小學(xué)數(shù)學(xué)30種典型應(yīng)用題分類講解附帶例題和解題過程

1、小學(xué)數(shù)學(xué) 30 種典型應(yīng)用題講解應(yīng)用題可分為一般應(yīng)用題與典型應(yīng)用題。沒有特定的解答規(guī)律的兩步以上運(yùn)算的應(yīng)用題，叫做一般應(yīng)用題。題目中有特殊的數(shù)量關(guān)系，可以用特定的步驟和方法來解答的應(yīng)用題，叫做典型應(yīng)用題. 以下主要研究 30 類典型應(yīng)用題：1、歸一問題 2、歸總問題 3、和差問題 4、和倍問題 5、差倍問題 6、倍比問題 7、相遇問題 8、追及問題 9、植樹問題 10、年齡問題11、 行船問題12、 列車問題13、 時(shí)鐘問題14、 盈虧問題15、 工程問題16、 正反比例問題 17、按比例分配 18、百分?jǐn)?shù)問題 19、“牛吃草”問題 20、雞兔同籠問題21、 方陣問題22、 商品利潤(rùn)問題 23

2、、存款利率問題 24、溶液濃度問題 25、構(gòu)圖布數(shù)問題 26、幻方問題27、抽屜原則問題 28、公約公倍問題 29、最值問題30、列方程問題1 歸一問題【含義】 在解題時(shí)，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng) 用題叫做歸一問題?！緮?shù)量關(guān)系】 總量份數(shù)1 份數(shù)量1 份數(shù)量所占份數(shù)所求幾份的數(shù)量另一總量（總量份數(shù)）所求份數(shù)【解題思路和方法】 先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。例 1 買 5 支鉛筆要 0.6 元錢，買同樣的鉛筆 16 支，需要多少錢？解（1）買 1 支鉛筆多少錢？ 0.650.12（元）（2）買 16 支鉛筆需要多少錢？0.121

3、61.92（元）列成綜合算式 0.65160.12161.92（元）答：需要 1.92 元。例 2 3 臺(tái)拖拉機(jī) 3 天耕地 90 公頃，照這樣計(jì)算，5 臺(tái)拖拉機(jī) 6 天耕地多少公頃？解（1）1 臺(tái)拖拉機(jī) 1 天耕地多少公頃？ 903310（公頃）（2）5 臺(tái)拖拉機(jī) 6 天耕地多少公頃？ 1056300（公頃）列成綜合算式 9033561030300（公頃）1 / 34答：5 臺(tái)拖拉機(jī) 6 天耕地 300 公頃。例 3 5 輛汽車 4 次可以運(yùn)送 100 噸鋼材，如果用同樣的 7 輛汽車運(yùn)送 105 噸鋼材，需要運(yùn)幾次？解 （1）1 輛汽車 1 次能運(yùn)多少噸鋼材？ 100545（噸）（2） 7

4、 輛汽車 1 次能運(yùn)多少噸鋼材？ 5735（噸）（3） 105 噸鋼材 7 輛汽車需要運(yùn)幾次？ 105353（次）列成綜合算式 105（100547）3（次）答：需要運(yùn) 3 次。2 歸總問題【含義】 解題時(shí)，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總 數(shù)量”是指貨物的總價(jià)、幾小時(shí)（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時(shí)行的總路程等。 【數(shù)量關(guān)系】 1 份數(shù)量份數(shù)總量總量1 份數(shù)量份數(shù)總量另一份數(shù)另一每份數(shù)量【解題思路和方法】 先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。例 1 服裝廠原來做一套衣服用布 3.2 米，改進(jìn)裁剪方法后，每套衣服用布 2.8 米。原

5、來做 791 套衣服的布， 現(xiàn)在可以做多少套？解 （1）這批布總共有多少米？ 3.27912531.2（米）（2）現(xiàn)在可以做多少套？ 2531.22.8904（套）列成綜合算式 3.27912.8904（套）答：現(xiàn)在可以做 904 套。例 2 小華每天讀 24 頁書，12 天讀完了紅巖一書。小明每天讀 36 頁書，幾天可以讀完紅巖？ 解 （1）紅巖這本書總共多少頁？ 2412288（頁）（2）小明幾天可以讀完紅巖？ 288368（天）列成綜合算式 2412368（天）答：小明 8 天可以讀完紅巖。例 3 食堂運(yùn)來一批蔬菜，原計(jì)劃每天吃 50 千克，30 天慢慢消費(fèi)完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見

6、，每天 比原計(jì)劃多吃 10 千克，這批蔬菜可以吃多少天？解 （1）這批蔬菜共有多少千克？ 50301500（千克）（2）這批蔬菜可以吃多少天？ 1500（5010）25（天）列成綜合算式 5030（5010）15006025（天）2 / 34答：這批蔬菜可以吃 25 天。3 和差問題【含義】 已知兩個(gè)數(shù)量的和與差，求這兩個(gè)數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問題?！緮?shù)量關(guān)系】 大數(shù)（和差） 2小數(shù)（和差） 2【解題思路和方法】 簡(jiǎn)單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式。例 1 甲乙兩班共有學(xué)生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求兩班各有多少人？解 甲班人數(shù)（986）252（人）乙班人數(shù)（

