微分學(xué)SECTION

1、十、微分的應(yīng)用( I) 函數(shù)的極值1單變量函數(shù)的極值極值(極大值或極小值) 若函數(shù) f (x)在點(diǎn) x0 的雙側(cè)鄰域中有定義，并且對于某鄰域 0|x-x0| 內(nèi)的一切點(diǎn) x，下面不等式成立：f(x) f(x0)則稱函數(shù) f (x)在點(diǎn) x0 處有極大值(或極小值) .極值存在的必要條件 假定函數(shù) f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在有限導(dǎo)數(shù) .若在點(diǎn) x0(a,b)處函數(shù) 有極值，則必有f (x0)=0(1)所以可微函數(shù)的極值只能在使 (1)式成立的點(diǎn)達(dá)到，這種點(diǎn)稱為穩(wěn)定點(diǎn) . 極值存在的充分條件 第一法則 若函數(shù) f(x)滿足條件：(i)在點(diǎn) x0的某鄰域 |x-x0|內(nèi)有定義并且連續(xù)，且在 點(diǎn)

2、x0處， f (x0)=0 或不存在，(ii )在范圍 0|x-x0|內(nèi)有有限的導(dǎo)數(shù) f ( x) ，(iii ) f (x) 在點(diǎn) x0 的左右兩側(cè)有固定的符號，則函數(shù) f (x)在點(diǎn) x0 有無極值見下表：xx x0f(x)f (x)+0+極大值 極小值 上升 下降第二法則 若函數(shù) f(x)有二階導(dǎo)數(shù) f (x) ,并且在點(diǎn) x0處下列條件成立：f (x0)=0及 f (x0)0則函數(shù) f(x)在此點(diǎn)有極值，當(dāng) f ( x0 ) 0時(shí)，有極小值 . 第三法則 設(shè)函數(shù) f ( x)在某鄰域 |x-x0| 內(nèi)有導(dǎo)數(shù) f (x), , f (n)(x) ，且 f (k)(x0 )=0(k=1,

3、,n 1)f (n) (x0)0若 n為偶數(shù)，則函數(shù) f (x)在點(diǎn) x0處有極值(當(dāng) f(n)(x0)0時(shí)有極 小值);若 n為奇數(shù)，則在點(diǎn) x0處無極值 .以上介紹的單變量函數(shù)的極值求法中，求穩(wěn)定點(diǎn)時(shí)最后都?xì)w結(jié)為求方程f (x0 )=0的實(shí)根 .有時(shí)上述方程的實(shí)根不易求得，就要求近似根 .關(guān)于實(shí)根的近似計(jì)算法可參考第三章， 4.2多變量函數(shù)的極值極值 (極大值或極小值 ) 設(shè)函數(shù)y= f (x1,x2, ,xn )= f(x)1 / 11定義于區(qū)域 D 中，且 x0=( x10 ,x20, , xn0 )是這區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn) . 若點(diǎn) x0 有一個(gè)鄰域0|xi xi0|,i=1,2, ,n使對

4、于其中一切點(diǎn)，下面不等式成立：f(x) f(x0) 則稱函數(shù) f (x)在點(diǎn) x0 處有極大值(或極小值) .極值存在的必要條件 假定函數(shù) f(x)在區(qū)域 D 內(nèi)存在有限偏導(dǎo)數(shù) .若在點(diǎn) x0(D)處函數(shù)有極值，則必有f x1 (x0) 02)fx2( x0) 0 fxn( x0) 0x0=( x10 , x20 )為函數(shù) y= f (x1,x2)的穩(wěn)定點(diǎn)， 并有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) .引進(jìn)記號所以極值只能在使( 2)式成立的點(diǎn)達(dá)到，這種點(diǎn)稱為穩(wěn)定點(diǎn) . 極值存在的充分條件 (二元函數(shù)的情形 ) 設(shè)點(diǎn) 并且函數(shù) f (x1,x2)在穩(wěn)定點(diǎn) x0 的鄰域內(nèi)有定義，連續(xù)，0yx1p1x2p2kyp

5、1 p2 x1 x2 上指標(biāo)“ 0”表示偏導(dǎo)數(shù)是在 x0計(jì)算的.記，k = p1+p2x0D1= y x02 ,D2=10yx0120y x2x10yx1x20yx022那末( i)穩(wěn)定點(diǎn) x0是極小點(diǎn)的充分條件是：D10 和 D20即yx012 0 和 y x012 y x022 (yx01x2)/ 110( ii)穩(wěn)定點(diǎn) x0 是極大點(diǎn)的充分條件是：D10即yx012 0若 D20, i=1,2, ,n(ii )穩(wěn)定點(diǎn) x0 是極大點(diǎn)的充分條件是： 所有標(biāo)號為偶數(shù)的行列式是正的， 所有標(biāo)號為奇 數(shù)的行列式是負(fù)的，即Di0, i=2,4,6, 如果上列兩條件都不滿足，那末穩(wěn)定點(diǎn)可以不是極值點(diǎn)

6、 .如果所有的 Di 都是零，就必須考 察更高階的偏導(dǎo)數(shù) .3約束條件為等式的條件極值 求函數(shù)y = f(x), x=(x1,x2, ,xn ) 在 m(m0 D2=Fx12Fx22 (Fx1x2 )2 =800這是一個(gè)極小點(diǎn)，函數(shù)90 y的極小值為 970.懲罰函數(shù)法 在搜索極小點(diǎn)時(shí)引進(jìn)修正函數(shù)m(1)F 的無條件2F = y+ Pk (gk )k1m式中 Pk是任意大的正整數(shù)，Pk(gk)2 稱為懲罰函數(shù) .這樣就可把問題化為新函數(shù)k1極值問題，可以用不斷增大 Pk 的數(shù)值來極小化 .也可引進(jìn)如下形式的新函數(shù) mF = y+ (gk )2Pkk1式中 Pk 是任意大的正整數(shù) .對搜索極大點(diǎn)

