固體的能帶理論習題

1、第五章 固體的能帶理論1. 布洛赫電子論作了哪些基本近似？它與金屬自由電子論相比有哪些改 進？解：布洛赫電子論作了 3條基本假設，即絕熱近似，認為離子實固 定在其瞬時位置上，可把電子的運動與離子實的運動分幵來處理；單電 子近似，認為一個電子在離子實和其它電子所形成的勢場中運動；周期 場近似，假設所有電子及離子實產(chǎn)生的場都具有晶格周期性。布洛赫電子 論相比于金屬自由電子論，考慮了電子和離子實之間的相互作用，也考慮 了電子與電子的相互作用。2. 周期場對能帶形成是必要條件嗎？解：周期場對能帶的形成是必要條件，這是由于在周期場中運動的電 子的波函數(shù)是一個周期性調(diào)幅的平面波，即是一個布洛赫波。由此使能

2、量 本征值也稱為波矢的周期函數(shù)，從而形成了一系列的能帶。3. 一個能帶有 N 個準連續(xù)能級的物理原因是什么？解：這是由于晶體中含有的總原胞數(shù)N通常都是很大的，所以 k的取值是十分密集的，相應的能級也同樣十分密集，因而便形成了準連續(xù)的能 級。4. 禁帶形成的原因如何？您能否用一物理圖像來描述？解：對于在倒格矢Kh中垂面及其附近的波矢k，即布里淵區(qū)界面附近 的波矢 k ，由于采用簡并微擾計算， 致使能級間產(chǎn)生排斥作用， 從而使 E(k ) 函數(shù)在布里淵區(qū)界面處“斷開” ，即發(fā)生突變，從而產(chǎn)生了禁帶?？梢杂孟旅娴膱D 5.1 來描述禁帶形成的原因：圖5.1在布里淵區(qū)界面附近禁帶形成的物理示意圖5. 近

3、自由電子模型與緊束縛模型各有何特點？它們有相同之處？解：所謂近自由電子模型就是認為電子接近于自由電子狀態(tài)的情況， 而緊束縛模型則認為電子在一個原子附近時，將主要受到該原子場的作 用，把其它原子場的作用看成微擾作用。這兩種模型的相同之處是：選取 一個適當?shù)木哂姓恍院屯陚湫缘牟悸搴詹ㄐ问降暮瘮?shù)集，然后將電子的 波函數(shù)在所選取的函數(shù)集中展幵，其展幵式中有一組特定的展幵系數(shù)，將 展幵后的電子的波函數(shù)代入薛定諤方程，利用函數(shù)集中各基函數(shù)間的正交 性，可以得到一組各展幵系數(shù)滿足的久期方程。這個久期方程組是一組齊 次方程組，由齊次方程組有解條件可求出電子能量的本征值，由此便揭示 出了系統(tǒng)中電子的能帶結(jié)構。

4、6. 布洛赫電子的費米面與哪些因素有關？確定費米面有何重要性？解：布洛赫電子的費米面與晶體的種類及其電子數(shù)目有關。由于晶體的很多物理過程主要是由費米面附近的電子行為決定的，如導電、導熱等,所以確定費米面對研究晶體的物理性質(zhì)及預測晶體的物理行為都有很重 要的作用。7. 試述晶體中的電子作準經(jīng)典運動的條件和準經(jīng)典運動的基本公式。解：在實際問題中，只有當波包的尺寸遠大于原胞的尺寸，才能把晶 體中的電子看做準經(jīng)典粒子。準經(jīng)典運動的基本公式有：晶體電子的準動量為p k；晶體電子的速度為v k E(k)；晶體電子受到的外力為F dk dt晶體電子的倒有效質(zhì)量張量為112E(k)；m*2 k k ；在外加電

5、磁場作用下，晶體電子的狀態(tài)變化滿足：8. 試述有效質(zhì)量、空穴的意義。引入它們有何用處？解：有效質(zhì)量實際上是包含了晶體周期勢場作用的電子質(zhì)量，它的引 入使得晶體中電子準經(jīng)典運動的加速度與外力直接聯(lián)系起來了，就像經(jīng)典 力學中牛頓第二定律一樣，這樣便于我們處理外力作用下晶體電子的動力 學問題。當滿帶頂附近有空狀態(tài)k時，整個能帶中的電流，以及電流在外電磁場作用下的變化，完全如同存在一個帶正電荷q和具有正質(zhì)量 m*、速度v(k)的粒子的情況一樣，這樣一個假想的粒子稱為空穴。空穴的引入使得 滿帶頂附近缺少一些電子的問題和導帶底有少數(shù)電子的問題十分相似，給 我們研究半導體和某些金屬的導電性能帶來了很大的方便

