理論力學習題解答第九章講解

1、9-1在圖示系統(tǒng)中，均質(zhì)桿 OA、AB與均質(zhì)輪的質(zhì)量均為 m , OA桿的長度為h , AB桿的長度為|2，輪的半徑為 R，輪沿水平面作純滾動。在圖示瞬時，OA桿的角速度為,求整個系統(tǒng)的動量。5ml ,方向水平向左2題9- 1圖題9-2圖9-2如圖所示，均質(zhì)圓盤半徑為R,質(zhì)量為m，不計質(zhì)量的細桿長 丨，繞軸0轉(zhuǎn)動，角速度為，求下列三種情況下圓盤對固定軸的動量矩：（a）圓盤固結(jié)于桿；（b）圓盤繞A軸轉(zhuǎn)動，相對于桿 0A的角速度為-;（c）圓盤繞A軸轉(zhuǎn)動，相對于桿 0A的角速度為 。R 22 2 2 2（a） LO =m（ +1 購；（b） LO = ml ；（c） LO = m（ R +1 冷2

2、9-3水平圓盤可繞鉛直軸 z轉(zhuǎn)動，如圖所示，其對 z軸的轉(zhuǎn)動慣量為Jz。一質(zhì)量為m的質(zhì)點，在圓盤上作勻速圓周運動，質(zhì)點的速度為V。,圓的半徑為r,圓心到盤中心的距離為l 。開始運動時，質(zhì)點在位置 M。，圓盤角速度為零。求圓盤角速度與角間的關(guān)系，軸承摩 擦不計。解 以圜扳利欣點M為系統(tǒng)，因為系統(tǒng)所受外力包括車力和約束力對軸三的矩均 力誓.戰(zhàn)爲統(tǒng)對榊二胡乳地訐和.在任意時刻點M的速度包含相對速度和沖：51速度 其申斗=OM -舊設(shè)質(zhì)點M在城位置為起始位置*該瞬時系統(tǒng)對軸二的創(chuàng)吊伸5二叫Q)在任盤時劉:Lsi = J& +(wr ) = Jto + M. (mr0) +Af, (wt 叫)由圖可得L

3、.2 = Jcy + wrvD/ cos? + r + m(l + r: + Hr cos?)(p抿據(jù)動崑矩守怛定律J = i:2(3)由式 (3)爲m/v0(l - cose?)w =尸3 +用廠+廠+ 2/?cos)9-4如圖所示，質(zhì)量為 m的滑塊A，可以在水平光滑槽中運動，具有剛性系數(shù)為 k的彈簧 一端與滑塊相連接，另一端固定。桿 AB長度為I，質(zhì)量忽略不計，A端與滑塊A鉸接，B 端裝有質(zhì)量mi，在鉛直平面內(nèi)可繞點 A旋轉(zhuǎn)。設(shè)在力偶M作用下轉(zhuǎn)動角速度-為常數(shù)。求滑塊A的運動微分方程。x =1 2 sin tmmi(6)(a)解 取滑塊/利小球E紐成的系統(tǒng)為研究対象，建H向右坐標心原點取在

4、運動開始時 滑塊/的威心上,則質(zhì)心之x坐標為(夕=磁)nix + 用(龍 +1 sin tt#)xc =m + m1Xc =亍Id) 如口 CtJf冊+用系統(tǒng)質(zhì)心運動定理：(單 + mt xc = -ky即此即滑塊且的運功謚分方程。1&)2 sin at =x)n +卄勺)i +用k川 1,、x+x =1& sin 曲m +朋1m +也19-5質(zhì)量為m，半徑為R的均質(zhì)圓盤，置于質(zhì)量為 M的平板上，沿平板加一常力 F。設(shè) 平板與地面間摩擦系數(shù)為 f，平板與圓盤間的接觸是足夠粗糙的， 求圓盤中心A點的加速度。何S12-1S解先取闖柱為研究對彖.比受力和運動分析如圖分庁程冇Ja -F r(3)以圓柱

5、與平扳的犠觸點/為幕點加速度由只檢不滑條件知阪等卜平桓抓速度和， 研究點。的加速度，有如下關(guān)系a0 = a- ra代入式(1)有(4)m2(a - ra) = F式(3).式聯(lián)上沖注意解得再以平板為研究對象.亂受力和運動分析如圖c所示。由質(zhì)心運動定理眄口 = F - Fy - Fj(7)(8)0 =尸唱 _ raig _ Fzi珂=Aj:式（5）.式（S）代入式（6）.式（7）f解離二2如如g曲i十川工/i9-6均質(zhì)實心圓柱體 A和薄鐵環(huán)B的質(zhì)量均為m,半徑都等于r，兩者用桿AB鉸接，無滑 動地沿斜面滾下，斜面與水平面的夾角為 二，如圖所示。如桿的質(zhì)量忽略不計，求桿 AB的 加速度和桿的內(nèi)力。

