人教版高中數(shù)學(xué)選修4-4 極坐標高考題的幾種常見題型

1、x =rcos q12x2 +y 2 -4 x =0 x =0 x =2 x2 +y 2 -4 x =0極坐標高考題的幾種常見題型.一、極坐標方程與直角坐標方程的互化互化條件：極點與原點重合，極軸與x 軸正半軸重合，長度單位 相同.r2=x 2 +y 2互化公式： 或 yy =rsin qtan q= ( x 0) x的象限由點(x,y)所在的象限確定.例 1(2007 海南寧夏 ) o 和 o 的極坐標方程分別為 r=4 cos r=-4sin q(i)把o 和o 的極坐標方程化為直角坐標方程；1 2(ii)求經(jīng)過o ，o 交點的直線的直角坐標方程1 2q，解：以極點為原點，極軸為 x 軸正

2、半軸，建立平面直角坐標系， 兩坐標系中取相同的長度單位(i)x =rcosq，y =rsinq，由 r=4 cosq得 r2=4 rcosq所以x2+y2=4 x即 x 2 +y 2 -4 x =0為o 的直角坐標方程 1同理 x 2 +y 2 +4 y =0為o 的直角坐標方程 2(ii)解法一:由 解得 1 ， 2x2 +y 2 +4 y =0 y1 =0 y2 =-2即o ，o 交于點(0,0)和(2,2)過交點的直線的直角坐標方程 1 2為 y=x解法二 : 由 , 兩式相減得 4x-4y=0, 即過交點的直線x 2 +y 2 +4 y =0的直角坐標方程為 y=x評述:本題主要考查曲

3、線的極坐標方程化為直角坐標方程的方法及兩 圓公共弦所在直線方程的求法.例 2(1998 年上海)以直角坐標系的原點 o 為極點,x 軸的正半軸為極軸p 3p2 2 2x 2 y 22 2222 22 22 2x =sec j建立極坐標系,若橢圓兩焦點的極坐標分別是(1, ),(1,2 2),長軸長是 4,則此橢圓的直角坐標方程是_.解 ： 由 已 知 條 件 知 橢 圓 兩 焦 點 的 直 角 坐 標 為 (0,1),(0,-1).c=1,a=2,b =a -c =3,故所求橢圓的直角坐標方程為 + =13 4評述：點的直角坐標與極坐標的互化、曲線的極坐標方程與直角坐標方程的互化要熟練掌握.類

4、題:1(1995 年上海)把直角坐標系的原點作為極點,x 軸的正半軸作為 極軸,并且在兩種坐標系中取相同的長度單位.若曲線的極坐標方程是r2=14 cos 2 q-1,則它的直角坐標方程是_.(答案:3x -y =1)2(1998 年全國)曲線的極坐標方程 r=4sinq化成直角坐標方程為(a) x +(y+2) =4 (b) x +(y-2) =4(c) (x-2) +y =4 (d) (x+2) +y =4 ( 答案:b)3(2002 北京)已知某曲線的參數(shù)方程是 ( j 為參數(shù))若以原點為y =tan j極點 ,x 軸的正半軸為極軸 ,長度單位不變，建立極坐標系，則該曲線 的極坐標方程是

5、(a)r=1(b)rcos 2q=1(c)r2sin 2q=1(d)r2cos 2q=1(答案:d)二、已知曲線的極坐標方程 ,判斷曲線類型常見的直線和圓的極坐標方程及極坐標系中的旋轉(zhuǎn)不變性: 1、直線的極坐標方程(a0)(1)過極點,并且與極軸成 角的直線的極坐標方程:q= ;(2) 垂 直 于 極 軸 和 極 點 間 的 距 離 為 a 的 直 線 的 極 坐 標 方 程: rcos q=a;(3) 平 行 于 極 軸 和 極 軸 間 的 距 離 為 a 的 直 線 的 極 坐 標 方 程: rsin q=a;(4)不過極點,和極軸成 a角,到極點距離為 a 的直線的極坐標方程:sin(-

6、)=a.r2、圓的極坐標方程(a0)(1)圓心在極點,半徑為 a 的圓的極坐標方程:r=a;(2)圓心在(a,0),半徑為 a 的圓的極坐標方程: r=2acos q;p3p0q252(3)圓心在(a,p),半徑為 a 的圓的極坐標方程:r=-2 a cosq;(4)圓心在(a, ),半徑為 a 的圓的極坐標方程:2r=2asinq;(5)圓心在(a, ),半徑為 a 的圓的極坐標方程: r= -2 a sin2q;(6)圓心在(a, q ),半徑為 a 的圓的極坐標方程: 3、極坐標系中的旋轉(zhuǎn)不變性:r=2acos(q-q).0曲線 f(r,q+a)=0 是將曲線 f(r,q)=0 繞極點旋

7、轉(zhuǎn)|a|角(a0時,按順時針方向旋轉(zhuǎn),a0時,按逆時針方向旋轉(zhuǎn))而得到.例 3(1990 年全國)極坐標方程 4rsin =5 所表示的曲線是 2(a) 圓 (b) 橢圓 (c) 雙曲線的一支(d) 拋物線解:由已知極坐標方程及三角公式得:2r(1-cosq)=5,2r=2rcosq+5,由互化公式得 2x2+y2=2x+5,平方整理得y =5(x+ ),方程表示的曲線是拋物線,故選 d.4評述: 對于給出的極坐標方程相對于極坐標系而言不是標準的 ,一般將 其等價轉(zhuǎn)化為直角坐標方程來判斷其曲線類型.類題:1(1987 年全國)極坐標方程 r=sin q+2cos q所表示的曲線是(a) 直線

