小學(xué)數(shù)學(xué) 同余問題.教師版

1、5-5-3. 同余問題教學(xué)目標(biāo)1. 學(xué)習(xí)同余的性質(zhì)2. 利用整除性質(zhì)判別余數(shù)知識點撥同余定理1、 定義：若兩個整數(shù) a、b 被自然數(shù) m 除有相同的余數(shù)，那么稱 a、b 對于模 m 同余，用式子表示為：ab ( mod m )，左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a 同余于 b，模 m。2、 重要性質(zhì)及推論：（1）若兩個數(shù) a，b 除以同一個數(shù) m 得到的余數(shù)相同，則 a，b 的差一定能被 m 整除例如：17 與11 除以 3 的余數(shù)都是 2 ，所以（17 -11）能被 3 整除（2）用式子表示為：如果有 ab ( mod m )，那么一定有 abmk,k 是整數(shù)，即 m|(ab)3、余數(shù)判別法

2、當(dāng)一個數(shù)不能被另一個數(shù)整除時，雖然可以用長除法去求得余數(shù)，但當(dāng)被除位數(shù)較多時，計算是很麻煩 的建立余數(shù)判別法的基本思想是：為了求出“n 被 m 除的余數(shù)”，我們希望找到一個較簡單的數(shù) r，使得：n 與 r 對于除數(shù) m 同余由于 r 是一個較簡單的數(shù)，所以可以通過計算 r 被 m 除的余數(shù)來求得 n 被 m 除的余 數(shù)1 整數(shù) n 被 2 或 5 除的余數(shù)等于 n 的個位數(shù)被 2 或 5 除的余數(shù)；2 整數(shù) n 被 4 或 25 除的余數(shù)等于 n 的末兩位數(shù)被 4 或 25 除的余數(shù)；3 整數(shù) n 被 8 或 125 除的余數(shù)等于 n 的末三位數(shù)被 8 或 125 除的余數(shù)；4 整數(shù) n 被

3、3 或 9 除的余數(shù)等于其各位數(shù)字之和被 3 或 9 除的余數(shù)；5 整數(shù) n 被 11 除的余數(shù)等于 n 的奇數(shù)位數(shù)之和與偶數(shù)位數(shù)之和的差被 11 除的余數(shù)；（不夠減的話先適 當(dāng) 加 11 的倍數(shù)再減）；6 整數(shù) n 被 7，11 或 13 除的余數(shù)等于先將整數(shù) n 從個位起從右往左每三位分一節(jié)，奇數(shù)節(jié)的數(shù)之和與 偶數(shù)節(jié)的數(shù)之和的差被 7，11 或 13 除的余數(shù)就是原數(shù)被 7，11 或 13 除的余數(shù)例題精講模塊一、兩個數(shù)的同余問題【例 1】 有一個整數(shù)，除 39,51,147 所得的余數(shù)都是 3，求這個數(shù).【考點】兩個數(shù)的同余問題 【難度】1 星 【題型】解答【解析】 (法 1) 39 -

4、3 =36 ，51-3=48， 147 -3 =144 ， (36,144) =12 ，12 的約數(shù)是 1,2,3,4,6,12 ，因為余數(shù)為 3 要小于除數(shù)，這個數(shù)是 4,6,12 ；(法 2)由于所得的余數(shù)相同，得到這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意 兩數(shù)差的公約數(shù) 51 -39 =12 ， 147 -39 =108 ， (12,108) =12 ，所以這個數(shù)是 4,6,12 1【答案】 4,6,12【例 2】 某個兩位數(shù)加上 3 后被 3 除余 1，加上 4 后被 4 除余 1，加上 5 后被 5 除余 1，這個兩位數(shù)是_. 【考點】兩個數(shù)的同余問題 【難度】2