7、986）246（人）答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。例 2 長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之和為 18 厘米，長(zhǎng)比寬多 2 厘米，求長(zhǎng)方形的面積。解 長(zhǎng)（182）210（厘米）寬（182）28（厘米）長(zhǎng)方形的面積 10880（平方厘米）答：長(zhǎng)方形的面積為 80 平方厘米。例 3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重 32 千克，乙丙兩袋共重 30 千克，甲丙兩袋共重 22 千克，求三袋 化肥各重多少千克。解 甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（3230）2 千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。 由此可知甲袋化肥重量（222）212（千克）丙袋化肥重量（222）210（千克）乙袋化肥重量321220（千

8、克）答：甲袋化肥重 12 千克，乙袋化肥重 20 千克，丙袋化肥重 10 千克。例 4 甲乙兩車原來共裝蘋果 97 筐，從甲車取下 14 筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多 3 筐，兩車原來各 裝蘋果多少筐？解 “從甲車取下 14 筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多 3 筐”，這說明甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙 的差是（1423），甲與乙的和是 97，因此1 車筐數(shù)（971423）264（筐）2 車筐數(shù)976433（筐）答：甲車原來裝蘋果 64 筐，乙車原來裝蘋果 33 筐。3 / 344 和倍問題【含義】 已知兩個(gè)數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這 類

9、應(yīng)用題叫做和倍問題。【數(shù)量關(guān)系】 總和 （幾倍1）較小的數(shù)總和 較小的數(shù) 較大的數(shù)較小的數(shù) 幾倍 較大的數(shù)【解題思路和方法】 簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例 1 果園里有杏樹和桃樹共 248 棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的 3 倍，求杏樹、桃樹各多少棵？解 （1）杏樹有多少棵？ 248（31）62（棵）（2）桃樹有多少棵？ 623186（棵）答：杏樹有 62 棵，桃樹有 186 棵。例 2 東西兩個(gè)倉庫共存糧 480 噸，東庫存糧數(shù)是西庫存糧數(shù)的 1.4 倍，求兩庫各存糧多少噸？解 （1）西庫存糧數(shù)480（1.41）200（噸）（2）東庫存糧數(shù)480200280（噸）答：東庫存糧

10、 280 噸，西庫存糧 200 噸。例 3 甲站原有車 52 輛，乙站原有車 32 輛，若每天從甲站開往乙站 28 輛，從乙站開往甲站 24 輛，幾天后 乙站車輛數(shù)是甲站的 2 倍？解 每天從甲站開往乙站 28 輛，從乙站開往甲站 24 輛，相當(dāng)于每天從甲站開往乙站（2824）輛。把幾天 以后甲站的車輛數(shù)當(dāng)作 1 倍量，這時(shí)乙站的車輛數(shù)就是 2 倍量，兩站的車輛總數(shù)（5232）就相當(dāng)于（2 1）倍，那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為（5232）（21）28（輛）所求天數(shù)為 （5228）（2824）6（天）答：6 天以后乙站車輛數(shù)是甲站的 2 倍。例 4 甲乙丙三數(shù)之和是 170，乙比甲的 2 倍

11、少 4，丙比甲的 3 倍多 6，求三數(shù)各是多少？解 乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為 1 倍量。因?yàn)橐冶燃椎?2 倍少 4，所以給乙加上 4，乙數(shù)就變成甲數(shù)的 2 倍；又因?yàn)楸燃椎?3 倍多 6，所以丙數(shù)減去 6 就變?yōu)榧讛?shù)的 3 倍；這時(shí)（17046）就相當(dāng)于（123）倍。那么，甲數(shù)（17046）（123）284 / 342 數(shù)2824523 數(shù)283690答：甲數(shù)是 28，乙數(shù)是 52，丙數(shù)是 90。5 差倍問題【含義】 已知兩個(gè)數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這 類應(yīng)用題叫做差倍問題?！緮?shù)量關(guān)系】 兩個(gè)數(shù)的差（幾倍1）較小的數(shù)較小的數(shù)

12、幾倍較大的數(shù)【解題思路和方法】 簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例 1 果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的 3 倍，而且桃樹比杏樹多 124 棵。求杏樹、桃樹各多少棵？解 （1）杏樹有多少棵？ 124（31）62（棵）（2）桃樹有多少棵？ 623186（棵）答：果園里杏樹是 62 棵，桃樹是 186 棵。例 2 爸爸比兒子大 27 歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的 4 倍，求父子二人今年各是多少歲？解 （1）兒子年齡27（41）9（歲）（2）爸爸年齡9436（歲）答：父子二人今年的年齡分別是 36 歲和 9 歲。例 3 商場(chǎng)改革經(jīng)營(yíng)管理辦法后，本月盈利比上月盈利的 2 倍還多 12 萬

