余弦定理學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)情況總結(jié)和同步練習(xí)進(jìn)步

1、余弦定理教師：郭慶友(1) 語言敘述三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.(2) 公式表達(dá)1、余弦定理：在C 中，有 a2b2c22bccos ,b2a2c22accos2 2 2 cab 2abcosC .余弦定理證明如上圖所示， ABC，在c上做高，根據(jù)射影定理，可得到:將等式同乘以c得到：亍_ .rc - flccos() + fcccos(a)運(yùn)用同樣的方式可以得到：a =+ flfccos(y)= beccs+ afccosfy)將兩式相加：a2 +b2 -壯匚os( + flfccos()+ becos(a) + abcos(y)a2 4-

2、h2 occos (|J)+bccos (a) + (alrcos(y)+tabcos(y) + ft2 = c2 十 2afrcos(y)亍 7 j匚亠=fl 4-t -2fffccQ5yJ向量證明= (AC-AB)-(At-AB)aAEC中* AB = r 5C = tf- AC = 陰2二此血幘f =|xt|2 +圍2心尿 |b|? =|/ft|2 + |Afe|2-2 圈 |At|cosAa2 3-fc2 + c2-2bccosA2、余弦定理的推論：COSb2 c2 a2,cos2bca2 c2 b2,cosCa2 b2 c22ac2ab3、設(shè)a、b、c是 C的角 、C的對(duì)邊，則：若

3、a2 b2 c2，則C 90o ；oo若a b c ,則C 90 ；若a b c ,則C 90 .注：此法可以進(jìn)行三角形形狀的判定：主要判定最大角的余弦值的正負(fù)號(hào)，若最大角的余弦 值為負(fù)數(shù)，也即最大角為鈍角，所以此三角形為鈍角三角形；若最大角的余弦值為0,也即最大角為直角，所以此三角形為直角三角形； 若最大角的余弦值為 正數(shù)，也即最大角為 銳角， 所以此三角形為銳角三角形；4、余弦定理的適用范圍余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用它可解決兩類問題：已知三角形兩邊及夾角求第三邊；是已知三個(gè)邊求角的問題 若對(duì)余弦定理加以變形并適當(dāng)移于其它知識(shí)，則使用起來更為方便、靈活。注：在兩邊一對(duì)角

4、 的三角問題中，也可以運(yùn)用余弦定理方便快捷的求出第三邊；余弦定理的應(yīng)用要比正弦定理范圍廣泛。直角三角形的一個(gè)銳角的鄰邊和斜邊的比值叫這個(gè)銳角的余弦值例題：1 在 ABC 中，已知 a 2.3，C . 6. 2，B 600，求 b 及 A;解析：（i） b2 a2 c2 2accosB= （2、,3）2 C，6 ,2）2 2 2、3（ .6 ,2） COS 450=12（-6 ,2）2 4、3（、3 1）= 8求厶ABCri .b 2已知 ABC 中，a : b : c= 2 :6 ： （ 3+ 1）,余弦定理，也可以利用正弦定理:解法cos A,2 2 2b c a2bc（2三）2 （用 2

5、）2 （2、3）22 22 血 V2）12,解法二： sin A sinB2 3 sin4502、2又 62 2.4 1.4 3.8, 2 3 v 2 1.8 3.6,a v C，即 0 v A v 900,思路點(diǎn)撥：由題目可獲取以下主要信息：已知三邊比例;冊變式;訓(xùn)求三角形的三內(nèi)角.1 在ABCS，已知定理求出三個(gè)角，b= 6 + 2呂,c= 4翻, 求角A, B, C.解析：在厶ABC中，由余弦定理得，a2 + b2 c2 2 J6 2 6 + 2yj3 2 - 4晶 2cosC= 2ab 2X 2 6X 6+ 2 3=24 3+ 1=x!24 23+ 1 2 . C= 45 sin C

