圓錐曲線常用解法、常規(guī)題型與性質(zhì)課案

1、圓錐曲線八種解題方法、七種常規(guī)題型和性質(zhì)（有相應(yīng)例題詳解）總論：常用的八種方法1、定義法2、韋達(dá)定理法3、設(shè)而不求點(diǎn)差法4、弦長公式法5、數(shù)形結(jié)合法6、 參數(shù)法（點(diǎn)參數(shù)、K參數(shù)、角參數(shù)）7、代入法中的順序8充分利用曲線系方程法七種常規(guī)題型（1）中點(diǎn)弦問題（2 ）焦點(diǎn)三角形問題（3 ）直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題（4）圓錐曲線的有關(guān)最值（范圍）問題（5）求曲線的方程問題1 曲線的形狀已知 這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。2曲線的形狀未知-求軌跡方程（6）存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題（7 ）兩線段垂直問題常用的八種方法1、定義法（1） 橢圓有兩種定義。第一定義中，ri+r2=2a。第二定義中，ri=ed

2、ir2=ed2。（2） 雙曲線有兩種定義。第一定義中，h -r2|=2a，當(dāng)ri2時，注意S的最小值為c-a:第二定義中，r1=ed1, r2=ed2，尤其應(yīng)注意第二定義的應(yīng)用，常常將半徑與點(diǎn)到準(zhǔn)線距離”互相轉(zhuǎn)化。（3）拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用定義解決更直接簡明。2、韋達(dá)定理法因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不 要忽視判別式的作用。3、設(shè)而不求法解析幾

3、何的運(yùn)算中，常設(shè)一些量而并不解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為設(shè)而不求法”。設(shè)而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點(diǎn)問題，常用點(diǎn)差法”，即設(shè)弦的兩個端點(diǎn) A(x i,yi),B(x2,y2),弦AB中點(diǎn)為M(xo,yo)，將點(diǎn)A、 B坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生弦中點(diǎn)與弦斜率的關(guān)系，這是一種常見的“設(shè)而不 求”法，具體有：2 2(1) 務(wù) 嶺=1(a b0)與直線相交于 A、B，設(shè)弦 AB中點(diǎn)為 M(Xo,yo),則有 a b卑卑k = 0。(其中K是直線AB的斜率)a b2 2x y(2) 二 =1(a0,b0)與直線I相交于A、B，設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x,y

4、o)則有a bx y0k =0(其中K是直線AB的斜率)a b一、2 k , 一(3) y=2px( p0)與直線I相交于A、B設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(X0,y。),則有2yk=2p,即yk=p.(其中K是直線AB的斜率)4、弦長公式法弦長公式：一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長的方法是：把直線方程y二kx b代入圓錐曲線方程中，得到型如ax2 bx 0的方程，方程的兩根設(shè)為xA，xB，判別I式為，貝U |AB .1 k2 |xA -xB|二1 k2 ，若直接用結(jié)論，能減少配方、開|a|方等運(yùn)算過程。5、數(shù)形結(jié)合法解析幾何是代數(shù)與幾何的一種統(tǒng)一，常要將代數(shù)的運(yùn)算推理與幾何的論證說明結(jié)合起來考慮問

5、題，在解題時要充分利用代數(shù)運(yùn)算的嚴(yán)密性與幾何論證的直觀性，尤其是將某些代數(shù)式子利用其結(jié)構(gòu)特征，想象為某些圖形的幾何意義而構(gòu)圖，用圖形的性質(zhì)來說明代數(shù)性質(zhì)。女口 2x+y ”，令2x+y=b，貝U b表示斜率為-2的直線在y軸上的截距；如x2+y2” ,令Jx2 +y2 =d，貝U d表示點(diǎn)P (x, y)到原點(diǎn)的距離；又如 y 一3 ”，令y _ 3 =k，貝U k x+2 x+2表示點(diǎn)P (x、y)與點(diǎn)A (-2 , 3)這兩點(diǎn)連線的斜率6、參數(shù)法(1) 點(diǎn)參數(shù)利用點(diǎn)在某曲線上設(shè)點(diǎn)(常設(shè)“主動點(diǎn)”)，以此點(diǎn)為參數(shù)，依次求出其他 相關(guān)量，再列式求解。如 x軸上一動點(diǎn)P,常設(shè)P (t , 0);

