1.6三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用(精細(xì)修改后)

1、1.6三角函數(shù)模型 的簡(jiǎn)單應(yīng)用 教學(xué)目標(biāo): 能力目標(biāo)：讓同學(xué)們體驗(yàn)一些具有周期性變化規(guī)律 的實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)“建?！彼枷?從而培養(yǎng)同學(xué)們的 建模、分析問(wèn)題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力 情感目標(biāo)：讓同學(xué)們切身感受數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，體 驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值和作用，從而激發(fā) 學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)鍥而不舍的鉆研精神；培養(yǎng) 同學(xué)們勇于探索、勤于思考的精神。 例1 如圖,某地一天從614時(shí)的溫度變化曲線近 似滿足函數(shù)y=Asin(x+)+b (1)求這一天的最大溫差; (2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式. 6 10 14 y T/ x t/h 10 20 30 O 解:(1)最大溫差是20 (2)從614時(shí)

2、的圖象是函數(shù)y=Asin(x+)+b 的半個(gè)周期的圖象 6 10 14 y T/ x t/h 10 20 30 O ， 1 A=30-10 =10 2 1 b =30+10 = 20 2 11 2 T=146 22 8 所所以以 將x=6,y=10代入上式,解得 3 = 4 3 y=10sinx+20,x 6,14 84 所求出的函數(shù)模型只能近 似刻畫這天某個(gè)時(shí)段溫度 變化,因此應(yīng)當(dāng)特別注意自 變量的變化范圍 所以 一半徑為3m的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面2m， 已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)4圈（逆時(shí)針），如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P 與O處在同一水平面時(shí)開始計(jì)時(shí)。 （1）點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長(zhǎng)時(shí)間？

3、 （2）將點(diǎn)P距離水面的高度h(m)表示為時(shí)間t(s)的函數(shù)； 例題2 h O t P p h O t p 解：從圖中讀出信息 (1)、T=15,P點(diǎn)第一次到達(dá)最 高點(diǎn)用了四分之一個(gè)周期，時(shí)間 為: 0 p M N 體驗(yàn)探究 1、你能一刀削出一條正弦曲線嗎？ 提示：把一張紙卷到圓柱形的紙筒面上， 卷上幾圈，用刀斜著將紙筒削斷，再把卷著 的紙展開，你就會(huì)看到：紙的邊緣線是一條 波浪形的曲線。 你知道嗎？ 這條曲線就是正弦曲線！ 2、你能試著針對(duì)周圍一些呈周期性變化 的現(xiàn)象編擬一道能用三角函數(shù)模型解決它 的題嗎？ 例3 如圖,設(shè)地球表面某地正午太陽(yáng)高度角為,為此 時(shí)太陽(yáng)直射緯度,為該地的緯度值,那

4、么這三個(gè)量之間 的關(guān)系是=90-|-|.當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?冬半年 負(fù)值. 太陽(yáng)光太陽(yáng)光 90 地心地心 北半球北半球 南半球南半球 如果在北京地區(qū)(緯度 數(shù)約為北緯40)的一 幢高為h0的樓房北面 蓋一新樓,要使新樓一 層正午的太陽(yáng)全年不 被前面的樓房遮擋,兩 樓的距離不應(yīng)小于多 少? 太陽(yáng)高度角的定義太陽(yáng)高度角的定義 如圖，設(shè)地球表面某地如圖，設(shè)地球表面某地 緯度值為緯度值為 ， 正午太陽(yáng)高度角為正午太陽(yáng)高度角為 ， 此時(shí)太陽(yáng)直射緯度為此時(shí)太陽(yáng)直射緯度為 那么這三個(gè)量之間的關(guān)那么這三個(gè)量之間的關(guān) 系是系是 當(dāng)?shù)叵陌肽戤?dāng)?shù)叵陌肽?取正值，取正值， 冬半年冬半年 取負(fù)值。取負(fù)值。 |90 90

5、|90 |90 太陽(yáng)光太陽(yáng)光 90 地心地心 北半球北半球 南半球南半球 解: 取太陽(yáng)直射南回歸線的情況考慮,此時(shí)太陽(yáng)直射緯 度為-2326,依題意兩樓的間距應(yīng)不小于MC. 根據(jù)太陽(yáng)高度角的定義,有 ,432662234090 C 0 00 000. 2 4326tantan h h C h MC 所以 即在蓋樓時(shí),為使后樓不被前樓遮擋,要留出相當(dāng)于 樓高兩倍的間距 A B C h0 P 分析：太陽(yáng)高度角 、樓高h(yuǎn)0與此時(shí)樓房在地面的投影 長(zhǎng)h之間的有如下關(guān)系：h0=htan 23 26 23 26 0 40M h CBA 根據(jù)地理知識(shí)，在北京地區(qū)，太陽(yáng)直身北回歸線時(shí)物 體的影子最短，直射南回

