四川省綿陽市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次診斷性考試試題文含解析

PAGE19-四川省綿陽市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次診斷性考試試題文（含解析）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求解集合,然后求解.【詳解】因為，，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查集合的交集運算，先化簡集合是求解此類問題的關(guān)鍵，題目屬于簡潔題，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).2.若，則下列結(jié)論不正確的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合不等式的性質(zhì)或特別值，逐個選項驗證.【詳解】因為，所以，選項A正確；因為，所以，選項B正確；因為，所以，選項C不正確；因為為增函數(shù)，所以，選項D正確.故選：C.【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，這類問題的求解方法是利用常見的不等式的性質(zhì)或者利用特別值進行求解，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).3.下列函數(shù)中定義域為，且在上單調(diào)遞增的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求解選項中各函數(shù)的定義域，再判定各函數(shù)的單調(diào)性，可得選項.【詳解】因為的定義域為，的定義域為，所以解除選項B,C.因為在是減函數(shù)，所以解除選項A，故選：D.【點睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，求解函數(shù)定義域時，熟記常見的類型：分式，偶次根式，對數(shù)式等，單調(diào)性一般結(jié)合初等函數(shù)的單調(diào)性進行判定，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).4.等差數(shù)列的前n項和為，若，，則()A.4 B.5 C.10 D.15【答案】B【解析】【分析】先由求，再求公差，最終可得.【詳解】因為，所以，可得，所以，故選：B.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本運算，嫻熟記憶等差數(shù)列的求和公式及通項公式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).5.已知函數(shù)，若，則()A.-2 B.-1 C.0 D.【答案】B【解析】分析】先由寫出，再由二者關(guān)系可得與的關(guān)系，易得.【詳解】因為，所以，所以，易得.故選：B.【點睛】本題主要考查函數(shù)的表示方法，結(jié)合函數(shù)解析式的特征可求，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算和邏輯推理的核心素養(yǎng).6.已知命題函數(shù)，的最小值為；命題若向量，，，滿意，則．下列命題中為真命題的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先推斷命題，命題的真假，利用基本不等式和三角函數(shù)的性質(zhì)可推斷命題為假，再用零向量推斷命題為假，進而推斷命題和命題為真，易得為真.【詳解】由題意命題函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，由性質(zhì)可得，所以函數(shù)，取不到最小值，即命題為假，則命題為真；命題若向量為零向量，滿意，但不肯定有，所以命題為假，則命題為真，所以為真.故選:D.【點睛】本題主要考查命題真假的判定，涉及基本不等式的最值問題要留意條件的檢驗，平面對量的運算要熟記運算規(guī)則，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).7.若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將化成與同底，再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，然后利用中間值1比較的大小，最終易得三者關(guān)系.【詳解】因為，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，且可得，且，又因為，所以.故選：B.【點睛】本題主要考查指數(shù)式，對數(shù)式比較大小，指數(shù)式的大小比較一般是化為同底數(shù)來進行，不同類的數(shù)值比較一般采納介值法進行，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).8.已知x，y滿意約束條件，則的最小值為()A.4 B.2 C.1 D.【答案】C【解析】【分析】先作出可行域，平移目標函數(shù)，確定取到最小值的點，然后求出點代入目標函數(shù)可得.【詳解】作出可行域，如圖，易得目標函數(shù)在點處取到最小值，由得，所以的最小值為，故選：C.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃求解最值問題，主要求解方法是作出可行域，平移目標函數(shù)，得到最值點，聯(lián)立方程組，求出最值點可得最值.9.設(shè)函數(shù)（其中常數(shù)）的圖象在點處的切線為l，則l在y軸上的截距為()A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，依據(jù)切點寫出切線的點斜式方程，令可得l在y軸上的截距.【詳解】因為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得圖象在點處的切線斜率為，且，則切線方程為，令可得，故選：A.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求解在某點處的切線方程的策略是：先求導(dǎo)數(shù)，代入切點橫坐標可得切線斜率，然后結(jié)合點斜式可求切線方程，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).10.某數(shù)學(xué)小組到進行社會實踐調(diào)查，了解鑫鑫桶裝水經(jīng)營部在為如何定價發(fā)愁。