5、星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】人大附中，分班考試【解析】 “加上 3 后被 3 除余 1”其實原數(shù)還是余 1，同理這個兩位數(shù)除以 4、5 都余 1，這樣，這個數(shù)就是3、 4、5+1=60+1=61?！敬鸢浮?61【例 3】 有一個自然數(shù)，除 345 和 543 所得的余數(shù)相同，且商相差 33求這個數(shù)是多少？【考點】兩個數(shù)的同余問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 由于這個數(shù)除 345 和 543 的余數(shù)相同，那么它可能整除 543-345，并且得到的商為 33所以所 求的數(shù)為 (543 -345) 33 =6 【答案】 6【例 4】 一個大于 10 的自然數(shù)去除 90、164 后所得的兩個余

6、數(shù)的和等于這個自然數(shù)去除 220 后所得的余數(shù)， 則這個自然數(shù)是多少？【考點】兩個數(shù)的同余問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 這個自然數(shù)去除 90、164 后所得的兩個余數(shù)的和等于這個自然數(shù)去除 90 +164 =254 后所得的余數(shù)， 所以 254 和 220 除以這個自然數(shù)后所得的余數(shù)相同，因此這個自然數(shù)是254 -220 =34 的約數(shù)，又大 于 10，這個自然數(shù)只能是 17 或者是 34如果這個數(shù)是 34，那么它去除 90、164、220 后所得的余數(shù)分別是 22、28、16，不符合題目條件； 如果這個數(shù)是 17，那么它去除 90、164、220 后所得的余數(shù)分別是 5、11、

7、16，符合題目條件，所以 這個自然數(shù)是 17【答案】 17【例 5】 兩位自然數(shù) ab 與 ba 除以 7 都余 1，并且 a b ，求 ab ba 【考點】兩個數(shù)的同余問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 ab -ba 能被 7 整除，即 (10a +b ) -（10b +a ) =9 （a-b）能被 7 整除所以只能有 a -b =7 ，那么 ab 可 能為 92 和 81，驗算可得當(dāng) ab =92 時， ba =29 滿足題目要求， ab ba =92 29 =2668【答案】 2668【例 6】 現(xiàn)有糖果 254 粒,餅干 210 塊和桔子 186 個.某幼兒園大班人數(shù)超過 40

8、.每人分得一樣多的糖果,一樣 多的餅干,也分得一樣多的桔子。余下的糖果、餅干和桔子的數(shù)量的比是：1：3：2，這個大班有_ 名小朋友，每人分得糖果_粒，餅干_塊，桔子_個?！究键c】兩個數(shù)的同余問題 【難度】3 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】南京市，興趣杯【解析】 設(shè)大班共有 a 名小朋友。由于余下的糖果、餅干和桔子的數(shù)量之比是 1:3:2，所以余下的糖果、桔子 數(shù) 目 的 和 正 好 等 于 余 下 的 餅 干 數(shù) ， 從 而 254+186-210 一 定 是 a 的 倍 數(shù) ， 即 254+186-210=230=1230=1023=2523 是 a 的倍數(shù)。同樣，2254-186=322=23

9、14=2314=2327 也一定是 a 的倍數(shù)。所以， a 只能是 232 的因數(shù)。但 a40,所以 a=46。此時 254=465+24， 210=463+72，186=463+48。故大班有小朋友 46 名，每人分得糖果 5 粒，餅干 3 塊，桔子 3 個?！敬鸢浮啃∨笥?46 名，每人分得糖果 5 粒，餅干 3 塊，桔子 3 個模塊二、三個數(shù)的同余問題【例 7】 有一個大于 1 的整數(shù)，除 45,59,101 所得的余數(shù)相同，求這個數(shù).【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 這個題沒有告訴我們，這三個數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)分別是多少，但是由于所得的余數(shù)相同，根據(jù)同2余

10、定理，我們可以得到：這個數(shù)一定能整除這三個數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差 的公約數(shù)101 -45 =56 ，59 -45 =14 ，(56,14) =14 ，14 的約數(shù)有 1,2,7,14 ，所以這個數(shù)可能為 2,7,14 ?！敬鸢浮?2,7,14【鞏固】 有一個整數(shù)，除 300、262、205 得到相同的余數(shù)。問這個整數(shù)是幾?【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第 9 題【解析】 這個數(shù)除 300、262，得到相同的余數(shù)，所以這個數(shù)整除30026238，同理，這個數(shù)整除 262205 57，因此，它是 38、57 的公約數(shù) 19?！敬鸢?/p>