13、元，又知本月盈利比上月盈利多 30 萬元，求這兩個(gè)月盈利各是多少萬元？解 如果把上月盈利作為 1 倍量，則（3012）萬元就相當(dāng)于上月盈利的（21）倍，因此上月盈利（3012）（21）18（萬元）本月盈利183048（萬元）答：上月盈利是 18 萬元，本月盈利是 48 萬元。例 4 糧庫有 94 噸小麥和 138 噸玉米，如果每天運(yùn)出小麥和玉米各是 9 噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的 3 倍？解 由于每天運(yùn)出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來的數(shù)量差（13894）。把幾天后剩 下的小麥看作 1 倍量，則幾天后剩下的玉米就是 3 倍量，那么，（13894）就相當(dāng)于（31）倍，因此

14、剩下的小麥數(shù)量（13894）（31）22（噸）運(yùn)出的小麥數(shù)量942272（噸）運(yùn)糧的天數(shù)7298（天）5 / 34答：8 天以后剩下的玉米是小麥的 3 倍。6 倍比問題【含義】 有兩個(gè)已知的同類量，其中一個(gè)量是另一個(gè)量的若干倍，解題時(shí)先求出這個(gè)倍數(shù)，再用倍比的方 法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問題?！緮?shù)量關(guān)系】 總量一個(gè)數(shù)量倍數(shù)另一個(gè)數(shù)量倍數(shù)另一總量【解題思路和方法】 先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。例 1 100 千克油菜籽可以榨油 40 千克，現(xiàn)在有油菜籽 3700 千克，可以榨油多少？解 （1）3700 千克是 100 千克的多少倍？ 370010037（倍）（2）可以榨油多少

15、千克？ 40371480（千克）列成綜合算式 40（3700100）1480（千克）答：可以榨油 1480 千克。例 2 今年植樹節(jié)這天，某小學(xué) 300 名師生共植樹 400 棵，照這樣計(jì)算，全縣 48000 名師生共植樹多少棵？ 解 （1）48000 名是 300 名的多少倍？ 48000300160（倍）（2）共植樹多少棵？ 40016064000（棵）列成綜合算式 400（48000300）64000（棵）答：全縣 48000 名師生共植樹 64000 棵。例 3 鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家 4 畝果園收入 11111 元，照這樣計(jì)算，全鄉(xiāng) 800 畝果園共收 入多少元？全縣

16、16000 畝果園共收入多少元？解 （1）800 畝是 4 畝的幾倍？ 8004200（倍）（2） 800 畝收入多少元？ 111112002222200（元）（3） 16000 畝是 800 畝的幾倍？ 1600080020（倍）（4） 16000 畝收入多少元？ 22222002044444000（元）答：全鄉(xiāng) 800 畝果園共收入 2222200 元，全縣 16000 畝果園共收入 44444000 元。7 相遇問題【含義】 兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問題?！緮?shù)量關(guān)系】 相遇時(shí)間總路程（甲速乙速）總路程（甲速乙速）相遇時(shí)間【解題思路和方法】 簡(jiǎn)單

17、的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例 1 南京到上海的水路長(zhǎng) 392 千米，同時(shí)從兩港各開出一艘輪船相對(duì)而行，從南京開出的船每小時(shí)行 286 / 34千米，從上海開出的船每小時(shí)行 21 千米，經(jīng)過幾小時(shí)兩船相遇？解 392（2821）8（小時(shí)）答：經(jīng)過 8 小時(shí)兩船相遇。例 2 小李和小劉在周長(zhǎng)為 400 米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑 5 米，小劉每秒鐘跑 3 米，他們從同一 地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長(zhǎng)時(shí)間？解 “第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。因此總路程為 4002相遇時(shí)間（4002）（53）100（秒）答：二人從出發(fā)到第二次相遇需 1

18、00 秒時(shí)間。例 3 甲乙二人同時(shí)從兩地騎自行車相向而行，甲每小時(shí)行 15 千米，乙每小時(shí)行 13 千米，兩人在距中點(diǎn) 3 千米處相遇，求兩地的距離。解 “兩人在距中點(diǎn) 3 千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了 中點(diǎn) 3 千米，乙距中點(diǎn) 3 千米，就是說甲比乙多走的路程是（32）千米，因此，相遇時(shí)間（32）（1513）3（小時(shí)）兩地距離（1513）384（千米）答：兩地距離是 84 千米。8 追及問題【含義】 兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)（或者在同一地點(diǎn)而不是同時(shí)出發(fā)，或者在不同地點(diǎn)又不是同 時(shí)出發(fā)）作同向運(yùn)動(dòng)，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速

19、度較慢些，在一定時(shí)間之內(nèi)，后面 的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問題。【數(shù)量關(guān)系】 追及時(shí)間追及路程（快速慢速）追及路程（快速慢速）追及時(shí)間【解題思路和方法】 簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例 1 好馬每天走 120 千米，劣馬每天走 75 千米，劣馬先走 12 天，好馬幾天能追上劣馬？解 （1）劣馬先走 12 天能走多少千米？ 7512900（千米）（2）好馬幾天追上劣馬？ 900（12075）20（天）列成綜合算式 7512（12075）9004520（天）答：好馬 20 天能追上劣馬。例 2 小明和小亮在 200 米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用 40 秒，他們從

