數(shù)學期望性質(zhì)與應用舉例

1、5. 數(shù)學期望的基本性質(zhì)利用數(shù)學期望的定義可以證明，數(shù)學期望具有如下基本性質(zhì)： 設 , 為隨機變量，且 e()，e()都存在，a，b，c 為常數(shù)，則 性質(zhì) 1. e(c)=c；性質(zhì) 2. e(a)=ae()；性質(zhì) 3. e(a+)=e()+a；性質(zhì) 4. e(a+b)=ae()+b；性質(zhì) 5. e(+)=e()+e()例 3.5.7 設隨機變量 x 的概率分布為:p(x =k)=0.2 k =1,2,3,4,5.求 e(x),e(3x+2)解. p(x=k)=0.2 k=1,2,3,4,5由離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義可知 e(x)=10.2+20.2+30.2+40.2+50.2=3， e

2、(3x+2)=3e(x)+2=11例 3.5.8. 設隨機變量 x 的密度函數(shù)為:求 e(x),e(2x-1)解. 由連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望的定義可知=-1/6+1/6=0e(2x-1)=2e(x)-1=-1我們已經(jīng)學習了離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望,在隨機變量的數(shù)字 特征中,除數(shù)學期望外,另一重要的數(shù)字特征就是方差.4.1.2數(shù)學期望的性質(zhì)（1）設是常數(shù)，則有 。證 把常數(shù)然等于 1。所以，看作一個隨機變量，它只能取得唯一的值 。，取得這個值的概率顯（2）設是隨機變量，。是常數(shù)，則有證 若是連續(xù)型隨機變量，且其密度函數(shù)為。當。是離散型隨機變量的情形時，將上述證明中的積分號改為求

3、和號即得。（3）設都是隨機變量，則有。此性質(zhì)的證明可以直接利用定理 4.1.2，我們留作課后練習。這一性質(zhì)可以推廣到 有限個隨機變量之和的情況，即。（4）設是相互獨立的隨機變量，則 。證 僅就和與，都是連續(xù)型隨機變量的情形來證明。設的聯(lián)合概率密度為 ，則因為與的概率密度分別為相互獨立，所以有。由此得此性質(zhì)可以推廣到有限個相互獨立的隨機變量之積的情況。例 4.1.2 倒扣多少分？李老師喜歡在考試中出選擇題，但他知道有些學生即使不懂哪個是正確答案也會亂 撞一通，隨便選一個答案，以圖僥幸。為了對這種不良風氣加以處罰，唯一辦法就是對 每一個錯誤的答案倒扣若干分。假設每條選擇題有五個答案，只有一個是正確

4、的。在某次考試中，李老師共出 20 題，每題 5 分，滿分是 100 分。他決定每一個錯誤答案倒扣若干分，但應倒扣多少分才 合理呢？倒扣太多對學生不公平，但倒扣太少又起步了杜絕亂選的作用。倒扣的分數(shù)，應該恰到好處，使亂選一通的學生一無所獲。換句話說，如果學生完全靠運氣的話， 他的總分的數(shù)學期望應該是 0。假定對一個錯誤答案倒扣 分，而正確答案得 5 分。隨意選一個答案，選到錯誤答案的概率是 ，選到正確答案的概率是。要它是 0，由此，所以總分的數(shù)學期望是，即是對每一個錯誤答案應該倒扣分。要是這樣，對一個只答對六成的學生（但不是亂選一通之流）來說，他的總分仍然有，并不算不公平吧？例 4.1.3 某

5、制藥廠試制一種新藥治療某種疾病。對 600 人作臨床試驗，其中 300 人服用新藥，而另外 300 人未服，4 天后，有 320 人康復，其中 260 人服用了新藥。問 這種新藥療效如何？分析（1）無論病人服藥與否，可能的結(jié)果都有兩個：痊愈與未愈，所以為了能 夠使用概率方法解決這個問題，應該想到引入兩點分布的隨機變量；（2）評價藥物療效好壞，僅對兩組中的某兩個個體的治療效果進行比較是不行的， 而應該比較兩組病人的平均治療效果。解引入 “病人服用新藥后的結(jié)果”； “病人未服用新藥的結(jié)果”。，由題設知比較與， ，故 ， ，故 ， 可知新藥對治療此種病療效顯著。例 4.1.4十個獵人等候野鴨飛來，當

6、一群鴨飛來，獵人同時射擊，但每人任選自己的目標，且不互相影響，若每一人獨自打中目標的概率是 算沒有被打中的鴨數(shù)的期望值。解 設，若 10 只野鴨飛來，計沒有被打中的鴨數(shù)為鴨的概率是 ，所以，進而，。首先計算 ，每一人打中第 只。注 將一個“復雜”的隨機變量分解為若干個“簡單”的隨機變量之和，是研究隨機變量的一種基本方法。將盒子數(shù)個球隨機地放入的數(shù)學期望。個盒子中去，每個球放入各個盒子是等可能的，求有球的提示 設布律為。的分0 1于是有 。故。假設由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑 （以毫米計），服從正態(tài)分布。已知銷售每個零件的利潤 （元）與銷售零件的內(nèi)徑有如下關系：問平均內(nèi)徑為何值時，銷售一個零件的