6、。9. 試述導體、半導體和絕緣體能帶結(jié)構的基本特征。解：在導體中，除去完全充滿的一系列能帶外，還有只是部分地被電 子填充的能帶，后者可以起導電作用，稱為導帶。在半導體中，由于存在一定的雜質(zhì)，或由于熱激發(fā)使導帶中存有少數(shù) 電子，或滿帶中缺了少數(shù)電子，從而導致一定的導電性。在絕緣體中，電子恰好填滿了最低的一系列能帶，再高的各帶全部都 是空的，由于滿帶不產(chǎn)生電流，所以盡管存在很多電子，并不導電。10. 說明德哈斯一范阿爾芬效應的基本原理及主要應用。解：在低溫下強磁場中，晶體的磁化率、電導率、比熱容等物理量隨磁場變化而呈現(xiàn)出振蕩的現(xiàn)象，稱為德哈斯-范阿爾芬效應由于德哈斯一范阿爾芬效應同金屬費米面附近電

7、子在強磁場中的 行為有關，因而同金屬費米面結(jié)構密切相關，所以德哈斯一范阿爾芬 效應成為人們研究費米面的有力工具。11. 一維周期場中電子的波函數(shù) k(x)應當滿足布洛赫定理。若晶格常數(shù)為a，電子的波函數(shù)為(1) k(x) si n x;a3(2) k(x) icos x ；a(3) k(x) f (x ia)(其中f為某個確定的函數(shù))i試求電子在這些狀態(tài)的波矢。解：布洛赫函數(shù)可寫成k(x)eikxUk(x)，其中,Uk(x a) Uk(x)或?qū)懗蒶(x a)eikak(x)(1)k(xa).x a sina.xsinak(x)故顯然有eika1k aUk(x a)Uk(x)故 k (x) si

8、 n x的波矢是0aa(2) k (x a)3( xicosa)3xi cos一aa所以ikae1k a顯然有Uk(x a)Uk(x)故 k(x) i cosx的波矢0aa(3)k(x a)f (x ia ia)fx(iiik(x)1)a f (x ma)心)m故eika 1k 0故k（x） f（x ia）的波矢為0。i要說明的是，上述所確定的波矢k并不是唯一的，這些k值加上任一倒 格矢都是所需的解。因為 k空間中相差任一倒格矢的兩個 k值所描述的狀 態(tài)是一樣的。12已知電子在周期場中的勢能為其中：a 4b， 為常數(shù)。（1）畫出勢能曲線，并求出其平均值；（2） 用近自由電子模型求出此晶體的第1

9、及第2個禁帶寬度。解：（1）該周期場的勢能曲線如下所示：其勢能平均值為:（2）根據(jù)近自由電子模型，此晶體的第1及第2個禁帶寬度為其中U1和U 2表示周期場u （x）的展幵成傅立葉級數(shù)的第一和第二個傅 立葉系數(shù)。于是有故此晶體的第1及第2個禁帶寬度為13. 已知一維晶體的電子能帶可寫成:E(k)二(7coskacos2ka) o8式中a是晶格常數(shù)。試求(1) 能帶的寬度；(2) 電子在波矢k的狀態(tài)時的速度；(3) 能帶底部和頂部電子的有效質(zhì)量。解：(1)在能帶底k 0處，電子能量為在能帶頂k處，電子能量為a故能帶寬度為E E(I)E(0)ma2(2)電子在波矢k的狀態(tài)時的速度為 (3)電子的有效

10、質(zhì)量為于是有在能帶底部電子的有效質(zhì)量為m； 2m在能帶頂部電子的有效質(zhì)量為m2- m314. 平面正六角形晶格(見圖 5.30 )，六角形2個對邊的間距是a，其基矢 為a. 43 .aiiaj ；2 2試求:圖 5.30(1) 倒格子基矢;(2) 畫出此晶體的第一、二、三布里淵區(qū);(3) 計算第一、二、三布里淵區(qū)的體積多大？解：(1)由題意可取a3 k，那么根據(jù)倒格子基矢的定義有(2)此晶體的第一、二、三布里淵區(qū)如下圖5.2所示圖5.2平面正六邊形晶格的布里淵區(qū)示意圖(3)由于各個布里淵區(qū)的體積都相等，且等于倒格子原胞的體積， 所以第一、二、三布里淵區(qū)的體積為15. 證明正方格子第一布里淵區(qū)的

11、角隅處的一個自由電子的動能，比該區(qū) 側(cè)面中點處的電子動能大1倍。對三維簡單立方晶格，其相應的倍數(shù)是多 少？解：設正方格子的晶胞參數(shù)為 a，則其相應的倒格子也為一正方格子， 并且其倒格子基矢大小為，由此可知位于該正方格子第一布里淵區(qū)角a隅處的自由電子的波矢大小為 &，而位于該區(qū)側(cè)面中點處的電子的a波矢大小為k2。a2/盞可知，正方格子第一布又由自由電子動能與其波矢的關系式Ek里淵區(qū)角隅處的自由電子的動能大小為Ek廠，而位于該區(qū)側(cè)面中點1 ma2 2處的電子的動能大小為 Ek2 T，顯然有Ek1 2Ek2。2 2ma由此證得正方格子第一布里淵區(qū)的角隅處的一個自由電子的動能，比 該區(qū)側(cè)面中點處的電子