6、直線x-2y+1=0上一動點(diǎn)P。 除設(shè)P (xi,y 1)外，也可直接設(shè) P (2yi-1,y 1)(2) 斜率為參數(shù)當(dāng)直線過某一定點(diǎn) P(xo,y o)時，常設(shè)此直線為 y-yo=k(x-x 0)，即以k為參數(shù)，再按命題 要求依次列式求解等。(3) 角參數(shù)當(dāng)研究有關(guān)轉(zhuǎn)動的問題時，常設(shè)某一個角為參數(shù)，尤其是圓與橢圓上的動點(diǎn)問題。7、代入法中的順序這里所講的“代入法”，主要是指條件的不同順序的代入方法，如對于命題：“已知條件Pl,P2求(或求證)目標(biāo)Q,方法1是將條件Pi代入條件P2,方法2可將條件P2代入條件Pi, 方法3可將目標(biāo)Q以待定的形式進(jìn)行假設(shè)，代入P1,P2,這就是待定法。不同的代入

7、方法常會影響解題的難易程度，因此要學(xué)會分析，選擇簡易的代入法。八、充分利用曲線系方程法、定義法【典型例題】例1、(1)拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)2拋物線C: y =4x上一點(diǎn)QP到點(diǎn)A(3,4 . 2 )與到準(zhǔn)線的距離和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為分析：(1) A在拋物線外，如圖,連 PF，貝U PH = PF，因而易發(fā)現(xiàn),到點(diǎn)B(4,1)與到焦點(diǎn)F的距離和最小，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時，距離和最小。(2) B在拋物線內(nèi)，如圖，作 QR丄I交于R,則當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時，距離和最小。解:( 1)(2， 2)連PF,當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時， AP| +|PH = AP + PF最小，此時 A

8、F的方程為 y=4(x1)即 y=22(x-1),代入 y2=4x 得 P(2,22),(注：另一交點(diǎn)為(丄,J2)，3-12它為直線AF與拋物線的另一交點(diǎn)，舍去)1(2) (,1 )4過Q作QR丄I交于R,當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時，BQ qf| | BQ - QR最小，此時 Q11點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，代入y2=4x得x=，二Q( ,1)44點(diǎn)評：這是利用定義將“點(diǎn)點(diǎn)距離”與“點(diǎn)線距離”互相轉(zhuǎn)化的一個典型例題，請仔細(xì)體會。2 2ya k jT11HF0F JxP為橢圓例2、F是橢圓 =1的右焦點(diǎn)，A(1,1)為橢圓內(nèi)一定點(diǎn),上一動點(diǎn)。(1) PA +|PF的最小值為43(2) PA +2PF的最小值

9、為分析：PF為橢圓的一個焦半徑，常需將另一焦半徑PF 或準(zhǔn)線作出來考慮問題。解: (1) 4-、一 5設(shè)另一焦點(diǎn)為F 1貝U F (-1,0)連A F ,PFPA +|PF| =|PA +2a- PF、2a-(PF - PA) 2a- AF、4-V5 當(dāng)P是F a的延長線與橢圓的交點(diǎn)時,PA +|PF取得最小值為4-J5。1(2)作出右準(zhǔn)線 I，作 PH 丄 I 交于 H，因 a2=4, b2=3, c2=1, a=2, c=1 , e=,21 PF =丄 PH .即2 PF = PH2 PA +2PF =|PA + PH2當(dāng)A、P、H三點(diǎn)共線時，其和最小，最小值為_xA = 4_1=3c例3