6、 0 （0韶 分別収圓杜衛(wèi)和薄詼壞E為妍究対彖，其受力如團所示；雖和E 均作平面運動，tf作平移，由跑意知5 = aB 時廚林/育Jtia = mg sill - /r -F)(1)珥r J *住(2)對薄鐵壞E有wit?=耳 + Jttg sirn? -Fnr = Jsa(4)M 7r. Jj = w/r-(5)由只滾不滑條件得a = ar(6)式（I）,式2）.式（3）.式（4人式（5K式代）聯(lián)立.解得片二耳=insinj9 （壓）為如；79-7均質(zhì)圓柱體 A和B的質(zhì)量均為m，半徑為r，一繩纏在繞固定軸 0轉(zhuǎn)動的圓柱 A上, 繩的另一端繞在圓柱 B上，如圖所示。摩擦不計。求： （1）圓柱體

7、B下落時質(zhì)心的加速度；（2）若在圓柱體 A上作用一逆時針轉(zhuǎn)向，矩為 M的力偶，試問在什么條件下圓柱體 B的質(zhì)心加速度將向上。tn(b)輪(2)(fij式（1人式（2人式（3）、式.式（2）,式（3）聯(lián)立*解得.Vf = 2mgf故芳轉(zhuǎn)矩M 2mgr時輪遲的質(zhì)心將匕升。對H運用剛體繞B(b)解+1 OBW定軸棘動樸月耳柞平面運動“由fb 4ti AB瞬心尸和申號邃廃* 得s朋=倔=粒轉(zhuǎn)向如圏b)(1)vB /ty v4 - 2/cos 0 o(2)艸良則將碰。時，0O.vASf/v5 (圖ch由式 煌得v4 =2vb - 2/(w 陀二+ 如(圖 C(3)外力做功Wu = Aft? 2 - CO

8、S0)動能rL =0十121,212ti=tab+tm =-mvc+-Jc -Joa=/ci?)2 + +丄丄那廣-or = nil12 = mr;222122333 J動能定理：得丄朋巧=M3 - mgl (1- 8曲)vt = 1 M3 - mgl (1 - COS 9-9長為I、質(zhì)量為m的均質(zhì)桿OA以球鉸鏈O固定，并以等角速度 繞鉛直線轉(zhuǎn)動，如 圖所示。如桿與鉛直線的夾角為二，求桿的動能。W)解 由剛體繞宦軸轉(zhuǎn)動的動能.得H的動能1 、T = -J.o 其中（圖附）J. = j rdm =r沁吐吐吒加&J0 I3代入上式得T = C02l2sui2 O6題9 10圖9-10物質(zhì)量為m,，

9、沿楔狀物D的斜面下降，同時借繞過滑車 C的繩使質(zhì)量為 m2的物體B 上升，如圖所示。斜面與水平成 二角，滑輪和繩的質(zhì)量和一切摩擦均略去不計。求楔狀物D作用于地板凸出部分 E的水平壓力。m, sin J - m2m,m2migcos9- 11鼓輪重W =500 N，對輪心O點的回轉(zhuǎn)半徑為 =0.2m，物塊A重Q =300N，均質(zhì)圓輪 .半徑為 R，重為P =400N，在傾角為:-的斜面上只滾動不滑動，其中r =0.1m , R =0.2m，彈簧剛度系數(shù)為 k ,繩索不可伸長，定滑輪D質(zhì)量不計。在系統(tǒng)處于靜止平衡時，給輪心B以初速度vBO ,求輪沿斜面向上滾過距離s時，輪心的速度VB。解：輪0、B

10、作平面運動，物塊 A作平動T1 V1 = T2 V21 2 1 2/A0 /g 2WVA0 /g 1 W-2 o2 / g 1 Pvbo2 2bo =Vb/R,vArvBo / R r ,。=Vb / R r1 2Jb pr2/g2T1 二 vbo23p 2Wr2 ：、2 Qr2 !/ R r 2 7 4g2代入已知數(shù)據(jù)得：T, =41OOvbo / 9g同理 T2 =41OOVb / 9g取平衡位置為各物體重力勢能的零位置，有：V1kst21 21 2V2k y s sPsin：f iQ W s r / R r2為確定：st，考慮靜平衡時，0、A及輪B，由M E =0 ,得：由 M h =