11、】 19【鞏固】 在除 13511，13903 及 14589 時能剩下相同余數(shù)的最大整數(shù)是_【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克【解析】 因為13903 -13511 =392 , 14589 -13903 =686 ，由于 13511，13903，14589 要被同一個數(shù)除時，余 數(shù)相同，那么，它們兩兩之差必能被同一個數(shù)整除(392,686) =98 ，所以所求的最大整數(shù)是 98.【答案】 98【鞏固】 140，225，293 被某大于 1 的自然數(shù)除,所得余數(shù)都相同。2002 除以這個自然數(shù)的余數(shù)是 . 【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】3 星

12、 【題型】填空【關(guān)鍵詞】三帆中學(xué)，入學(xué)測試【解析】 這樣我們用總結(jié)的知識點可知：任意兩數(shù)的差肯定余 0。那么這個自然數(shù)是 293-225=68 的約數(shù),又是 225-140=85 的約數(shù)，因此就是 68、85 的公約數(shù),所以這個自然數(shù)是 17。所以 2002 除以 17 余 13?！敬鸢浮?13【鞏固】 三個數(shù)：23，51，72，各除以大于 1 的同一個自然數(shù)，得到同一個余數(shù)，則這個除數(shù)是 。 【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，初賽，第 4 題，6 分【解析】 51 -23 =28 ， 72 -51 =21 ，（28，21）=7，所以這個除數(shù)是 7

13、?！敬鸢浮?7【例 8】 學(xué)校新買來 118 個乒乓球，67 個乒乓球拍和 33 個乒乓球網(wǎng)，如果將這三種物品平分給每個班級， 那么這三種物品剩下的數(shù)量相同請問學(xué)校共有多少個班？【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 所求班級數(shù)是除以118,67,33 余數(shù)相同的數(shù)那么可知該數(shù)應(yīng)該為118 -67 =51 和 67 -33 =34 的公約數(shù)，所求答案為 17【答案】 17【例 9】 若 2836，4582，5164，6522 四個自然數(shù)都被同一個自然數(shù)相除，所得余數(shù)相同且為兩位數(shù)，除數(shù) 和余數(shù)的和為_【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)

14、學(xué)奧林匹克【解析】 設(shè)除數(shù)為 a因為 2836，4582，5164，6522 除以 a 的余數(shù)相同，所以他們兩兩之差必能被 a 整除又 因為余數(shù)是兩位數(shù)，所以 a 至少是兩位數(shù)4582-2836=1746，5164 -4582 =582 ，6522 -5164 =1358 ， 因為 (582,1358) =194 ，所以 a 是 194 的大于 10 的約數(shù)194 的大于 10 的約數(shù)只有 97 和 194如果 a =194 ， 2386 194 =14l 120 ，余數(shù)不是兩位數(shù)，與題意不符如果 a =97 ，經(jīng)檢驗，余數(shù)都是 23，除數(shù) +余數(shù) =97 +23 =120 【答案】120【例

15、 10】一個大于 1 的數(shù)去除 290，235，200 時，得余數(shù)分別為 a ， a +2 ， a +5 ，則這個自然數(shù)是多少？322【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】 根據(jù)題意可知，這個自然數(shù)去除 290，233，195 時，得到相同的余數(shù)（都為 a ）既然余數(shù)相同，我們可以利用余數(shù)定理，可知其中任意兩數(shù)的差除以這個數(shù)肯定余 0那么這個自 然數(shù)是 290 -233 =57 的約數(shù)，又是 233 -195 =38 的約數(shù)，因此就是 57 和 38 的公約數(shù),因為 57 和 38 的公約數(shù)只有 19 和 1，而這個數(shù)大于 1，所以這個自然數(shù)是 19【答案】 19【鞏固