20、同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向而跑。 小明第一次追上小亮?xí)r跑了 500 米，求小亮的速度是每秒多少米。解 小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈，即 200 米，此時(shí)小亮跑了（500200）米，要知小亮的速度，7 / 34須知追及時(shí)間，即小明跑 500 米所用的時(shí)間。又知小明跑 200 米用 40 秒，則跑 500 米用40（500200） 秒，所以小亮的速度是（500200）40（500200）3001003（米）答：小亮的速度是每秒 3 米。例 3 我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午 16 點(diǎn)開始從甲地以每小時(shí) 10 千米的速度逃跑，解放 軍在晚上 22 點(diǎn)接到命令，以每小時(shí) 30 千米的速度

21、開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距 60 千米，問解放軍 幾個(gè)小時(shí)可以追上敵人？解 敵人逃跑時(shí)間與解放軍追擊時(shí)間的時(shí)差是（2216）小時(shí)，這段時(shí)間敵人逃跑的路程是10（2216） 千米，甲乙兩地相距 60 千米。由此推知追及時(shí)間10（2216）60（3010）120206（小時(shí)）答：解放軍在 6 小時(shí)后可以追上敵人。例 4 一輛客車從甲站開往乙站，每小時(shí)行 48 千米；一輛貨車同時(shí)從乙站開往甲站，每小時(shí)行 40 千米，兩 車在距兩站中點(diǎn) 16 千米處相遇，求甲乙兩站的距離。解 這道題可以由相遇問題轉(zhuǎn)化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車（ 162）千米，客車追上 貨車的時(shí)間就是前面所說的相

22、遇時(shí)間，這個(gè)時(shí)間為 162（4840）4（小時(shí)）所以兩站間的距離為 （4840）4352（千米）列成綜合算式 （4840）162（4840）884352（千米）答：甲乙兩站的距離是 352 千米。例 5 兄妹二人同時(shí)由家上學(xué)，哥哥每分鐘走 90 米，妹妹每分鐘走 60 米。哥哥到校門口時(shí)發(fā)現(xiàn)忘記帶課本， 立即沿原路回家去取，行至離校 180 米處和妹妹相遇。問他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？解 要求距離，速度已知，所以關(guān)鍵是求出相遇時(shí)間。從題中可知，在相同時(shí)間（從出發(fā)到相遇）內(nèi)哥哥比 妹妹多走（1802）米，這是因?yàn)楦绺绫让妹妹糠昼姸嘧撸?060）米，那么，二人從家出走到相遇所用時(shí)間為1802（9060）

23、12（分鐘）家離學(xué)校的距離為 9012180900（米）答：家離學(xué)校有 900 米遠(yuǎn)。例 6 孫亮打算上課前 5 分鐘到學(xué)校，他以每小時(shí) 4 千米的速度從家步行去學(xué)校，當(dāng)他走了 1 千米時(shí)，發(fā)現(xiàn) 手表慢了 10 分鐘，因此立即跑步前進(jìn)，到學(xué)校恰好準(zhǔn)時(shí)上課。后來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步， 可比原來步行早 9 分鐘到學(xué)校。求孫亮跑步的速度。8 / 34解 手表慢了 10 分鐘，就等于晚出發(fā) 10 分鐘，如果按原速走下去，就要遲到（105）分鐘，后段路程跑 步恰準(zhǔn)時(shí)到學(xué)校，說明后段路程跑比走少用了（105）分鐘。如果從家一開始就跑步，可比步行少 9 分鐘， 由此可知，行 1 千米，跑步比步

24、行少用9（105）分鐘。所以 步行 1 千米所用時(shí)間為 19（105）0.25（小時(shí)）15（分鐘）跑步 1 千米所用時(shí)間為 159（105）11（分鐘）跑步速度為每小時(shí) 111605.5（千米）答：孫亮跑步速度為每小時(shí) 5.5 千米。9 植樹問題【含義】 按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個(gè)量之間，已知其中的兩個(gè)量，要求第三個(gè)量，這 類應(yīng)用題叫做植樹問題?！緮?shù)量關(guān)系】 線形植樹 棵數(shù)距離棵距1圓形植樹棵樹=圓形周長(zhǎng)棵距閉合環(huán)形植樹 棵數(shù)距離棵距面積植樹 棵數(shù)面積（棵距行距）方形植樹 棵數(shù)方形周長(zhǎng)棵距 三角形 棵樹=三角形周長(zhǎng)棵距【解題思路和方法】 先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式

25、。例 1 一條河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解 1362168169（棵）答：一共要栽 69 棵垂柳。例 2 一個(gè)圓形池塘周長(zhǎng)為 400 米，在岸邊每隔 4 米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？解 4004100（棵）答：一共能栽 100 棵白楊樹。例 3 一個(gè)正方形的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，每邊長(zhǎng) 220 米，每隔 8 米安裝一個(gè)照明燈，一共可以安裝多少個(gè)照明燈？ 解 22048106（個(gè)）答：一共可以安裝 106 個(gè)照明燈。例 4 給一個(gè)面積為 96 平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長(zhǎng)和寬分別是 60 厘米和 40 厘米，問至少 需要多少塊地板磚？解 96（

