一輪復(fù)習(xí)配套講解第6篇第2講一元二次不等式及其解法

1、第2講一元二次不等式及其解法最新考綱1 會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系.3 會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設(shè)計求解的程序框圖.診斷-基礎(chǔ)知識知識梳理1. 一元二次不等式的解法(1) 將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項系數(shù)大于零的不等式ax2 + bx+ c20(a 0)或 ax + bx+ cv 0(a 0).(2) 計算相應(yīng)的判別式.當(dāng)A 0時，求出相應(yīng)的一元二次方程的根.(4)利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點確定一元二次不等式的解集.2. 三個“二次”間的關(guān)系判別式A b2 4acA 0A 0A

2、v 0二次函數(shù)y= ax2 +bx+ c (a 0)的圖象yL1A一兀二次方程ax+ bx+ c= 0 (a 0)的根有兩相異實根X1，x2(x1 V x2)有兩相等實根X1 X2b2a沒有實數(shù)根2ax + bx+ c 0 (a 0)的解集x|xx2或 xV X1f丫IR2ax + bx+ cv 0 (a 0)的解集x|x1V xv X2?辨析感悟1. 對一元二次不等式的解法的理解(1) (2013廣東卷改編)不等式x2 + x 2v 0的解集為2vxv 1.(x)2(2) 若不等式ax + bx+ cv 0的解集為(xi, X2),則必有a 0.(V)(3) 若不等式 ax2 + bx+ c

3、0 的解集是(s, xi) U (X2,+)，則方程 ax2 + bx+ c =0的兩個根是xi和x2.(V)(4) 若方程ax2 + bx+ c= 0工0)沒有實數(shù)根，則不等式 ax2 + bx+ c0的解集為R.( x)2. 對一元二次不等式恒成立問題的認識(5) 不等式ax2 + bx+ c 0在R上恒成立的條件是 av 0且= b24ac 0.(x)2 1(6) 若關(guān)于x的不等式ax2+ x K 0的解集為R，則a -.(V)(7) 若不等式x + ax+ 10對x 0, 恒成立，則a的最小值為.(V)感悟提升三個防范 一是當(dāng)0(a0)的解集為R還是？，要注意區(qū)別，如(4)中當(dāng)a0時，

4、解集為R;當(dāng)av0時，解集為?.二是對于不等式ax2 + bx+ c0求解時不要忘記討論a= 0時的情形，如(5)中當(dāng)a2=b= 0，c0時，不等式ax + bx+ c0的解 集是(1,3)，則不等式f( 2x)v 0的解集是().A. ， 2 U 2，+解析 由 f(x) 0，得 ax2 + (ab 1)x b 0,又其解集是(一1,3) ,：a v 0.且1 aba2,1解得a= 1或3,a_3,2-a 1, b 3. - f(x) = x + 2x + 3,2.f( 2x) 4x 4x+ 3,由一4x 4x+ 3v 0,得 4x + 4x 30,13解得x2或xv 2,故選a.答案 A規(guī)

5、律方法 解一元二次不等式時，當(dāng)二次項系數(shù)為負時要先化為正，再根據(jù)判別 式符號判斷對應(yīng)方程根的情況，然后結(jié)合相應(yīng)二次函數(shù)的圖象寫出不等式的解 集.學(xué)生用書第97頁【訓(xùn)練1】(2013江蘇卷)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)當(dāng)x0時，f(x) x24x,M不等式f(x) x的解集用區(qū)間表示為.解析 行匕)是定義在R上的奇函數(shù),f(0) 0,又當(dāng)xv0時，一x0,2f( x) x + 4x.又f(x)為奇函數(shù),f( x)= f(x),2-.f(x) = x 4x(xv 0),2x 4x, x0,f(x)= 0, x= 0,x2當(dāng)av 1,即 a 2,解得x 1.aa綜上所述，當(dāng)a = 0時，不等式的

