《拋物線的幾何性質(zhì)》教案(公開課)

1、拋物線的幾何性質(zhì)教案一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識教學(xué)點(diǎn)使學(xué)生理解并掌握拋物線的幾何性質(zhì)，并能從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo) 這些性質(zhì)(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)拋物線的性質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、 推理等能力(三)學(xué)科滲透點(diǎn)使學(xué)生進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標(biāo)系中 曲線方程的關(guān)系概念的理解，這樣才能解決拋物線中的弦、最值等問題二、教材分析1重點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用(解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)得出)2難點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用(解決辦法：通過幾個典型例題的講解，使學(xué)生掌握幾何性質(zhì)的應(yīng)用) 3疑點(diǎn)：拋物線的焦半徑和焦點(diǎn)弦長公式(解決辦

2、法：引導(dǎo)學(xué)生證明并加以記憶)三、活動設(shè)計提問、填表、講解、演板、口答四、教學(xué)過程(一)復(fù)習(xí)1拋物線的定義是什么？請一同學(xué)回答應(yīng)為：“平面內(nèi)與一個定點(diǎn) f 和一條定直線 l 的距離相等的 點(diǎn)的軌跡叫做拋物線”2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？再請一同學(xué)回答應(yīng)為：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 y2=2px(p0)，y2=-2px(p 0)，x2=2py(p0)和 x2=-2py(p0)第 1 頁 共 7 頁下面我們類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px(p 0)出發(fā)來研究它的幾何性質(zhì)(二)幾何性質(zhì)怎樣由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定它的幾何性質(zhì)？以 y2=2px(p0)為例，用小 黑板給出下表，請學(xué)生對

3、比、研究和填寫填寫完畢后，再向?qū)W生提出問題：和橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)相比，拋物線 的幾何性質(zhì)有什么特點(diǎn)？學(xué)生和教師共同小結(jié)：(1) 拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但是沒有漸近 線(2) 拋物線只有一條對稱軸，這條對稱軸垂直于拋物線的準(zhǔn)線或與頂點(diǎn)和焦 點(diǎn)的連線重合，拋物線沒有中心(3) 拋物線只有一個頂點(diǎn)，它是焦點(diǎn)和焦點(diǎn)在準(zhǔn)線上射影的中點(diǎn)第 2 頁 共 7 頁(4)拋物線的離心率要聯(lián)系橢圓、雙曲線的第二定義，并和拋物線的定義作 比較其結(jié)果是應(yīng)規(guī)定拋物線的離心率為 1注意：這樣不僅引入了拋物線離心 率的概念，而且把圓錐曲線作為點(diǎn)的軌跡統(tǒng)一起來了(三)應(yīng)用舉例為了加深對拋物線的幾

4、何性質(zhì)的認(rèn)識，掌握描點(diǎn)法畫圖的基本方法，給出如 下例 1例 1已知拋物線關(guān)于 x 軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)解：因為拋物線關(guān)于 x 軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)程是 y2=4x后一部分由學(xué)生演板，檢查一下學(xué)生對用描點(diǎn)法畫圖的基本方法掌握情況第一象限內(nèi)的幾個點(diǎn)的坐標(biāo)，得：(2)描點(diǎn)作圖描點(diǎn)畫出拋物線在第一象限內(nèi)的一部分，再利用對稱性，就可以畫出拋物線 的另一部分(如圖 2-33)第 3 頁 共 7 頁例 2已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是 x 軸，拋物線上的點(diǎn) m(-3，m)到焦點(diǎn)的距離等于 5，求拋物線的方程和 m 的值解法一：由焦半徑關(guān)系，設(shè)拋物線方程為 y2=-2px

5、(p0)，則準(zhǔn)線方因為拋物線上的點(diǎn) m(-3，m)到焦點(diǎn)的距離|mf|與到準(zhǔn)線的距離得 p=4因此，所求拋物線方程為 y2=-8x又點(diǎn) m(-3，m)在此拋物線上，故 m2=-8(-3)解法二：由題設(shè)列兩個方程，可求得 p 和 m由學(xué)生演板由題意在拋物線上且|mf|=5，故本例小結(jié)：(1)解法一運(yùn)用了拋物線的重要性質(zhì)：拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離(即此點(diǎn) 的焦半徑)等于此點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可得焦半徑公式：設(shè) p(x0，第 4 頁 共 7 頁這個性質(zhì)在解決許多有關(guān)焦點(diǎn)的弦的問題中經(jīng)常用到，因此必須熟練掌握 (2)由焦半徑不難得出焦點(diǎn)弦長公式：設(shè) ab 是過拋物線焦點(diǎn)的一條弦(焦點(diǎn)弦)，若 a(x1，y

6、1)、b(x2，y2)則有|ab|=x1+x2+p特別地：當(dāng) abx 軸，拋物 線的通徑|ab|=2p(詳見課本習(xí)題)例 3過拋物線 y2=2px(p0)的焦點(diǎn) f 的一條直線與這拋物線相交于 a、b兩點(diǎn)，且 a(x1，y1)、b(x2，y2)(圖 2-34)證明：(1)當(dāng) ab 與 x 軸不垂直時，設(shè) ab 方程為：此方程的兩根 y1、y2 分別是 a、b 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則有 y1y2=-p2或 y1=-p，y2=p，故 y1y2=-p2綜合上述有 y1y2=-p2又a(x1，y1)、b(x2，y2)是拋物線上的兩點(diǎn)，第 5 頁 共 7 頁本例小結(jié)：(1) 涉及直線與圓錐曲線相交時，常把直線

7、與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個 變量，得到關(guān)于另一變量的一元二次方程，然后用韋達(dá)定理求解，這是解決這類 問題的一種常用方法(2) 本例命題 1 是課本習(xí)題中結(jié)論，要求學(xué)生記憶(四)練習(xí)1過拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn)作直線交拋物線于 a(x1，y1)、b(x2，y2)兩點(diǎn)， 若 x1+x2=6，求|ab|的值由學(xué)生練習(xí)后口答由焦半徑公式得：|ab|=x1+x2+p=82證明：與拋物線的軸平行的直線和拋物線只有一個交點(diǎn)請一同學(xué)演板，其他同學(xué)練習(xí)，教師巡視證明：可設(shè)拋物線方程故拋物線 y2=2px 與平行于其軸的直線只有一個交點(diǎn)(五)全課小結(jié)1 拋物線的幾何性質(zhì)；2 拋物線的應(yīng)用五、布置作業(yè)1 在拋物線 y2=12x 上，求和焦點(diǎn)的距離等于 9 的點(diǎn)的坐標(biāo)2 有一正三角形的兩個頂點(diǎn)在拋物線 y2=2px 上，另一頂點(diǎn)在原點(diǎn)，求這個 三角形的邊長3 圖 2-35 是拋物線拱橋的示意圖，當(dāng)水面在 l 時，拱頂高水面 2m，水面 寬 4m，水下降 11m