26、0.60.4）960.24400（塊）答：至少需要 400 塊地板磚。9 / 34例 5 一座大橋長(zhǎng) 500 米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔 50 米有一個(gè)電桿，每個(gè)電桿上安裝 2 盞路 燈，一共可以安裝多少盞路燈？解 （1）橋的一邊有多少個(gè)電桿？ 50050111（個(gè)）（2） 橋的兩邊有多少個(gè)電桿？ 11222（個(gè)）（3） 大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22244（盞）答：大橋兩邊一共可以安裝 44 盞路燈。10 年齡問題【含義】 這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點(diǎn)是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的 倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長(zhǎng)在發(fā)生變化?！緮?shù)量關(guān)系】年齡問題往往與和差、和倍、差

27、倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的， 要緊緊抓住“年齡差不變”這個(gè)特點(diǎn)。【解題思路和方法】 可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。兩個(gè)數(shù)的差（幾倍1）較小的數(shù)例 1 爸爸今年 35 歲，亮亮今年 5 歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？解 3557（倍）（35+1）（5+1）6（倍）答：今年爸爸的年齡是亮亮的 7 倍，明年爸爸的年齡是亮亮的 6 倍。例 2 母親今年 37 歲，女兒今年 7 歲，幾年后母親的年齡是女兒的 4 倍？解 （1）母親比女兒的年齡大多少歲？ 37730（歲）（2）幾年后母親的年齡是女兒的 4 倍？30（41）73（年）列成綜合算式 （377）（41

28、）73（年）答：3 年后母親的年齡是女兒的 4 倍。例 3 3 年前父子的年齡和是 49 歲，今年父親的年齡是兒子年齡的 4 倍，父子今年各多少歲？解 今年父子的年齡和應(yīng)該比 3 年前增加（32）歲，今年二人的年齡和為 493255（歲）把今年兒子年齡作為 1 倍量，則今年父子年齡和相當(dāng)于（41）倍，因此，今年兒子年齡為 55（41） 11（歲）今年父親年齡為 11444（歲）答：今年父親年齡是 44 歲，兒子年齡是 11 歲。10 / 34例 4 甲對(duì)乙說：“當(dāng)我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你才 4 歲”。乙對(duì)甲說：“當(dāng)我的歲數(shù)將來是你現(xiàn)在 的歲數(shù)時(shí)，你將 61 歲”。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多

29、少？（可用方程解）解這里涉及到三個(gè)年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析：12過去某一年歲4 歲今 年歲歲將來某一年 61 歲歲表中兩個(gè)“”表示同一個(gè)數(shù)，兩個(gè)“”表示同一個(gè)數(shù)。因?yàn)閮蓚€(gè)人的年齡差總相等：461，也就是 4，61 成等差數(shù)列，所以，61 應(yīng) 該比 4 大 3 個(gè)年齡差，因此二人年齡差為 （614）319（歲）1 今年的歲數(shù)為 611942（歲）2 今年的歲數(shù)為 421923（歲）答：甲今年的歲數(shù)是 42 歲，乙今年的歲數(shù)是 23 歲。11 行船問題【含義】 行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速 度，也就是船只在靜水中航行的速度

30、；水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；船只 逆水航行的速度是船速與水速之差?！緮?shù)量關(guān)系】 （順?biāo)俣饶嫠俣龋?船速（順?biāo)俣饶嫠俣龋?水速順?biāo)俅?水速逆水速水速2逆水速船速-水速順?biāo)偎?【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例 1 一只船順?biāo)?320 千米需用 8 小時(shí)，水流速度為每小時(shí) 15 千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時(shí)？ 解 由條件知，順?biāo)俅偎?208，而水速為每小時(shí) 15 千米，所以，船速為每小時(shí) 32081525（千米）船的逆水速為 251510（千米）船逆水行這段路程的時(shí)間為 3201032（小時(shí)）答：這只船逆水行這段

31、路程需用 32 小時(shí)。例 2 甲船逆水行 360 千米需 18 小時(shí)，返回原地需 10 小時(shí)；乙船逆水行同樣一段距離需 15 小時(shí)，返回原 地需多少時(shí)間？解由題意得甲船速水速3601036 甲船速水速360182011 / 34可見 （3620）相當(dāng)于水速的 2 倍，所以， 水速為每小時(shí) （3620）28（千米）又因?yàn)椋?乙船速水速36015，所以， 乙船速為 36015832（千米）乙船順?biāo)贋?32840（千米）所以， 乙船順?biāo)叫?360 千米需要 360409（小時(shí)）答：乙船返回原地需要 9 小時(shí)。例 3 一架飛機(jī)飛行在兩個(gè)城市之間，飛機(jī)的速度是每小時(shí) 576 千米，風(fēng)速為每小時(shí) 24

