八年級數(shù)學(xué)下冊講解與例題：18.5 一元二次方程的應(yīng)用

1、一元二次方程的應(yīng)用1列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟(1) 應(yīng)用題考查的是如何把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，然后用數(shù)學(xué)知識和方法加以解決 的一種能力，列方程解應(yīng)用題最關(guān)鍵的是審題，通過審題弄清已知量與未知量之間的等量關(guān) 系，從而正確地列出方程概括來說就是實際問題數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)問題的解實際 問題的答案(2) 一般情況下列方程解決實際問題的一般步驟如下：1 審：是指讀懂題目，弄清題意和題目中的已知量、未知量，并能夠找出能表示實際問 題全部含義的等量關(guān)系2 設(shè)：是在理清題意的前提下 ，進(jìn)行未知量的假設(shè)(分直接與間接)3 列：是指列方程，根據(jù)等量關(guān)系列出方程4 解：就是解所列方程，求出未知量的值5 驗：是指檢驗

2、所求方程的解是否正確，然后檢驗所得方程的解是否符合實際意義，不 滿足要求的應(yīng)舍去6 答：即寫出答案，不要忘記單位名稱找出相等關(guān)系的關(guān)鍵是審題，審題是列方程 (組)的基礎(chǔ)，找出相等關(guān)系是列 方程(組)解應(yīng)用題的關(guān)鍵【例 1】某單位組織員工去某風(fēng)景區(qū)旅游，共支付給陽光旅行社旅游費用 27 000 元請 問該單位這次共有多少員工去該風(fēng)景區(qū)旅游？分析：人數(shù)人均旅游費用付給旅行社的總費用，可設(shè)這次共有 x 名員工去某風(fēng)景區(qū)旅游，由于 1 0002525 00027 000，所以員工人數(shù)肯定超過 25 人，由于人數(shù)比 25 增 加了(x25)人，因此人均費用比 1 000 元降低了 20(x25)元，即此

3、時人均費用為元這類問題的解決通法是設(shè)出未知數(shù)后，用未知數(shù)與給出的一組數(shù)據(jù)作比較，比較的目的就是利 用規(guī)律表示出相等關(guān)系，進(jìn)而得到方程，解出方程后，還需判斷解是否符合實際意義解：設(shè)該單位這次共有 x 名員工去風(fēng)景區(qū)旅游因為 1 0002525 00027 000，所以員工人數(shù)一定超過 25 人可得方程 x27 000.整理，得 x275x1 3500，解得 x 45，x 30.1 2當(dāng) x 45 時，1 00020(x25)600700，故舍去 x ；1 1當(dāng) x 30 時，1 00020(x25)900700，符合題意2答：該單位這次共有 30 名員工去風(fēng)景區(qū)旅游2常見應(yīng)用題類型(1)數(shù)字問題

4、解有關(guān)數(shù)字問題的應(yīng)用題，首先要能正確地表示諸如多位數(shù)、奇偶數(shù)，連續(xù)的整數(shù)的形 式，如一個三位數(shù)可表示為 100a10bc，連續(xù)三個偶數(shù)可表示為 2n2，2n,2n2(n 為整數(shù))等，其次解這類問題 的關(guān)鍵是正確而巧妙地設(shè)出未知量，一般采用間接設(shè)元法，如有 關(guān)奇數(shù)個連續(xù)數(shù)問題，一般設(shè)中間一個數(shù)為 x，再用含 x 的代數(shù)式表示其他數(shù)，又如多位數(shù)問題，一般設(shè)這個多位數(shù)的某個數(shù)位上的數(shù)字，再用代數(shù)式表示其余數(shù)位上的數(shù)字，等量關(guān) 系由題目中的關(guān)鍵語句“譯出”(2)增長率問題增長率問題分正增長率問題與負(fù)增長率問題這類問題是在原來的量的基礎(chǔ)上增長 (或降低 )多少個百分比的問題若 設(shè)原來的產(chǎn)量 為 a，年平