11、0，有：T1 - Psin ： - Fo = 0, F 二 k 戎、st = W Q r / Rk rk -Psin ： / k代入，有sPsin： - Q W sr/ R r解得：vb =(vB02 9gks2 /8200 階n題9-11圖9- 12均質(zhì)棒AB的質(zhì)量為m =4kg ,其兩端懸掛在兩條平行繩上，棒處在水平位置，如圖所示。設(shè)其中一繩突然斷了，試用剛體平面運動方程求此瞬時另一繩的張力F。mg0)解設(shè)繩場突然折斷.因水平無外力.初始靜止.故水平方向不除有加速度，即在純 斷瞬時棒也質(zhì)心加速度沿鉛垂方向 棒M的受h與運動分析如Klb所Xmg-F - ntac(1)由相對質(zhì)心動龜速定理：且

12、式（1）. （2）、（3）聯(lián)孑“解得ar =ct i4= 9.8 NF =9.8N9- 13圖示機構(gòu)中，物塊 A、B的質(zhì)量均為 m，兩均質(zhì)圓輪 C、D的質(zhì)量均為2m，半徑均 為R。C輪鉸接于無重懸臂梁 CK上，D為動滑輪，梁的長度為 3R，繩與輪間無滑動。系 統(tǒng)由靜止開始運動，求：（1） A物塊上升的加速度；（2） HE段繩的拉力；（3）固定端K處 的約束反力。14a6g ；F rmg ； Fkx =0, Fky =4.5mg, M13.5mgR直力功(1)圖bp*1Xb =兒各自IE冋如圖綜-13b肋?。?-mgv1 = tngy% = (ffip + ms)gys 一叫購=(2m + m)

13、g -亡動能121# 1 r廠2 21221/1cr2、2=7uv |+（jhR *）c+b+ 2八b+ （ 2mR ）epAVAT4WAVAV7 = 0.石一石=Wn3,1_niV：i=_ftlSy4即（2）圖c中，由系統(tǒng)動吊矩定理FR-mgRd 1 d2d=2mR co, +tnv,R宙_2（Feh 一 mg）R = mR2ac + mRa蟲Ffh - ?ng = inR + ni 田6R6Feh =孰(3)圖d中,(4) 圖e中,(5) 圖f中,F； = w(g + n j -wg6L9S=0,= -mgE 耳.=09ZFy=0. F=FCy=-mg o27EM工=0. Mk = Fj

14、KC - mg 3R = mgR9- 14勻質(zhì)細桿AB，長為丨，放在鉛直面內(nèi)與水平面成 角，桿的A端靠在光滑的鉛直墻上，B端放在光滑的水平面上， 桿由靜止狀態(tài)在重力作用下倒下。求：（1）桿在任意位置:時的角速度和角加速度；（2）當桿的A端脫離墻時，桿與水平面所成的角二多大?21解C1 ） H在任恿位用爺忖的速度瞬心在恵H 如馬b所小*故H的動能由旳能定理得兩邊對r求導,（逆）（2）由謝b知質(zhì)心7的運動方程為xc = COS?/yc兩邊對時聞f求2次導數(shù),注意到0 = -少，if = -a t fl.I .1 .Ar - am(p-co cos“ II .yc acos0 Arsin 卩把。及代

15、入匕式衍xc =gcos(3sm-2)4yc = -g(l + 2 sin(p-3 in2 卩)根據(jù)質(zhì)心運動定理加；=瓦-mg cos q?Q stn p - 2) = arcsin( sin 0)39- 15鼓輪重1200 N，置于水平面上，外半徑 R =90cm，輪軸半徑r = 60cm，對質(zhì)心軸 C的回轉(zhuǎn)半徑t = 60 cm。纏繞在輪軸上的軟繩水平地連于固定點A，纏在外輪上的軟繩水平地跨過質(zhì)量不計的定滑輪，吊一重物B，B重P =400 N。鼓輪與水平面之間的動摩擦系數(shù)為0.4,求輪心C的加速度。解：分別取輪和重物為研究對象，輪作平面運動，設(shè)其角加速度為；，輪心C加速度aC，mi由題知a