6、= .題后感悟此題為“已知三邊，求三角形的三個(gè)角”類型問題，基本解法是先利用余弦定理的推論求一個(gè)角的余弦， 再判定此角的取值，求得第一個(gè)角，再用正弦定理求出另一個(gè)角,最后用三角形內(nèi)角和定理，求出第三個(gè)角（一般地，先求最小角，再求最大角）解題過程v a ： b : c = 2 : 6 : ( 3 + 1), 令 a= 2k, b= 6k, c = ( 3+ 1)k.由余弦定理，有b2 + c2 a2 = 6+3 + 2-4 止 cos A= 2bc = 2 6 x 3+ 1 = 2， A= 45.a2 + c2 b2_ 4+ p3 + 1 2 6_ 1cos B= 2ac= 2 x 2X 3+

7、1 = 2， B= 60. C= 180 A B = 180 45 60 = 75.方法二：由bvc, B= 30 bcsin 30知本題有兩解.由正弦定理，得sin C= csi： B = 解題過程方法一：由余弦定理：b2= a2 + c2 2accos B得 2 = a2 + 32 2Xax 3Xcos 30 a? 3 對(duì)3a + 6= 0題后感悟可比較兩種方法，從中體會(huì)各自的優(yōu)點(diǎn)，三角形中已知兩邊及一角，有兩種解 a = 3 或 a = 2冷3法，從而摸索出適合自己思維的解題規(guī)律和方法d方法一利用余弦定理列出關(guān)于a的等量關(guān)系建立方=2運(yùn)時(shí)解方由正弦定法求出sin A = a!b的長=這|

8、可免去判慚取舍的麻煩.方法二直 接運(yùn)用正弦定理,，先求角再求邊. 3X 2= ?C= 60 或 120.當(dāng) C= 60時(shí)，A= 90例 3:由勾股定理a= b + c= 2 3.當(dāng)C= 120時(shí)，A = 30 ABC為等腰三角形. a= 3.sin A=asin Ct ac,. AC, A= 30 B= 180 (A+ C) = 180 (30 + 45) = 105.已知：在厶ABC中，b = 3 c= 3, B= 30解此三角形.j (由余弦定理亦方穆求“一(曲余弦定理的推論求仏2 3Xasin C3+ 3.方法二：在 ABC中由正弦定理得sin B=西嚴(yán)二6X 22 3 -1=2,因?yàn)?

9、b?feZVBC 中，若 b2sin 2C c2sin 2B 2bccosBcosC，試判斷三角形的形 所以c_ 3 + 3.方法二：將已知等式變形為2 2 2 22、-即有 b2 + c2 bj (a q 2 )2 _ c2邊角之間的關(guān)系：b Sin 2(?atc sin2Ba2 + b2 c2 =b，4 分b (1 cos C) + c (1 cos B)= 2bccos Bcos C, 2 分 思路點(diǎn)撥：由題目可獲取以下主要信息：222a + b c 22 a + c b 2的7、i b的形Jab確定三角形bccOSPcosC ;即 b2 + c2 =也可先由余弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角,a然后

10、由三角恒等式進(jìn)行化簡，得出結(jié)論;4a角三角函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化成邊之間的關(guān)系，然后由邊的關(guān)系確 定三角形形狀.即b2 + c2 = a2, 10分 ABC為直角三角形.12分a b c規(guī)范作答方法一：由 snA=sibB=siiTC=2R，則條件轉(zhuǎn)化為 4R2 si n2C si n2B+ 4R2 sin2C sin2B= 8R2 sinB sin C cos B cos C,又 sin B sin C工 0, sin B sin C= cos B cos C, 6 分即 cos(B + C) = 0.8 分又 0B+ C180, B+ C = 90 10 分 A = 90故厶ABC為直角三角形.12