進一步調(diào)研了解到如下信息：該經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進價是5元，銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如下表：銷售單價/元6789101112日均銷售量/桶480440400360320280240依據(jù)以上信息，你認為該經(jīng)營部定價為多少才能獲得最大利潤？（）A.每桶8.5元 B.每桶9.5元 C.每桶10.5元 D.每桶11.5元【答案】D【解析】【分析】通過表格可知銷售單價每增加1元、日均銷售量削減40桶，進而列出表達式，利用二次函數(shù)的簡潔性質(zhì)即得結(jié)論．【詳解】通過表格可知銷售單價每增加1元、日均銷售量削減40桶，設(shè)每桶水的價格為（6+x）元（0＜x＜13），公司日利潤y元，則y＝（6+x﹣5）（480﹣40x）﹣200＝﹣40x2+440x+280（0＜x＜13），∵﹣40＜0，∴當(dāng)x＝＝5.5時函數(shù)y有最大值，因此，每桶水的價格為6+5.5=11.5元，公司日利潤最大，故選：D【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)模型的應(yīng)用以及二次函數(shù)求最值，屬于基礎(chǔ)題．11.函數(shù)在上單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于對稱，則的值為()A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】先求周期的范圍，再進一步得到的范圍，解除選項B,C,D.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以.又因為，所以，所以.只有選項A符合，經(jīng)檢驗可知圖象關(guān)于對稱；故選:A.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用單調(diào)性和對稱性確定參數(shù)，特值進行解除也是常用方法，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).12.在中，，的平分線AD交邊BC于點D，已知，且，則在方向上的投影為()A.1 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】先依據(jù)得出四邊形為菱形，從而可得,進而可求在方向上的投影.【詳解】因為，如圖設(shè),,所以四邊形為菱形；因，，所以,即有;結(jié)合比例性質(zhì)可得,所以;在方向上的投影為.故選：D.【點睛】本題主要考查平面對量應(yīng)用，明確向量的運算規(guī)則是求解的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合能簡化運算過程，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)的定義域為，且滿意，當(dāng)時，，則________．【答案】e【解析】【分析】先依據(jù)可得周期為，利用周期可求，從而可得結(jié)果.【詳解】因為，所以函數(shù)的周期為，所以；又因為當(dāng)時，，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查利用函數(shù)的周期求值，主要求解思路是：先依據(jù)題設(shè)條件得出函數(shù)的周期，再結(jié)合周期把目標函數(shù)值轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，然后可求，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).14.已知向量，向量的模為1，且，則與的夾角為________．【答案】【解析】【分析】先依據(jù)求得，然后利用向量的夾角公式可求.【詳解】因為，所以，因為，所以，即有，，所以，故與的夾角為.故答案為：.【點睛】本題主要考查平面對量的運算，向量夾角的求解主要利用公式來求，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).15.2024年10月1日，在慶祝新中國成立70周年閱兵中，由我國自主研制的軍用飛機和軍用無人機等參閱航空裝備分秒不差飛越天安門，壯軍威，振民心，令世人矚目．飛行員超群的飛行技術(shù)離不開艱苦的訓(xùn)練和科學(xué)的數(shù)據(jù)分析．一次飛行訓(xùn)練中，地面觀測站觀測到一架參閱直升飛機以千米/小時的速度在同一高度向正東飛行，如圖，第一次觀測到該飛機在北偏西的方向上，1分鐘后其次次觀測到該飛機在北偏東的方向上，仰角為，則直升機飛行的高度為________千米．（結(jié)果保留根號）【答案】【解析】【分析】依據(jù)飛行時間和速度可求飛行距離，結(jié)合兩次視察方位角及三角形學(xué)問可得.【詳解】如圖，依據(jù)已知可得設(shè)飛行高度為千米，即，則;在直角三角形中，,所以，；在直角三角形中，同理可求；因為飛行速度為千米/小時，飛行時間是1分鐘，所以,所以，解得，故答案為：.【點睛】本題主要考查以現(xiàn)實問題為背景的解三角形問題，精確理解方位角是求解本題的關(guān)鍵，融合了簡潔的物理學(xué)問，側(cè)重考查了直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).16.若函數(shù)有且僅有1個零點，則實數(shù)的取值范圍為________．【答案】或【解析】【分析】令f（x）＝0，參變分別得a＝，令h（x）＝，對h（x）求導(dǎo)得函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）,單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，0），（1，+∞），h（x）＝h（0）＝1，h（x）＝h（1）＝，由題意得函數(shù)h（x）與直線y＝a有且僅有一個交點，即可得出a的取值范圍．【詳解】令f（x）＝0，可得：a＝，令h（x）＝，h（x）＝，令h（x）＝0，解得x＝0或1，x（﹣∞，0）0（0，1）1（1，+∞）h（x）﹣0+0﹣h（x）單調(diào)遞減微小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減由表格可得：h（x）＝h（0）＝1，h（x）＝h（1）＝，且，.