小波理論基礎(chǔ)上的NVH分析與計(jì)算.

1、基于哈爾小波的降低汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)體振動(dòng)的最優(yōu)控制摘要 ：本文運(yùn)用哈爾小波討論了發(fā)動(dòng)機(jī)體系統(tǒng)振動(dòng)的建模和彈跳俯仰振動(dòng)的最 優(yōu)控制。作者重點(diǎn)集中在基于哈爾小波的降低發(fā)動(dòng)機(jī)體系統(tǒng)振動(dòng)計(jì)算的發(fā)展上， 保證獲得理想的 L2 增益性能。引入了哈爾小波的性能，并利用它近似找到降低 振動(dòng)的規(guī)律和最優(yōu)控制，只需求解代數(shù)方程而不用求解 Riccati 微分方程。數(shù)值 結(jié)果用來(lái)說(shuō)明該方法的優(yōu)勢(shì)。關(guān)鍵字：哈爾小波發(fā)動(dòng)機(jī)體系統(tǒng)控制減振1. 引言近年來(lái)，汽車(chē)的噪聲和振動(dòng)變得越來(lái)越重要 22,25,31,32,37 。發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生 的振動(dòng)通過(guò)動(dòng)力總成裝置傳遞給底盤(pán)成為一大問(wèn)題 （ 見(jiàn)圖 1，2）。發(fā)動(dòng)機(jī)和動(dòng)力 總成裝置通常以隔離

2、發(fā)動(dòng)機(jī)和底盤(pán)、 限制發(fā)動(dòng)機(jī)運(yùn)動(dòng)為設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)。 發(fā)動(dòng)機(jī)裝置是 一個(gè)有效的被動(dòng)方法來(lái)隔離發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)傳到底盤(pán)的機(jī)構(gòu)。 然而，用于隔離的被動(dòng) 方法只在高頻率范圍內(nèi)有效。 可是，發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的振動(dòng)干擾主要發(fā)生在低頻率范 圍 8,21,25,32 。這些振動(dòng)是由于汽缸內(nèi)燃油爆燃和發(fā)動(dòng)機(jī)不同部件的旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生 的（如圖 3）。為了衰減發(fā)動(dòng)機(jī)的低頻振動(dòng)，同時(shí)保證空間和數(shù)值不變，主動(dòng)減 振方法是必須的。有很多控制技術(shù)，諸如比例積分導(dǎo)數(shù)（PID）或滯后補(bǔ)償、線性二次咼斯（LQG）、 H2、店、u-綜合前饋控制等，已經(jīng)被應(yīng)用于振動(dòng)控制系統(tǒng) 1 , 3, 4, 10, 11, 15， 26， 28， 33， 34， 36，

3、37 。前饋控制的主要特征是：關(guān)于干擾源的信息是 可利用的，通常通過(guò)過(guò)濾X-最小平方差FX-LMS算法來(lái)實(shí)現(xiàn)?？墒?，在反饋控制 中,干擾源是假定未知的,于是存在多種不同的反饋控制方案來(lái)衰減未知煩擾, 從經(jīng)典方法到先進(jìn)方法。近來(lái)，通過(guò)Hx反饋控制得到的性能結(jié)果和通過(guò)用FX-LMS算法的前饋控制器得到的結(jié)果相比較，在32，37汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)體振動(dòng)系 統(tǒng)。通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，反饋控制器實(shí)現(xiàn)了干擾衰減，然而，相比于運(yùn)用FX-LMS算法的前饋控制器，反饋控制器性能要差些。另一方面，F(xiàn)X-LMS算法比較復(fù)雜，包含許多參數(shù)用來(lái)穩(wěn)定同步。 可是，最優(yōu)控制設(shè)計(jì)還沒(méi)有在汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)體振動(dòng)系 統(tǒng)中完全研究，仍是重要和富有挑戰(zhàn)性

4、的 。另一方面，小波理論相對(duì)較新，在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中是一個(gè)新興領(lǐng)域 2 。它 被廣泛應(yīng)用于各種工程學(xué)科，諸如信號(hào)處理、模式識(shí)別和計(jì)算圖形。近來(lái)，也有 些試圖用于解決表面積分方程， 改進(jìn)有限微分方法， 求解線性微分方程和非線性 偏微分方程以及建模非線性半導(dǎo)體方程 5-7 ， 13， 16-18， 23， 29. 最近，正在 研究用于識(shí)別控制非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的小波網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用 19 。chassis subfrmeengine mount point圖2奧迪A8的前橋，摘自24,32Engine Mouni.Engjnt Bloc!Chi 游PlftDAZCrunk圖3由發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的振動(dòng)傳遞給底盤(pán)方程