16、C二r ；，物B加速度aB = （R r）對輪列平面運動微分方程：（W/g）ac 訂2 訂 F（ 1）0 = N -W, N =W, F = f N =0.4W（ 2）（I）Ji ；二T2(R r) -F(R -r)即： W/g)(2 r2)；=T2(R r)-F(R-r) ( 3)對重物：(P/g)aB 二 P -T2 ,即：(P/g)(R r) ； = P -T2(4)(2)代入(3)式，有：(W/g)(2 r2) ； =T2(R r) -0.4W(R-r) (5)2(4) (R r): (P/g)(R r) ； = P(R r)-T2(R r)(6)(5) + (6)： (W/g)(P2

17、 +r2)松+(P/g)(R + r)2E = P(R + r)0.4W(Rr)P(R+r)-0.4W(R-r) (W/g)(2 r2)(P/g)(R r)2= 2.53rad/s2400(1.5)0.4 200 匯 0.31200/(9.8)(0.620.62)(400/9.8)(0.9 0.6)2題9- 15圖9 16三根勻質(zhì)細桿 AB, BC, CA的長均為I 垂平面內(nèi)懸掛在固定鉸接支座 A上。在圖示瞬時題9 16圖質(zhì)量均為m ,鉸接成一等邊三角形，在鉛C處的鉸鏈銷釘突然脫落，系統(tǒng)由靜止進入運動，試求銷釘脫落的瞬時，(1)桿AC的角加速度；AC ; (2)桿BC、AB的角加速度BC ,

18、AB 解：(1 )取AC為研究對象，桿長為l，質(zhì)量為m ,=30依剛體轉(zhuǎn)動微分方程：11J a ；ac 二 mg 一 l sin mgl24(1) Ja = 1 ml23(2)分別取AB，1AB : J A AB =1；A4mgl/jABC為研究對象：1 ；mgl Xb 3l 42BC : m(l ；ab cos30 0) = -Xb14mglyb 2lm(l 佃 sin30l ；BC )=2:mg -Yb(3)J Di ；BC 七1l Yb(4)2由（2）得：V1 ,XB - -m l/- 3 】ab(5)2由（4）得：Yb =(1/6)ml；BC(6)將(5), (6i）式代入（1） 式戈

19、，化簡后得:13ml2佃2=3mgl ml；BC(7)(2)將（6）式代入（3 ）式，化簡得:3ml ；ab 二 6mg -4ml ；Bc(8)/1 ml23= 3g/4l（順時針）解（7）與（8）式得:ab = 18g / 55l (逆時針)將；AB值代入（7）解得:；BC = 69g / 55l (順時針)9- 17圖示勻質(zhì)細長桿 AB,質(zhì)量為m，長度為I,在鉛垂位置由靜止釋放，借A端的水滑輪沿傾斜角為二的軌道滑下。不計摩擦和小滑輪的質(zhì)量，試求剛釋放時點A的加速度。4 sin 日a廠g1 3s in 2異解：圖（a）,初瞬時Bab =0，以A為基點，則aca Cxa CyTaCA即 aCx

20、 =aA aCAcosv -aA- cost2習題9-17圖(1)(2)aCy =aCA sin v - l、丄sin v y 2由平面運動微分方程:macx 二mgsin 二acx =gsinmacy =mgcosv_FNJ*二Fn護心1 ml=FN12(2)、(4)、(3)(1)、(3),(6)代入，得J sin2(5)(5)聯(lián)立，得3gsin 22l(1 3sin v)4sin 日9A=1-3si nlg(6)題9- 17圖題9- 18圖9- 18勻質(zhì)細長桿 AB ,質(zhì)量為m,長為I, CD = d ,與鉛垂墻間的夾角為 在圖示位置將桿突然釋放，試求剛釋放時，質(zhì)心C的加速度和D解：初始靜

21、止，桿開始運動瞬時， 切向，即沿AB方向，所以ad此時沿(a),以D為基點：Vd必沿支承處AB方向，如圖由 aCx aCy = aD aCD aCD(1)由AB作平面運動:macx=mgsin-FN(2)macy=mg cos、丄(3)1 2 ml 二=Fn d 12解(1)、(2)、(4)聯(lián)立212gd sin： l2 12d22_mgl sin -：sl212d2acxFn:，D棱是光滑的。 處的約束力。1 mgLcosr1 .2 mgL cos彳得：u B1 = L 1/2*9v2sin 2B +3gLcos9 j題9 19圖題9 20圖9- 19勻質(zhì)桿AB,質(zhì)量為m、長為L,兩端均以速度vo下落，且這時桿與鉛垂線的夾角為 二。假設(shè)碰撞以后桿將繞 A點作定軸轉(zhuǎn)動。試求：（1）碰撞前后的能