32、 千米，飛機(jī)逆風(fēng)飛 行 3 小時(shí)到達(dá)，順風(fēng)飛回需要幾小時(shí)？解 這道題可以按照流水問題來解答。（1） 兩城相距多少千米？ （57624）31656（千米）（2） 順風(fēng)飛回需要多少小時(shí)？ 1656（57624）2.76（小時(shí)）列成綜合算式 （57624）3（57624）2.76（小時(shí)）答：飛機(jī)順風(fēng)飛回需要 2.76 小時(shí)。12 列車問題【含義】 這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時(shí)要注意列車車身的長(zhǎng)度?！緮?shù)量關(guān)系】 火車過橋：過橋時(shí)間（車長(zhǎng)橋長(zhǎng)）車速火車追及：追及時(shí)間（甲車長(zhǎng)乙車長(zhǎng)距離）（甲車速乙車速）火車相遇：相遇時(shí)間（甲車長(zhǎng)乙車長(zhǎng)距離）（甲車速乙車速）【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用

33、數(shù)量關(guān)系的公式。例 1 一座大橋長(zhǎng) 2400 米，一列火車以每分鐘 900 米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要 3 分鐘。這列火車長(zhǎng)多少米？解 火車 3 分鐘所行的路程，就是橋長(zhǎng)與火車車身長(zhǎng)度的和。（1） 火車 3 分鐘行多少米？ 90032700（米）（2） 這列火車長(zhǎng)多少米？ 27002400300（米）列成綜合算式 90032400300（米）答：這列火車長(zhǎng) 300 米。例 2 一列長(zhǎng) 200 米的火車以每秒 8 米的速度通過一座大橋，用了 2 分 5 秒鐘時(shí)間，求大橋的長(zhǎng)度是多少米？ 解 火車過橋所用的時(shí)間是 2 分 5 秒125 秒，所走的路程是（8125）米，這段路程

34、就是（200 米橋長(zhǎng)）， 所以，橋長(zhǎng)為8125200800（米）12 / 34答：大橋的長(zhǎng)度是 800 米。例 3 一列長(zhǎng) 225 米的慢車以每秒 17 米的速度行駛，一列長(zhǎng) 140 米的快車以每秒 22 米的速度在后面追趕， 求快車從追上到追過慢車需要多長(zhǎng)時(shí)間？解 從追上到追過，快車比慢車要多行（225140）米，而快車比慢車每秒多行（2217）米，因此，所求 的時(shí)間為（225140）（2217）73（秒）答：需要 73 秒。例 4 一列長(zhǎng) 150 米的列車以每秒 22 米的速度行駛，有一個(gè)扳道工人以每秒 3 米的速度迎面走來，那么， 火車從工人身旁駛過需要多少時(shí)間？解 如果把人看作一列長(zhǎng)度

35、為零的火車，原題就相當(dāng)于火車相遇問題。150（223）6（秒）答：火車從工人身旁駛過需要 6 秒鐘。例 5 一列火車穿越一條長(zhǎng) 2000 米的隧道用了 88 秒，以同樣的速度通過一條長(zhǎng) 1250 米的大橋用了 58 秒。 求這列火車的車速和車身長(zhǎng)度各是多少？解 車速和車長(zhǎng)都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時(shí)間不同，是因?yàn)樗淼辣却髽蜷L(zhǎng)?？芍疖囋冢?858） 秒的時(shí)間內(nèi)行駛了（20001250）米的路程，因此，火車的車速為每秒（20001250）（8858）25（米）進(jìn)而可知，車長(zhǎng)和橋長(zhǎng)的和為（2558）米，因此，車長(zhǎng)為 25581250200（米）答：這列火車的車速是每秒 25 米，車身長(zhǎng) 20

36、0 米。13 時(shí)鐘問題【含義】 就是研究鐘面上時(shí)針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為 60 度等。時(shí)鐘問題可與追及問題相類比?！緮?shù)量關(guān)系】 分針的速度是時(shí)針的 12 倍，二者的速度差為 11/12。通常按追及問題來對(duì)待，也可以按差倍問題來計(jì)算?！窘忸}思路和方法】 變通為“追及問題”后可以直接利用公式。例 1 從時(shí)針指向 4 點(diǎn)開始，再經(jīng)過多少分鐘時(shí)針正好與分針重合？解 鐘面的一周分為 60 格，分針每分鐘走一格，每小時(shí)走 60 格；時(shí)針每小時(shí)走 5 格，每分鐘走 5/601/12格。每分鐘分針比時(shí)針多走（11/12）11/12 格。4 點(diǎn)整，時(shí)針在前，分針在后，兩針

37、相距 20 格。所以13 / 34分針追上時(shí)針的時(shí)間為 20（11/12） 22（分）答：再經(jīng)過 22 分鐘時(shí)針正好與分針重合。例 2 四點(diǎn)和五點(diǎn)之間，時(shí)針和分針在什么時(shí)候成直角？解 鐘面上有 60 格，它的 1/4 是 15 格，因而兩針成直角的時(shí)候相差 15 格（包括分針在時(shí)針的前或后 15 格兩種情況）。四點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后（54）格，如果分針在時(shí)針后與它成直角，那么分針就要比 時(shí)針多走 （5415）格，如果分針在時(shí)針前與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走（5415）格。再 根據(jù) 1 分鐘分針比時(shí)針多走（11/12）格就可以求出二針成直角的時(shí)間。（5415）（11/12） 6（分）（

