有關(guān)圓錐曲線中的類比探討

1、有關(guān)圓錐曲線中的類比探討摘 要：類比是高中數(shù)學(xué)新教材中新增加的選修內(nèi)容， 本文主要探討了近年高考、?？贾猩婕皥A錐曲線基本運(yùn)算、 相似性質(zhì)的類比 .關(guān)鍵詞：圓錐曲線；類比 類比是高中數(shù)學(xué)新教材中新增加的選修內(nèi)容，由于其方 法多樣，形式靈活，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，正越來越受到出題 者的青睞 . 圓錐曲線在課本的引入過程中本身就帶有類比的 特性，如統(tǒng)一定義(第二定義)時(shí)比例的類比，還有一些基 本量、基本性質(zhì)的類比等，因此關(guān)于圓錐曲線的類比頻頻出 現(xiàn)在近年各地高考和?？荚囶}中 .本文擬對(duì)圓錐曲線中較為常見的一些類比進(jìn)行歸類探 討，希望同行賜教 .有關(guān)切線類比1. (1)橢圓 +=1 (ab0)上一點(diǎn) P

2、(x0, y0)處的切線方程為 +=1.(2) 雙曲線-=1 (a, b0)上一點(diǎn)P (x0, y0)處的切 線方程為 -=1.(3) 拋物線y2=2px ( p0)上一點(diǎn) P (x0, y0)處的切 線方程為 y0y=p ( x+x0 ) .2. (1)過橢圓 +=1 (ab0)外一點(diǎn) P (x0, y0)作橢圓的兩切線，切點(diǎn)為 M , N，則切點(diǎn)弦MN所在直線方程為 +=1.(2) 過雙曲線-=1 (a，b0)外一點(diǎn)P(x0，y0)作雙 曲線的兩切線，切點(diǎn)為 M，N，則切點(diǎn)弦MN所在直線方程 為-=1.(3) 過拋物線y2=2px ( p0)外一點(diǎn)P( x0，y0)作拋 物線的兩切線，切點(diǎn)

3、為 M，N，則切點(diǎn)弦MN所在直線方程 為 y0y=p ( x+x0 ) .離心率類比1. 如圖 1 ，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)， F 為左焦點(diǎn)， A 為長(zhǎng)軸端點(diǎn)，B為短軸端點(diǎn)，當(dāng)丄時(shí)，其離心率為，此類橢圓被 稱為“黃金橢圓” . 類比“黃金橢圓”可推算出“黃金雙曲 線”的離心率e等于.圖1解：如圖 2,丄時(shí)，BF2+AB2=AF2 ,即 b2+c2+c2= (a+c) 2,所以 3c2-a2=a2+c2+2ac,得 c2-ac-a2=0,所以 e2-e-1=0, 即e=(負(fù)的舍去).2. (1)若F1 , F2是橢圓+=1 (ab0)的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，且/ PF1F2=a，/ PF2

4、F1* , a , B ( 0, n ),則橢圓的離心率e=.(2)若F1, F2是雙曲線-=1 (a, b0)的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，且/ PF1F2=a，/ PF2F仁B , a , B ( 0, n),則雙曲線的離心率 e=.(提示：在 F1PF2中運(yùn)用正弦定理及圓錐曲線定義即 可求得,但需注意絕對(duì)值不能丟！ )角的類比1. ( 1)過橢圓+=1( ab0)的左焦點(diǎn)F任作一條弦AB，若點(diǎn)P為左準(zhǔn)線I與x軸的交點(diǎn)，則有/ APF= / BPF.(2) 過雙曲線-=1( a, b0)的左焦點(diǎn)F任作一條弦 AB , 若點(diǎn)P為左準(zhǔn)線I與x軸的交點(diǎn)，則有/ APF= / BPF.(3)

5、 過拋物線y2=2px ( p0)的焦點(diǎn)F任作一條弦 AB , 若點(diǎn)P為準(zhǔn)線I與x軸的交點(diǎn)，則有/ APF= / BPF.證明：( 1)如圖 3,過 A, B 分別作 I 的垂線,垂足為C, D，得：=e，所以=.又AC II FP/ BD，所 以 = ，所以 = ，即 = ，所以/ APC= / BPD ?圯/ APF= / BPF.(雙曲線及拋物線仿此證明)2. (1)若P為橢圓+=1 (ab0)左準(zhǔn)線I與x軸的交 點(diǎn),過 P 任作一直線與橢圓交于兩不同點(diǎn) A, B, F 為左焦 點(diǎn)，則有/ AFP= / BFx.(2)若P為雙曲線-=1 (a, b0)左準(zhǔn)線I與x軸的交 點(diǎn)，過P任作一直

6、線與雙曲線交于兩不同點(diǎn) A , B , F為左 焦點(diǎn)，則有/ AFP= / BFx.(3)若P為拋物線y2=2px (p0)準(zhǔn)線I與x軸的交點(diǎn)， 過 P 任作一直線與拋物線交于兩不同點(diǎn) A，B，F(xiàn) 為焦點(diǎn)， 則有/ AFP= / BFx.定點(diǎn)類比1. (1)若P為橢圓+=1 (ab0)左準(zhǔn)線I上一點(diǎn)，過 P作橢圓的兩切線，切點(diǎn)為A , B，則直線AB必過左焦點(diǎn)F, 且PF丄AB.(2) 若P為雙曲線-=1 (a, b0)左準(zhǔn)線I上一點(diǎn)，過 P作雙曲線的兩切線，切點(diǎn)為 A , B，貝y直線AB必過左焦點(diǎn) F, 且 PF丄AB.(3) 若P為拋物線y2=2px ( p0)準(zhǔn)線I上一點(diǎn)，過 P 作拋