10、、動圓M與圓Ci：（x+1）2+y2=36內(nèi)切,與圓C2：（x-1）2+y2=4外切,求圓心軌跡方程。分析：作圖時，要注意相切時的“圖形特征”：兩個圓心與切點(diǎn)這三點(diǎn)共線圖中的A、M、C共線，B、D、M共線）。列式的主要途徑是動圓的“半徑等于半徑”（如圖中的MC = MD ）。M解：如圖，MC = MDAC - MA = MB - DB 即6 - MA =|MB -2MA + MB =8（ *）點(diǎn)M的軌跡為橢圓,2a=8, a=4, c=1 , b2=15 軌跡方程為2 2x_. 2_=11615點(diǎn)評：得到方程（*）后，應(yīng)直接利用橢圓的定義寫出方程，而無需再用距離公式列式求解，即列出.（x 1）

11、2 y2- （x -1）2 y2 =4，再移項(xiàng)，平方，相當(dāng)于將橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)了一遍，較繁瑣！3例 4、 ABC 中，B（-5,0）,C（5,0）,且 sin C-s in B=si nA,求點(diǎn) A 的軌跡方程。5分析：由于sinA、sinB、sinC的關(guān)系為一次齊次式，兩邊乘以2R （ R為外接圓半徑）可轉(zhuǎn)化為邊長的關(guān)系。解:si nC-si nB=3 si nA532Rs in C-2Rsi nB=5-2RsinAAB即 AB AC =6（*）點(diǎn)A的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點(diǎn)）/ 2a=6, 2c=10 a=3,c=5,b=42 2所求軌跡方程為y 1（ x3）916點(diǎn)評：要注意利用定義

12、直接解題，這里由（*）式直接用定義說明了軌跡（雙曲線右支）例5、定長為3的線段AB的兩個端點(diǎn)在y=x2上移動，AB中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到x軸 的最短距離。分析：(1)可直接利用拋物線設(shè)點(diǎn)， 如設(shè)A(X!,xi2), B(X2, X22),又設(shè)AB中點(diǎn)為M(xoyo)用弦長公式及中點(diǎn)公式得出y。關(guān)于xo的函數(shù)表達(dá)式，再用函數(shù)思想求出最短距離。(2) M到x軸的距離是一種“點(diǎn)線距離”，可先考慮M到準(zhǔn)線的距離，想到用定義法。解法一：設(shè) A(Xi，Xi )，B(x2，X2)，AB 中點(diǎn) M(xo，yo)(Xi -X2)2(X； X；)2 =9 則+x2 =2x022Xi +X2 =2y。2 2由得(Xi-

13、X2)1+(x 1+ X2)=9即(X1+X2)-4X1X2 1+(x 1+X2)=9由、得 2x1X2=(2xo)2-2yo=4x2-2yo代入得 (2xo) -(8xo -4yo) 1+(2xo) =94yo= 4x04x0(4x01)4x012t9 -1 = 5,yo -4當(dāng) 4xo2+1=3Xo5. 2 5(yo)mi5 此時 M(- 2,4)法二：如圖，2mm2| =|aa2|+|bb2| = |af|+|bf|糾ab| = 3aFySJBA10M1-BixAM R313MM 2 ，即MM 1+ 242MM 15 -，當(dāng)AB經(jīng)過焦點(diǎn)F時取得最小值。45 M到x軸的最短距離為 -4點(diǎn)評

14、：解法一是列出方程組，利用整體消元思想消xi, X2,從而形成 y關(guān)于X。的函數(shù)，這是一種“設(shè)而不求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點(diǎn)M到x軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準(zhǔn)線的距離，再利用梯形的中位線，轉(zhuǎn)化為A、B到準(zhǔn)線的距離和，結(jié)合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊(當(dāng)三角形“壓扁”時，兩邊之和等于第三邊)的屬性， 簡捷地求解出結(jié)果的，但此解法中有缺點(diǎn)，即沒有驗(yàn)證AB是否能經(jīng)過焦點(diǎn)F,而且點(diǎn)M的坐標(biāo)也不能直接得出。二、韋達(dá)定理法【典型例題】例6、已知橢圓x22丄 1(2乞m乞5)過其左焦點(diǎn)且斜率為m -11的直線與橢圓及準(zhǔn)線從左到右依次交于 A、B、C、D、設(shè)f(m)彳AB CD| ,