由f（x）有且僅有一個零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)h（x）與直線y＝a有且僅有一個交點．∴當(dāng)或時，函數(shù)h（x）與直線y＝a有且僅有一個交點．故答案為：或【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為圖象的交點問題，也考查了分析推理轉(zhuǎn)化解決問題與計算的實力，屬于中檔題．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，且，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先結(jié)合三角恒等變換的公式把目標函數(shù)化簡為標準型，結(jié)合周期求解公式和單調(diào)區(qū)間求解方法可求；（2）結(jié)合所給角的范圍，確定的范圍，結(jié)合函數(shù)值可得所求角.【詳解】解：（1）∴，即的最小正周期為．∵的單調(diào)遞減區(qū)間為，，∴由，，解得，，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為，．（2）由已知，可得，即，再由，可得，∴，解得．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及性質(zhì)，一般求解思路是：先利用公式把目標函數(shù)化簡為標準型，然后利用相應(yīng)性質(zhì)的求解方法求解，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).18.在各項均不相等的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前n項和．（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，由，，成等比數(shù)列，列式解得（舍去）或，進而得；再由數(shù)列的前n項和，得，且，進而得；（2）由（1）得，利用分組求數(shù)列的前n項和即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，則，，∵，，成等比數(shù)列，，即，整理得，解得（舍去）或，.當(dāng)時，，當(dāng)時，．驗：當(dāng)時，滿意上式，∴數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）得，，.【點睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，也考查了數(shù)列的分組求和的方法，考查化簡整理的運算實力，屬于中檔題．19.已知中三個內(nèi)角A，B，C滿意．（1）求；（2）若，b是角B的對邊，，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先依據(jù)及平方關(guān)系，可以求得；（2）依據(jù)三角形性質(zhì)及正弦定理可求，，然后利用面積公式可得.【詳解】解：（1）在中，，即，∴，由題意得．兩邊平方可得，依據(jù)，可整理為，解得或（舍去）．∴．（2）由，且，可得，為鈍角，∴，又，由正弦定理得，∴，．又為鈍角，由（1）得．∴的面積為綜上所述，的面積為．【點睛】本題主要考查利用正弦定理和面積公式求解三角形問題，解三角形時須要留意三角形性質(zhì)的運用及面積公式的選擇，邊角的相互轉(zhuǎn)化是求解的常用策略，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算和邏輯推理的核心素養(yǎng).20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最大值是2，若存在，求出的值；不存在，請說明理由．【答案】（1）微小值為，極大值為；（2）存在，理由見解析【解析】【分析】（1）當(dāng)時，，則，得的單調(diào)性，進而得的極值；（2）求導(dǎo)得，按，，進行分別探討得的單調(diào)性，進而求出最大值，推斷最大值是2能否成馬上可.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，由，得或；由，得，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．的微小值為，極大值為.（2），當(dāng)時，在單調(diào)遞增，最大值為，解得（舍）；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，最大值為或，由，解得（舍），由，解得.當(dāng)時，在單調(diào)遞減，最大值為，解得（舍)．綜上所述：.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值求參數(shù)等問題，也考查了分類探討思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．21.已知函數(shù)，，．（1）若存在微小值，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若的極大值為，求證：．【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，令，則，得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，由題意得按，分類探討，計算實數(shù)a的取值范圍即可；（2）由（1）知，的極大值為，，令，求導(dǎo)得在上單調(diào)遞增，即可證得.【詳解】（1）由題意得，令，則．∴當(dāng)時，得，當(dāng)時，得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，，，∴．①當(dāng)，即時，，于是在上是增函數(shù)，從而在上無極值．②當(dāng)，即時，存在，使得，且當(dāng)時，，在上是單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上是單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上是單調(diào)遞增，故是在上的微小值．綜上，．（2）由（1）知，的極大值為．又，，令，，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在探討函數(shù)單調(diào)性、極值和最值中的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立以及分類探討思想，變換過程困難，須要很強的邏輯推理實力，屬于中