6、歸線時(shí)物體的影子最長(zhǎng). 考慮 太陽(yáng) 直射 南回 歸線 課件演示 例4 海水受日月的引力,在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的 現(xiàn)象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情況 下,船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道,靠近碼頭;卸貨后,在落潮 時(shí)返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與 水深關(guān)系表: 時(shí)刻時(shí)刻水深水深/ /米米時(shí)刻時(shí)刻水深水深/ /米米時(shí)刻時(shí)刻水深水深/ /米米 0:005.09:002.518:005.0 3:007.512:005.021:002.5 6:005.015:007.524:005.0 (1)選用一個(gè)函數(shù)來(lái)近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的 函數(shù)生態(tài)系統(tǒng),給出整點(diǎn)時(shí)的水深的近似數(shù)值(精確到 0.

7、001). (2)一條貨船的吃小深度(船底與水面的距離)為4米,安 全例規(guī)定至少要有1.5米的安全間隙 (船底與洋底的距 離),該船何時(shí)能進(jìn)入港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度為4米.安全間隙為1.5米,該船在 2:00開始卸貨,吃水深度以每小時(shí)0.3米的速度減少,那 么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨,將船駛向較深的水域? 課件演示 解:(1)以時(shí)間為橫坐標(biāo),水深為縱坐標(biāo),在直角坐 標(biāo)系中畫出散點(diǎn)圖 3 6 9 12 15 18 21 24Ox y 6 4 2 根據(jù)圖象,可以考慮用函數(shù) y=Asin(x+ )+h刻畫水深與題 意之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系. A=2.5,h=5,T=12, =0 2

8、 T =12, =. 6 由得 所以,港口的水深與時(shí)間的關(guān)系可用 近似描述. y = 2.5sinx + 5 6 時(shí)刻時(shí)刻0:001:002:003:004:005:006:007:008:009:00 10:00 11:00 水深水深 5.000 6.250 7.1657.57.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 時(shí)刻時(shí)刻 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 水深水深 5.000 6.250 7.1657.57.165 6.250

9、 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 y = 2.5sinx +5 6 由得到港口在整點(diǎn)時(shí)水深的近似值: (2)貨船需要的安全水深為4+1.5=5.5(米),所以當(dāng)y5.5 時(shí)就可以進(jìn)港 . 5 . 55 6 sin5 . 2x 2 . 0 6 sinx 由計(jì)算器可得 SHIFTsin-1 MODEMODE 2 0.2=0.201357920.2014 A BCD y=5.5 y Ox 51015 2 4 6 8 2.5sin5 6 yx 0,12,y = 2.5sinx + 5 6 y = 5.5A,B, 在區(qū)間內(nèi) 函數(shù)的圖象、 與直線有兩個(gè)交點(diǎn)因此 20

10、14.0 6 -,2014.0 6 或x 0 .3 8 4 8, 5 .6 1 5 2 A B x x 6152.176152. 512 ,3848.123848. 012 : D C x x 由函數(shù)的周期性易得 因此,貨船可以在0時(shí)30分左右進(jìn)港,早晨5時(shí)30分左 右出港;或在中午12時(shí)30分左右進(jìn)港,下午17時(shí)30分 左右出港.每次可以在港口停留5小時(shí)左右. O 2 4 6 8 10 x y 8 6 4 2 2 .5 sin5 6 yx 5.50.32yx P (3)設(shè)在時(shí)刻x貨船的安全水深為y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x2). 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個(gè)函數(shù),可以看到在67時(shí)之間兩 個(gè)函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn). 通過(guò)計(jì)算.在6時(shí)的水深約 為5米,此時(shí)貨船的安全小 深約為4.3米.6.5時(shí)的水深 約為4.2米,此時(shí)貨船的安 全小深約為4.1米;7時(shí)的小 深約為3.8米,而貨船的安 全小深約為4米.因此為了 安全,貨船最好在6.5時(shí)之 前停止卸貨,將船駛向較深 的水域. 小結(jié): 1.三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象