6、解集為x|x0時，不等式的解集 為x x?或x 1 r；當(dāng)一2vav0時，不等式的解集為$ fwx 1 r；當(dāng) a二一2時，不等式的解集為x|x= 1；當(dāng)av 2時，不等式的解集為x 1wx0 時，由 f(x)x得 x2 4xx,解得 x5;當(dāng)x= 0時，f(x) x無解；2當(dāng) xv0 時，由 f(x)x得一x 4xx,解得一5vxv0.綜上得不等式f(x)x的解集用區(qū)間表示為(一5,0)U (5,+p .答案(5,0) U (5,+x)考點二含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例2】(2013煙臺期末)解關(guān)于x的不等式：ax2 2 2x ax(a R).解 原不等式可化為ax2 + (a 2)x

7、2 0. 當(dāng)a = 0時，原不等式化為x+ K0,解得x0時，原不等式化為ix a (x+ 1)0,解得xa或xW 1. 當(dāng)av0時，原不等式化為x (x+ 1) 1,即 av 2 時，解得一1Wx2；aa2當(dāng)2二1,即a= 2時，解得x= 1滿足題意；a(1)二次項中若含有參數(shù)應(yīng)討論是小于0,等于0,還是大于0,然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式.(2) 當(dāng)不等式對應(yīng)方程的根的個數(shù)不確定時，討論判別式與0的關(guān)系.(3) 確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式.【訓(xùn)練2 (1)關(guān)于x的不等式X2 2ax 8a20)的解集為(X1, X2),且X

8、2 X1則 7一. B51 5-2- A5(2)解關(guān)于x的不等式(1- ax)2 v 1.(1)解析 法一不等式x2-2ax- 8a2v0的解集為(xi,x?),xi,x2是方程x22ax- 8a2 = 0 的兩根.X1 + x2 2a由根與系數(shù)的關(guān)系知“i2K1x2 一8a ,X2 X1 寸(X1 + X2 f - 4x1x2 寸(2a f 4( 8a2 15,又：a 0,-a2，故選A.法二 由 x2- 2ax- 8a20，得(x+ 2a)(x- 4a)0 ,不等式 x 2ax 8a v 0 的解集為(2a,4a),2 2又不等式x 2ax 8a v 0的解集為(x1, X2),X1一2a

9、, X24a. 1X2 X1 15,54a ( 2a)15,解得a ,故選A.答案 A(2)解 由(1 ax)2v 1，得 a2x2 2axv 0 ,即 ax(ax 2)v 0,當(dāng) a 0 時，x ?.當(dāng) a0 時，由 ax(ax 2)v 0,得 a2x x | v0,2|即 0vx.當(dāng) av0 時，一0時，不等式解集為ix 0vxv2 r；當(dāng)av0時，不等式解集為ix彳vxv0r.考點三一元二次不等式恒成立問題【例3】 已知函數(shù)f(x) = mx mx 1.(1) 若對于x R，f(x)v0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(2) 若對于x 1,3，f(x)v5 m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.mv

10、 0，解 (1)由題意可得 m= 0 或 2? m= 0 或一4v mv 0? 4v m0時，g(x)在1,3上是增函數(shù)，所以g(x) max =g(3)? 7m 6v 0，所以mv產(chǎn) 則0vmv7；當(dāng)m= 0時，一6v0恒成立；當(dāng)mv 0時，g(x)在1,3上是減函數(shù)，所以g(x) max =g(1)? m 6v0，所以mv6，所以mv0.綜上所述：m的取值范圍是cm mv 7 :法二 I f(x)v m+ 5? m(x2 x+ 1)v6，2 6 x2 x+ 10，二 mvp對于 x 1,3恒成立，x x+ I只需求6x2 x+ 1的最小值,記 g(x) = x2x+ 1，x 1,3，記 h

11、(x) = x2 x+ 1= x 1 2 + 4, h(x)在 x 1,3上為增函數(shù).則g(x)在1,3上為減函數(shù)，6 6 - g(x) min =g(3)= 7，mv 7.所以m的取值范圍是，6.規(guī)律方法(1)不等式ax2 + bx+ c 0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)a = 0ja 0,2V 0.av 0，時，b= 0,c0;當(dāng)a0時，f不等式ax + bx+ cv 0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)a= 0時，b = 0，cv0；當(dāng)a0時，tV 0.(2)含參數(shù)的一元二次不等式在某區(qū)間內(nèi)恒成立問題，常有兩種處理方法：一是利用二次函數(shù)區(qū)間上的最值來處理；二是先分離出參數(shù)，再去求