7、物線的兩切線，切點(diǎn)為 A , B,則直線AB必過焦點(diǎn)F, 且PF丄AB.更一般地，有2. (1)若 P 為定直線 I：x=m 上一點(diǎn)，過 P 作橢圓 +=1 (ab0)的兩切線，切點(diǎn)為 A , B,則直線AB必過定點(diǎn)，0.(2)若 P 為定直線 I：x=m 上一點(diǎn)，過 P 作雙曲線 -=1 (a, b0)的兩切線，切點(diǎn)為 A , B，則直線AB必過定點(diǎn)，0.(3)若 P 為定直線 I：x=m 上一點(diǎn),過 P 作拋物線 y2=2px (p0)的兩切線，切點(diǎn)為A , B,則直線AB必過定點(diǎn)(-m ,0)定量類比1. 過雙曲線-=1 (a, b0)的右焦點(diǎn)F (c, 0)的直線交雙曲線于M , N兩

8、點(diǎn)，交y軸于P點(diǎn)，且=入1,=入2,則有 入1+入2的定值為；類比雙曲線這一結(jié)論，在橢圓+=1 (ab0) 中，則有入1+入2的定值為.圖4簡(jiǎn)解：采用特殊位置法.取如圖4特殊位置，入1=-=,入2=-=-，所以入1+入2=-+=-(一般性證明略)2. (1)設(shè)AB是橢圓+=1 (ab0)中與坐標(biāo)軸均不平行 的弦,其所在直線的斜率為 k1 ,弦 AB 的中點(diǎn)為 M ,直線 OM的斜率為k2，則有k1k2=-.(2)設(shè)AB是雙曲線-=1 (a, b0)中與坐標(biāo)軸均不平 行的弦,其所在直線的斜率為 k1 ,弦 AB 的中點(diǎn)為 M ,直線 OM的斜率為k2，則有k1k2=.3.(1)已知橢圓+=1(

9、ab0), M , N 是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn), P 是橢圓 上任意一點(diǎn)，且直線PM , PN的斜率分別為k1 ,k2 ,則k1k2=-.( 2)已知雙曲線 -=1 ( a，b0)，M ，N 是雙曲線上關(guān)于 原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)， P 是雙曲線上任意一點(diǎn)，且直線PM，PN的斜率分別為k1 , k2，則k1k2=-.(提示：設(shè)點(diǎn) P( x0，y0)，M( x1 ，y1 )，N( -x1 ，-y1 )， 利用點(diǎn)差法可證)4. (1)已知曲線 C1: +=1 (ab0)與曲線 C2: x2=2py(p0)的交點(diǎn)分別為 A , B，曲線C1和曲線C2在點(diǎn)A處 的切線分別為11 , 12，且11 , 12

10、的斜率分別為k1 , k2，當(dāng)為 定值時(shí)，則 k1?k2 為定值 -.(2)已知曲線 C1 : -=1 (a，b0)與曲線 C2： x2=2py(p0)的交點(diǎn)分別為 A，B，曲線C1和曲線C2在點(diǎn)A處 的切線分別為11，12，且11，12的斜率分別為k1，k2，當(dāng)為 定值時(shí)，則 k1?k2 為定值 .圖5證明：(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，貝曲線C1在A 的切線11為+=1，所以k1=-，同樣有曲線C2在A的切線12 為 x0x=p (y+y0),所以 k2=，所以 k1k2= -?=-.又 py0=,所 以 k1k2=-= -=- 為定值 .(雙曲線類似證明)另外，由于曲線 C2 位置

11、的改變，也可以有：(1) 已知曲線 C1 : +=1 (ab0)與曲線 C2: y2=2px(p0)的交點(diǎn)分別為 A , B，曲線C1和曲線C2在點(diǎn)A處 的切線分別為11 , 12，且11 , 12的斜率分別為k1 , k2，當(dāng)為 定值時(shí)，貝 k1?k2 為定值 -.(2) 已知曲線 C1: +=1 (a, b0)與曲線 C2: y2=2px (p0)的交點(diǎn)分別為 A , B，曲線C1和曲線C2在點(diǎn)A處的切線分別為11 , 12，且11 , 12的斜率分別為k1 , k2，當(dāng)為 定值時(shí)，則 k1?k2 為定值 .軌跡類比1. (1)橢圓+=1 (ab0)的左、右焦點(diǎn)分別是 F1, F2,P是橢

12、圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)2在/ F1PF2的外角平分線上的射影 為M，則M的軌跡方程是 x2+y2=a2( y工0).(2)雙曲線-=1 (a, b0)的左、右焦點(diǎn)分別是 F1, F2, P是雙曲線上任意一點(diǎn)，F(xiàn)2在/ F1PF2的內(nèi)角平分線上的射 影為M，貝y M的軌跡方程是 x2+y2=a2 (y工0).2. (1)設(shè)A, B為橢圓+=1 (ab0)的左、右頂點(diǎn)， M， N 為橢圓上兩不同點(diǎn)，且 M， N 關(guān)于 x 軸對(duì)稱，則直線 AM與BN交點(diǎn)的軌跡方程為-=1 (y工0).(2)設(shè)A , B為雙曲線-=1 (a, b0)的左、右頂點(diǎn)， M， N 為雙曲線上兩不同點(diǎn)，且 M， N 關(guān)于 x 軸對(duì)稱，則直 線AM 與BN交點(diǎn)的軌跡方程為 +=1 (y工0).(此二例是“交軌法”的典例)恒等式類比(1) 若AB是橢圓+=1 (ab0)的長(zhǎng)軸，直線 AC, BD 是橢圓過 A, B 的切線, F1, F2 為左、右焦點(diǎn), P