15、( 1)求f(m),(2)求f(m)的最值。分析：此題初看很復(fù)雜，對 f(m)的結(jié)構(gòu)不知如何運(yùn)算，因 A、B來源于“不同系統(tǒng)”A在準(zhǔn)線上，B在橢圓上，同樣C在橢圓上，D在準(zhǔn)線上，可見直接求解較繁，將這些線段“投影”到x軸上，立即可得防f (m) = (Xb -Xa)V2-(Xd -Xc)V2| = J2|(Xb -Xa) -(Xd -Xc)|y c1DF1A0 F2=2 (Xb Xc ) - (Xa Xd )=J2(xb +Xc)此時問題已明朗化，只需用韋達(dá)定理即可。2 2解：(1)橢圓1 中，a2=m , b2=m-1 , c2=1，左焦點(diǎn) Fi(-1,0)m m 1則 BC:y=x+1，代

16、入橢圓方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1) 2-m2+m=022/ (2m-1)x +2mx+2m-m =0設(shè) B(x 1,y1),C(X2,y2),則 X1+X2=-(2 三 m 三 5)2m 12m2m-1f (m) =|AB - CD| = J2|(Xb -Xa) -(Xd -Xc)二 2(X1 X2) - (Xa Xc)二 2X1 X2(2) f (m) = 2 2m j 十1 = 3 = 80），作兩條直線分別交拋物8. 其它?？瓷先ゲ皇侵悬c(diǎn)弦問題，但與之有關(guān)，也可應(yīng)用。 例 9,過拋物線 y2 = 2px（p - 0）上一定點(diǎn) P（ x0,

17、y0）（ y0線于 A（ x1,Y1），B（ X22 ）（1）求該拋物線上縱坐標(biāo)為 的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離；2（2） 當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時，求y1 y2的值，并證明直線 AB的斜y。率是非零常數(shù)2 2解（1）略:設(shè) A（y1 ,y1）,B（y 2 ,y2），則iy2yi-kpA=% -y。-22y 1 _y。yiy。y? - y。iy22 - y：y2y。=y2 - yiAB-22y2 -yi由題意，kAB=-k AC,iyiyoiy2yo，則 yi y2 - -2y。則：kAB=為定值。2yo例10、拋物線方程y2 =P(X - i)(p 0)，直線x - y =t與x軸的交點(diǎn)

18、在拋物線準(zhǔn)線的右邊。(1) 求證：直線與拋物線總有兩個不同交點(diǎn)(2) 設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A、B，且OA丄OB ,求p關(guān)于t的函數(shù)f(t)的表達(dá)式。(i )證明：拋物線的準(zhǔn)線為i: x = _i _ P4由直線x+y=t與x軸的交點(diǎn)(t, 0)在準(zhǔn)線右邊，得t -i - P，而4t p 4 04x y =t22由 2消去y得 x2 -(2t p)x (t2 p) =0y -p(x i)- : =(2t p)2 4(t2 -p) =p(4t p 4)0故直線與拋物線總有兩個交點(diǎn)。(2)解：設(shè)點(diǎn) A(xi, yi),點(diǎn) B(X2, y2)2xi x2 =2t p, xix2 =t pQOA_OB

19、 kcA kOB =T貝y XiX2 y*2 =0又 yiy2 =(t -xi)(t -x2)xix2yiy2 二t2(t 2)p =0p =f(t)t2t 2又p 0, 4t p 4 7得函數(shù)f(t)的定義域是(-2, 0)-(0，:：)【同步練習(xí)】2 21、已知：Fi, F2是雙曲線x _ y_ -1的左、右焦點(diǎn)，過Fi作直線交雙曲線左支于點(diǎn) a bA、B，若 AB|=m， ABF 2 的周長為()A、4aB、4a+mC、4a+2mD、4a-m2、 若點(diǎn)P到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1,貝U P點(diǎn)的軌跡方程是( )2 2 2 2A、y =-16x B、y =-32xC