5、29，正交函數(shù)，像哈爾小波 13,16 ，Walsh方程7,block pulseLaguerre多項(xiàng)式14 , legendry多項(xiàng)式5 , Chebysher方程12和傅立葉級(jí)數(shù) 30,通常用來(lái)代表任意時(shí)間方程，在處理各種動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中，已經(jīng)獲得人們相 當(dāng)?shù)年P(guān)注。這些技術(shù)的主要特征是將這些問(wèn)題簡(jiǎn)化為求解系統(tǒng)的代數(shù)方程，用微分方程描述求解問(wèn)題，諸如分析線性時(shí)不變系統(tǒng)16,27，奇異攝動(dòng)系統(tǒng)17，二階系統(tǒng)18，時(shí)變系統(tǒng)20,23，模型降階，優(yōu)化控制16-18,20和系統(tǒng)辨識(shí) 13,16。因此，求解識(shí)別和優(yōu)化過(guò)程大大降低或簡(jiǎn)化很多。這些可利用的正交 函數(shù)可以分為3類(lèi)：分段基礎(chǔ)函數(shù)，legendry

6、諸如哈爾小波、Walsh方程和black pulse方程，正交多項(xiàng)式，諸如，Laguerre、legendry、hebysher和傅立葉級(jí)數(shù) 23中的正余弦函數(shù)。在這方面，我們第一次引入基于哈爾小波的用于有限最優(yōu)控制解決汽車(chē)發(fā)動(dòng) 機(jī)體振動(dòng)系統(tǒng)問(wèn)題的計(jì)算求解。發(fā)動(dòng)機(jī)體振動(dòng)結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)為：用于研究 最優(yōu)控制的作動(dòng)器和傳感器被選配。此外，哈爾小波的性質(zhì)、哈爾小波積分和 product operational矩陣被給予并應(yīng)用提供一個(gè)系統(tǒng)計(jì)算框架。汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)體 振動(dòng)系統(tǒng)的最優(yōu)Majectory?和有限時(shí)間最優(yōu)控制可以大概通過(guò)力性能獲得，H %性能通過(guò)求解線性代數(shù)方程而不是求解微分方程求得。一個(gè)最主

7、要的優(yōu)點(diǎn)是： 求解線性代數(shù)方程替代求解非線性微分Riccati方程，來(lái)優(yōu)化汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)體振動(dòng)系統(tǒng)的控制問(wèn)題。另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中基于哈爾小波的優(yōu)化控制可以簡(jiǎn)單 完成。我們通過(guò)模擬結(jié)果演示這項(xiàng)技術(shù)的應(yīng)用。本文章的結(jié)果安排如下：第二部分引入哈爾小波的性質(zhì)，第三部分陳述了發(fā) 動(dòng)機(jī)體振動(dòng)結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，第四部分給出了發(fā)動(dòng)機(jī)體系統(tǒng)的代數(shù)解，第五部分描述了基于哈爾小波的最優(yōu)方法和最優(yōu)控制。發(fā)動(dòng)機(jī)體振動(dòng)系統(tǒng)的最優(yōu)控制的模 擬結(jié)果在第六部分表示出來(lái)，最后討論結(jié)果。貫穿全文的批注都是相當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)的，矩陣Ir ，Or和Or*s是一致的，以及分別 用r*r,r*r,r*s表示零矩陣。符號(hào)和 分別表示Kronecker

8、乘積和內(nèi)積.同樣，tr(A)、vec(x)分別表示矩陣A的TRAC和通過(guò)將矩陣M排成一列獲得的向量。最后， 所給的符號(hào)x(t) , _ x(t) _2表示x(t)的L2平均數(shù)等等，_x(t) _22= _0x(t) Tx(t) dt ?、.2.哈爾小波的性質(zhì)最古老、最基本的小波系統(tǒng)命名為哈爾小波，它是一組方波，這些方波大小為土 1,在0，1區(qū)間6內(nèi)。換句話說(shuō)，哈爾小波是定義在區(qū)間0, 1)L r w 0+ I)*(1)1 * tor t w 0, 4),一 L tor t 4* 1) *書(shū) i (t)= 書(shū) 1(2 j t - k) 當(dāng) i 1 時(shí)書(shū) 0(t) and 書(shū) 1(t)我們將i寫(xiě)成

