，用戶采用某一新產(chǎn)品的這段時期 , 應 是該產(chǎn)品正式大批量生產(chǎn)的較合適

9、的時期 , 初期 應采用小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳 , 后期則應適 時轉(zhuǎn)產(chǎn) , 這樣做可以取得較高的經(jīng)濟效益！四、差分方程在經(jīng)濟學中的應用采用與微分方程完全類似方法， 我們可以建 立在經(jīng)濟學中的差分方程模型， 下面舉例說明其 應用.1. “籌措教育經(jīng)費”模型某家庭從現(xiàn)在著手 , 從每月工資中拿出一 部分資金存入銀行 , 用于投資子女的教育 , 并計 算 20 年后開始從投資賬戶中每月支取 1 000 元 , 直到 10 年后子女大學畢業(yè)并用完全部資金 . 要 實現(xiàn)這個投資目標 , 20年內(nèi)要總共籌措多少資金 ? 每月要在銀行存入多少錢 ? 假設投資的月利率 為 0.5%, 為此 , 設第 t 個

10、月 , 投資賬戶資金為 at, 每月存資金為 b 元, 于是 20 年后 , 關(guān)于 at ,的差分 方程模型為at 1 (1.005) at 1000(9.11)且 a120 0,a0 x.例： 某家庭從現(xiàn)在開始 ,從每月工資中拿出一部 分資金存入銀行 ,用于投資子女的教育 ,計劃 20 年后開始從投資帳戶中每月只取 1000元 ,直到 10 年后子女大學畢業(yè)并用完全部資金 .要實現(xiàn)這個 投資目標 ,20 年內(nèi)要總共籌措多少資金 ?每月要 在銀行存入多少錢 ?假設投資的月利率為 0.5%, 解：設第 t 個月 ,投資帳戶資金為 ta,每月存資金 為 b 元,于是,20 年后,關(guān)于 ta 的差分

11、方程模型為 at 1 1.005at 1000(9.11)a120 0, a0 x.且解方程(9.11)得其通解為at (1.005)t A 1 1100.0005 (1.005)t A 200000, 其中 A為任意常數(shù) .因為120a120 (1.005)120 A 200000 0, a0 A 200000 x,從而有 x 200000 200001200 90073.45 .(1.005)120從現(xiàn)在到 20 年內(nèi) , at滿足方程at 1 (1.005 )a t b(9.12)且 a0 0, a240 90073 .45.解方程 (9.12)得通解at (1.005)t A 1 1b

12、.005 (1.005)t A 200b,以 及 a240 (1.005) 240 A 200b 90073.45, a0 A 200b 0, 從 而 有 b 194.95.即要 達到 投資 目標,20 年內(nèi) 要籌 措資金 90073.45 元,平均每月要存入 194.95 元.2. 價格與庫存模型 本模型考慮庫存與價格之間的關(guān)系設 P(t)為第 t 個時段某類產(chǎn)品的價格 , L(t) 為第 t 個時段的庫存量 . L 為該產(chǎn)品的合理庫存量 . 一 般情況下 , 如果庫存量超過合理庫存 , 則該產(chǎn)品 的售價要下跌 , 如果庫存量低于合理庫存 , 則該 產(chǎn)品售價要上漲 , 于是有方程Pt 1 P

13、t k(L Lt )(9.13)其中 k 為比例常數(shù) .例： “百花”小商店是一個專門經(jīng)營各類毛巾 的商店。每年營業(yè)時間為 360 天，每天平均售出 400張毛巾，每張毛巾的批發(fā)價平均為 070 元， 每次訂貨的平均費用為 112 元。即每次訂貨， 不論購買的數(shù)量多少都要支出 112 元?，F(xiàn)在商店 是每半年進一次貨，一年進兩次貨 。每張毛巾 的存貯費用一年為 0126 元。這個商店的經(jīng)理 感覺到每年訂貨兩次看來并非是一個好的訂貨 方法，他希望能找到一種方法能幫助他確定每年 應該訂貨幾次。 每次的數(shù)量應該為多少， 將可能 為他節(jié)約一筆總的庫存費用。解析： 現(xiàn)在“百花”商店是每年進貨兩次 ，每 年

14、毛巾的需求量是 H=（400*360）144000 張 ，則 每次訂貨數(shù)量為 144000/2=72000 張。 這個庫存問題是等量需求及時補充的 ，因此不 會產(chǎn)生脫銷費用。這時的年度總庫存費用 =年訂 貨 費 用 + 年 存 貯 費 用 ， 用 公 式 表 示 為 A=B+C其中 A 為年總庫存費用；B 為 年 訂 貨 費 用 ， B=HS/Q ，式中 H 為年需求量，本例 H=144000張 。S 為每次訂貨費用 ， S=112元。 Q 為每 次訂貨量 ，本例 Q=72000 張。則B=HS/Q =144000 112/72000=224元。 每年訂 貨次數(shù)( N= H/Q) ，則 B=N

15、S=2 112=224 元。C 為年存貯費用， C=Q/2K， 存量。K 為單位商品的存貯費用， Q/2 為平均庫 本例 K=0.126 元 ，則 C=72000/2 0.126=4536元。因此“百花”商店每年訂貨兩次，每 次訂貨量 為 72000 張時的總庫存費用為 A=B 十 C=224 4536=4760 元。3. 國民收入的穩(wěn)定分析模型 本模型主要討論國民收入與消費和積累之 間的關(guān)系問題 .設第 t 期內(nèi)的國民收入 yt 主要用于該期內(nèi)的 消費 Gt, 再生產(chǎn)投資 It 和政府用于公共設施的開 支 G（定為常數(shù) ）, 即有yt Ct It G(9.17)又設第 t 期的消費水平與前一

16、期的國民收入 水平有關(guān) , 即Ct Ayt 1 (0 A 1) (9.18) 第 t 期的生產(chǎn)投資應取決于消費水平的變化 即有It B(Ct Ct 1)(9.19)由方程 (9.17), (9.18), (9.19)合并整理得 yt A(1 B)yt1 BAyt 2 G (9.20) 于是, 對應 A, B, G 以及 y0, y,可求解方程 , 并 討論國民收入的變化趨勢和穩(wěn)定性 .例： 社會原收入水平 1000億元，消費為 800 億 元。當收入增加至 1200 億元時，消費增加至 900 億元。解：平均消費傾向： APC=C/Y=900/1200=0.75 平均儲蓄傾向： APS=1-APC=1-0.75=0.25 邊 際 消 費 傾 向 ： MPC= C/ Y=(900-800)/(1200-1000)=0.5儲蓄傾向： MPS=1-MPC=1-0.5=0.5 自發(fā)總支出增加 50 億元，GDP 會增加多少。Y=1/(1-c) AE Y=1/(1-c)