12、函數(shù)的最值來處理，一般后者比較簡單.【訓(xùn)練3】(1)若關(guān)于x的不等式ax2 + 2x+ 20在R上恒成立，則實數(shù)a的取 值范圍是.(2014淄博模擬)若不等式(a a2)(x2 + 1) + x0,其解集不為R，故a = 0不滿 足題意，舍去； 當(dāng)a0時，要使原不等式的解集為 R，a 0,i只需 2解得a2.= 22 - 4X 2av 0,2綜上，所求實數(shù)a的取值范圍是2，+ .(2)tx (0,2, 2 x _ 1-a a2x+ 1 x+1x.21要使a a1在x (0,2時恒成立,x+ 一x1 、1 x+ _ X十X丿max，1由基本不等式得x+2,當(dāng)且僅當(dāng)x= 1時，等號成立，即xX+】

13、丿1max= 211 、； 31 + 3故a a2,解得a-答案(1) ,+(2)C學(xué)生用書第98頁I課堂小結(jié)I1 解不等式的基本思路是等價轉(zhuǎn)化，分式不等式整式化，使要求解的不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式或一元二次不等式，進而獲得解決.2 當(dāng)判別式0(a0)解集為 R; ax2 + bx+ cv 0(a0)解集為？.二者不要混為一談.3含參數(shù)的不等式的求解，注意選好分類標準，避免盲目討論.4 對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論:(1)a f(x)恒成立？ a f(x) max；(2)a f(x)恒成立? a f(x)min.培養(yǎng)*解題能力教體解題提世能力思想方法5數(shù)形結(jié)合思想在“三個二次”間關(guān)系的

14、應(yīng)用a2 ab, a b.設(shè)f(x) = (2x 1)*(x 1),且關(guān)于x的方程f(x)= m(m R)恰有三個互不相等的實數(shù)根xi, x2, x3,則Xix2X3的取值范圍是 解析由定義可知:(2x if2x Ux 1 ,x0,|(2x 1 x, x 0.作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示.1由圖可知，當(dāng)Ovmv4時，f(x) = m(m R)恰有三個互不相等的實數(shù)根 X1, X2, X3.、 1不妨設(shè) X1 v X2V X3,易知 X2 0,且 X2 + X3 = 2X 1剛1即 ovX2X3V4.cX2 + X3 2.0V X2X3V I 2丿令 2x 1x= xv 0,解得x=上或?qū)?

15、舍去).1 .3 一4一 v X1V 0,邁1 0 v X1X2X3 V -16-,1 .316V X1X2x30工0)的解集的端點值、二次方程ax2 + bx+ c= 0工0)的根是同一個問題.解決與之相關(guān)的問題時，可利用函數(shù)與方程思想、化歸思想將問題轉(zhuǎn)化，結(jié)合二次函數(shù)的圖象來解決.【自主體驗】_ 2x + 1, X0,21.已知函數(shù)f(x)= “則滿足不等式f(1 x2)f(2x)的 x的取值范圍1, XV0, 解析 由函數(shù)f(x)的圖象可知(如下圖)，滿足f(1 x2)f(2x)分兩種情況: X2 0, x0,? 0 2x1 x2 0, f? 1 v xv 0.xv 0X.綜上可知：1

16、v xv 2 1.y / =+1 J11111110X答案(1,2 1)2.已知函數(shù)f(x) = *2 1, x 0,2若函數(shù)g(x) = f(x) m有3個零點，則實ix 2x, xW 0,數(shù)m的取值范圍是答案(0,1)即 m (0,1).(2 1, x0解析畫出f(x)=2的圖象，如圖.階梯訓(xùn)壕媒出高分課時-題組訓(xùn)練基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1. (2014 長春調(diào)研)已知集合 P= xx2 x20 , Q = x|log2(x 1) 1，則(?RP)n Q=().A. 2,3 B . (, 1 U 3 ,+x)C. (2,3 D . (+x, 1 U (3,+x)解析