20、、y =16xD、y =32x3、 已知 ABC的三邊AB、BC、AC的長依次成等差數(shù)列，且AB A AC，點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(-1 , 0), (1 , 0)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是()2 2x丄y彳a、1432 2B、 y 1(x0)432 2D、計才Tx0且廠0)4、過原點(diǎn)的橢圓的一個焦點(diǎn)為( )A、(x -弓2 y2 二弘 一1)24C、x2 (y J)2 二弘 一1)24F(1 , 0)，其長軸長為4,則橢圓中心的軌跡方程是1 229b、(x 匚)y (x = -1)2 421 29D、x (y ) (x 1)242 25、已知雙曲線- y 1上一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4,則點(diǎn)M到左焦點(diǎn)的距

21、離是 _9166、拋物線y=2x2截一組斜率為2的平行直線，所得弦中點(diǎn)的軌跡方程是 7、 已知拋物線y2=2x的弦AB所在直線過定點(diǎn) p(-2, 0),則弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是8、過雙曲線x2-y2=4的焦點(diǎn)且平行于虛軸的弦長為 2 29、 直線y=kx+1與雙曲線 x -y =1的交點(diǎn)個數(shù)只有一個，則k=2225910、 設(shè)點(diǎn)P是橢圓 匚 =1上的動點(diǎn)，F(xiàn)1, F2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，求sin / F1PF2的最大值。11、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，左焦點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)、右焦點(diǎn)、右準(zhǔn)線的距 離依次成等差數(shù)列，若直線I與此橢圓相交于 A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)M為(-2,1)，AB = 4/

22、3， 求直線I的方程和橢圓方程。12、已知直線I和雙曲線2 x2 a=1(a0,b 0)及其漸近線的交點(diǎn)從左到右依次為A、B、C、D。求證：AB = CD。參考答案1、CAF2 -, AF=2a, BF2 - BF=2a，2m,選 CAF2 + BF2 - AB =4a, AF2 + BF2 十|AB =4a2、C點(diǎn)P到F與到x+4=0等距離，P點(diǎn)軌跡為拋物線p=8開口向右，則方程為2y =16x，選3、D/ AB +|AC= 2x2，且 AB ”AC點(diǎn) A的軌跡為橢圓在 y軸右方的部分、又 A、 B、C三點(diǎn)不共線，即y豐0，故選D。4、A設(shè)中心為(x, y),則另一焦點(diǎn)為(2x-1 ,94得

23、 1. (2x二 1)2(2y)2 =4, (x ；)2 y2 (x-1) +y 4，由，得 x豐-1,選299- 左準(zhǔn)線為x=- , M到左準(zhǔn)線距離為355 2929T=3 5311x (y)設(shè)弦為 AB , A(X1, y1),222 2 2y2=2X2 , y1-y2=2(X1 -X2 )5、離為ed6、2y)，則原點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離和為4又95)B(x 2, y2)AB22ca,. . (x -1) y : 229則M到左焦點(diǎn)的距52中點(diǎn)為(x, y)，則 y1=2x1 ,1 2 1將x 代入y=2x得y ,軌跡2 2y； =2x1, y； =2x2,y；y _0 kAB =k|MP -x

24、 2又弦中點(diǎn)在已知拋物線內(nèi)y 2y = 2，即 y2=x+2x 2P, 即卩 y 2x，即 x+22- y1% =2(%x2)二 2=2 2x,Xr _ X2211方程是x - (y )2227、y =x+2(x2) 設(shè) A(X1 , y” , B(X2 ,沁,AB 中點(diǎn) M(x , y),則2 2丫1 一 丫22 -y； =2(X1 -X2),212 (%y2)=2% _x22 . 2,8、4 a b4, c9、 2或二-1y=kx+1=8, C = 2. 2 ,令 x = 2.2 代入方程得 8-y2=4 y2=4 , y= 2，弦長為42 2 2 2 2 2代入 x -y =1 得 x