9、i = 2 j + k 對(duì)于j 0 and 0 k 2 j . 可以輕易看出書(shū)0(t)和書(shū)1(t) 緊緊支持。它們由相對(duì)應(yīng)的功能，在不同尺度j時(shí)給予局部 描述。 在接下來(lái)，我們引入哈爾小波的性質(zhì)，它會(huì)應(yīng)用于下面的部分。2.1函數(shù)逼近用在區(qū)間為0 , 1)的哈爾函數(shù)書(shū)0(t),書(shū)1(t),.,書(shū)m- 1(t) 術(shù)語(yǔ)表示的任何平方可積函數(shù)y(t)的有限次逼近值，用？ y(t)表述可如下給出：rtl Iy (t)=，歎險(xiǎn)；=丿%(“1=0其中 a ：= a0a1 am-1-書(shū) m- 1(t) T m = 2 j以及哈爾系數(shù)ai，它們可以確定最小化平方積分錯(cuò)率砧(F 一 &T%()2_m(t)：=書(shū)

10、0(t)書(shū) 1(t)記錄1.逼近差值_y(m) ：= y (t)- ?y (t)由m決定，增加解析參數(shù)m可以使之趨近于0.矩陣Hm定義為H/n = 2用伽)“心期* (fjjj L) (4)其中i/m ti 2例如，j=3時(shí)，矩陣H8和P8可分別表示為rlr u- 1J- _ 旳旳s/0旳巾旳ro JJl JI. drf JJl. Jrf Jf. rff o 1 773 4 s- 6 7- LO123456rn n /f n. /I- -f,0 1 2 3 4 5 6 7olou-rnbFJi 1 呂斗旳-2Afj一出4和0nc =-164 nr0-0r 32 -16 -8-8一 416 0-

11、8K-A4400-4_ 114 -4000_ 641 19iU-a001 1-2001 -1020I -10_20oloo-4斗00000-440400ou更多信息見(jiàn)13，272.2 The product operati onal matrix?13,20的乘積通常是必要的。現(xiàn)定義乘積操作矩陣？估計(jì)兩個(gè)哈爾函數(shù)向量Am(0 ：= % 屮 fRm(t)滿(mǎn)足如下回歸方程Hm/2 d咤Wm/2diag (Pfrtf)T diag (也怎Rm U)有 | 1更多的，我們%) ；= 0山) *11 卄Vi/2-l Ulr =助%f)：=為竝 Uh flr/2+J (0臨一】卩和需要如下性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化 Th

12、e product operatio nal matrixi 11)其中a1=a0(12)H和 ding (&) diag (fij Hm/2)at）；= a（m/2 1 h、（ *） 丁 2L圖4發(fā)動(dòng)機(jī)體振動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖5由在參數(shù)j=5時(shí)哈爾小波和解析解得到的底盤(pán)振動(dòng)比較3發(fā)動(dòng)機(jī)體系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型對(duì)于控制設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)，一個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)體系統(tǒng)的模型是必須的。通過(guò)37，可以擴(kuò)展出一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)模擬此系統(tǒng)。圖4表示一個(gè)圖解形式的發(fā)動(dòng)機(jī)體振動(dòng)系統(tǒng)， 用于這一控制系統(tǒng)的作動(dòng)器和傳感器選定被配置。對(duì)于一個(gè)有輕微阻尼的結(jié)構(gòu)， 這是一種理想的布置，來(lái)保證這一閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性28。此外，該控制器可檢 測(cè)單頻率信號(hào)，在某一特

13、定頻率可用來(lái)模擬發(fā)動(dòng)機(jī)干擾。在我們的研究中，只考慮發(fā)動(dòng)機(jī)和機(jī)體的彈跳俯仰振動(dòng)。質(zhì)量為 Me轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量為Ie的發(fā)動(dòng)機(jī)，通過(guò)彈簧剛度為ke阻尼為ce懸置安裝在機(jī)體上。前裝置為主動(dòng) 裝置，可以通過(guò)電信號(hào)控制力的輸出。 主動(dòng)裝置包括一個(gè)主缸，它的慣性質(zhì)量上 下變動(dòng)，這個(gè)慣性質(zhì)量由電磁力驅(qū)動(dòng)，電磁力通過(guò)磁圈產(chǎn)生，由輸入電流控制。質(zhì)量為Mi轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ib的汽車(chē)車(chē)體由前后輪胎支撐，每一個(gè)部分作為一個(gè)包 含彈簧剛度為kb阻尼為cb的系統(tǒng)。這樣，一個(gè)四自由度的振動(dòng)懸架模型如圖 4, 可以用如下等式描述：+ 2ce + 2 2 22 (L 2(L = / + 4陽(yáng)3遜4-左2 + 2(舄+炸)工22ce_i 2