11、分題后感悟判斷三角形的形狀應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，可用正、余弦定理將已 知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等方式得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，也可利用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系，通過三角變換，得出三 角形各內(nèi)角之間的關(guān)系，從而判斷三角形形狀4 .在ABC 中，(a + b + c)(b + c a) = 3bc，且 sin A = 2sin Bcos C，試確定厶 ABC的形狀.解析：因?yàn)?a+ b+ c)(b + c a) = 3bc，所以 a2 = b2 + c2 bc,又由余弦定理有 a2= b2+ c2 2bccos A,1所以 cos A=

12、2，即 A= 60又因?yàn)?sin A= sin(B+ C) = sin Bcos C + cos Bsin C，且 sin A= 2sin Bcos C，所以 sin Bcos C = cos Bsin C，即卩 sin(B C) = 0，所以 B1 .余弦定理與勾股定理之間的聯(lián)系=C，又于余弦定理,c所以aB+CftaboAGfeo。!CB=90。，貝c2 a2 b2，此即為勾0股定理，也就是說勾股定理是余弦定理的特殊情況. 故厶ABC為等邊三角形.(2)余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的客觀規(guī)律，也是解三角形的重要工具.o在余弦定理中，每一個(gè)等式均含有四個(gè)量，利用方程的觀點(diǎn)，可以知三求一.

13、余弦定理也為求三角形的有關(guān)量 (如面積、外接圓、內(nèi)切圓等 )提供了工具，它 可以用來判定三角形的形狀， 證明三角形中的有關(guān)等式， 在一定程度上， 它比正 弦定理的應(yīng)用更加廣泛特別提醒 在利用余弦定理求三角形的邊長時(shí)容易出現(xiàn)增解，原因是余弦定理 中涉及的是邊長的平方， 求得結(jié)果常有兩解， 因此，解題時(shí)需特別注意三角形三 邊長度所應(yīng)滿足的基本條件2解三角形問題的類型解三角形的問題可以分為以下四類：(1) 已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形 此種情況的基本解法是先由正弦定理求出另一條邊所對(duì)的角， 用三角形的內(nèi)角和 定理求出第三個(gè)角，再用正弦定理求出第三邊，注意判斷解的個(gè)數(shù)(2) 已知三角形的

14、兩角和任一邊，解三角形 此種情況的基本解法是若所給邊是已知角的對(duì)邊時(shí)， 可由正弦定理求另一邊， 再 由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角， 再由正弦定理求第三邊 . 若所給邊不是已知 角的對(duì)邊時(shí)，先由三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角，再由正弦定理求另外兩邊(3) 已知兩邊和它們的夾角，解三角形此種情況的基本解法是先用余弦定理求第三邊， 再用正弦定理或余弦定理求另一 角，最后用三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角(4)已知三角形的三邊，解三角形此種情況的基本解法是先用余弦定理求出一個(gè)角， 再用正弦定理或余弦定理求出 誤區(qū)警示I另一個(gè)角，最后用三角形內(nèi)角和定理，求出第三個(gè)角.要解三角形，必須已知三角形的一邊的長若已知條

15、件中一條邊的長也不給出,以是任意的，且此無法求解鈍角三角形, C為鈍角.由余弦定理得角.a2+ b2 c2 k2 4k 12由余弦定理得cos C=20b-=藥+0,k2【4因12k + 4，即k2，又由不是邊之和大于第三邊，得k + (k+ 2) k+ 4， k2，由可知 2k6.a2 + b2 c2 k2 4k 12 C0S C= 2ab 二 2k k + 2 0.k2 4k 120，解得2k0，故由知0kba且厶ABC為鈍角三角形， C為鈍1.1.2余弦定理同步練習(xí)、選擇題1 .在ABC 中,a2 c2b2 ab，則角。為（A. 30B. 60C. 45或 135D. 1202 .在 ABC中，已知AE，C0SB,AC邊上的中線BD= 5，貝U sin A的值為（A.17B. 701214D.143 .在 ABC中,(a bC)(ba)3bc,并