17、依題意，得 P = x| 1 x 2 , Q= x|1V x0, a4,故選D.答案 D則不等式f(x)vf(4)的解集為x，x0,3.(2013南通二模)已知f(x) = 2x2 + 3x, x 4 B . xx4C. x| 3x0 D . xx 34解析 ”4)= 2= 2,不等式即為f(x)0 時，由 22，得 OW x4;當(dāng) x0 時，由一x2 + 3x2，得 x2，因此 x0.綜上，x4.故 f(x)vf(4)的解集為x|x0的解集是2， 1，則不等式x2 bx a 1，則函數(shù)y=f( x)的圖象可以為().解析 由f(x) v0的解集為x|xv 3,或x 1知av 0, y= f(

18、x)的圖象與x軸交點為(3,0), (1,0),行(x)圖象開口向下，與x軸交點為(3,0), ( 1,0).答案 B二、填空題ax1f 16. 已知關(guān)于x的不等式 齊1 v0的解集是(一X, 1)U 2，+，貝U a=ax 1( 1I 1解析 由于不等式;不v0的解集是(x, 1)U -,+x，故？應(yīng)是ax1 = 0 的根，.a= 2.答案 27. (2013四川卷)已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x) = x2 4x,那 么，不等式f(x+ 2)v5的解集是.解析vf(x)是偶函數(shù)，f(x) = f(|x|).2又 x0 時，f(x) = x 4x，不等式 f(x+ 2)v

19、 5? f(|x+ 2|)v 5? x+ 2|2 4+ 2|v5? (|x+ 2| 5)(|x+ 2|+ 1)v 0? x+ 2| 5v 0? x+ 2|v5? 5v x+ 2v 5? 7v xv 3.故解集為(7,3).答案 (一7,3)8. (2014福州期末)若不等式x2 (a+ 1)x+ a 0的解集是4,3的子集，則a的取值范圍是.解析 原不等式即(x a)(x 1) 4即可，即一4W av 1；當(dāng)a= 1時，不等式的解為x= 1,此時符合要求； 當(dāng)a 1時，不等式的解集為1，a,此時只要a3即可，即1va3.綜上可得 4 aa2(a R)的解集.解 / 12 ax a2， 12x2

20、 ax a2 0，即(4x+ a)(3x a) 0，令(4x+ a)(3x a)= 0，a a得：X1 = 4，x2 =3. a0時，*3,解集為x|xv :或x書； a= 0 時，x20,解集為xx R 且 xm 0; av 0時，一a3解集為*x|xvI或x a綜上所述，當(dāng)a0時，不等式的解集為 a十 a 欣|x 3-當(dāng)a = 0時，不等式的解集為x|x R且xm 0; 當(dāng)av0時，不等式的解集為1x|xv3或x 糸210. (2014 長沙質(zhì)檢)已知 f(x) = x 2ax+ 2(a R)，當(dāng) x 1，+)時，f(x) a 恒成立，求a的取值范圍.解 法一 f(x) = (x a)2

21、+ 2 a2,此二次函數(shù)圖象的對稱軸為 x= a. 當(dāng)a ( x， 1)時，f(x)在1，+)上單調(diào)遞增，f(x)min = f( 1) = 2a+ 3.要使 f(x) a 恒成立，只需 f(x)mina，即 2a+ 3a，解得3w av 1; 當(dāng) a 1，+)時，f(x)min = f(a) = 2 a2， 由2 aa，解得一1 w a w 1.綜上所述，所求a的取值范圍是3,1.法二-令 g(x) = x 2ax+ 2 a，由已知， 得x? 2ax+ 2 a0在1，+)上恒成立，A0，即= 4a2 4(2 a)w 0 或 av 1，g 1 0.解得3waw 1.所求a的取值范圍是3,1.能

22、力提升題組（建議用時：25分鐘）一、選擇題1. （2013安徽卷）已知一元二次不等式f（x）v 0的解集為ixxv 1或x舟r,則f（10x）0的解集為（）.A. x|xv 1 或 x lg 2 B. x| 1vxv lg 2C. x|x lg 2 D . x|x0的解為1 vxv2,故1 v 10xvQ,解得xvlg 2= lg 2.答案 Da bx 1a 212. (2013西安二模)在 R上定義運算：L d = ad be若不等式卄* 1對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的最大值為().1313A. 2 B. 2D.2解析原不等式等價于 x(x 1) (a 2)(a+ 1) 1,即 x2 x1(a+ 1)(a 2)對21 2555213