14、T + 2( L f)化壬4+2 ( = f人為 +2卩樺3 + 2l2kcxy 2/2Q.i4 2心詁斗=I f丿b 丘4 +(仏 + 4 L )ce +(? + ( 屁 + 2 Ekb)耳42/2ce.n 212kex 21 cei2 / 屆才| + 2(. I)-I- L- I)kX2 L fx1(t), x 2(t), x 3(t) and x4(t)分別表示發(fā)動(dòng)機(jī)及機(jī)體的彈跳和俯仰狀態(tài)。通 常x2(t)作為輸出。輸入力f(t)用來(lái)當(dāng)作主動(dòng)力補(bǔ)償振動(dòng)傳遞給汽車(chē)車(chē)體(或底 盤(pán))。更多的，由內(nèi)部不同部件上下運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的發(fā)動(dòng)機(jī)干擾 de(t)能被激發(fā)。系統(tǒng)(14)可以由下面的狀態(tài)空間形式表示：

15、A/.v(r)+ C + K .r(z)(15)=Bf /(f) + B鳳(縱 t 0, TfCi x(t)z(t = Ci 壬(/)Cyf(t)其中，x(t) R4表示狀態(tài)，f (t) R是控制輸入。de(t) F是干擾輸入，它屬于L20, s), z(t) R3是控制輸出，C1 R1*4, C2 R1*4,C3為主動(dòng)標(biāo)尺。狀態(tài)空間矩陣也可定義為哄0-2(L -訂殊r一2履2血+畑02(L -叭0n_-2lkt-2T皺L1+(-2f)X + 2Z2*b_本文中，必須滿(mǎn)足下列條件，優(yōu)化反饋控制器才能計(jì)算出：1. 閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。2. 在零初始條件下，閉環(huán)系統(tǒng)滿(mǎn)足_ z(t)_2 0可精確

16、標(biāo)定。4系統(tǒng)方程的代數(shù)解在這一部分，我們研究發(fā)動(dòng)機(jī)體系統(tǒng)的二階微分方程的求解問(wèn)題，運(yùn)用哈爾 小波和擴(kuò)展適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)方程進(jìn)行內(nèi)部控制和外部干擾。在區(qū)間為0,1的哈爾小波定義基礎(chǔ)上，我們通過(guò)考慮t = Tf c來(lái)重新調(diào)節(jié) 有限時(shí)間區(qū)間0, Tf )到0, 1)，用時(shí)間范圍來(lái)標(biāo)準(zhǔn)化系統(tǒng)如下：左)+ C ilrr) + K )+ 勵(lì)必. (16)在區(qū)間0, c 對(duì)系統(tǒng)積分可得a/(r)dr + Tf /df(r) dr. (17)ooo為了避免小波的差別，我們?cè)僖淮卧趨^(qū)間0, c )內(nèi)對(duì)(17)積分如下/(T) drd +Je(r) dr TeM i(0)+ Tr C a(0)疋,0 0.r( r I

17、ck il（運(yùn)用擴(kuò)展的哈爾小波，我們可以表示方程（15）的解，輸入力f & ）和發(fā)動(dòng)機(jī)干擾de（ c ）用哈爾小波表示為(I9i（2（nA（T = X 屮曲（7）+/(4x)- 04xl+儷一in這樣，通過(guò)擴(kuò)展小波，關(guān)系式（18）變?yōu)锳f (X A o 2搟 9) + Tf C A/ rrt () dro=I f(rdr 曲o o+丁Bd Dq j/ 4jt( v)dr(J2十(A/ Xoo o+TfC X“而且，通過(guò)方程(6)中的小波積分operati on al矩陣Pm我們可以這樣重新 寫(xiě)方程(24)為V(X-Xoi (m+Tf 5KX P點(diǎn) =乎腸F碼g +Tf弘2疫9)+(A/i0 +