38、5415）（11/12） 38（分）答：4 點(diǎn) 06 分及 4 點(diǎn) 38 分時(shí)兩針成直角。例 3 六點(diǎn)與七點(diǎn)之間什么時(shí)候時(shí)針與分針重合？解 六點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后（56）格，分針要與時(shí)針重合，就得追上時(shí)針。這實(shí)際上是一個(gè)追及問 題。（56）（11/12） 33（分）答：6 點(diǎn) 33 分的時(shí)候分針與時(shí)針重合。14 盈虧問題【含義】 根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都 有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題。【數(shù)量關(guān)系】 一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：參加分配總?cè)藬?shù)（盈虧）分配差如果兩次都盈或都虧，則有

39、：參加分配總?cè)藬?shù)（大盈小盈）分配差參加分配總?cè)藬?shù)（大虧小虧）分配差【解題思路和方法】 大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例 1 給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分 3 個(gè)就余 11 個(gè)；若每人分 4 個(gè)就少 1 個(gè)。問有多少小朋友？有多 少個(gè)蘋果？解 按照“參加分配的總?cè)藬?shù)（盈虧）分配差”的數(shù)量關(guān)系：（1） 有小朋友多少人？ （111）（43）12（人）（2） 有多少個(gè)蘋果？ 3121147（個(gè)）答：有小朋友 12 人，有 47 個(gè)蘋果。14 / 34例 2 修一條公路，如果每天修 260 米，修完全長(zhǎng)就得延長(zhǎng) 8 天；如果每天修 300 米，修完全長(zhǎng)仍得延長(zhǎng) 4 天。這條路全長(zhǎng)多少米？解 題

40、中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，按照“參加分配的總?cè)藬?shù)（大虧小虧） 分配差”的數(shù)量關(guān)系，可以得知原定完成任務(wù)的天數(shù)為（26083004）（300260）22（天）這條路全長(zhǎng)為 300（224）7800（米）答：這條路全長(zhǎng) 7800 米。例 3 學(xué)校組織春游，如果每輛車坐 40 人，就余下 30 人；如果每輛車坐 45 人，就剛好坐完。問有多少車？ 多少人？解 本題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，于是就有（1） 有多少車？ （300）（4540）6（輛）（2） 有多少人？ 40630270（人）答：有 6 輛車，有 270 人。15 工程問題【含義】 工程問題主要研究

41、工作量、工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常 不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項(xiàng)工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時(shí)， 常常用單位“1”表示工作總量。【數(shù)量關(guān)系】 解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)（它表示 單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系列出 算式。工作量工作效率工作時(shí)間工作時(shí)間工作量工作效率工作時(shí)間總工作量（甲工作效率乙工作效率）【解題思路和方法】 變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。例 1 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要 10 天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要

42、 15 天完成，現(xiàn)在兩隊(duì)合作，需要幾天完成？ 解 題中的“一項(xiàng)工程”是工作總量，由于沒有給出這項(xiàng)工程的具體數(shù)量，因此，把此項(xiàng)工程看作單位“1”。 由于甲隊(duì)獨(dú)做需 10 天完成，那么每天完成這項(xiàng)工程的 1/10；乙隊(duì)單獨(dú)做需 15 天完成，每天完成這項(xiàng)工程 的 1/15；兩隊(duì)合做，每天可以完成這項(xiàng)工程的（1/101/15）。由此可以列出算式： 1（1/101/15）11/66（天）答：兩隊(duì)合做需要 6 天完成。15 / 34例 2 一批零件，甲獨(dú)做 6 小時(shí)完成，乙獨(dú)做 8 小時(shí)完成?，F(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲比乙多做 24 個(gè)， 求這批零件共有多少個(gè)？解 設(shè)總工作量為 1，則甲每小時(shí)完成 1/

43、6，乙每小時(shí)完成 1/8，甲比乙每小時(shí)多完成（1/61/8），二人合 做時(shí)每小時(shí)完成（1/61/8）。因?yàn)槎撕献鲂枰?1（1/61/8）小時(shí)，這個(gè)時(shí)間內(nèi)，甲比乙多做 24 個(gè)零件，所以（1）每小時(shí)甲比乙多做多少零件？241（1/61/8）7（個(gè)）（2）這批零件共有多少個(gè)？7（1/61/8）168（個(gè)）答：這批零件共有 168 個(gè)。解二 上面這道題還可以用另一種方法計(jì)算：兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲乙的工作量之比為 1/61/843由此可知，甲比乙多完成總工作量的 43 / 43 1/7所以，這批零件共有 241/7168（個(gè)）例 3 一件工作，甲獨(dú)做 12 小時(shí)完成，乙獨(dú)做 10 小時(shí)完成，丙獨(dú)做