8、(b) 圓 (c) 雙曲線 (d) 拋物線 (答案:b)2(2003 北京)極坐標方程 r2cos 2q-2 rcosq=1表示的曲線是(a)圓(b)橢圓(c)拋物線(d)雙曲線(答案:d)3 極 坐 標 方 程 rcos （答案 c)q=2sin 2q表 示 的 曲 線 為 （ ）a一條射線和一個圓 d一個圓三、求曲線的交點坐標b兩條直線c一條直線和一個圓例 7(2008 年廣東)已 知 曲 線c ， c12的 極 坐 標 方 程 分 別 為rcosq=3，p 2x2 +y 2 -x -y =0 r=4cosqr0，0q 2 ，則曲線c 與 c1 2交點的極坐標為 解：我們通過聯(lián)立解方程組r

9、cosq=3 r=4cosq(pr0,0 q)2解得r=2 3 pq= 6,即兩曲線的交點為p(2 3, )6。例 8（2010 東北三校第一次聯(lián)合考試）在極坐標系下，已知圓o :r=cosq+sinq和直線l :p 2 rsin(q- ) =4 2。（1）求圓o和直線l的直角坐標方程；（2）當 q(0,p)時，求直線 l 于圓 o 公共點的極坐標。解：（1）圓o :r=cosq+sinq，即 r2=rcosq+rsinq圓o的直角坐標方程為：x2+y2=x +y，即x2+y2-x -y =0直線 l : rsin(q- ) =4 2，即 rsinq-rcosq=1則直線的直角坐標方程為：y

10、-x =1，即x -y +1 =0。（2）由 得 x -y +1 =0 x =0y =1故直線l與圓o公共點的一個極坐標為p(1, )2。類型：1.曲線r=4sinq與 r =2 的交點坐標是 。 （答案(2,p6) 和 (2,5 p6)）四、根據(jù)條件求直線和圓的極坐標方程例 9(2009 遼寧)在直角坐標系 xoy 中，以 o 為極點，x 正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 c的極坐標方程為 rcos（ q-p3）=1，m,n 分別為 c 與 x 軸，y 軸的交點。（1） 寫出 c 的直角坐標方程，并求 m,n 的極坐標；（2） 設(shè) mn 的中點為 p，求直線 op 的極坐標方程。 解：（）由r

11、cos(q-p3) =1得1r( cos2q+32sinq) =1q=p從而 c 的直角坐標方程為 1 3x + y =12 2即x + 3 y =2q=0時，r=2，所以 m (2,0)q=p2時， r=2 3 2 3 p ，所以 n ( , )3 3 2（）m 點的直角坐標為（2，0）n點的直角坐標為(0,2 33)所以 p 點的直角坐標為(1.3 2 3 p ), 則p點的極坐標為( , ),3 3 6所以直線 op的極坐標方程為 pr, r( -,+)例 10（江蘇南通）在極坐標系中，已知圓c 的圓心坐標為 徑 r = 5 ，求圓 c 的極坐標方程。pc (2, )3，半解：將圓pc

12、(2, )3化為直角坐標為(1, 3)，半徑r = 5，故圓 c 的方程為( x -1) 2 +( y - 3) 2 =5。再將 c 化成極坐標方程，得 ( rcos q-1) 2 +( rcos q- 3) 2 =5化簡，得r2p-4 rcos(q- ) -1 =03此即為所求的圓 c 的方程。類題:1 (1993 年上海)在極坐標方程中,過點 m(2, )且平行于極軸的直2線 的 極 坐 標 方 程 是 _. (答案: r sin q =2)2(1994 年上海)已知點 p 的極坐標為(1, p ),那么過點 p 且垂直于 極軸的直線的極坐標方程為(a)r=1 (b)r=cosq(c)r=

13、-1cosq(d)r=1cosq(答案:c)3(2000 年全國)以極坐標系中點(1,1)為圓心,1 為半徑的圓的方) (b) =2sin( -pp p1 1 p1 12 21 1222p 2p程是(d)r(a) r =2cos( q - =2sin(-1)qp pr q4 4) (c) r =2cos( q -1)( 答案:c)六、求距離例 12(2007 廣東文)在極坐標系中，直線 l 的方程為 sin=3，則 點(2, )到直線 l 的距離為_.6解: 將直線l的極坐標方程 sin=3 化為直角坐標系方程得:y=3,點(2, )在直角坐標系中為( 3 ,1),故點(2, ) 到直線 l

14、的距離為 2. 6 6評注：本題主要考查極坐標系與直角坐標系之間的互化. 例 13(1992 年全國、1996 年上海)極坐標方程分別是 r=cos q和r=sin q 的兩個圓的圓心距是(a) 2 (b)2(c) 1 (d)22解法一 :兩圓的圓心坐標分別為 ( ,0) 與( , ), 由此求得圓心距為2 2 2選 d.22,解 法 二 : 將 極 坐 標 方 程 化 成 直 角 坐 標 方 程 得 (x- x +(y- ) = ,2 4由此求得圓心距為 ,選 d.2) +y = 與2 4評述: 本題考查對極坐標的理解 ,理解深刻者可在極坐標系上畫出簡圖 直接求解 ,一般理解者 ,化極坐標方程為直角坐標方程也能順利得到正 確答案.例 14(1997 年全國)已知直線的極坐標方程為 rsin( q+ )=4 2到該直線的距離是_.,則極點解法一:化直線方程為 r=22sin(q+p4),根據(jù)極坐標的概念極點到該直線的距離等于這個函數(shù) 的最小值 ,當 sin( q+ )=1 時, r取最小值422即為所求.解法二:對極坐標欠熟悉時 ,可把直線的極坐標方程化為直角坐標方程2px+y=1,應(yīng)用點到直線的距離公式得原點到此直線的距離為 .2類題 :1(2000