18、 TfCX0)P %(C(25)等價(jià)的，我們有MX - X +TfCXPdT；KXP：(2 =耳& F P盒+Tf旳臥丘+ (射乳+ 丁山后心為了計(jì)算矩陣X,我們?cè)诜匠?26)中運(yùn)用操作向量(.)。根據(jù)Kronecker乘 積的性質(zhì) vec (ABC) = (CT ? A) vec (B), 我們有(vec(X) vec(Xo) + Tf 燉妁 C)vec(X+Tf (P? )vcc(X)= TiPT Bf) vec(F) + Tj ( Bd) vec(De)+ Tj ( P C) veXX + (礎(chǔ)國(guó)如 vccXo)(27)求解方程(27)，導(dǎo)入向量(X)vec(X) = ilivec(r)

19、+ $ vec( Pe + Asvec(Xo)+A4VE (壬o)(28)其中矩陣厶1 , 2 R4m*m,13, 4 R4m*4這樣定義Ai = Tf (Tf (/J C)+Tf (卿K) + M廣】(丘丁 ft)A? = T： (Tf (P、 C)+T； ( 國(guó) K) + im 如)g = (Tf 屮訃 C) + T；心tK)3+陰 Hfj (如 Af+ Tf PC)A4 = (Tf (P丐 C)+T和擰T K) + lm Mr可(& M.于是，運(yùn)用(28)( 29)和Kronecker乘積的性質(zhì)，系統(tǒng)(15)的解可近似 求解為x(tr)=(吧(序) ?4)vec (X),(30)我們也可

20、以清楚的找出系統(tǒng)的逼近解，我們只要反向通過(guò)4m*4r求解矩陣Tf (PTm ? C) + T2f(P2Tm ? K) + Im ? M次即可。5基于哈爾小波最優(yōu)控制設(shè)計(jì)控制的目標(biāo)是運(yùn)用H性能找到逼近的最優(yōu)控制f(t),這樣f(t)可當(dāng)作主動(dòng) 力來(lái)補(bǔ)償傳給車(chē)身(或底盤(pán))的振動(dòng)，保證 預(yù)期的L2。接下來(lái)，我們將在零初 始條件下建立系統(tǒng)(15)的性能。最后，我們引入J = * .vT(Tf) S x (Tf) + xT(Tf) S2 i (TfTf+ f ( J) w-卩跡)山.(31)o眾所周知，對(duì)于每一個(gè)de(t) L20,)來(lái)說(shuō)，不等式J0對(duì)達(dá)到干擾衰減35,38是一個(gè)充分條件。因此，我們將根

21、據(jù)Inf Sup J(vev(F), vecDe) 上面的cost方程也可以寫(xiě)成+“(& FtF)- y2tr Mm D D)(39)其中，矩陣Mm, Mmf Rm*分別定義為% :-陽(yáng) 2）吧E亦 M時(shí)：=%吧,記錄2根據(jù)哈爾小波的性質(zhì)和2.2部分哈爾小波乘積操作矩陣，矩陣 Mr可由下 面回歸方程計(jì)算H亦 diag （%）山咚I H爲(wèi)空%），其中 M1(t) = 1暫：=In F嵐中剛(1 )*比瑞(1)嘰；=jn/2 Pfw U”( I h 曲/2)+1 Pm 中刑(I )* * * r T.切*，其中 ei = 01 x(i -1), 1,01 x (m- i ) for i = 1,2

22、,., m.利用 Kronecker 乘積的性質(zhì) tr(ABC) = vecT(AT) (I ? B) vec(C),我們可以 將(39)式寫(xiě)成1 T -J = -VCC (Jfflug)( Im VCC( Xaui)+ 工(/m C) vecXaug)+CjvecF) AJvec(F) y2 vecT(De vec(De)(40)根據(jù)vec (ABC) = (CT ? A) vec (B)的性質(zhì),我們發(fā)現(xiàn)J =mT(Xaug) 叮 /jj)( Aw 八0主馳扌T+vevTi Xauf) ( /a) i Aw )vec(X；iugH-C|vecT(F)WflJ vec(F) - y2 vecT

23、(De)Ain wc(Q訂).(41)然后，由性質(zhì)(A ? C) (D ? B) = A D ? C B,我們得到1 T - J W I A auj) vcc( XaiipiX 抽習(xí) i 4ffj 1 vcc( A jjr 14-C； vecT(F) Mfj vec(F) - y2 vecT( D) jVfmvec( Dc) 4或J = ； (vecT(Xaug) 口和 vec(XaUg)4-CF) fl沁 vv( F)(43-y2 vecT( De) nffl2 vec fe)其中矩陣 ml R8m*8和m1 Rm*r分別定義為 m1 = Mmf? S? + Tf （Mm ? C?）m2 =