25、-(kx+1)-仁0 (1-k )x -2 kx-2=0- 21 _ k - 0222得 4k +8(1-k )=0 , k= 丁2 1-k =0 得 k= 1也=02 2 210、解：a =25 , b =9 , c =16rjTjT/ypF1F2丿X設(shè) Fi、F2 為左、右焦點(diǎn)，貝U Fi(-4, 0)F2(4, 0)設(shè)卩可=1,眄2|=2上斤軒2=8則 j=2。r；卄22 2片2 cos日=(2c)222-得 2ri2(1+cos 0 )=4b4b22b2 1+cos 0 =2r1 r2叩2 r什2 一 2.叩2,-12 的最大值為a22b2- 1+cos 0的最小值為一a18，即 1+

26、cos 025cos0 -0 _ v 二25-arccosZ 貝y 當(dāng) v25飛時，s取值得最大值1，即sin / F1PF2的最大值為1。列,2x11、設(shè)橢圓方程為2 -a2 y b21(a b 0)由題意：C、2C、c成等差數(shù)2a- 4c = cc即 ac= 2c2,.2 2 . 2、 . 2 2 -a =2(a -b ), a =2b2橢圓方程為X 2b2 y b2=1，設(shè) A(x 1，yl)， B(X2，y2)22b22b;=1 22b22 2一得守2Y1b2-0即0 k=12直線AB方程為y-1=x+2即 y=x+3，代入橢圓方程即222222x +2y -2b =0 得 x +2(

27、x+3) -2b =022- 3x +12x+18-2b =0 ,AB =捲 一 x211 = 1 . 12巻=1b2 -12(18 -2b2) . 2 二 4.332 2解得b2=12,橢圓方程為綜七*，直線1方程為x-y+3=012、證明：設(shè) A(X1, y”，D(X2, y2), AD中點(diǎn)為M(X0, y)直線I的斜率為k，則聲22Xiyi _12 . 2 1 abI 22a2b2-得一學(xué)a bB(x1, y)C(X2, y2), BC中點(diǎn)為 M (x, y。),12 120a2b2i2i2十=0a b-得aC12y0由、知M、M 均在直線I : 2x 2yak b2若I過原點(diǎn)，則B、C

28、重合于原點(diǎn)，命題成立-0上，而M、M 又在直線l上,若I與x軸垂直，則由對稱性知命題成立若I不過原點(diǎn)且與x軸不垂直，則 M與M 重合AB = CD四、弦長公式法若直線丨：y = kx b與圓錐曲線相交與 A、B兩點(diǎn)，A (x1, y1), B(x2, y2)則 弦長 AB =譏捲x2)2 + W - y2)2=。-X2)2 悩 b -(kx2 b)2=VVhk2|x1 -x2二 1 k2 t.(x1 x2)2 -4x1x2 同理：iabi=、1 ： I y2 - 丨 3 yJ2 -4y2%特殊的，在如果直線 AB經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，則|AB|=?一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB長的方法是：把

29、直線方程y=kx，b代入圓錐曲線方程中，得到型如 ax2 bxc=0的方程，方程的兩根設(shè)為Xa, Xb ,判別式為，則|AB|h1 k2 |xxB 1 k2 -仝，若直接用結(jié)論，能減少配方、開方等運(yùn)算過|a|程。2 2例 求直線x - y T = 0被橢圓x 4y= 16所截得的線段 AB的長。 結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運(yùn)算在求過圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長時，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點(diǎn)，結(jié)合圖形運(yùn)用圓錐曲線的定義，可回避復(fù)雜運(yùn)算。2 例題1 :已知直線y = x 1與雙曲線C : x2=1交于A、B兩點(diǎn)，求AB的弦長AB解：設(shè) A（捲，yj, B（X2, y2）y = x 1 由2 y2x2 2

30、得 4x -（x 1） - 4=0 得 3x2-2x-5=0 =1捲+x2則有23 得,5%x23二 1 k2 , （x1 x2）2 -4x2 二.2練習(xí)x211 :已知橢圓方程為y2 =1與直線方程I： y = x 相交于A、B兩點(diǎn)，求AB的弦長練習(xí)222：設(shè)拋物線y2二4x截直線y = 2x m所得的弦長AB長為35 ,求m的值分析：聯(lián)立直線與拋物線的方程，化簡，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求弦長解：設(shè) A（X1,yJ, B（x2,y2）y =x + 1 聯(lián)立方程22 得6x2,4x-3=0才八1X1 +X2則*x1x2AB =1 + k2 （為 +x2）2 4x2-2 21=23）_4（-2）=