16、】 有 3 個吉利數(shù) 888，518，666，用它們分別除以同一個自然數(shù)，所得的余數(shù)依次為 a,a+7,a+10,則這 個自然數(shù)是_.【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】4 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】清華附中，入學(xué)測試【解析】 處理成余數(shù)相同的，則 888、518-7、666-10 的余數(shù)相同，這樣我們可以轉(zhuǎn)化成同余問題。這樣我們 用總結(jié)的知識點可知：任意兩數(shù)的差肯定余 0 。那么這個自然數(shù)是 888-656=232 的約數(shù)，也是 656-511=145 的約數(shù)，因此就是 232、145 的公約數(shù),所以這個自然數(shù)是 29?！敬鸢浮?29【例 11】一個自然數(shù)除 429、791、500 所得的余數(shù)

17、分別是 a +5 、 2a 、 a ，求這個自然數(shù)和 a 的值.【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】 將這些數(shù)轉(zhuǎn)化成被該自然數(shù)除后余數(shù)為 2a 的數(shù)： (429 -5 )2=848 ， 791 、 500 2 =1000 ，這樣這 些數(shù)被這個自然數(shù)除所得的余數(shù)都是 2a ，故同余.將這三個數(shù)相減，得到 848 -791 =57 、1000 -848 =152 ，所求的自然數(shù)一定是 57 和152 的公約數(shù)， 而 (57,152 )=19，所以這個自然數(shù)是19 的約數(shù)，顯然 1 是不符合條件的，那么只能是 19.經(jīng)過驗證， 當(dāng)這個自然數(shù)是19 時，除 429 、 791

18、 、 500 所得的余數(shù)分別為 11、12 、 6 ， a =6 時成立,所以這個自 然數(shù)是19 ， a =6 .【答案】 6【例 12】甲、乙、丙三數(shù)分別為 603，939，393某數(shù) a 除甲數(shù)所得余數(shù)是 a 除乙數(shù)所得余數(shù)的 2 倍， a 除 乙數(shù)所得余數(shù)是 a 除丙數(shù)所得余數(shù)的 2 倍求 a 等于多少？【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】 根 據(jù) 題 意 ， 這 三 個 數(shù) 除 以 a 都 有 余 數(shù) ， 則 可 以 用 帶 余 除 法 的 形 式 將 它 們 表 示 出 來 ： 603 a =k l l r ，939 a =k l l r ，393 a =k

19、 l l r 由于 r =2 r ， r =2 r ，要消去余數(shù) r ,1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 1r , r ,我們只能先把余數(shù)處理成相同的，再兩數(shù)相減這樣我們先把第二個式子乘以 2，使得被除 2 3數(shù)和余數(shù)都擴大 2 倍，同理，第三個式子乘以 4于是我們可以得到下面的式子：603 a =k l l r1 1(9392 )a=2k l l 2r (3934 )a=2k l l 4 r 這樣余數(shù)就處理成相同的最后兩兩相減消去2 2 3 3余數(shù)，意味著能被 a 整除 939 2 -603 =1275 ， 393 4 -603 =969 ， (1275,969 )=51=317 51

20、 的約數(shù)有 1、3、17、51，其中 1、3 顯然不滿足，檢驗 17 和 51 可知 17 滿足，所以 a 等于 17【答案】 17【例 13】已知 60，154，200 被某自然數(shù)除所得的余數(shù)分別是 a -1 ， a2， a3-1 ，求該自然數(shù)的值【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】5 星 【題型】解答【解析】 根據(jù)題意可知，自然數(shù) 61，154，201 被該數(shù)除所得余數(shù)分別是 a ， a ， a3由于 a2=a a ，所以自然數(shù) 61=3721 與154 同余；由于 a3=a a2，所以 61 154 =9394 與 201 同余，所 以 除 數(shù) 是 3721 -154 =3567 和 93

21、94 -201 =9193 的 公 約 數(shù) ， 運 用 輾 轉(zhuǎn) 相 除 法 可 得 到 (3567,9193) =29 ，該除數(shù)為 29經(jīng)檢驗成立【答案】 29【例 14】有一個自然數(shù)，它除以15 、17 、 19 所得到的商(1 )與余數(shù)( 0 )之和都相等，這樣的數(shù)最小可能 是多少【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】5 星 【題型】解答4【解析】a 15 =a. x（ =x -a） a =15 a +（x -a）=14 a +xaa 17 =b. x（ =x -b） a =17 b +（x -b）=16b +xba 19 =c. x（ =x -c） a =19 c +（x -c）=18c +

