三重積分的計算方法小結(jié)與例題精品

1、三重積分的計算方法介紹：三重積分的計算是化為三次積分進(jìn)行的。其實質(zhì)是計算一個定積分(一重積分)和一個二重積分。從順序看：Z2如果先做定積分f (x, y, z)dz，再做二重積分 F (x, y)d；，就是“投ZiD影法”也即“先一后二”。步驟為：找0及在xoy面投影域D。多D上一點(x,y) “穿線”確定z的積分限，完成了“先一”這一步(定積分)；進(jìn)而按二重積分的計算步驟計算投影域D上的二重積分，完Z2成“后二”這一步。III f (x, y, z)dv 二f (x, y, z)dzdcQD ziC2如果先做一重積分11 f (x, y, z)d；二再做定積分F (z)dz，就是“截面Dzq

2、法”也即“先二后一”。步驟為：確定。位于平面z = “與z=c2之間，即z C1,C2，過z作平行于xoy面的平面截門，截面Dz。區(qū)域Dz的邊 界曲面都是z的函數(shù)。計算區(qū)域Dz上的二重積分i if(x, y,z)d二，完成DzC2了“先二”這一步(二重積分)；進(jìn)而計算定積分.F(z)dz，完成“后CiC2一”這一步。h i f(x,y,z)dv = f (x, y,z)d；dzQCi Dz當(dāng)被積函數(shù)f (z)僅為z的函數(shù)(與x,y無關(guān))，且Dz的面積二容易求出時，“截面法”尤為方便。為了簡化積分的計算，還有如何選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系計算的問題?？梢园匆韵聨c考慮：將積分區(qū)域投影到xoy面，得投影區(qū)域

3、D(平 面)(1) D是X型或丫型，可選擇直角坐標(biāo)系計算(當(dāng)門的邊界曲面中有較多的平面時，常用直角坐標(biāo)系計算)(2) D是圓域(或其部分)，且被積函數(shù)形如f(x2 y2),fd)時,x可選擇柱面坐標(biāo)系計算(當(dāng)為圓柱體或圓錐體時，常用柱面坐標(biāo)計算)(3) 門是球體或球頂錐體，且被積函數(shù)形如f(x2 y2 z2)時，可選擇球面坐標(biāo)系計算以上是一般常見的三重積分的計算方法。對-向其它坐標(biāo)面投影或門不易作出的情形不贅述。三重積分的計算方法小結(jié)：1. 對三重積分，采用“投影法”還是“截面法”，要視積分域及被積函數(shù)f(x,y,z)的情況選取。一般地，投影法(先一后二)：較直觀易掌握；截面法(先二后一)：D

4、z是門在z處的截面，其邊界曲線方 程易寫錯，故較難一些。特殊地，對Dz積分時，f(x,y,z)與x,y無關(guān)，可直接計算Sdz。因而門中只要za,b,且f(x,y,z)僅含z時，選取“截面法”更佳。2. 對坐標(biāo)系的選取，當(dāng)門為柱體，錐體，或由柱面，錐面，旋轉(zhuǎn)拋物面與其它曲面所圍成的形體；被積函數(shù)為僅含 z或zf(x2 y2)時，可考慮用 柱面坐標(biāo)計算。三重積分的計算方法例題：補(bǔ)例1:計算三重積分I二 zdxdydz，其中門為平面x y 1與三個坐標(biāo)面x =0, y =0,z =0圍成的閉區(qū)域。解1 “投影法” 1畫出門及在xoy面投影域D. 2.“穿線” O l-x-y*x+y+z=l0 _ x

5、 _1: 0 _ y _ 1 - x0 _ z_1-x-y3計算11-x 11 11I in zdxdydz= jdx dy zdz = jdx -(1 - x - y)2dy 二一 (1 - x)2 y - (1 - x)y2- y30dx0 0 0 00 22 0311 _x1 _x-y3_, 1_x601313 2341(1 -x) dx x x x x 0 624124解2 “截面法” 1畫出0。2. zw 0,1過點z作垂直于z軸的平面截0得DzT.Dz是兩直角邊為x,y的直角三角形，x=1- z, y=1-z3計算1 1 1I = M zdxdydz = J JJzdxdydz =