31、2113j = 2x + m 2 =4x得 4x2 + （4m 4）x + m2 = 0解：設(shè) A（yJ,B（X2，y2）r聯(lián)立方程：丿yx1 x2 = 1 一 m2mx1 x2 =L42.(x1 x2)2 - 4x1x = 5 . (1 一 m)2 - m2 = 3 . 5.m 一4-3上存在關(guān)于直線 x y二0對稱相異的兩點(diǎn) A B,求弦長例題2：已知拋物線y = _x2AB分析：A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x y = 0對稱，則直線AB的斜率與已知直線斜率的積為 - 1且AB 的中點(diǎn)在已知直線上解：幕A、B關(guān)于I : x y =0對稱kAB = 1 設(shè)直線AB的方程為y=xb ， A( x1, y

32、1), B(x2, y2)y 二 x b3ki Rab = -1ki - -1聯(lián)立方程丿化簡得x2 x b - 3 = 0% x2 二 -1.b =1XiX2 二11 1AB中點(diǎn)M (, b)在直線x y = 0上2 2.x2 x -2 = 01X1X2 = 2AB = 1 k2 . (x-i x2)4x1x2小結(jié)：在求直線與圓錐曲線相交的弦長時一般采用韋達(dá)定理設(shè)而不求的方法，在求解二 2 J-1)28 = 3. 2過程中一般采取步驟為：設(shè)點(diǎn)T聯(lián)立方程T消元T韋達(dá)定理T弦長公式作業(yè):(1)過拋物線y2AB上3，=4x的焦點(diǎn)，作傾斜角為 :-的直線交拋物線于A， B兩點(diǎn)，且(2)已知橢圓方程x2

33、y1及點(diǎn)B(0,-2)，過左焦點(diǎn) F,與B的直線交橢圓于【典型例題】C、D兩點(diǎn),2F2為橢圓的右焦點(diǎn)，求 CDF2的面積。五、數(shù)形結(jié)合法例1:已知P(a,b)是直線x+2y-仁0上任分析：由此根式結(jié)構(gòu)聯(lián)想到距離公式，解: S- (a 2)2 (b -3)2 設(shè) Q(-2,3),則S=|PQ|,它的最小值即Q到此直線的距離169| -2 2 3 -11.5點(diǎn)評：此題也可用代入消元的方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最小值問題(注：可令根式內(nèi)為t消元后，它是一個一元二次函數(shù))例2:已知點(diǎn)P(x,y)是圓x2+y2-6x-4y+12=0上一動點(diǎn)，求上的最值。x解：設(shè)0(0，0)，則y表示直線OP的斜率，由圖可知，

34、當(dāng)直線 OP與圓相切時,xy=kx,即 kx-y=0得最值，設(shè)最值為 k,則切線：22圓(x-3)+(y-2) =1,由圓心(3,2)到直線kx-y=0的距離為1得|3k 一 2 14X min4例3:直線1 :分析：由題意,ax+y+2=0平分雙曲線:_ 3 + J3lx 丿max42 2丄=1的斜率為1的弦，求a的取值范圍.169直線I恒過定點(diǎn)P(0,-2)，平分弦即過弦中點(diǎn)，可先求出弦中點(diǎn)的軌跡,再求軌跡上的點(diǎn) M與點(diǎn)P的連線的斜率即-a的范圍。解：設(shè)A(Xi,yJ,B(x 2,y 2)是雙曲線上的點(diǎn)，且AB的斜率為1，AB的中點(diǎn)為 M(xo,y。)則: 2 2x_y_=11692 2X2 y2 _116 9 =12 2-得z H16匹1=0169即M(X),y 0)在直線9x-16y=0 上。得卜77廠為丿,D由 f9x-16y=02 2x-L = 1點(diǎn) M的軌跡方程為 9x-16y=0(x 16 7