22、xc14a =16b =18c 72 | a a 至少為 72 ， a =15a +x =15 72 +x =1080 +xa a a14a =16b =18c 63| b b 至少為 63 ， a =17b +x =17 63 +x =1071 +xb b b14a =16b =18c 56 | c c 至少為 56 ， a =19c +x =19 56 +x =1064 +xc c c最小為 1081【答案】 1081【例 15】三個不同的自然數(shù)的和為 2001，它們分別除以 19,23,31 所得的商相同，所得的余數(shù)也相同，這三 個數(shù)是_，_，_。【考點】三個數(shù)的同余問題 【難度】4 星

23、 【題型】填空【關(guān)鍵詞】祖沖之杯【解析】 設(shè)所得的商為 a ，除數(shù)為 b (19a +b ) +(23a +b) +(31a +b) =2001 ， 73a +3b =2001 ，由 b 19 ，可 求得 a =27 ， b =10 所以，這三個數(shù)分別是19a +b =523 ， 23a +b =631 ， 31a +b =847 ?！敬鸢浮?23，631，847模塊三、運用同余進行論證【例 16】在 33 的方格表中已如右圖填入了 9 個質(zhì)數(shù)。將表中同一行或同一列的 3 個數(shù)加上相同的自然數(shù)稱為一次操作。問：你能通過若干次操作使得表中 9 個數(shù)都變?yōu)橄嗤臄?shù)嗎？為什么？【考點】運用同余進行論

24、證 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 略【答案】因為表中 9 個質(zhì)數(shù)之和恰為 100，被 3 除余 1，經(jīng)過每一次操作，總和增加 3 的倍數(shù)，所以表中 9 個 數(shù)之和除以 3 總是余 1。如果表中 9 個數(shù)變?yōu)橄嗟?，那?9 個數(shù)的總和應(yīng)能被 3 整除，這就得出矛 盾！所以，無論經(jīng)過多少次操作，表中的數(shù)都不會變?yōu)?9 個相同的數(shù)?！纠?17】一個三位數(shù)除以 17 和 19 都有余數(shù)，并且除以 17 后所得的商與余數(shù)的和等于它除以 19 后所得到的 商與余數(shù)的和那么這樣的三位數(shù)中最大數(shù)是多少，最小數(shù)是多少？【考點】運用同余進行論證 【難度】4 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】仁華學(xué)?！窘馕觥?設(shè)這

25、個三位數(shù)為 s ，它除以 17 和 19 的商分別為 a 和 b ，余數(shù)分別為 m 和 n ，則 s =17 a +m =19b +n 根據(jù)題意可知 a +m =b +n ，所以 s -(a+m)=s-(b+n)，即16a=18b，得 8a =9b 所以 a 是 9 的倍8 1數(shù)， b 是 8 的倍數(shù)此時，由 a +m =b +n 知 n -m =a -b =a - a = a 由于 s 為三位數(shù)，最小為9999 ， 最 大 為 999 ， 所 以 100 17a +m 999 ， 而 1 m 16 ， 所 以 17 a +1 17 a +m 999 ， 100 17 a +m 17 a +1

26、6 ，得到 5 a 58 ，而 a 是 9 的倍數(shù)，所以 a 最小為 9，最大為 54當(dāng) a =54 時，1 1n -m = a =6 ，而 n 18 ，所以 m 12 ，故此時 s 最大為17 54 +12 =930 ；當(dāng) a =9 時，n -m = a =1 ， 9 9由于 m 1 ，所以此時 s 最小為 17 9 +1 =154 所以這樣的三位數(shù)中最大的是 930，最小的是 154 【答案】最大的是 930，最小的是 154【例 18】從 1，2，3，n 中，任取 57 個數(shù)，使這 57 個數(shù)必有兩個數(shù)的差為 13，則 n 的最大值為多少？ 【考點】運用同余進行論證 【難度】4 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】西城實驗5 222【解析】 被 13 除的同余序列