5、均增長率為 x，則一年后的產(chǎn)量為 a(1x)而兩年后的產(chǎn)量又以 a(1x)為基礎(chǔ)， 因平均增長率為 x，可表示為 a(1x)(1x)a(1x)2.同樣，若 x 表示平均降低率，則一 年后產(chǎn)量為 a(1x)，兩年后產(chǎn)量為 a(1x)2.也就是說，對于正的增長率問題，在弄清楚增長的次數(shù)和問題中每一個數(shù)據(jù)的意義后， 即可利用公式 a(1x)2b 求解，其中 ab.對于負(fù)的增長率問題，若經(jīng)過兩次相等下降后， 則有公式 a(1x)2b 即可求解，其中 ab.【例 21】某兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位上的數(shù)字之和是 5，把這個數(shù)的個位上的數(shù)字與 十位上的數(shù)字對調(diào)后，所得的新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的乘積為 736，求原

6、來的兩位數(shù)分析：本題等量關(guān)系比較明顯：新的兩位數(shù)原來的兩位數(shù)736，關(guān)鍵是如何表示出 這兩個兩位數(shù)和整理方程，要注意檢驗是否求得的解都符合題意解：設(shè) 原兩位數(shù)的十位數(shù)字為 x，則個位數(shù)字為(5x)，由題意，得736.整理，得 x25x60，解得 x 2，x 3.1 2當(dāng) x2 時，5x3，符合題意，原兩位數(shù)是 23. 當(dāng) x3 時，5x2 符合題意，原兩位數(shù) 是 32.答：原來的兩位數(shù)是 23 或 32.【例 22】我國人均用紙為 28 千克，每個初中畢業(yè)生離校時大約有 10 千克廢紙；用 1 噸廢紙造出來的 再生好紙，所能節(jié)約的造紙木材相當(dāng)于 18 棵大樹，而平均每畝森林只有 50 至 80

7、 棵這樣的大樹(1) 若某市 2012 年初中畢業(yè)生中環(huán)保意識較強的 5 萬 人，能把自己離校時的全部廢紙 送到回收站使之制造為再生好紙，那么最少可使多少畝森林免遭砍伐？(2) 該市從 2008 年初開始實施天然林保護(hù)工程，到 2010 年初成效顯著，森林面積大約 由 1 374.094 萬畝增加到 1 500.545 萬畝假設(shè)該地區(qū)年用紙量的 15%可以作為廢紙回收利 用，并且森林面積年均增長率保持不變，請你按該市總?cè)丝跒?415 萬計算：在從 2012 年初 到 2013 年初這一年內(nèi)，該市新增加的森林面積與因廢紙回收利用所能保護(hù)的森林面積之和 最多可能達(dá)到多少畝(精確到 1 畝)?解：

8、(1)5 萬名初中畢業(yè)生廢紙回收使森林免遭砍伐的最少畝數(shù)為 5104101 0001880112.5(畝)(2)設(shè) 2008 年到 2010 年初我市森林面積年均增長率為 x，則 1 374.094(1x)21 500.545.故 x 0.0454.5%，x 2.045(舍去)1 2所以 2012 年初到 2013 年初全年新增森林面積：1 500.545104(14.5%)24.5%737 385(畝)又全市回收廢紙所能保護(hù)的森林面積最多為4151042815%1 00018506 275(畝)新增森林面積和保護(hù)森林面積之和為：737 3856 275743 660(畝)3銷售利潤問題在這類

9、問題中，有進(jìn)價 (a)、售價(b)、利潤(p) 、件數(shù) (n)等相關(guān)的量，這些量之間的 關(guān)系可用公式 p(ba)n 來表示，同時，件數(shù)(n)又經(jīng)常與售價(b)聯(lián)系在一起，在解答此類問題時，一定要準(zhǔn)確地找到反映它們關(guān)系的代數(shù)式即利潤問題主要用到的關(guān)系式是：(1) 每件利潤每件售價每件進(jìn)價；(2)總利潤每件利潤總件數(shù)_ _ 【例 3】某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯 衫每降價 1 元，商場平均每天可多售出 2 件，若商場平均每天要盈利 1 200 元，每件襯衫應(yīng) 降價多少元？分析：不妨設(shè)每件襯衫降價 x 元，則每件襯衫盈利(40x)元，根據(jù)每降價 1 元，就多 售 2 件得降價 x 元，多售 2x 件，即降價后每天可賣出(202x)件，由關(guān)系式：總利潤每個商品的利潤售出商品的總