6、 Jz JJdxdydz = JzSDzdzQ0 Dz0 Dz0二.z(1xy)dzz1(1-z)(1-z)dzW(z-2z2 z3)dz退 0 2 0 2 2 0 24補(bǔ)例2:計算h i x2 y2 dv，其中門是x2 y2 = z2和z=1圍成的閉區(qū)域解1 “投影法”z = x2 + 2y21.畫出。及在xoy面投影域D.由、z = 1消去z.得 x2 y2 = 1 即 D: x2 y2 空 12.“穿線” , x2 y2 乞 z 乞 1,1 Ex 蘭1 ；1X2 乞 y 乞.1X222.x y z _ 1 111 _x1I I I X2 y2dv= dx dy , x2 y2dzQ二 七

7、 TZ7 x2 時11 _x2dx x2y2（1匸y2）dy6注：可用柱坐標(biāo)計算解2 “截面法”1.畫出1。2.0,1過點z作垂直于z軸的平面截得Dz : x2 y2乞z2ll x2 y2dvQg蘭日蘭2兀Dz丿0蘭r蘭z0蘭日乞2兀用柱坐標(biāo)計算00蘭r蘭z、0蘭z蘭13計算1 = !：、x2 y2dxdydz 二r2d門dz= 2 r30dz =0 Dz0 3-z3dz=-3 0補(bǔ)例3:化三重積分I = f (x,y,z)dxdydz為三次積分，其中門：Qz =x2 2y2及z=2-x2所圍成的閉區(qū)域。解: 1.畫出門及在xoy面上的投影域D.z =X2 2y2Z = 2 - x2 消去 z

8、,得 x2 + y2 二1即 D: x2 y12. “穿線”x22y2汐乞2-x2一1蘭x蘭1X 型 D: .一訥一 X2 蘭 y 蘭 1 -x2一1蘭x乞1：_x2 蘭y 蘭 Jl_x22 2 2x +2y 蘭 z 蘭2 x11_x22_x23. 計算 = f (x, y, z)dxdydz= jdx dy f(x,y,z)dzQ4 T口 Jy2注：當(dāng)f (x, y, z)為已知的解析式時可用柱坐標(biāo)計算。補(bǔ)例4:計算in zdv，其中門為z=6-x2-y2及z = x2 y2所圍成的閉區(qū)域Q解1 “投影法”1.畫出及在xoy面投影域D，用柱坐標(biāo)計算2.解丿x = r cos由y = rsi化

9、0的邊界曲面方程為：z=6-r2, z=rZ = z0蘭日蘭2兀0 Er 蘭2z = 6 _ r26得r=2二D: r蘭2即丿z = r0蘭&蘭2?！按┚€” rz6r2 二 0 :Or 蘭2r Ez 蘭 6 r2623.計算!：zdv = Q.D2 1 2zdzrdrd 二-d 二 rdr zdz = 2 r z2；* dr r00r022.r(6-r2)20- r2dr 口2(36r -13r2 r5)dr =092ji3解2 “截面法”1.畫出i】。如圖：11由z = 6 _ r2及z = r圍成2. z 0,6鬥0,22,6 i 門2由 z=r 與 z=2 圍成； z 0,2 , Dz

10、: r _ z”0蘭日蘭2兀Q1 :* 0 蘭 r 蘭 z0 Wz 蘭22 由 z=2 與 z=6-r2 圍成； z2,6 , Dz : r、6 - z 9蘭日乞2兀02:J6-z2蘭z蘭62 63.計算111 zdv= 111 zdv 亠 111 zdv 二 z丨丨 rdrd vdz 亠 i z 11 rdrd vdzQQQ0 Dz2 Dz292n3262626= zSD”dzzSDdzu z二(z2)dz 亠 i z二(、6 - z)2dz = z3dz 亠，i (6z-z2)dz 二020202注：被積函數(shù)z是柱坐標(biāo)中的第三個變量，不能用第二個坐標(biāo)r代換。補(bǔ)例 5：計算 iii(x2 y2)dv，其中| 由不等式 0x2y2 zi A，z _ 0所確定Jx = Qcoss in解：用球坐標(biāo)計算。由* y = Psinsin 得0的邊界曲面的球坐標(biāo)方程:Z = P cos$P 1，連結(jié)OP=t，其與z軸正向的夾角為 ,OP= ?P在xoy面的投影為P，連結(jié)OP，其與x軸正向的 夾角為二。3T.0： a蘭P蘭A，0蘭蘭二 0蘭日蘭2兀2(x2y2Q1)dv = .dd (sin2 ”2sin 小=2二.sin3 - :?5Ad 0 0a5H-a5)2 - -_a5) .sin3 d =