24、Tf Mm o既然cost函數(shù)（43）是一個(gè)向量（De）的函數(shù)，為了找到最壞情況的干擾來(lái) 最小化J，我們要滿(mǎn)足下面的必要條件dJ=化c* vcciPe）方程（43）中最壞情況的干擾144vec*(a)=廠口益T-1 ApP-1 ；4)nM (45)xvcc (Xauci =:VmJvcc aug)將(45)帶入方程(43)，我們得到Jnf Sup J (vec 1Fk vcc(De) fFgcc (如=Inf J (vec (F), vec*(De)(46)vcc t 鬥類(lèi)似的，方程(46)的右邊變成一個(gè)vec(F)的函數(shù)，然后通過(guò)最小化方程(46) 求vec(F)，在次優(yōu)控制和次優(yōu)狀態(tài)軌跡系

25、數(shù)間的代數(shù)關(guān)系可獲得如下vec(F = -C2nX (rijjj Y 口I口曲2 口咖) =J rj/n/vcc ( Xaug)(47)于是我們有Inf Sup J(vcc(F). vcc(De) vcc(48)所以，如果對(duì)于矩陣不等式門(mén)曲i +爲(wèi)口： 口曲2 口剛f 一廠門(mén):J沁門(mén)血蘭“(4Q存在主動(dòng)范圍，那么不等式(32)是可推出的。從關(guān)系式(28)( 29)( 36)( 47),我們?cè)谝恍┚仃囉?jì)算F0得到vec(X)和 vec(F)的次優(yōu)向量vec (X) = (a - (Ai nffl/ + y2A2 n冋)(3 ( a 口町 + *l- 口 初)X片1(現(xiàn)因如j(50)vec (F)

26、 = Vlffjfr 心 iylx (As 口用+ y2 口初卜% 1f4rt!x (打沖(紐口咐+口朋亦q (盅“廠屮|jj可訕)T丿x vec XQ) +J最后，基于哈爾小波的次優(yōu)軌道？和次優(yōu)控制可分別由方程(30)和f (t) = _Tm(t)vec (F)逼近得到。i記錄3 值得注意的是，在上面的關(guān)系式中，參數(shù)r和次優(yōu)H?？刂破飨噙m應(yīng)，這個(gè)結(jié)果可通過(guò)求解下面的優(yōu)化問(wèn)題 Min r到(49)再來(lái)表示作為優(yōu)化H控制器。i記錄4.我們用哈爾小波提供一種新的計(jì)算方法來(lái)計(jì)算二階微分方程的H控制。換句話說(shuō)，根據(jù)第三部分的必要條件1和2,現(xiàn)在的方法是18中結(jié)果的擴(kuò)展。記錄5因?yàn)樵诿恳粋€(gè)m寸間區(qū)間內(nèi)，

27、向量_m(c )是不變的，逼近的優(yōu)化次優(yōu)軌道？和次優(yōu)控制可表述如下：/nm耳=Gi vec(Xq) + 藝 Gj vec(Xo),(-1t-jmm/(/)=工斥 vec (Xo) 工石 vec (Xoh/=有常量矩陣Gi , G - i R4*4m, Fi , F - i R1*4m.其中每一個(gè)時(shí)間區(qū)間 i/m (T i 対20 卿(1 (N/m)2%)圖板3發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)參數(shù)數(shù)值h250 (kg；) 乩10 ikjm25a300,000 0，微分的Reccati方程為又=AJX + X A + X (y-呱砒_ 枷耐)X + CTC有一個(gè)主動(dòng)的半定義解X(t)，這樣A-(B1 BT1 - 丫 -

28、2B2 BT2 ) X(t)是穩(wěn)定的。 然后，控制規(guī)律 u (t) = - BT1 X(t) x(t) := K(t) x(t)滿(mǎn)足_ z(t) _2 丫 _w(t) _2.鳴謝 作者感謝亞歷山大凡提供這項(xiàng)研究的支持，作者同時(shí)想在文章中感謝幫 助他們的同事以及他們的有價(jià)值的建議。參考資料1. Aglietti G, Stoustrup J, Rogers E, Langley R, Gabriel S (1998)LTR con trol methodologies for micro vibrati ons. In: Proceedi ngsof the IEEE CCA pp 624 62

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