44、 15 小時(shí)完成?，F(xiàn)在甲先做 2 小時(shí)，余 下的由乙丙二人合做，還需幾小時(shí)才能完成？解 必須先求出各人每小時(shí)的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會(huì)給計(jì)算帶來方便，因此，我們?cè)O(shè)總 工作量為 12、10、和 15 的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù) 60，則甲乙丙三人的工作效率分別是60125 60106 60154因此余下的工作量由乙丙合做還需要（6052）（64）5（小時(shí)）答：還需要 5 小時(shí)才能完成。也可以用（1-1/12*2）/（1/10+1/15）例 4 一個(gè)水池，底部裝有一個(gè)常開的排水管，上部裝有若干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。當(dāng)打開 4 個(gè)進(jìn)水管時(shí)， 需要 5 小時(shí)才能注滿水池；當(dāng)打開 2 個(gè)進(jìn)

45、水管時(shí)，需要 15 小時(shí)才能注滿水池；現(xiàn)在要用 2 小時(shí)將水池注滿， 至少要打開多少個(gè)進(jìn)水管？解 注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，水的流量就是工作 量，單位時(shí)間內(nèi)水的流量就是工作效率。要 2 小時(shí)內(nèi)將水池注滿，即要使 2 小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進(jìn)水管、排 水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設(shè)某一個(gè)量為單位 1，其余兩個(gè)量便可由條件推出。我們?cè)O(shè)每個(gè)同樣的進(jìn)水管每小時(shí)注水量為 1，則 4 個(gè)進(jìn)水管 5 小時(shí)注水量為（145），2 個(gè)進(jìn)水管 15 小 時(shí)注水量為（1215），從而可知每小時(shí)的排水量為 （1215145）（1

46、55）116 / 34即一個(gè)排水管與每個(gè)進(jìn)水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為 1451515又因?yàn)樵?2 小時(shí)內(nèi)，每個(gè)進(jìn)水管的注水量為 12，所以，2 小時(shí)內(nèi)注滿一池水至少需要多少個(gè)進(jìn)水管？ （1512）（12）8.59（個(gè)）答：至少需要 9 個(gè)進(jìn)水管。16 正反比例問題【含義】 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比的比 值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正 比例意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩

47、種 量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識(shí)的綜 合運(yùn)用?！緮?shù)量關(guān)系】 判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問 題去解決，而且比較簡(jiǎn)捷?！窘忸}思路和方法】 解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng) 用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。例 1 修一條公路，已修的是未修的 1/3，再修 300 米后，已修的變成未修的 1/2，求這條公路總長(zhǎng)是多少 米？解 由條件知，公路總長(zhǎng)不變。原已修長(zhǎng)度總長(zhǎng)度1（13）14312現(xiàn)已修長(zhǎng)度總長(zhǎng)度1（12）13412比較以上兩式可

48、知，把總長(zhǎng)度當(dāng)作 12 份，則 300 米相當(dāng)于（43）份，從而知公路總長(zhǎng)為 300（43）123600（米）答： 這條公路總長(zhǎng) 3600 米。例 2 張晗做 4 道應(yīng)用題用了 28 分鐘，照這樣計(jì)算，91 分鐘可以做幾道應(yīng)用題？解 做題效率一定，做題數(shù)量與做題時(shí)間成正比例關(guān)系設(shè) 91 分鐘可以做 x 應(yīng)用題 則有 28491x28x914 x91428 x13答：91 分鐘可以做 13 道應(yīng)用題。17 / 34例 3 孫亮看十萬個(gè)為什么這本書，每天看 24 頁，15 天看完，如果每天看 36 頁，幾天就可以看完？ 解 書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系設(shè) x 天可以看完，就有

49、 2436x1536x2415 x10答：10 天就可以看完。例 4 一個(gè)大矩形被分成六個(gè)小矩形，其中四個(gè)小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面積。a3625b2016解 由面積寬長(zhǎng)可知，當(dāng)長(zhǎng)一定時(shí)，面積與寬成正比，所以每一上下兩個(gè)小矩形面積之比就等于它們的 寬的正比。又因?yàn)榈谝恍腥齻€(gè)小矩形的寬相等，第二行三個(gè)小矩形的寬也相等。因此，a362016 25b2016解這兩個(gè)比例，得 a45 b20所以，大矩形面積為 453625202016162答：大矩形的面積是 162.17 按比例分配問題【含義】 所謂按比例分配，就是把一個(gè)數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式： 一是用比或連

50、比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。【數(shù)量關(guān)系】 從條件看，已知總量和幾個(gè)部分量的比；從問題看，求幾個(gè)部分量各是多少?？偡輸?shù)比的前后項(xiàng)之和【解題思路和方法】 先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項(xiàng)相加求出總份數(shù)，再求 各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項(xiàng)分別作分子），再按照求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少 的計(jì)算方法，分別求出各部分量的值。例 1 學(xué)校把植樹 560 棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級(jí)三個(gè)班，已知一班有 47 人，二班有 48 人，三班有 45 人，三個(gè)班各植樹多少棵？解 總份數(shù)為 4748451401 班植樹 56047/140188（棵）2 班植樹 56048/140192（棵）3 班植樹 56045/140180（棵） 答：一、二、三班分別植樹 188 棵、192 棵、180 棵。例 2 用 60 厘米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)三角形，三角形三條邊的比是 345。三條邊的長(zhǎng)各是多少厘米？ 解 34512 603/1215（厘米）604/1220（厘米）605/1225（厘米）18 / 34答：三角形三條邊的長(zhǎng)分