7、時(shí)，懲罰函數(shù)前取負(fù)號，即引進(jìn)新函數(shù)m2F = y Pk (gk )2k1m或F = y (gk )2Pkk1例 用懲罰函數(shù)法解例 .解 利用方程( 1 )引進(jìn)修正函數(shù)F = y+P(g)2=4x12 5x22 P(2x1 3x2 6)2解方程組4 / 11Fx28x1 4P(2x1 3x2 6) 0得當(dāng) P 很大時(shí)，5x1= 56 x2，x2=52Px2趨于 9 ，x1趨于15 ，這就是穩(wěn)定點(diǎn) .由于7 1410x2 6P(2x1 3x2 6) 0D1=Fx2 =8(1+P)0x12D2= Fx12 Fx22 (Fx1x2 ) 2 =16(5+14P)0所以穩(wěn)定點(diǎn)是一個(gè)極小點(diǎn)，這和例 1的結(jié)果

8、一致 .4約束條件為不等式的條件極值比前面所考慮的更一般的極值問題是求函數(shù)y =f(x)，x = (x1,x2, ,xn)在 m 個(gè)約束條件gk(x) 0，k =1,2, m, 下的極值問題，這里的 m 不必小于 n.松弛變量法 對每一約束不等式都引進(jìn)一非負(fù)的松弛函數(shù) Si, 將它變?yōu)榈仁剑?i =gi+Si=0 每一松弛函數(shù) Si 僅依賴于一個(gè)松弛變量 xn+i,一般取Si=xn2 i 引進(jìn)松弛函數(shù)后就把問題化為約束條件是等式的極值問題，前面的方法就可以應(yīng)用了 例3 求函數(shù)y =4x12 5x22 在約束條件x1 1 下的極值.解 約束條件可寫為g1=1- x1 0 利用松弛函數(shù) S1(x3

9、)可將這個(gè)不等式約束化為等式1 =g1+S1= 1 x1 + x32 =0 利用直接代入法可在函數(shù) y 中將 x1消去得到y(tǒng)=4(1+ x32 )2+5 x22 這是一個(gè)無約束問題 .穩(wěn)定點(diǎn)是 x2=0,x3=0,所以 x1=1.由于D1= yx2 =100yx3x2yx2 x3yx3210016=1600所以穩(wěn)定點(diǎn)是修改后的以及原來的函數(shù)的極小點(diǎn)，其極小值為 4.拉格朗日乘數(shù)法 引進(jìn)松弛函數(shù)后，將約束不等式化為等式 k =gk+Sk(xn+k)=0, k=1, 2, ,m 同等式約束的情形一樣，引進(jìn)新的目標(biāo)函數(shù)mF=y+ k kk1這是一個(gè) n+2m 個(gè)變量的無約束問題 .穩(wěn)定點(diǎn)可以由解下列

10、方程組得到 FF =0， j=1,2, ,(n+m)xjk =0, k=1, 2, ,m以上介紹的多變量函數(shù)的極值和條件極值求法中，求穩(wěn)定點(diǎn)時(shí)最后都?xì)w結(jié)為求實(shí)函數(shù)方程組fI (x1, x2, ,xn)=0, i=1,2, ,n的一組實(shí)根 .有時(shí)上列方程組的實(shí)根不易求得， 要求近似根 .關(guān)于實(shí)根的近似計(jì)算法可參考第三 章，4.十一、微分的應(yīng)用( II )曲線的性狀與作圖1、曲線的性狀及其條件6 / 11結(jié)點(diǎn)2(i) ac b2 0(ii) 在點(diǎn) P0 的充 分小的鄰域里， 除了點(diǎn) P0 外，沒 有曲線上其他的 點(diǎn). 的符號在二重點(diǎn)中又可分出如下幾種類型的奇點(diǎn) .名稱與圖形 條件與性質(zhì) 舉 例雙紐

11、線(x2 y2 1) 2 4x2 1 是以原點(diǎn) (0,0) 為其結(jié)點(diǎn)孤立點(diǎn)曲線22(x2 y2)(x 1) 0 的軌跡是由直線 x=1和原點(diǎn) (0,0)組 成的，原點(diǎn)就是它 的一個(gè)孤立點(diǎn)7 / 11第一種尖點(diǎn)(i) ac b2 0 (ii)曲線由兩支組 成，在點(diǎn) P0 有公 共切線，這兩支 在其公共法線的 同側(cè)，而在公共 切線的異側(cè) .半立方拋物線23yx是以 原點(diǎn) (0,0) 為其第一種尖 點(diǎn)名稱與圖形條件與性質(zhì)舉例第二種尖點(diǎn)2(i) ac b2 0 (ii)曲線由兩支組 成，在點(diǎn) P0 有公 共切線，這兩支 在其公共法線的 同側(cè)，又在公共 切線的同側(cè) .曲線(y x2) 2 x5 0 在原點(diǎn)的鄰近有兩支， 即y x2 x2 x22y x x x 它們在原點(diǎn)有公共切線，由于 0x1 時(shí)為正，當(dāng) x1 時(shí)為負(fù) .因此，在區(qū)間 (1, 內(nèi)曲線是凹的，在區(qū)間 ,1)內(nèi)曲線是凸的 .因?yàn)?f (x)只當(dāng) x=1時(shí)變號，而 x的這個(gè)值對應(yīng)于一條平行于