12、動能大 1倍。對三維簡單立方晶格，由相同的方法可以同樣證得其相應的倍數(shù)為316. 設kF表示自由電子的費米波矢，km表示空間中從原點到第一布里淵區(qū)邊界的最小距離，求具有體心立方和面心立方結(jié)構的一價金屬的比值kF / km。解：對于體心立方結(jié)構的一價金屬，其自由電子的費米波矢為而km ，故kF /km （嚴a2對于面心立方結(jié)構的一價金屬，其自由電子的費米波矢為而 km 丄，故 kF /km （H）1/3。a317. 一矩形晶格，原胞邊長a 2 10 10m， b 4 10 10m。（1）畫出倒格子圖；（2）畫出第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū)；（3）畫出自由電子的費米面。解：由題意可取該矩形晶格的原胞

13、基矢為a1 ai， a2 bj，由此可求得其倒格子基矢為b1 該矩形晶格的第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū)如下圖5.4所示：圖5.4矩形晶格的第一和第二布里淵區(qū) 設該二維矩形晶格晶體含有N個電子，由于費米面是k空間占有電子與不占有電子區(qū)域的分界面，所以有下式成立 i 3.14 1010i，b2 1.57 1010j，由此可做出此矩a形晶格的倒格子圖如下圖5.3所示：1.57 Xk1Jd1IPLJlh1 1 lrOhe|卜lbVA11141圖5.3矩形晶格的倒格子由此得kF .2 (-S)1/22 n1/2上式中nN為該二維晶格晶體的電子密度。S于是可求得該二維晶格晶體的費米面的半徑為由此可做出自由電

14、子的費米面如下圖 5.5中圓面所示：圖5.5二維矩形晶格的費米面圓18. 證明：應用緊束縛方法，對于一維單原子鏈，如只計及最近鄰原子間的相互作用，其s態(tài)電子的能帶為E(k) Emin 4Jsin2(ka/2)。式中：Emin為能帶底部的能量；J為交疊積分。并求能帶的寬度及能帶頂 部和底部電子的有效質(zhì)量。解：設S態(tài)的原子能級為s，當只計及最近鄰格點的相互作用時，則用緊束縛方法可求得該一維單原子鏈的S態(tài)電子能量為2上式中 JoI i( 9 u( v(9dE 0，J(Rs)*( 9 Rs)U( 9 v(9 i(9dE 0 (其中 U(9 表示晶體中的周期性勢場，也即各格點原子勢場之和。v(9為某格點

15、的原子勢場)由于s態(tài)波函數(shù)是球形對稱的，因而在各個方向重疊積分相同。在一維單原子鏈中，每個原子周圍有2個近鄰格點，其格矢分別為ai和ai，由此可知一維單原子鏈的s態(tài)電子能量可化為：上式中 J J(ai) J( ai) *(9 ai)U( 9 V(9 i(9d9 0由此可知，當k 0時，即能帶底的能量為Emins J0 2J ；當k -，a即能帶頂?shù)哪芰繛镋max s J0 2J于是可證得一維單原子鏈的 s態(tài)電子能量為并且還可得能帶寬度為E Emax Emin 4J由此還可求得有效質(zhì)量m(k) 1 2/獸2a2J coska于是可求得能帶頂部的電子有效質(zhì)量2a2J能帶底部的電子有效質(zhì)量 m* m

16、*(0)22a2J。19.設二維正三角形晶格中原子間距為a ,試根據(jù)緊束縛近似的結(jié)果， 求出能帶E(k)的表達式，并求出相應的電子速度v(k)和有效質(zhì)量的各個分量解：當只計及最近鄰格點的相互作用時，根據(jù)緊束縛近似可得該晶格由原子s態(tài)的形成的能帶表達式為(1)k RE(k) s J0J(Rs)e sR 近鄰上式中Joi(U(E V(9dE 0 ,J(Rs)*( E Rs)U( 3 V(0 i(9dE 0 (其中 U(E)表示晶體中的周期性勢場，也即各格點原子勢場之和。V(E)為某格點的原子勢場)在此二維晶格中,取原點為參考點，則其六個近鄰格點坐標值為(a , 0)0)(-a，仝a ),2 2(2

17、)(丄a，企)2 2把近鄰格式Rs代入(1)式,并考慮到S態(tài)波函數(shù)的球?qū)ΨQ性可得:上式中J1表示原點所處格點與任一最近鄰格點的波函數(shù)的重疊積分的負值，并有J10由此可知相應的電子速度為選取kx，ky軸沿張量主軸方向，則有 m；y m；x 0,而20.用緊束縛方法處理面心立方的s態(tài)電子，若只計及最近鄰相互作用,試導出其能帶為 并求能帶底部電子的有效質(zhì)量。解：當只計及最近鄰格點的相互作用時，用緊束縛近似方法處理晶體 的S態(tài)電子，其能帶E(k)的表達式可寫為2上式中 Eos，A | i( 9| U( 9 V(9dE 0，J i*(9 Rs)U(9 V( 9 i( 9d 9 0 (其中 U( 9 表示晶體中的周期性勢場，也即各格點原子勢場之和；v(9為最近鄰格點的原子勢場；Rs為最近鄰格點的位矢)。對面心立方晶格，取原點為